時間序列基本概念課件

第二章時間序列分析的基本概念第二章時間序列分析的基本概念1本章引入一些基本概念，如隨機過程、自相關和偏自相關函數。隨之討論平穩(wěn)時間序列的一些概念，以及時間序列均值、方差、自相關函數和偏自相關函數的估計，最后介紹線性差分方差。差分方程在線性時間序列的模型刻畫中起著重要作用。本章引入一些基本概念，如隨機過程、自相關和偏自相關函數。2Contests第五節(jié)差分運算及滯后算子第四節(jié)線性差分方程第三節(jié)平穩(wěn)時間序列的特征描述第二節(jié)平穩(wěn)時間序列第一節(jié)隨機過程Contests第五節(jié)差分運算及滯后算子第四節(jié)線性差3第一節(jié)隨機過程一、隨機過程和時間序列二、時間序列的分布三、時間序列的特征統計量第一節(jié)隨機過程一、隨機過程和時間序列4第三章時間序列基本概念課件5一、隨機過程的概念引：時間序列不是無源之水。它是由相應隨機過程產生的。只有從隨機過程的高度認識了它的一般規(guī)律。對時間序列的研究才會有指導意義。對時間序列的認識才會更深刻。事物變化的過程可以分成兩類。一類是確定型過程，一類是非確定型過程。一、隨機過程的概念引：6確定型過程即可以用關于時間t的函數描述的過程。例如，真空中的自由落體運動過程，行星的運動過程等。非確定型過程即不能用一個（或幾個）關于時間t的確定性函數描述的過程。換句話說，對同一事物的變化過程獨立、重復地進行多次觀測而得到的結果是不相同的。例如：對河流水位的測量。其中每一時刻的水位值都是一個隨機變量，如果以一年的水位紀錄作為實驗結果，便得到一個水位關于時間的函數xt。這個水位函數是預先不可確知的。只有通過測量才能得到。而在每年中同一時刻的水位紀錄是不相同的。確定型過程即可以用關于時間t的函數描述的過程。7隨機過程：由隨機變量組成的一個有序序列稱為隨機過程，記為{x(s,t),sS,tT}。其中S表示樣本空間，T表示序數集。對于每一個t,tT,x(·,t)是樣本空間S中的一個隨機變量。對于每一個s,sS,x(s,·)是隨機過程在序數集T中的一次實現。隨機過程簡記為{xt}或xt。隨機過程也常簡稱為過程。隨機過程：8連續(xù)型隨機過程：若T為一區(qū)間，則｛Xt｝為一連續(xù)型隨機過程。離散型隨機過程：若T為離散集合，如T＝（0，1，2，……）或T＝（……，-2，-1，0，1，2，……），則｛Xt｝為離散型隨機過程。連續(xù)型隨機過程：若T為一區(qū)間，則｛Xt｝為一連續(xù)型隨機過程。9例如：某河流一年各時刻的水位值，{x1,x2,…,xT-1,xT,}，可以看作一個隨機過程。每一年的水位紀錄則是一個時間序列，{x11,x21,…,xT-11,xT1}。而在每年中同一時刻（如t=2時）的水位紀錄是不相同的。{x21,x22,…,x2n,}構成了x2取值的樣本空間。X(t)t例如：某河流一年各時刻的水位值，{x1,x2,…,xT10時間序列：隨機過程的一次實現稱為時間序列，也用{xt

}或xt表示。時間序列中的元素稱為觀測值。{xt}既表示隨機過程，也表示時間序列。xt既表示隨機過程的元素隨即變量，也表示時間序列的元素觀測值。在不致引起混淆的情況下，為方便，xt也直接表示隨機過程和時間序列。隨機過程與時間序列的關系圖示時間序列：隨機過程與時間序列的關系圖示11例2：一天24小時從大橋通過的汽車數。例2：12例如：要記錄某市日電力消耗量，則每日的電力消耗量就是一個隨機變量，于是得到一個日電力消耗量關于天數t的函數。而這些以年為單位的函數族構成了一個隨機過程{xt},t=1,2,…365。因為時間以天為單位，是離散的，所以這個隨機過程是離散型隨機過程。而一年的日電力消耗量的實際觀測值序列就是一個時間序列。在經濟分析中常用的時間序列數據都是經濟變量隨機序列的一個實現。例如：要記錄某市日電力消耗量，則每日的電力消耗量就是一個隨機13二、時間序列的分布及其特征1、時間序列的概率分布一個時間序列是一個無限維隨機向量，它的概率分布可以用它的有限維分布族來描述。一個時間序列所有有限維分布函數的全體，稱為該序列的有限維分布函數族。例如：設｛Xt｝為一隨機過程，對每一t∈T（），Xt的分布函數為即：當任意給定t1，t2∈T時，隨機變量Xt1、Xt2的聯合分布函數為：一般地，對于任意m∈N，t1，t2，……tm∈T，隨機變量Xt1……Xtm的聯合分布函數為：時間序列的一維分布函數。時間序列的二維分布函數。時間序列的有限維分布函數。二、時間序列的分布及其特征1、時間序列的概率分布時間序列的一14如果時間序列的所有有限維分布都是正態(tài)分布，則稱該時間序列為正態(tài)序列，又稱高斯序列。如果我們能確定出時間序列的概率分布，我們就可以對時間序列構造模型，并描述時間序列的全部隨機特征。但由于確定時間序列的分布函數一般不可能，人們更加注意使用時間序列的各種特征統計量的描述，如均值函數、協方差函數、自相關函數、偏自相關函數等，這些特征統計量往往能代表隨機變量的主要特征。