函數(shù)定義域、值域、解析式求法

1．函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義(1)傳統(tǒng)定義：在某一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于在某一個(gè)范圍內(nèi)的任一個(gè)x的值，都有唯一的y的值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，x叫自變量，y叫因變量．B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)(x∈A)．其中x叫做自變量，x的取值集合A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)(x∈A)．其中x叫做自變量，x的取值集合A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(3)對(duì)函數(shù)概念的理解需注意以下幾點(diǎn)：①A、B都是非空數(shù)集，因此定義域(或值域)為空集的函數(shù)不存在．②在現(xiàn)代定義中，B不一定是函數(shù)的值域，如函數(shù)y＝x2＋1可稱為實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的函數(shù)．③對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域、值域是函數(shù)的三要素，缺一不可，其中對(duì)應(yīng)關(guān)系是核心，定義域是根本，當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系已確定，則值域也就確定了．④函數(shù)符號(hào)f(x)的含義：f(x)是表示一個(gè)整體，一個(gè)函數(shù)，而記號(hào)“f”可以看作是對(duì)“x”施加的某種法則(或運(yùn)算)，如f(x)＝x2－2x＋x＝2時(shí)，可看作是對(duì)“2”施加了這樣的運(yùn)算法則：先平方，再減去它與2的積，再加上3；當(dāng)x為某一個(gè)代數(shù)式(或某一個(gè)函數(shù)記號(hào))時(shí)，則左右兩邊的所有x都用同一個(gè)代數(shù)式(或函數(shù)記號(hào))代替，如f(2x－1)＝(2x－1)2－2(2x－1)＋3，f[g(x)]＝[g(x)]2－2g(x)＋3等，f()與f(x)的區(qū)別就在于前者是函數(shù)值，是常數(shù)；而后者是因變量，是變量．⑤對(duì)應(yīng)關(guān)系：A中的任一個(gè)元素，B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)；而B(niǎo)中的元素在A中的對(duì)應(yīng)元素可以不唯一，也可以沒(méi)有．2．兩個(gè)函數(shù)相等只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)，這就是說(shuō)：(1)定義域不同，兩個(gè)函數(shù)也就不同；(2)對(duì)應(yīng)法則不同，兩個(gè)函數(shù)也是不同的；(3)即使是定義域和值域分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能惟一地確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則．例如，函數(shù)y＝x＋1與y＝x－1，其中定義域都是R，值域都是R.但它們的對(duì)應(yīng)法則是不同的，因此不能說(shuō)這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．3．區(qū)間的概念函數(shù)的定義域和值域通常用區(qū)間表示，下面介紹區(qū)間的概念：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：①滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．②滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，表示為(a，b)．③滿足不等式a≤x<b，或a<x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別表示為[a，b)，(a，b]．滿足x≥a，x>a，x≤a，x<a的實(shí)數(shù)x的集合用區(qū)間分別記作[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，a]，(－∞，a)．對(duì)區(qū)間概念的理解，要注意以下三點(diǎn)：(1)區(qū)間符號(hào)里面兩個(gè)字母(或數(shù)字)之間用“，”間隔開(kāi)．(2)無(wú)窮大是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)數(shù)．(3)在求函數(shù)的定義域或值域時(shí)，既可以用集合也可以用區(qū)間表示.題型一兩個(gè)函數(shù)相等的判斷判斷下列函數(shù)f(x)與g(x)是否表示同一個(gè)函數(shù)，并說(shuō)明理由．①f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1②f(x)＝x，g(x)＝eq\r(x2)③f(x)＝x2，f(x)＝(x＋1)2④f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)解①f(x)＝(x－1)0的定義域?yàn)閧x|x≠1}，g(x)＝1的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，它們定義域不同，所以它們不表示同一函數(shù)；②f(x)＝x的值域是R，g(x)＝eq\r(x2)的值域是[0，＋∞)，它們的值域不同，所以它們不表示同一函數(shù)；③f(x)＝x2與f(x)＝(x＋1)2的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以它們不表示同一函數(shù)；④f(x)＝|x|與g(x)＝eq\r(x2)的定義域都為實(shí)數(shù)集R，值域都為[0，＋∞)，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，所以它們是同一函數(shù)．點(diǎn)評(píng)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同時(shí)，只要看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否完全一致，只有完全一致，這兩個(gè)函數(shù)才是相等函數(shù)，對(duì)于解析式較為復(fù)雜的函數(shù)需先化簡(jiǎn)比較對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，但化簡(jiǎn)過(guò)程必須是等價(jià)的．