相似圖形提高講義

圖形相似線段的比、黃金分割及形狀相同的圖形知識要點(diǎn)?要點(diǎn)1線段的比（1）線段的比：在同一單位下，兩條線的長度的比叫做這兩條線段的比。, _. , , ac（2）成比例線段：四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即了=-,bdab那么這四條線段成比例線段，當(dāng)b=c時(shí)，有7=-,稱b為a與d的比例中項(xiàng)。bd（3）比例尺：比例尺=圖上距離：實(shí)際距離（4）兩條線段被一組平行線所截的線段成比例?！镎f明：判斷四條線段是否成比例，首先要把四條線段的單位化成同一單位，再計(jì)算它們的比值來判斷，要注意它們的順序。要點(diǎn)2比例的性質(zhì)比例的基本性質(zhì)：a=—oad=bc（a、b、c、d中0）a=—^b2=ac（a、b、c、d中0）bd bc要點(diǎn)3黃金分割概念：若點(diǎn)C把線段AB概念：若點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC、BC（AOBC）,若ACBCABAC'我們稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，C點(diǎn)為該條線段的黃金分割點(diǎn)，較短線段與較長線段（或較長線段與原線段）的比叫做黃金比說明：（1）一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)。黃金分割比是兩個(gè)線段的比，沒有單位；（2）一條線段黃金分割后，原線段、較長線段、較短線段有其固定關(guān)系：若AB=1,則AC二"‘BC二"相似多邊形相似三角形及三角形相似的條件知識要點(diǎn)相似多邊形要點(diǎn)1各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做多邊形的相似比。說明：（1）相似多邊形的定義既可以看作是相似多邊形的性質(zhì)，又可以看作相似多邊形的判定；（2）判定相似的兩個(gè)條件，一個(gè)是各角對應(yīng)相等，另一個(gè)是各邊對應(yīng)成比例；二者缺一不可。

相似三角形要點(diǎn)2三個(gè)角對應(yīng)相等，三條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。說明：（1）相似三角形的各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例；（2）兩個(gè)三角形的相似比為1時(shí)，這兩個(gè)三角形就是全等三角形，故全等三角形是相似三角形的特殊情況；（3）AABC與△A/B心/相似和^ABCs^A/B心/的含義有所不同，前者沒有指明這兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，而后者表明了對應(yīng)關(guān)系。要點(diǎn)3三角形相似的判別方法方法1：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似方法2：兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似:方法3：三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似:方法4：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。?引申直角三角形除了具有以上3種判別方法，還有以下方法：①一條直角邊和一條斜邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似；②斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。★說明：（1）相似三角形判定的三種判別方法中，“角角”“邊邊邊”用的最廣泛。在用“邊角邊”時(shí)要注意，必須是夾“角”的兩邊對應(yīng)成比例；（2）要找準(zhǔn)對應(yīng)邊，一般對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，最長的邊或最短的邊是對應(yīng)邊，公共邊一般不是對應(yīng)邊。在找對應(yīng)角時(shí)，公共角、對頂角一般是對應(yīng)角。相似形的應(yīng)用、相似多邊形的性質(zhì)、圖形的放大與縮小知識要點(diǎn)?要點(diǎn)1測量旗桿高度的三種方法：（1）方法1：利用陽光下的影子（如圖1）（還可利用結(jié)論:同一時(shí)刻:某物體的實(shí)際高度—它的影長~~被測物體的實(shí)際高度

