隨機(jī)變量數(shù)字特征與中心極限定理

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)----考研強(qiáng)化班主講：朱祥和第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征與中心極限定理知識(shí)結(jié)構(gòu)圖重點(diǎn)考核點(diǎn)的分布*(1)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念與性質(zhì)．*(2)隨機(jī)變量的方差的概念與性質(zhì)．**(3)常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差．(4)切比雪夫不等式．**(5)隨機(jī)變量矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)．(6)泊松定理．(7)大數(shù)定律．*(8)中心極限定理．基礎(chǔ)內(nèi)容和典型例題一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念與性質(zhì)

已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為例求數(shù)學(xué)期望。解

數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如果X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，C為任意常數(shù)，且都存在，則數(shù)學(xué)期望有以下四條常見(jiàn)的性質(zhì)。如果X與Y相互獨(dú)立，則解

X的密度函數(shù)為

例設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求所以而所以例(973)游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行。假設(shè)一游客在早8點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層侯機(jī)處，且X在[0，60]上均勻分布，求該游客等侯時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。解:由題意得:X~設(shè)Y表示旅客候車時(shí)間,則Y=g(X)=0<X≤5,5<X≤25,25<X≤55,55<X≤60.E(Y)=E(g(X))==11.67(分)5-X25-X55-X65-X設(shè)X服從N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)EX若E[X-E(X)]2存在,則稱其為隨機(jī)稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.定義

即D(X)=E[X-E(X)]2

變量X的方差,記為D(X)D(X)——描述r.v.X的取值偏離平均值

的平均偏離程度二、隨機(jī)變量的方差的概念與性質(zhì)若X為離散型r.v.，分布律為若X為連續(xù)型r.v.，概率密度為f(x)計(jì)算方差的常用公式：

D(C)=0

D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)

特別地，若X,Y相互獨(dú)立，則

方差的性質(zhì)常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差例：設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，X3相互獨(dú)立，其中X1服從區(qū)間[0,6]上的均勻分布，X2服從正態(tài)分布N（0，4），X3服從參數(shù)為3的泊松分布，則D（X1-2X2+3X3)=

解：D(X1)=3，D(X2)=4，D(X3)=3，則D（X1-2X2+3X3）=DX1+4DX2+9DX3=4609（7）

三、隨機(jī)變量矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)例設(shè)(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求XZ解例設(shè)X與Y相互獨(dú)立都服從P()，令U＝2X＋Y，Y＝2X－Y．求隨機(jī)變量U和Y的相關(guān)系數(shù)真題解析1，12（8）將長(zhǎng)度為1米的木棒隨機(jī)的截成兩段，則兩段長(zhǎng)度的相關(guān)系數(shù)為2，12（22）第二問(wèn)。3，11（22）第三問(wèn).4，08（8）隨機(jī)變量X-N(0,1),Y-N(1,4).相關(guān)系數(shù)為1，則A.P{Y=-2X-1}=1B.P{Y=2X-1}=1C.P{Y=-2X+1}=1D.P{Y=2X+1}=15,04(22)第二問(wèn)（求X,Y的相關(guān)系數(shù)）6，05（23）

五、二維隨機(jī)向量的數(shù)字特征六、中心極限定理1.定理（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn}相互獨(dú)立，且均存在有限方差，且方差D(Xn)≤C(n=1,2,...),其中常數(shù)C與n無(wú)關(guān)，則對(duì)任意的ε>0，有幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律見(jiàn)教材P38，例2定理（辛欽大數(shù)定律）設(shè)隨機(jī)變量序列{Xn}相互獨(dú)立，服從同一分布，且有相同的期望E(Xn)=，則對(duì)任意的ε>0，有定理（貝努里利大數(shù)定律）

設(shè)每次實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，n次重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)為nA，則對(duì)任意的ε>0，事件的頻率，有例特別，若X～Ｂ（n，p）,則當(dāng)n充分大時(shí)，推論:即若隨機(jī)變量Ｘ～Ｂ（n，p），則對(duì)任意實(shí)數(shù)x有Ｘ～Ｎ（np，npq）注意(1)以上定理稱為棣莫佛---拉普拉斯中心極限定理.它表示當(dāng)n重Bernoulli實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)(n≥100,p接近于0.5),二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布近似逼近,期望為np,方差為npq.(2)P{X=m}=P{m-0.5<X≤m+0.5}此處區(qū)間越小越精確,習(xí)慣上取長(zhǎng)度為1的對(duì)稱區(qū)間例.某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明,在索賠戶中被盜索賠戶占20%,隨機(jī)抽查100戶,利用棣莫佛---拉普拉斯積分定理求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的近似值.解:設(shè)X表示100戶中被盜索賠戶數(shù),則X~B(100,0.2)