題型二函數(shù)的求值已知函數(shù)f(x)＝x2＋x－1，求：(1)f(2)；(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))；(3)若f(x)＝5，求x的值．解(1)f(2)＝4＋2－1＝5.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))－1＝eq\f(1,x2)＋eq\f(3,x)＋1.(3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5.由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.點(diǎn)評(píng)求函數(shù)值主要用代入法，每當(dāng)代入時(shí)要注意式子的化簡(jiǎn)和符號(hào)的變化，求f(g(x))可以看作是求以g(x)為f(x)的自變量的函數(shù)值．題型三函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)；(2)y＝eq\r(|x－2|＋2)＋eq\f(1,\r(3,3x＋7))；(3)f(x)＝eq\f((x＋1)0,\r(|x|－x))；(4)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2,3]，求f(x＋2)的定義域；(5)若函數(shù)f(x＋3)的定義域?yàn)閇－5，－2]，求F(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)的定義域．分析一般來(lái)說(shuō)，如果函數(shù)由解析式給出，則其定義域就是使式子有意義的自變量的取值范圍．當(dāng)一個(gè)函數(shù)是由兩個(gè)以上數(shù)學(xué)式子的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使各部分有意義的公共部分的集合．對(duì)于復(fù)合函數(shù)的定義域，在同一對(duì)應(yīng)關(guān)系f下，括號(hào)內(nèi)整體的取值范圍相同．解(1)依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0,2－x≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1,x≠2))，∴函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定義域是{x|x≥－1且x≠2}．(2)依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|＋2≥0,3x＋7≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R,x≠－\f(7,3)))，∴函數(shù)y＝eq\r(|x－2|＋2)＋eq\f(1,\r(3,3x＋7))的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R，x≠－\f(7,3))).(3)依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0,|x|－x>0))，得x<0且x≠－1，故定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1,0)．(4)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2,3]，故2≤x≤3.由2≤x＋2≤3，得0≤x≤1，∴f(x＋2)的定義域?yàn)閇0,1]．(5)∵函數(shù)f(x＋3)的定義域?yàn)閇－5，－2]，即－5≤x≤－2，∴－2≤x＋3≤1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x＋1≤1,－2≤x－1≤1))，得F(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)的定義域?yàn)閇－1,0]．點(diǎn)評(píng)(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；(3)如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子不小于零的實(shí)數(shù)的集合；(4)如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)的集合(即使每個(gè)部分有意義的實(shí)數(shù)的集合的交集)；(5)如果f(x)是由實(shí)際問(wèn)題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實(shí)際意義的實(shí)數(shù)的集合；(6)求抽象函數(shù)的定義域，要明確以下兩點(diǎn)：①定義域是指自變量x的取值集合，y＝f(x)的定義域是x的取值集合，y＝f[g(x)]的定義域也是指x的取值集合；②同一個(gè)f，括號(hào)內(nèi)整體的取值范圍相同，好比法律面前人人平等，y＝f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則y＝f[g(x)]的定義域是指滿足不等式a≤g(x)≤b的x的取值集合．已知函數(shù)y＝eq\f(2kx－8,k2x2＋3kx＋1)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)k的值．錯(cuò)解函數(shù)的定義域?yàn)镽，即k2x2＋3kx＋1≠0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，∴Δ＝9k2－4k2<0，此時(shí)5k2<0，無(wú)解，∴k值不存在．錯(cuò)因分析本題忽視了k＝0的討論，誤認(rèn)為k2x2＋3kx＋1一定是二次函數(shù)．正解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求使k2x2＋3kx＋1≠0成立的k的值．(1)k＝0時(shí)，y＝eq\f(－8,1)＝－8，定義域?yàn)镽，∴k＝0符合題意．(2)k≠0時(shí)，k2>0，∴k2x2＋3kx＋1≠0，即Δ＝9k2－4k2<0，此時(shí)5k2<0，無(wú)解．綜上，k＝0時(shí)函數(shù)y＝eq\f(2kx－8,k2x2＋3kx＋1)的定義域?yàn)镽.高考對(duì)本節(jié)知識(shí)的考查，一是求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域；二是考查對(duì)函數(shù)定義的理解．常以客觀題形式出現(xiàn)，屬于試卷中的容易題．1．