如果時間序列的所有有限維分布都是正態(tài)分布，則稱該時間序列為正15三、時間序列的特征統計量1.均值函數即為時間序列{Xt}的均值函數。被{Xt}的一維分布族所決定。當t取遍所有時刻時，我們就得到一個均值函數序列，它反映的是時間序列{Xt}每時每刻的平均水平。2.方差函數當t取遍所有時刻時，我們就得到一個均值函數序列DXt，它反映序列值圍繞其均值做隨機波動時平均的波動程度。三、時間序列的特征統計量1.均值函數即為時間序163.自協方差函數時間序列的自協方差函數是隨機變量間協方差的推廣，自協方差函數具有對稱性，即：4.自相關函數且有：自相關函數描述了時間序列的{Xt}自身的相關結構。自相關函數也具有對稱性，且有：3.自協方差函數時間序列的自協方差函數是隨機變量間協方差的推17第二節(jié)平穩(wěn)時間序列一、兩種不同的平穩(wěn)性定義二、平穩(wěn)序列的自協方差和自相關函數第二節(jié)平穩(wěn)時間序列一、兩種不同的平穩(wěn)性定義18一、兩種不同的平穩(wěn)性定義1、嚴平穩(wěn)過程設｛xt｝為一時間序列，m,τ為任意整數，若對于時間t的任意m個值t1<t2<…<tm，都有：此定義表明，嚴平穩(wěn)的概率分布與時間的平移無關。則稱{Xt}為嚴平穩(wěn)過程。一、兩種不同的平穩(wěn)性定義1、嚴平穩(wěn)過程19由于分布函數完整地描述了隨機變量的統計特性，所以，這里要求平穩(wěn)隨機過程的所有的統計特性都不隨時間的平移而變化。這一要求是相當嚴格的，故稱之為嚴平穩(wěn)(狹義平穩(wěn))。那么，如何來判定一個隨機過程是否是一個平穩(wěn)隨機過程呢?顯然就是看其是否滿足上述條件。可這在實際中是十分困難的。一般來說，所研究的隨機過程，若前后的環(huán)境和主要條件都不隨時間變化，就可以認為它是平穩(wěn)隨機過程。例如，在工農業(yè)生產中，若原料的質量，機器的性能、工藝過程、工人的技術水平、自然條件(氣溫、雨量等)沒有劇烈的變化，就可以認為相應的過程是平穩(wěn)的。這樣要求未免有點過分，當把條件適當放寬時，便得到了寬平穩(wěn)隨機過程。由于分布函數完整地描述了隨機變量的統計特性，所以，這里要求平202、寬平穩(wěn)過程若時間序列{Xt}存在有窮的二階矩，且該序列滿足如下條件：此定義表明，寬平穩(wěn)過程各隨機變量的均值為常數，且序列中任意兩個變量的協方差僅與時間間隔(t-s)有關。則稱該時間序列為寬平穩(wěn)過程。2、寬平穩(wěn)過程則稱該時間序列為寬平穩(wěn)過程。213、嚴平穩(wěn)過程與寬平穩(wěn)過程的聯系和區(qū)別區(qū)別：（1）嚴平穩(wěn)序列的概率分布隨時間的平移而不變，寬平穩(wěn)序列的均值和自協方差隨時間的平移而不變。（2）一個嚴平穩(wěn)序列，不一定是寬平穩(wěn)序列；一個寬平穩(wěn)序列也不一定是嚴平穩(wěn)序列。例如：服從柯西分布的嚴平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列，因為它不存在一、二階矩。3、嚴平穩(wěn)過程與寬平穩(wěn)過程的聯系和區(qū)別22聯系：（1）若一個序列為嚴平穩(wěn)序列，且有有窮的二階矩，那么該序列也必為寬平穩(wěn)序列。但反過來一般不成立。（2）若時間序列為正態(tài)序列（即它的任何有限維分布都是正態(tài)分布），那么該序列為嚴平穩(wěn)序列和寬平穩(wěn)序列是相互等價的。注：由于在實際中嚴平穩(wěn)序列的條件非常難以滿足，我們研究的通常是寬平穩(wěn)序列。在以后討論中，若不作特別說明，平穩(wěn)序列即指寬平穩(wěn)序列。聯系：23二、平穩(wěn)序列的自協方差和自相關函數1、平穩(wěn)序列的自協方差函數和自相關函數若{Xt}為平穩(wěn)序列，假定EXt=μ，由于令s=t-k，于是我們就可以用以下記號表示平穩(wěn)序列的自協方差函數，即：由上容易推斷出平穩(wěn)隨機序列一定具有常數方差：類似的，平穩(wěn)序列的自相關函數可記為：二、平穩(wěn)序列的自協方差和自相關函數1、平穩(wěn)序列的自協方差函數242、平穩(wěn)序列自協方差和自相關函數的性質1、規(guī)范性2、對稱性3、非負定性4、非惟一性：一個平穩(wěn)時間序列一定惟一決定了它的自相關函數，但一個自相關函數未必惟一對應著一個平穩(wěn)序列。2、平穩(wěn)序列自協方差和自相關函數的性質25三、白噪聲序列和獨立同分布序列1.白噪聲（Whitenoise）序列(純隨機序列)定義：若時間序列{Xt}滿足下列性質：白噪聲是平穩(wěn)的隨機過程，因其均值為零，方差不變，隨機變量之間不相關。顯然上述白噪聲是寬平穩(wěn)隨機過程。如果{xt}同時還服從正態(tài)分布，則它就是一個嚴平穩(wěn)的隨機過程。白噪聲序列是一種最簡單的平穩(wěn)序列，它在時間序列分析中占有非常重要的地位。則稱此序列為白噪聲序列。三、白噪聲序列和獨立同分布序列1.