被測物體的影長（還可利用結(jié)論:同一時(shí)刻:某物體的實(shí)際高度—它的影長~~被測物體的實(shí)際高度

被測物體的影長（2）方法2：利用標(biāo)桿；（如圖2,本方法主要注意人與標(biāo)桿及被測旗桿應(yīng)都與地面垂直，故三者平行，由此構(gòu)造相似三角形）（3）方法3：利用鏡子反射（如圖3,本方法用鏡面反射，由反射角等于入射角，人與被測旗桿與地面垂直）★說明：在測量旗桿高度的三種方法中，都是利用三角形相似的知識解決，根據(jù)實(shí)際情況，構(gòu)造相似三角形，通過測量三角形的邊，利用對應(yīng)邊成比例計(jì)算出要求的目標(biāo)。?要點(diǎn)2相似三角形與相似多邊形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)：(1)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比；(2)相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比；(3)相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比；(4)相似三角形周長的比等于相似比；(5)相似三角形面積的比等于相似比的平方?！镎f明：這里的高線、角平分線、中線必須是對應(yīng)的。相似多邊形的性質(zhì)：(1)相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方；(2)相似多邊形中，對應(yīng)的三角形相似，相似比等于原多邊形的相似比。?要點(diǎn)3位似圖形定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形。每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過的點(diǎn)叫位似中心。在已確定的兩位似圖形中，只有一個(gè)位似中心，兩位似圖形可在位似中心的同側(cè)，也可在位似中心的兩側(cè)。兩個(gè)位似圖形的相似比又稱為位似比。如圖(1)、(2)、(3)、(4)、(5)。位似圖形的性質(zhì)：(1)對應(yīng)邊的比等于位似比；(2)周長的比等于位似比，面積的比等于位似比的平方；(3)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。★說明：(1)位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形:(2)判斷兩個(gè)圖形是位似圖形，先判斷兩個(gè)圖形相似，再看它們的對應(yīng)點(diǎn)的連線或其延長線是否經(jīng)過同一點(diǎn);(3)將一個(gè)圖形放大或縮小時(shí)，位似中心可以在圖形內(nèi)或邊上，也可以在圖形的頂點(diǎn)上。例題精講:例題精講:m則一n變形1：已知變形1：已知a_b_c