(全國(guó)Ⅰ高考)函數(shù)y＝eq\r(x(x－1))＋eq\r(x)的定義域?yàn)?)A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}解析要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x(x－1)≥0，,x≥0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1或x≤0，,x≥0.))∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥1}∪{0}．答案C2．(浙江高考)函數(shù)y＝eq\f(x2,x2＋1)(x∈R)的值域是________．解析y＝eq\f(x2,x2＋1)＝1－eq\f(1,x2＋1)，由x2＋1≥1，得0<eq\f(1,x2＋1)≤1∴－1≤－eq\f(1,x2＋1)<0，∴0≤1－eq\f(1,x2＋1)<1，即0≤y<1，∴值域?yàn)閇0,1)．答案[0,1)1．下列說(shuō)法中不正確的是()A．函數(shù)定義域中的每一個(gè)數(shù)都有值域中的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)B．函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合C．定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定以后，函數(shù)的值域也就隨之確定D．若函數(shù)的定義域中只有一個(gè)元素，則值域中也只有一個(gè)元素答案B解析函數(shù)的定義域和值域可能是有限集，也可能是無(wú)限集，但不能是空集，故選B.2．下列圖象中不能作為函數(shù)圖象的是()答案B解析B中的圖象與垂直于x軸的直線可能有兩個(gè)交點(diǎn)，顯然不滿足函數(shù)的定義，故選B.3．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．y＝x－1和y＝eq\f(x2－1,x＋1)B．y＝x和y＝eq\f(x2,x)C．y＝x2和y＝(x＋1)2D．y＝eq\f((\r(x))2,x)和y＝eq\f(x,(\r(x))2)答案D解析A，B中兩函數(shù)的定義域不同，C中的兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故選D.4．下列函數(shù)中，定義域不是R的是()A．y＝kx＋bB．y＝eq\f(k,x＋1)C．y＝x2－cD．y＝eq\f(1,x2＋x＋1)答案B解析選項(xiàng)A、C都是整式函數(shù)，符合題意，選項(xiàng)D中，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立．5．下列對(duì)應(yīng)為A到B的函數(shù)的是()A．A=R，B，f:x→y=|x|B．A=Z,B=N,f:x→y=xC.A=Z,B=Z,f:x→y=A=,B=,f:x→y=0答案D解析A、B不滿足存在性，C不滿足任意性．6．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－2,4]，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(－x)的定義域是()A．[－4,4]B．[－2,2]C．[－4，－2]D．[2,4]答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤4,－2≤－x≤4))，可得－2≤x≤2.7．已知f(x)＝eq\f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2.(1)求f(2)與g(a.)；(2)求g[f(2)]和f[g(x)]．解(1)f(2)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)，g(a)＝a2＋2；(2)f(2)＝eq\f(1,3)，g[f(2)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋2＝eq\f(19,9)，f[g(x)]＝f(x2＋2)＝eq\f(1,1＋(x2＋2))＝eq\f(1,3＋x2).8．已知f(x)的定義域?yàn)?0,1]，求g(x)＝f(x＋a)·f(x－a)(a≤0)的定義域．解由已知得即(a≤0)用數(shù)軸法，討論(1)當(dāng)a＝0時(shí)，x∈(0,1]；(2)當(dāng)a≤－eq\f(1,2)時(shí)，x∈?，即函數(shù)不存在；(3)當(dāng)－eq\f(1,2)<a<0時(shí)，x∈(－a,1＋a.].學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解函數(shù)的概念，能用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用．2．通過(guò)實(shí)例領(lǐng)悟構(gòu)成函數(shù)的三要素；會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域．3．了解區(qū)間的概念，體會(huì)用區(qū)間表示數(shù)集的意義和作用．自學(xué)導(dǎo)引B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：y＝f(x)，x∈A.(其中x叫自變量)，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：y＝f(x)，x∈A.(其中x叫自變量)，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．2．函數(shù)的三要素是定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則．3．由于值域是由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個(gè)函數(shù)相同．4．(1)滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．(2)滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，表示為(a，b)．(3)滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別表示為[a，b)，(a.，b]．(4)實(shí)數(shù)集R用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)．(5)把滿足x≥a，x>a，x≤b，x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別表示為[a，＋∞)，(a.，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b).