白噪聲（Whitenoi26標準正態(tài)白噪聲序列時序圖標準正態(tài)白噪聲序列時序圖272.獨立同分布（iid）序列定義：如果時間序列{Xt}中的隨機變量Xt（t=0,±1,±2……）是相互獨立的隨機變量，且Xt具有相同的分布（當Xt有一階矩時，往往還假定EXt=0）,則稱{Xt}為獨立同分布序列。可見獨立同分布序列{Xt}是嚴平穩(wěn)序列。白噪聲序列與獨立同分布序列：一般來說，白噪聲序列與獨立同分布序列是不同的兩種序列但是當白噪聲序列為正態(tài)序列時，它也是獨立同分布序列，此時我們稱其為正態(tài)白噪聲序列2.獨立同分布（iid）序列28四、線性平穩(wěn)序列1.時間序列的線性運算設{Xt}與{Yt}為兩個時間序列，a，b為兩個實數，那么，zt=axt+bytt=0,±1,±2……為序列{Xt}與{Yt}的一種線性運算。2.時間序列的延遲運算設{Xt}為一時間序列，d為一正整數，那么，yt=xt-d，t=0,±1,±2……為Xt的d步延遲運算。四、線性平穩(wěn)序列1.時間序列的線性運算293.時間序列的線性與延遲聯合運算yt=a0xt+a1xt-1+…+apXt-pt=0,1,2…為時間序列線性與延遲聯合運算。當ai=1/p，i=0,1,2,…時，{Yt}即為對序列{Xt}的移動平均序列。4.時間序列的非線性運算非線性運算的形式是多種多樣的：如yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。3.時間序列的線性與延遲聯合運算305.平穩(wěn)線性序列設{at}為正態(tài)白噪聲序列，則稱序列：作業(yè)：證明{Xt}為一寬平穩(wěn)序列。為線性平穩(wěn)序列。5.平穩(wěn)線性序列作業(yè)：證明{Xt}為一寬平穩(wěn)序列。為線性平穩(wěn)31五、偏自相關函數偏自相關函數：指扣除Xt和Xt+k之間的隨機變量Xt+1,Xt+2,…Xt+k-1等影響之后的Xt和Xt+k之間的相關性。偏自相關函數一般用表示。偏自相關其實就是如下的條件相關：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2…Xt+k-1)五、偏自相關函數偏自相關函數：指扣除Xt和Xt+k之間的隨32第三節(jié)平穩(wěn)時間序列的特征描述引：平穩(wěn)時間序列可以由它的均值、方差、自相關、偏自相關等特征描述，由于大多數情況下，可行的時間序列僅包含一次實現，這就使得整體上計算均值成為不可能，對一個平穩(wěn)過程我們自然的要用時間均值代替總體均值，下面我們將介紹樣本均值、樣本自協方差、樣本自相關函數、偏自相關函數等。第三節(jié)平穩(wěn)時間序列的特征描述引：平穩(wěn)時間序列可以由它的均值33一、樣本均值對時間序列的一次樣本實現，需要用樣本均值代替總體均值可以證明，是的無偏、一致估計。一、樣本均值可以證明，是的無偏、一致估計。34二、樣本自協方差函數對于時間序列的一次樣本現，我們也需要通過樣本自協方差函數估計總體自協方差函數。這里有兩種形式：二、樣本自協方差函數35通過證明有如下結論：上述樣本自協方差函數都是總體自協方差函數的漸近無偏估計，且比的偏要大。但是，比的方差小，且在大樣本情況下（n很大），二者差別不大，因此我們通常用作為樣本自協方差函數。由于當k相對于n而言較大時，的偏比更大，因此，在時間序列分析時，一般滯后期k最多取至n/4通過證明有如下結論：由于當k相對于n而言較大時，的偏比36三、樣本自相關函數（SACF）1.對給定的序列x1,x2,…xn，樣本自相關函數定義為：三、樣本自相關函數（SACF）37對于平穩(wěn)正態(tài)過程，若n足夠大，且有m，當k>m，，則的長滯后標準差近似為：對于平穩(wěn)正態(tài)過程，若n足夠大，且有m，當k>m，38第三章時間序列基本概念課件39第三章時間序列基本概念課件40在Eviews軟件中觀察時間序列的自相關圖和偏自相關圖命令方式：（1）在命令行輸入命令：Identx(x為序列名稱)；（2）然后在出現的對話框中輸入滯后時期數。（可取默認數）菜單方式：（1）雙擊序列圖標。(2)View—>Correlogram，(3)在出現的對話框中輸入滯后數。（可取默認數）在Eviews軟件中觀察時間序列的自相關圖和偏自相關圖41例1：stpoor.wf1例2：nrnd.wfq例1：stpoor.wf142

如果一個時間序列為白噪聲序列，那么近似地服從N(0,1/n)。于是根據正態(tài)分布的性質，對任一的95%的置信區(qū)間為：白噪聲序列檢驗原理(非常重要?。?！)白噪聲序列檢驗原理(非常重要！?。?43假設條件原假設：延遲期數小于或等于期的序列值之間相互獨立備擇假設：延遲期數小于或等于期的序列值之間有相關性假設條件原假設：延遲期數小于或等于期的序列值之間相互獨44檢驗統計量Q統計量(Box-PierceQstatistic)LB統計量(Ljung–BoxQstatistic)其中，n為樣本容量，m為滯后長度。檢驗統計量Q統計量(Box-PierceQstatis45判別原則拒絕原假設當檢驗統計量大于分位點，或該統計量的P值小于時，則可以以的置信水平拒絕原假設，認為該序列不是白噪聲序列接受原假設當檢驗統計量小于分位點，或該統計量的P值大于時，則認為在的置信水平下無法拒絕原假設，即不能顯著拒絕序列為白噪聲序列的假定

