文科數(shù)學(xué)-第1篇1講

[最新考綱]1.了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系．2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．第1講集合及其運算4.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．5.能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關(guān)系及運算.1．元素與集合(1)集合中元素的三個特征：確定性、

、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是

或

關(guān)系，用符號

或

表示．互異性屬于不屬于∈?2．集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同_____子集A中任意一個元素均為B中的元素_____真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素_____空集空集是任何集合的

，是任何非空集合的真子集A＝BA?B子集3.集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集圖形語言符號語言A∪B＝___________________A∩B＝___________________?UA＝________________x∈B}{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A,且{x|x∈U，且x?A}辨析感悟1．元素與集合的辨別(1)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.()(2)含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n，真子集個數(shù)是2n－1，非空真子集的個數(shù)是2n－2.()(3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，則A∩B＝{x|x∈R}．()×√×√√√[感悟·提升]1．一點提醒求集合的基本運算時，要認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個先決條件．如第(3)題就是混淆了數(shù)集與點集．2．兩個防范一是忽視元素的互異性，如(1)；二是運算不準確，尤其是運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心，如(6)．3．集合的運算性質(zhì)：①A∪B＝B?A?B；②A∩B＝A?A?B；③A∪(?UA)＝U；④A∩(?UA)＝?.考點一集合的基本概念【例1】(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個元素，則a＝()．A．4 B．2C．0 D．0或4(2)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是()．A．1 B．3C．5 D．9解析(1)由ax2＋ax＋1＝0只有一個實數(shù)解，可得當(dāng)a＝0時，方程無實數(shù)解；當(dāng)a≠0時，則Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.(a＝0不合題意舍去)(2)x－y∈{－2，－1,0,1,2}．答案(1)A(2)C規(guī)律方法集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性．解析由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2014＋b2014＝1.答案1考點二集合間的基本關(guān)系【例2】(1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B?A，求實數(shù)m的取值范圍．(2)設(shè)U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?UA)∩B＝?，求m的值．解(1)當(dāng)B＝?時，有m＋1≥2m－1，則m≤2.當(dāng)B≠?時，若B?A，如圖．綜上，m的取值范圍是(－∞，4]．(2)A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判別式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，則m＝1；②若B＝{－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，這兩式不能同時成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由這兩式得m＝2.經(jīng)檢驗知m＝1和m＝2符合條件．∴m＝1或2.規(guī)律方法

(1)已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)時，要明確集合中的元素，對子集是否為空集進行分類討論，做到不解．(2)在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，避免出錯的一個有效手段是合理運用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進行討論．【訓(xùn)練2】(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為()．A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，則實數(shù)a的所有可能取值的集合為()．A．{－1} B．{1}C．{－1,1} D．{－1,0,1}答案(1)D(2)D考點三集合的基本運算【例3】(1)已知集合A，B均為全集U＝{1,2，3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩?UB＝ ()．A．{3} B．{4}C．{3,4} D．?(2)若集合M＝{y|y＝3x}，集合S＝{x|y＝lg(x－1)}，則下列各式正確的是()．A．M∪S＝MB．M∪S＝SC．M＝SD．M∩S＝?(2)先分別求出集合M，S，再判斷選項．解析(1)由?U(A∪B)＝{4}知A∪B＝{1,2,3}．又B＝{1,2}，∴3∈A，?UB＝{3,4}，∴A∩?UB＝{3}．(2)M＝{y|y＞0}，S＝{x|x＞1}，故選A.答案(1)A(2)A規(guī)律方法

一般來講，集合中的元素離散時，則用Venn圖表示；集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)時，則用數(shù)軸表示，此時注意端點的情況．【訓(xùn)練3】(1)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B

＝{2,4}，則(?UA)∪B為()．A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，則A∩(?UB)＝________.解析(1)?UA＝{0,4}，∴(?UA)∪B＝{0,2,4}．(2)由log2(x－2)＜1，得0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以B＝{x|2＜x＜4}．故?UB＝{x|x≤2，或x≥4}，從而A∩(?UB)＝{x|－1≤x≤2}．答案(1)C(2){x|－1≤x≤2}數(shù)軸和韋恩(Venn)圖是進行集合交、并、補運算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時要先把集合中各種形式的元素化簡，使之明確化，盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決．創(chuàng)新突破1——與集合有關(guān)的新概念問題【典例】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，則B中所含元素的個數(shù)為()．A．3 B．6C．8 D．10

解析法一(列表法)因為x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能為1,2,3,4,5，故x，y及x－y的取值如下表所示：由題意x－y∈A，故x－y只能取1,2,3,4，由表可知實數(shù)對(x，y)的取值滿足條件的共有10個，即B中的元素個數(shù)為10，故選D.yx－yx1234510－1－2－3－4210－1－2－33210－1－243210－1543210法二(直接法)因為A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都為正數(shù)，若x－y∈A，則必有x－y＞0，x＞y.當(dāng)y＝1時，x可取2,3,4,5，共有4個數(shù)；當(dāng)y＝2時，x可取3,4,5，共有3個數(shù)；當(dāng)y＝3時，x可取4,5，共有2個數(shù)；當(dāng)y＝4時，x只能取5，共有1個數(shù)；當(dāng)y＝5時，x不能取任何值．綜上，滿足條件的實數(shù)對(x，y)的個數(shù)為4＋3＋2＋1＝10.答案D[反思感悟](1)解決集合中新定義問題的關(guān)鍵是準確理解新定義的實質(zhì)，緊扣新定義進行推理論證，把其轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本運算．(2)以集合為載體的新定義問題，是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力．【自