一、判斷對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)例1判斷下列對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)：(1)，x≠0，x∈R；(2)x→y，這里y2＝x，x∈N，y∈R；(3)集合A＝R，B＝{－1,1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f(x)＝－1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f(x)＝1，該對(duì)應(yīng)是不是從A到B的函數(shù)？分析函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)，要檢驗(yàn)給定兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗(yàn)：(1)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出；(2)根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個(gè)值，是否都有唯一確定的函數(shù)值y與之對(duì)應(yīng)．解(1)對(duì)于任意一個(gè)非零實(shí)數(shù)x,被x為以確定，所以當(dāng)x0時(shí)，是函數(shù)，這個(gè)函數(shù)也可以表示為f(x)＝eq\f(2,x)(x≠0)．(3)是函數(shù)，滿足函數(shù)的定義，在A中任取一個(gè)值，B中有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)．點(diǎn)評(píng)判斷函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)可以簡(jiǎn)記成：兩個(gè)非空數(shù)集A、B，一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，A中任一對(duì)B中唯一(即多對(duì)一或一對(duì)一)．變式遷移1判斷下列對(duì)應(yīng)是否為集合A到集合B的函數(shù)：(1)A=R,B=R,對(duì)任意的；（2）A=,對(duì)任意的（x,y）,(x,y)；(3)A=B=N,對(duì)任意的A,x→|x－3|.解(1)是．(2)不是，因?yàn)榧螦不是數(shù)集．(3)不是，因?yàn)楫?dāng)x＝3時(shí)，在集合B中不存在數(shù)值與之對(duì)應(yīng)．二、已知解析式求函數(shù)的定義域例2求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝3－eq\f(1,2)x；(2)y＝eq\f(3,1－\r(1－x))；(3)y＝eq\f(\r(－x),2x2－3x－2)；(4)y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x).分析求函數(shù)定義域，其實(shí)質(zhì)是求使解析式各部分都有意義的未知數(shù)的取值范圍．解(1)函數(shù)y＝3－eq\f(1,2)x的定義域?yàn)镽；(2)要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1,x≠0))?x≤1且x≠0，所以函數(shù)y＝eq\f(3,1－\r(1－x))的定義域?yàn)閧x|x≤1且x≠0}＝(－∞，0)∪(0,1]；(3)要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x≥0，,2x2－3x－2≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x≠2且x≠－\f(1,2)))?x≤0且x≠－eq\f(1,2).故函數(shù)y＝eq\f(\r(－x),2x2－3x－2)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤0且x≠－\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))；(4)要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3≥0，,2－x>0，,x≠0.))解得－eq\f(3,2)≤x<2且x≠0，所以函數(shù)y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x<2且x≠0))＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))∪(0,2)．點(diǎn)評(píng)求函數(shù)定義域的原則：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被開(kāi)方數(shù)(式)為非負(fù)數(shù)；(3)零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零等．變式遷移2求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\f(6,x2－3x＋2)；(2)f(x)＝eq\r(3x－1)＋eq\r(1－2x)＋4；(3)f(x)＝eq\f((x＋1)0,|x|－x).解(1)由x2－3x＋2≠0，得：x≠1，x≠2∴f(x)＝eq\f(6,x2－3x＋2)的定義域是{x∈R|x≠1且x≠2}．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1≥0,1－2x≥0))，得eq\f(1,3)≤x≤eq\f(1,2).∴f(x)＝eq\r(3x－1)＋eq\r(1－2x)＋4的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0,|x|－x≠0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1,|x|≠x，))∴x<0且x≠－1，∴原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<0且x≠－1}．三、兩函數(shù)相同的判定例3下列各題中兩個(gè)函數(shù)是否表示同一函數(shù)：(1)f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2；(2)f(x)＝x，g(x)＝eq\r(x2)；(3)f(t)＝t，g(x)＝eq\r(3,x3)；(4)f(x)＝eq\f(x2－4,x－2)，g(x)＝x＋2.分析要判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，關(guān)鍵在于看函數(shù)的兩要素：定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，兩者只要有一個(gè)不同，兩個(gè)函數(shù)就不是同一函數(shù)．