一般取0.05或者0.10其中：判別原則拒絕原假設一般取0.05或者0.10其中：46說明：1.m的選取要合適，既不能過大，也不能過小。2.若檢驗ARMA(p,q)模型的殘差是否為白噪聲，則Q統計量的自由度為m-p-q例：Eviews操作演示在Eviews顯示的自相關圖中，同時給出了Q統計量值和它的相伴概率（P值），若,則接受原假設，即可認為序列為白噪聲序列；否則拒絕原假設。說明：例：Eviews操作演示在Eviews顯示的自相關圖47例1：美國標準普爾指數stpoorSample:1980M011996M02

例1：美國標準普爾指數stpoor48自相關圖和偏自相關圖自相關圖和偏自相關圖49白噪聲檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲6期1011.10.000延遲12期1805.50.000由于P值顯著大于顯著性水平（0.05或0.10），所以該序列不能拒絕純隨機的原假設。白噪聲檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲6期1011.150例2:模擬生成序列wn例2:模擬生成序列wn51自相關圖和偏自相關圖自相關圖和偏自相關圖52檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲5期3.650.601延遲12期6.820.743由于P值顯著大于顯著性水平，所以該序列不能拒絕純隨機（白噪聲）的原假設。檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲5期3.650.60153第四節(jié)線性差分方程引：線性差分方程在我們討論的時間序列分析中占有重要作用，事實上，我們后面將要建立的時間序列模型就是線性差分方程，這些模型往往取決于差分方程根的性質。第四節(jié)線性差分方程引：線性差分方程在我們討論的時間序列54一、線性差分方程1.n階非齊次線性差分方程2.n階齊次線性差分方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)為t的已知函數，且an(t)、f(t)不同時為零，若ai(t)為常數，則上述兩式即為常系數差分方程。一、線性差分方程1.n階非齊次線性差分方程2.n階齊次線性差55二、關于線性差分方程基本定理定理1.若y1(t)，y2(t)，…ym(t)是n階齊次線性差分方程（2）的m個特解，則如下的線性組合也是該差分方程的特解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cmym(t)式中c1、c2…cm為任意常數。定理2.n階線性齊次差分方程一定存在n個線性無關的特解，若y1(t)，y2(t)，…yn(t)為式（2）的n個線性無關的特解，則（2）式的通解為：yc(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cnyn(t)式中c1、c2…cn為n個任意常數。定理3.N階非齊次線性差分方程（1）的通解等于它的一個特解與它對應的齊次方程（2）的通解之和。二、關于線性差分方程基本定理定理1.若56三、n階常系數線性差分方程的解（一）n階常系數線性差分方程的一般形式其中：a1,a2,…an為常數，且an不為零，f(t)為t的已知函數。（4）式為（3）式所對應的齊次方程。三、n階常系數線性差分方程的解（一）n階常系數線性差分方程57（二）齊次線性差分方程的通解設齊次方程（4）有特解：則：稱為方程（4）的特征方程，此特征方程的解稱為特征根。（1）若特征方程有一實特征根，其重數為m（m<=n）則：為齊次方程的m個線性無關解。（二）齊次線性差分方程的通解設齊次方程（4）有特解：則：稱為58（2）若特征方程有一對共軛復根（2）若特征方程有一對共軛復根59（3）將所得的n個線性無關特解組合，即得齊次方程的通解：其中：c1,c2,…cn為n個任意常數。（3）將所得的n個線性無關特解組合，即得齊次其中：c1,c260第三章時間序列基本概念課件61第三章時間序列基本概念課件62第三章時間序列基本概念課件63(二)非齊次方程的特解和通解非齊次方程的特解可以通過待定系數法求出。非齊次方程的通解等于它的一個特解加上它對應的齊次方程的通解。