3—4—5的值。例2已知］：y：z=1：3：5,求%+3-一Z的值。］一3y+zTOC\o"1-5"\h\z變形1：若4]=7y+5z,2%+y=z，那么]：y：z=( )\o"CurrentDocument"A.2： 1： (-3) B. 2： 1：3C,2： (—1)： 3D,3： 2： 1變形2：若一--=―=——，且]+y+z=18,求],y,z。2 3 4例3若點(diǎn)C是線段AB的分割點(diǎn)（AC>BC）,AB=16,則AC=,BC=；如果D是線段AB的另一個(gè)黃金分割點(diǎn)，則CD=。變形：如果線段上一點(diǎn)P把線段分割為兩條線段PA,PB.當(dāng)PA2=PB-AB時(shí)，則稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，現(xiàn)已知線段AB=10,點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，如圖所示，那么線段PB的長約為（） ? ? ,A.6.18B,0.382C.0.618D.3.82例4、如圖，D,E分別為4ABC的邊AB,AC上一點(diǎn)，且△ADE^^ABC,F為AD上一點(diǎn)，且△AEFs^ACD,（1）AD2=AF?AB嗎？請說明理由。（2）若AF=4,AB=9,求AD。變形：如圖所示，已知梯形ABCD,AD〃BC,若EF〃BC,且所分成的梯形AEFD和梯形EBCF相似，AD=4,BC=9,求EF的長。例5、如圖XS—11所示，在4ABC中，ADXBC于D,DELAB于E,DFXAC于F,試證AE?AB=AF?AC。ACABEC，AC5ACABEC，AC53,D為AB上一點(diǎn)，若^BDE變形1：如圖XS—11-1,AABC中，——BEABsABAC,則——= 。BD 變形2：如圖XS—11-2,AAOBsACOD,NA=NC,下列各式正確的有()個(gè)ABCDBOCO:②ABCDAOOD;③OBADAOBOA.1B.2C.3OCODCOODD.4XS—11ABCDBOCO:②ABCDAOOD;③OBADAOBOA.1B.2C.3OCODCOODD.4XS—11XS—11-1XS—11-2例6、如圖ZJ—例6、如圖ZJ—26，興趣小組的同學(xué)要測量樹的高度，在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1m的竹竿的影長為0.4m，同時(shí)另一名同學(xué)測量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2m,一級臺階高為0.3m,如圖所示，為4.4m,則樹高為(A.11.5mB.11.75m若此時(shí)落在地面上的影長)C.11.8mD.12.25mZJ—26一、選擇題1.梯形兩底分別為為 m+n一、選擇題1.梯形兩底分別為為 m+n mn過梯形的對角線的交點(diǎn)，引平行于底邊的直線被兩腰所截得的線段長2mn m+nmn m+n (m+n 2mn5題.如圖，在正三角形ABC中，D,E分別在AC,AB上，且= ,AE=BE,則TOC\o"1-5"\h\z.^A^^ 3有 ( )(A)AAEDs\BED (B)AAED^ACBD(C)AAED^AABD (D)ABAD^ABCD.P是Rt△ABC斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣條件的直線共有 ( )(A)1條 (B)2條 (C)3條(D)4條.如圖，/ABD=NACD，圖中相似三角形的對數(shù)是 ( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，下列條件中，不能推出AABP與△ECP相似的是 ( )(A)ZAPB=ZEPC(D)相似的是 ( )(A)ZAPB=ZEPC(D)BP:BC=2:3△ABC中，AD±BC于D,且有下列條件:,(B)ZAPE=90°(C)P是BC的中點(diǎn)6.如圖(1)ZB+ZDAC=90°；(2)ZB=ZDAC；CDAdACABCDAdACABAB2=BD?BCTOC\o"1-5"\h\z其中一定能夠判定△ABC是直角三角形的共有 ( )(A)3個(gè) (B)2個(gè) (C)1個(gè) (D)0個(gè)7.如圖，將以DE繞正方形ABCD頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△ABR連結(jié)EF交AB于H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 ()(A)AE±AF (B)EF:AF='<2：1(C)AF2=FH?FE (D)FB:FC=HB:EC8.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上任意一點(diǎn)，則有 ( )(A)^ABE的周長+△CDE的周長=△BCE的周長(B)^ABE的面積+△CDE的面積=△BCE的面積(?)△ABEs^DEC(□)△ABEs^EBC11題10題11題10題9.如圖，直線a//b9.如圖，直線a//b,AF:FB=3：5,BC：CD=3：1,則UAE：EC為().(A(A)5:12 (B)9:5 (C)12:5(D)3：210.如圖1在AABC中，M是AC邊中點(diǎn)，E是AB10.如圖1在AABC中，M是AC邊中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE=4AB，連結(jié)EM并延長，交BC的延長線于D此時(shí)BC:CD為 ((A)2：1 (B)3：2 (C)3：1)(D)5：211.如圖矩形紙片ABCD的長AD=9cm,寬AB=3DE的長和折痕EF的長分別為……(A)4cm、v10cm(C)4cm、2<3cmcm,-(將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后）(B)5cm、n'10cm(D)5cm、2V3cm、填空題12.已知線段a12.已知線段a=6cm,b—2cm則a、b、a+b的第四比例項(xiàng)是cm,a+b與a—b的比例中項(xiàng)是cm.a+b13.若 13.c15題14題如圖，在△15題14題如圖，在△ABC中，AB—AC=2714.D在AC上，且BD=BC=18,DE//BC交AB于E，貝UDE1.如圖，口ABCD中，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)在AD上，且AF——FD,EF交AC于G,則AG:AC=16題 17題 18題.如圖，已知△ABC,P是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CP,要使△ACP^^ABC,只需添加條件（只要寫出一種合適的條件）..如圖，AD是^ABC的角平分線，DE//AC,EF//BC,AB=15,AF=4,則DE的長等于.如圖，△ABC中，AB=AC,AD±BC于D,AE=EC,AD=18,BE=15,則△ABC的面積是.

、證明題1、如圖，在^ABC中，AB=AC,延長BC至D,使得CD=BC,CE±BD交AD于E,連結(jié)BE交AC于F,求證