解(1)f(x)的定義域?yàn)镽，g(x)的定義域?yàn)閧x|x≥0}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù)．(2)g(x)＝eq\r(x2)＝|x|，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù)．(3)g(x)＝x，兩者的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故是同一函數(shù)．(4)f(x)的定義域?yàn)?－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定義域?yàn)镽，故不是同一函數(shù)．點(diǎn)評(píng)只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)，這就是說(shuō)：(1)定義域不同，兩個(gè)函數(shù)也就不同；(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，兩個(gè)函數(shù)也是不同的；(3)即使是定義域和值域分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．(4)兩個(gè)函數(shù)是否相同，與自變量是什么字母無(wú)關(guān)．變式遷移3試判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)：(1)f(x)＝eq\r(x)·eq\r(x＋1)與g(x)＝eq\r(x(x＋1))；(2)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t；(3)f(x)＝1與g(x)＝x0(x≠0)．解(2)是，(1)、(3)不是．對(duì)于(1)，f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，而g(x)定義域?yàn)?－∞，－1]∪[0，＋∞)．(3)也是定義域不同．四、求函數(shù)的值域例4(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，定義域A＝{0,1,2,3}，求這個(gè)函數(shù)的值域；(2)求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2＋1)，x∈R，在x＝0,1,2處的函數(shù)值及該函數(shù)的值域．解(1)函數(shù)的定義域?yàn)锳＝{0,1,2,3}，分別令x＝0,1,2,3得相應(yīng)的函數(shù)值分別為0，－1,0,3，于是知，函數(shù)的值域?yàn)閧－1,0,3}．(2)f(0)＝1，f(1)＝eq\f(1,2)，f(2)＝eq\f(1,5).容易看出，這個(gè)函數(shù)當(dāng)x＝0時(shí)，取得最大值，當(dāng)自變量x的絕對(duì)值逐漸變大時(shí)，函數(shù)值逐漸變小并無(wú)限接近于0，但永遠(yuǎn)不會(huì)等于0.從而可知，這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\f(1,x2＋1)，x∈R))＝(0,1]．點(diǎn)評(píng)(1)求函數(shù)的值域的問(wèn)題首先必須明確兩點(diǎn)：一是值域的概念，即對(duì)于定義域A上的函數(shù)，其值域是指集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，而定義域不同，其值域肯定不同，如f(x)＝x2－2x，x∈[0,2]與f(x)＝x2－2x，x∈R.(2)求函數(shù)的值域沒(méi)有固定的方法和模式，就目前階段主要用觀察法求值域，但函數(shù)的圖象在求函數(shù)的值域中也起著十分重要的作用．變式遷移4(1)函數(shù)f(x)＝eq\r(x－1)的值域?yàn)?用區(qū)間表示)________；(2)函數(shù)y＝eq\f(2,x)(1≤x≤2)的值域?yàn)?用區(qū)間表示)______．答案(1)[0，＋∞)(2)[1,2]1．函數(shù)符號(hào)y＝f(x)是難以理解的抽象符號(hào)，它的內(nèi)涵是“對(duì)于定義域中的任意x，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下即可得到y(tǒng)”．在學(xué)習(xí)過(guò)程中，不容易認(rèn)識(shí)到函數(shù)概念的整體性，而將函數(shù)單一地理解成函數(shù)中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，甚至認(rèn)為函數(shù)就是函數(shù)值．2．正確理解函數(shù)的三要素，其中對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，而函數(shù)的定義域就是指能使這個(gè)解析式有意義的所有實(shí)數(shù)的集合，在實(shí)際問(wèn)題中，還必須考慮自變量的取值應(yīng)符合實(shí)際意義．3．區(qū)間是某些數(shù)集的一種重要表示形式，具有簡(jiǎn)單直觀的優(yōu)點(diǎn)，因此是表示函數(shù)的定義域、值域及不等式解集的重要工具．一、選擇題1．下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()A．y＝eq\f(x2－9,x－3)與y＝x＋3B．y＝eq\r(x2)－1與y＝x－1C．y＝x0(x≠0)與y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z答案C解析A中的兩函數(shù)定義域不同，B中的兩函數(shù)值域不同，D中的兩函數(shù)對(duì)應(yīng)法則不同．C正確．2．下列集合A，B及對(duì)應(yīng)關(guān)系不能構(gòu)成函數(shù)的是()A．A＝B＝R，f(x)＝|x|B．A＝B＝R，f(x)＝eq\f(1,x)C．A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3D．A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0答案B解析在B項(xiàng)中f(0)無(wú)意義，即A中的數(shù)0在B中找不到和它的對(duì)應(yīng)的數(shù)．3．設(shè)f(x)＝eq\f(x2－1,x2＋1)，則eq\f(f(2),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))等于()A．1B．