(二)非齊次方程的特解和通解64第三章時間序列基本概念課件65第三章時間序列基本概念課件66第五節(jié)差分運算及滯后算子一、差分運算二、滯后算子第五節(jié)差分運算及滯后算子一、差分運算67時間序列{xt}在t時刻的一階差分定義為：{xt}在t時刻的二階差分定義為：一般地，p階差分定義分：一、差分運算時間序列{xt}在t時刻的一階差分定義為：{xt}在t時刻的68二、季節(jié)差分設xt為含有周期為S的周期性波動序列，那么一階季節(jié)差分（S步差分）被定義為：二階季節(jié)差分被定義為：二、季節(jié)差分設xt為含有周期為S的周期性波動序列，那么一階69在Eviews軟件中，通過函數D(x,n,s)來實現對時間序列的差分運算，其中：x:為時間序列的名稱，n:為差分的階數，s:為季節(jié)長度。如D(x)為一階差分，D(x,2)為二階差分，D(x,0,4)對周期長度為4的序列求一階季節(jié)差分等等。在Eviews軟件中，通過函數Dlog(x,n,s)來實現對時間序列的對數差分運算。在Eviews軟件中，通過函數D(x,n,s)來實現對時間70差分運算舉例，見Eviews操作。例1:stpoor.wf1差分運算舉例，見Eviews操作。71第三章時間序列基本概念課件72例2：美國GNP數據usagnp.wf1例2：美國GNP數據usagnp.wf173第三章時間序列基本概念課件74第三章時間序列基本概念課件75時間序列的延遲運算時間序列的延遲運算76第三章時間序列基本概念課件77例：時間序列的差分運算例：時間序列的差分運算78第三章時間序列基本概念課件79例：時間序列的季節(jié)差分例：時間序列的季節(jié)差分80第三章時間序列基本概念課件81第三章時間序列基本概念課件82三、時間序列滯后算子(lagsoperator)對于一般的時間序列模型，有必要使用分析差分方程的高級工具：滯后算子假定由序列生成新序列，其中t期的y值等于t-1期的x值：這被稱作對運用滯后算子，該運算用符號B表示：類似的有：一般地，對任何整數k，有：三、時間序列滯后算子(lagsoperator)對于一般的83滯后算子的性質：(1)滯后算子的零次方等于1(2)常數與滯后算子相乘等于常數(3)分配率。(4)結合率：(5)滯后算子的負整數次方意味著超前滯后算子的性質：84二、用延遲算子表示差分運算1.p階差分2.k步差分二、用延遲算子表示差分運算85TheEndofCH3!TheEndofCH3!86第二章時間序列分析的基本概念第二章時間序列分析的基本概念87本章引入一些基本概念，如隨機過程、自相關和偏自相關函數。隨之討論平穩(wěn)時間序列的一些概念，以及時間序列均值、方差、自相關函數和偏自相關函數的估計，最后介紹線性差分方差。差分方程在線性時間序列的模型刻畫中起著重要作用。本章引入一些基本概念，如隨機過程、自相關和偏自相關函數。88Contests第五節(jié)差分運算及滯后算子第四節(jié)線性差分方程第三節(jié)平穩(wěn)時間序列的特征描述第二節(jié)平穩(wěn)時間序列第一節(jié)隨機過程Contests第五節(jié)差分運算及滯后算子第四節(jié)線性差89第一節(jié)隨機過程一、隨機過程和時間序列二、時間序列的分布三、時間序列的特征統計量第一節(jié)隨機過程一、隨機過程和時間序列90第三章時間序列基本概念課件91一、隨機過程的概念引：時間序列不是無源之水。它是由相應隨機過程產生的。只有從隨機過程的高度認識了它的一般規(guī)律。對時間序列的研究才會有指導意義。對時間序列的認識才會更深刻。事物變化的過程可以分成兩類。一類是確定型過程，一類是非確定型過程。一、隨機過程的概念引：92確定型過程即可以用關于時間t的函數描述的過程。例如，真空中的自由落體運動過程，行星的運動過程等。非確定型過程即不能用一個（或幾個）關于時間t的確定性函數描述的過程。換句話說，對同一事物的變化過程獨立、重復地進行多次觀測而得到的結果是不相同的。例如：對河流水位的測量。其中每一時刻的水位值都是一個隨機變量，如果以一年的水位紀錄作為實驗結果，便得到一個水位關于時間的函數xt。這個水位函數是預先不可確知的。只有通過測量才能得到。而在每年中同一時刻的水位紀錄是不相同的。確定型過程即可以用關于時間t的函數描述的過程。93隨機過程：由隨機變量組成的一個有序序列稱為隨機過程，記為{x(s,t),sS,tT}。其中S表示樣本空間，T表示序數集。對于每一個t,tT,x(·,t)是樣本空間S中的一個隨機變量。對于每一個s,sS,x(s,·)是隨機過程在序數集T中的一次實現。隨機過程簡記為{xt}或xt。隨機過程也常簡稱為過程。隨機過程：94連續(xù)型隨機過程：若T為一區(qū)間，則｛Xt｝為一連續(xù)型隨機過程。離散型隨機過程：若T為離散集合，如T＝（0，1，2，……）或T＝（……，-2，-1，0，1，2，……），則｛Xt｝為離散型隨機過程。連續(xù)型隨機過程：若T為一區(qū)間，則｛Xt｝為一連續(xù)型隨機過程。95例如：某河流一年各時刻的水位值，{x1,x2,…,xT-1,xT,}，可以看作一個隨機過程。每一年的水位紀錄則是一個時間序列，{x11,x21,…,xT-11,xT1}。而在每年中同一時刻（如t=2時）的水位紀錄是不相同的。{x21,x22,…,x2n,}構成了x2取值的樣本空間。X(t)t例如：某河流一年各時刻的水位值，{x1,x2,…,xT96時間序列：隨機過程的一次實現稱為時間序列，也用{xt

