基本不等式在實際問題中的應(yīng)用-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

1.如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）指出定理適用范圍：

復(fù)習(xí)：2.如果

那么

是正數(shù)，

（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）注意：1．這個定理適用的范圍：

2．語言表述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。算術(shù)平均幾何平均平方平均調(diào)和平均（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號）(1)三個關(guān)鍵點：一正、二定、三相等.①一正：各項必須為正；②二定：各項之和或各項之積為定值；③三相等：必須驗證取等號時的條件是否具備.(2)探求過程中常需依據(jù)具體的問題進行合理的拆項、湊項、配項等變換.注意點：同學(xué)們，數(shù)學(xué)是和生活聯(lián)系非常緊密的學(xué)科，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也是為了解決生活中的問題，比如：“水立方”是2008年北京奧運會標(biāo)志性建筑之一，如圖為水立方平面設(shè)計圖，已知水立方地下部分為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)是大小相同的左、右兩個矩形框架，兩框架面積之和為18000m2，現(xiàn)地上部分要建在矩形ABCD上，已知兩框架與矩形ABCD空白的寬度為10m，兩框架之間的中縫空白寬度為5m，請問作為設(shè)計師的你，應(yīng)怎樣設(shè)計矩形ABCD，才能使水立方占地面積最小？要解決這個問題，還得需要我們剛學(xué)習(xí)過的基本不等式哦，讓我們開始今天的探究之旅吧！§2.2.2基本不等式在實際問題中的應(yīng)用基本不等式在解決實際問題中有廣泛應(yīng)用，是解決最大（小）值問題的有力工具。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.2.會用基本不等式解決生活中簡單的最大(小)值問題.3.能夠運用基本不等式解決幾何中的應(yīng)用問題.基本不等式在生活中的應(yīng)用

一

例3(1)如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：如圖設(shè)BC=x

，CD=y

，則xy=100，籬笆的長為2(x+y)m.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.此時x=y=10.x=yABDC檢驗等號成立的條件是否滿足實際需要例3(2)如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=x

，CD=y

，則2(x+y)=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2得

xy≤81當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立

因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m2即x=y=9ABDC檢驗等號成立的條件是否滿足實際需要例4

某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m。如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？3m分析：水池呈長方體形，它的高是3m，底面的長與寬沒有確定。如果底面的長與寬確定了，水池總造價也就確定了。因此應(yīng)當(dāng)考察底面的長與寬取什么值時水池總造價最低。根據(jù)題意，得由基本不等式與不等式的性質(zhì)，可得3m即所以，將水池的地面設(shè)計成邊長為40m的正方形時總造價最低，最低總造價是297600元。點評：應(yīng)用題，先弄清題意（審題），建立數(shù)學(xué)模型（列式），再用所掌握的數(shù)學(xué)知識解決問題（求解），最后要回應(yīng)題意下結(jié)論（作答）?；静坏仁皆趲缀沃械膽?yīng)用

二

如圖所示，設(shè)矩形ABCD(AB>BC)的周長為24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于點P，設(shè)AB＝x.(1)用x表示DP，并求出x的取值范圍；例2(2)求△ADP面積的最大值及此時x的值.矩形ABCD(AB>BC)的周長為24，∵AB>BC＝AD，得x>12－x，∴6<x<12，在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，從而得DP＝PB′，∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2，在Rt△ADP中，(2)求△ADP面積的最大值及此時x的值.

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建為一個更大的矩形花壇AMPN，要求點B在AM上，點D在AN上，且對角線MN過點C，已知AB＝4米，AD＝3米，當(dāng)BM＝______時，矩形花壇AMPN的面積最小.跟蹤訓(xùn)練2∴當(dāng)BM＝4米時，矩形花壇AMPN的面積最小.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式，通過恒等變形，以及配湊，使得“和”或“積”為定值，從而求得函數(shù)最大值或最小值.這種方法在應(yīng)用的過程中要把握下列三個條件：①“一正”——各項為正數(shù)；②“二定”——“和”或