－1C.eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)答案B解析∵f(2)＝eq\f(22－1,22＋1)＝eq\f(3,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1)＝－eq\f(3,5)∴eq\f(f(2),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝－14．函數(shù)y＝eq\f((x－1)0,\r(|x|＋x))的定義域是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≠0,|x|＋x>0))，得x>0且x≠1.5．給出四個(gè)命題：①函數(shù)就是定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②若函數(shù)的定義域只含有一個(gè)元素，則值域也只含有一個(gè)元素；③因f(x)＝5(x∈R)，這個(gè)函數(shù)值不隨x的變化而變化，所以f(0)＝5也成立；④定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了．以上命題正確的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案D二、填空題6．將集合{x|x＝1或2≤x≤8}表示成區(qū)間為_(kāi)___________．答案{1}∪[2,8]7．若f(x)＝eq\f(5x,x2＋1)，且f(a)＝2，則a＝________.答案2或eq\f(1,2)8．函數(shù)y＝x2－x(－1≤x≤4，x∈Z)的值域?yàn)開(kāi)_______．答案{0,2,6,12}三、解答題9．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\f(\r(5－x),|x|－3)；(2)y＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x).解(1)要使函數(shù)有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0,|x|－3≠0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5,x≠±3))，在數(shù)軸上標(biāo)出，如圖，即x<－3或－3<x<3或3<x≤5.故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．當(dāng)然也可以表示為{x|x<－3或－3<x<3或3<x≤5}．(2)要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0,1－x≥0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x≤1))，所以x＝1，從而函數(shù)的定義域?yàn)閧1}．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))；(2)由(1)中求得結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))有什么關(guān)系？并證明你的發(fā)現(xiàn)；(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2008)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2008))).解(1)∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)＝eq\f(22,1＋22)＝eq\f(4,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(1,5)，f(3)＝eq\f(32,1＋32)＝eq\f(9,10)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(1,10).(2)由(1)可發(fā)現(xiàn)f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝1，證明如下：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(1,1＋x2)＝1.(3)由(2)知：f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，…，f(2008)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2008)))＝1，∴原式＝eq\f(1,2)＋1＋1＋1＋…＋eq\o(1,\s\do4(2007個(gè)))＝2007＋eq\f(1,2)＝eq\f(4015,2).1．函數(shù)的表示法1．函數(shù)的表示方法(1)表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、圖象法．①解析法就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡(jiǎn)稱解析式．②列表法就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系．③圖象法就是用函數(shù)的圖象表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系．(2)三種方法的優(yōu)缺點(diǎn)：①解析法優(yōu)點(diǎn)：一是簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．缺點(diǎn)：不夠形象、直觀、具體，而且并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示出來(lái)．②列表法優(yōu)點(diǎn)：不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．缺點(diǎn)：它只能表示自變量較少的有限值的對(duì)應(yīng)關(guān)系．③圖象法優(yōu)點(diǎn)：能直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況．缺點(diǎn)：只能近似地求出自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，而且有時(shí)誤差較大．2．分段函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)．對(duì)分段函數(shù)的概念必須注意：(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．例如，已知一個(gè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間[0,2]，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=x；當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=2-x，則函數(shù)用解析法可表示為y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x∈[0,1],2-x，x∈(1,2]))，用圖象表示這個(gè)函數(shù)，它由兩條線段組成，如圖所示．