}或xt表示。時間序列中的元素稱為觀測值。{xt}既表示隨機過程，也表示時間序列。xt既表示隨機過程的元素隨即變量，也表示時間序列的元素觀測值。在不致引起混淆的情況下，為方便，xt也直接表示隨機過程和時間序列。隨機過程與時間序列的關系圖示時間序列：隨機過程與時間序列的關系圖示97例2：一天24小時從大橋通過的汽車數。例2：98例如：要記錄某市日電力消耗量，則每日的電力消耗量就是一個隨機變量，于是得到一個日電力消耗量關于天數t的函數。而這些以年為單位的函數族構成了一個隨機過程{xt},t=1,2,…365。因為時間以天為單位，是離散的，所以這個隨機過程是離散型隨機過程。而一年的日電力消耗量的實際觀測值序列就是一個時間序列。在經濟分析中常用的時間序列數據都是經濟變量隨機序列的一個實現。例如：要記錄某市日電力消耗量，則每日的電力消耗量就是一個隨機99二、時間序列的分布及其特征1、時間序列的概率分布一個時間序列是一個無限維隨機向量，它的概率分布可以用它的有限維分布族來描述。一個時間序列所有有限維分布函數的全體，稱為該序列的有限維分布函數族。例如：設｛Xt｝為一隨機過程，對每一t∈T（），Xt的分布函數為即：當任意給定t1，t2∈T時，隨機變量Xt1、Xt2的聯合分布函數為：一般地，對于任意m∈N，t1，t2，……tm∈T，隨機變量Xt1……Xtm的聯合分布函數為：時間序列的一維分布函數。時間序列的二維分布函數。時間序列的有限維分布函數。二、時間序列的分布及其特征1、時間序列的概率分布時間序列的一100如果時間序列的所有有限維分布都是正態(tài)分布，則稱該時間序列為正態(tài)序列，又稱高斯序列。如果我們能確定出時間序列的概率分布，我們就可以對時間序列構造模型，并描述時間序列的全部隨機特征。但由于確定時間序列的分布函數一般不可能，人們更加注意使用時間序列的各種特征統計量的描述，如均值函數、協方差函數、自相關函數、偏自相關函數等，這些特征統計量往往能代表隨機變量的主要特征。如果時間序列的所有有限維分布都是正態(tài)分布，則稱該時間序列為正101三、時間序列的特征統計量1.均值函數即為時間序列{Xt}的均值函數。被{Xt}的一維分布族所決定。當t取遍所有時刻時，我們就得到一個均值函數序列，它反映的是時間序列{Xt}每時每刻的平均水平。2.方差函數當t取遍所有時刻時，我們就得到一個均值函數序列DXt，它反映序列值圍繞其均值做隨機波動時平均的波動程度。三、時間序列的特征統計量1.均值函數即為時間序1023.自協方差函數時間序列的自協方差函數是隨機變量間協方差的推廣，自協方差函數具有對稱性，即：4.自相關函數且有：自相關函數描述了時間序列的{Xt}自身的相關結構。自相關函數也具有對稱性，且有：3.自協方差函數時間序列的自協方差函數是隨機變量間協方差的推103第二節(jié)平穩(wěn)時間序列一、兩種不同的平穩(wěn)性定義二、平穩(wěn)序列的自協方差和自相關函數第二節(jié)平穩(wěn)時間序列一、兩種不同的平穩(wěn)性定義104一、兩種不同的平穩(wěn)性定義1、嚴平穩(wěn)過程設｛xt｝為一時間序列，m,τ為任意整數，若對于時間t的任意m個值t1<t2<…<tm，都有：此定義表明，嚴平穩(wěn)的概率分布與時間的平移無關。則稱{Xt}為嚴平穩(wěn)過程。一、兩種不同的平穩(wěn)性定義1、嚴平穩(wěn)過程105由于分布函數完整地描述了隨機變量的統計特性，所以，這里要求平穩(wěn)隨機過程的所有的統計特性都不隨時間的平移而變化。這一要求是相當嚴格的，故稱之為嚴平穩(wěn)(狹義平穩(wěn))。那么，如何來判定一個隨機過程是否是一個平穩(wěn)隨機過程呢?顯然就是看其是否滿足上述條件?？蛇@在實際中是十分困難的。一般來說，所研究的隨機過程，若前后的環(huán)境和主要條件都不隨時間變化，就可以認為它是平穩(wěn)隨機過程。例如，在工農業(yè)生產中，若原料的質量，機器的性能、工藝過程、工人的技術水平、自然條件(氣溫、雨量等)沒有劇烈的變化，就可以認為相應的過程是平穩(wěn)的。這樣要求未免有點過分，當把條件適當放寬時，便得到了寬平穩(wěn)隨機過程。由于分布函數完整地描述了隨機變量的統計特性，所以，這里要求平1062、寬平穩(wěn)過程若時間序列{Xt}存在有窮的二階矩，且該序列滿足如下條件：此定義表明，寬平穩(wěn)過程各隨機變量的均值為常數，且序列中任意兩個變量的協方差僅與時間間隔(t-s)有關。則稱該時間序列為寬平穩(wěn)過程。2、寬平穩(wěn)過程則稱該時間序列為寬平穩(wěn)過程。1073、嚴平穩(wěn)過程與寬平穩(wěn)過程的聯系和區(qū)別區(qū)別：（1）嚴平穩(wěn)序列的概率分布隨時間的平移而不變，寬平穩(wěn)序列的均值和自協方差隨時間的平移而不變。（2）一個嚴平穩(wěn)序列，不一定是寬平穩(wěn)序列；一個寬平穩(wěn)序列也不一定是嚴平穩(wěn)序列。例如：服從柯西分布的嚴平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列，因為它不存在一、二階矩。3、嚴平穩(wěn)過程與寬平穩(wěn)過程的聯系和區(qū)別108聯系：（1）若一個序列為嚴平穩(wěn)序列，且有有窮的二階矩，那么該序列也必為寬平穩(wěn)序列。但反過來一般不成立。（2）若時間序列為正態(tài)序列（即它的任何有限維分布都是正態(tài)分布），那么該序列為嚴平穩(wěn)序列和寬平穩(wěn)序列是相互等價的。注：由于在實際中嚴平穩(wěn)序列的條件非常難以滿足，我們研究的通常是寬平穩(wěn)序列。在以后討論中，若不作特別說明，平穩(wěn)序列即指寬平穩(wěn)序列。聯系：109二、平穩(wěn)序列的自協方差和自相關函數1、平穩(wěn)序列的自協方差函數和自相關函數若{Xt}為平穩(wěn)序列，假定EXt=μ，由于令s=t-k，于是我們就可以用以下記號表示平穩(wěn)序列的自協方差函數，即：由上容易推斷出平穩(wěn)隨機序列一定具有常數方差：類似的，平穩(wěn)序列的自相關函數可記為：二、平穩(wěn)序列的自協方差和自相關函數1、平穩(wěn)序列的自協方差函數1102、平穩(wěn)序列自協方差和自相關函數的性質1、規(guī)范性2、對稱性3、非負定性4、非惟一性：一個平穩(wěn)時間序列一定惟一決定了它的自相關函數，但一個自相關函數未必惟一對應著一個平穩(wěn)序列。2、平穩(wěn)序列自協方差和自相關函數的性質111三、白噪聲序列和獨立同分布序列1.白噪聲（Whitenoise）序列(純隨機序列)定義：若時間序列{Xt}滿足下列性質：白噪聲是平穩(wěn)的隨機過程，因其均值為零，方差不變，隨機變量之間不相關。顯然上述白噪聲是寬平穩(wěn)隨機過程。如果{xt}同時還服從正態(tài)分布，則它就是一個嚴平穩(wěn)的隨機過程。白噪聲序列是一種最簡單的平穩(wěn)序列，它在時間序列分析中占有非常重要的地位。則稱此序列為白噪聲序列。三、白噪聲序列和獨立同分布序列1.白噪聲（Whitenoi112標準正態(tài)白噪聲序列時序圖標準正態(tài)白噪聲序列時序圖1132.獨立同分布（iid）序列定義：如果時間序列{Xt}中的隨機變量Xt（t=0,±1,±2……）是相互獨立的隨機變量，且Xt具有相同的分布（當Xt有一階矩時，往往還假定EXt=0）,則稱{Xt}為獨立同分布序列?？梢姫毩⑼植夹蛄衶Xt}是嚴平穩(wěn)序列。白噪聲序列與獨立同分布序列：一般來說，白噪聲序列與獨立同分布序列是不同的兩種序列但是當白噪聲序列為正態(tài)序列時，它也是獨立同分布序列，此時我們稱其為正態(tài)白噪聲序列2.獨立同分布（iid）序列114四、線性平穩(wěn)序列1.時間序列的線性運算設{Xt}與{Yt}為兩個時間序列，a，b為兩個實數，那么，zt=axt+bytt=0,±1,±2……為序列{Xt}與{Yt}的一種線性運算。2.時間序列的延遲運算設{Xt}為一時間序列，d為一正整數，那么，yt=xt-d，t=0,±1,±2……為Xt的d步延遲運算。四、線性平穩(wěn)序列1.時間序列的線性運算1153.時間序列的線性與延遲聯合運算yt=a0xt+a1xt-1+…+apXt-pt=0,1,2…為時間序列線性與延遲聯合運算。當ai=1/p，i=0,1,2,…時，{Yt}即為對序列{Xt}的移動平均序列。4.時間序列的非線性運算非線性運算的形式是多種多樣的：如yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。3.時間序列的線性與延遲聯合運算1165.平穩(wěn)線性序列設{at}為正態(tài)白噪聲序列，則稱序列：作業(yè)：證明{Xt}為一寬平穩(wěn)序列。為線性平穩(wěn)序列。5.平穩(wěn)線性序列作業(yè)：證明{Xt}為一寬平穩(wěn)序列。為線性平穩(wěn)117五、偏自相關函數偏自相關函數：指扣除Xt和Xt+k之間的隨機變量Xt+1,Xt+2,…Xt+k-1等影響之后的Xt和Xt+k之間的相關性。偏自相關函數一般用表示。偏自相關其實就是如下的條件相關：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2…Xt+k-1)五、偏自相關函數偏自相關函數：指扣除Xt和Xt+k之間的隨118第三節(jié)平穩(wěn)時間序列的特征描述引：平穩(wěn)時間序列可以由它的均值、方差、自相關、偏自相關等特征描述，由于大多數情況下，可行的時間序列僅包含一次實現，這就使得整體上計算均值成為不可能，對一個平穩(wěn)過程我們自然的要用時間均值代替總體均值，下面我們將介紹樣本均值、樣本自協方差、樣本自相關函數、偏自相關函數等。第三節(jié)平穩(wěn)時間序列的特征描述引：平穩(wěn)時間序列可以由它的均值119一、樣本均值對時間序列的一次樣本實現，需要用樣本均值代替總體均值可以證明，是的無偏、一致估計。一、樣本均值可以證明，是的無偏、一致估計。120二、樣本自協方差函數對于時間序列的一次樣本現，我們也需要通過樣本自協方差函數估計總體自協方差函數。這里有兩種形式：二、樣本自協方差函數121通過證明有如下結論：上述樣本自協方差函數都是總體自協方差函數的漸近無偏估計，且比的偏要大。但是，比的方差小，且在大樣本情況下（n很大），二者差別不大，因此我們通常用作為樣本自協方差函數。由于當k相對于n而言較大時，的偏比更大，因此，在時間序列分析時，一般滯后期k最多取至n/4通過證明有如下結論：由于當k相對于n而言較大時，的偏比122三、樣本自相關函數（SACF）1.對給定的序列x1,x2,…xn，樣本自相關函數定義為：三、樣本自相關函數（SACF）123對于平穩(wěn)正態(tài)過程，若n足夠大，且有m，當k>m，，則的長滯后標準差近似為：對于平穩(wěn)正態(tài)過程，若n足夠大，且有m，當k>m，124第三章時間序列基本概念課件125第三章時間序列基本概念課件126在Eviews軟件中觀察時間序列的自相關圖和偏自相關圖命令方式：（1）在命令行輸入命令：Identx(x為序列名稱)；（2）然后在出現的對話框中輸入滯后時期數。（可取默認數）菜單方式：（1）雙擊序列圖標。(2)View—>Correlogram，(3)在出現的對話框中輸入滯后數。（可取默認數）在Eviews軟件中觀察時間序列的自相關圖和偏自相關圖127例1：stpoor.wf1例2：nrnd.wfq例1：stpoor.wf1128

如果一個時間序列為白噪聲序列，那么近似地服從N(0,1/n)。于是根據正態(tài)分布的性質，對任一的95%的置信區(qū)間為：白噪聲序列檢驗原理(非常重要?。。?白噪聲序列檢驗原理(非常重要?。?！)129假設條件原假設：延遲期數小于或等于期的序列值之間相互獨立備擇假設：延遲期數小于或等于期的序列值之間有相關性假設條件原假設：延遲期數小于或等于期的序列值之間相互獨130檢驗統計量Q統計量(Box-PierceQstatistic)LB統計量(Ljung–BoxQstatistic)其中，n為樣本容量，m為滯后長度。檢驗統計量Q統計量(Box-PierceQstatis131判別原則拒絕原假設當檢驗統計量大于分位點，或該統計量的P值小于時，則可以以的置信水平拒絕原假設，認為該序列不是白噪聲序列接受原假設當檢驗統計量小于分位點，或該統計量的P值大于時，則認為在的置信水平下無法拒絕原假設，即不能顯著拒絕序列為白噪聲序列的假定

一般取0.05或者0.10其中：判別原則拒絕原假設一般取0.05或者0.10其中：132說明：1.m的選取要合適，既不能過大，也不能過小。2.若檢驗ARMA(p,q)模型的殘差是否為白噪聲，則Q統計量的自由度為m-p-q例：Eviews操作演示在Eviews顯示的自相關圖中，同時給出了Q統計量值和它的相伴概率（P值），若,則接受原假設，即可認為序列為白噪聲序列；否則拒絕原假設。說明：例：Eviews操作演示在Eviews顯示的自相關圖133例1：美國標準普爾指數stpoorSample:1980M011996M02

例1：美國標準普爾指數stpoor134自相關圖和偏自相關圖自相關圖和偏自相關圖135白噪聲檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲6期1011.10.000延遲12期1805.50.000由于P值顯著大于顯著性水平（0.05或0.10），所以該序列不能拒絕純隨機的原假設。白噪聲檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲6期1011.1136例2:模擬生成序列wn例2:模擬生成序列wn137自相關圖和偏自相關圖自相關圖和偏自相關圖138檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲5期3.650.601延遲12期6.820.743由于P值顯著大于顯著性水平，所以該序列不能拒絕純隨機（白噪聲）的原假設。檢驗結果延遲統計量檢驗統計量值P值延遲5期3.650.601139第四節(jié)線性差分方程引：線性差分方程在我們討論的時間序列分析中占有重要作用，事實上，我們后面將要建立的時間序列模型就是線性差分方程，這些模型往往取決于差分方程根的性質。第四節(jié)線性差分方程引：線性差分方程在我們討論的時間序列140一、線性差分方程1.n階非齊次線性差分方程2.n階齊次線性差分方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)為t的已知函數，且an(t)、f(t)不同時為零，若ai(t)為常數，則上述兩式即為常系數差分方程。一、線性差分方程1.n階非齊次線性差分方程2.n階齊次線性差141二、關于線性差分方程基本定理定理1.若y1(t)，y2(t)，…ym(t)是n階齊次線性差分方程（2）的m個特解，則如下的線性組合也是該差分方程的特解：y(t)=c1y1(t)+c2y2(t)+…+cmym(t)式中c1、c2…cm為任意常數。定理2