,注意：分段函數(shù)的圖象是由幾個(gè)不同的部分組成，作分段函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出．,,B.,→B.,對(duì)映射概念的理解：,B，其中A，B是兩個(gè)非空集合；A到B的映射與B到A的映射往往不同；,→B，其中A，B是兩個(gè)非空集合；A到B的映射與B到A的映射往往不同；,(2)集合A中每一個(gè)元素在集合B中必有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)(有，且唯一)；,B(A，B是非空集合)，允許B中元素沒(méi)有被A中元素對(duì)應(yīng)，A中元素與B中元素對(duì)應(yīng)，可以是“一對(duì)一”、“多對(duì)一”，但不能是“一對(duì)多”．,→B(A，B是非空集合)，允許B中元素沒(méi)有被A中元素對(duì)應(yīng)，A中元素與B中元素對(duì)應(yīng)，可以是“一對(duì)一”、“多對(duì)一”，但不能是“一對(duì)多”．,(4)函數(shù)是集合A，B為非空數(shù)集的一種特殊映射，映射是函數(shù)概念的推廣題型一映射概念的理解,,(1)在下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，哪些能構(gòu)成A到B的映射？,(2)設(shè)集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列的對(duì)應(yīng)不表示從P到Q的映射的是()A.f:,y＝eq\f(1,2)xB.f:xy＝eq\f(1,3)xC.f:xy＝eq\f(2,3)xD.f:x→y＝eq\r(x)(1)解判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否是映射，關(guān)鍵是看這個(gè)對(duì)應(yīng)是否滿足映射的特性．對(duì)于①，是多對(duì)一，且每個(gè)元素都有象，因此是映射；對(duì)于②、③，也滿足映射的定義；對(duì)于④，有一個(gè)元素沒(méi)有象，不滿足映射的存在性；對(duì)于⑤，元素a.有兩個(gè)象，不滿足唯一性，因此也不是映射．所以只有①、②、③是映射．(2)解析判斷集合P中任何一個(gè)元素能否在集合Q中都有唯一確定的元素與它對(duì)應(yīng)．由于是選擇題，可直接找出不是映射的對(duì)應(yīng)．通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f:xy＝eq\f(2,3)x的作用下，4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)>2.答案C點(diǎn)評(píng)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的對(duì)應(yīng)元素，不會(huì)出現(xiàn)一對(duì)多的情形．只能是“多對(duì)一”或“一對(duì)一”形式．題型二分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用求下列函數(shù)的圖象及值域：(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)(0<x<1),x(x≥1)))；(2)y＝|x＋1|＋|x－2|.分析解答本題可先將解析式化簡(jiǎn)，然后畫(huà)出函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象得到函數(shù)的值域．解(1)函數(shù)y=的圖象如圖，觀察圖象，得函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞)．(2)將原函數(shù)的解析式中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，化為分段函數(shù)y=.它的圖象如圖．觀察圖象，顯然函數(shù)值y≥3，所以函數(shù)的值域?yàn)閇3，+∞)．點(diǎn)評(píng)本例利用圖象法求函數(shù)值域，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出分段函數(shù)的圖象．由于分段函數(shù)在定義域的不同區(qū)間內(nèi)解析式不一樣，因此畫(huà)圖象時(shí)要特別注意區(qū)間端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)點(diǎn)的實(shí)虛之分．題型三求函數(shù)解析式已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成，求函數(shù)的解析式．解根據(jù)圖象可知，設(shè)左側(cè)射線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx+b(x<1)，因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)，(0,2)在射線上，所以

解得

所以左側(cè)射線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x+2(x<1)．同理x>3時(shí)，函數(shù)的解析式為y=x-2(x>3)．設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式為y=a(x-2)2+2(1≤x≤3，a<0)．因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在拋物線上，所以a+2=1，a=-1.所以1≤x≤3時(shí)，函數(shù)的解析式為y=-x2+4x-2(1≤x≤3)．綜上可知，函數(shù)的解析式為y=點(diǎn)評(píng)圖中給定的圖象實(shí)際上是一個(gè)分段函數(shù)的圖象，對(duì)各段函數(shù)解析式進(jìn)行求解時(shí)，一定要注意其區(qū)間的端點(diǎn)．已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．錯(cuò)解∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，設(shè)t＝x2＋2，則f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.錯(cuò)因分析本題錯(cuò)解的原因是忽略了函數(shù)f(x)的定義域．上面的解法，似乎是無(wú)懈可擊，然而從其結(jié)論，即f(x)＝x2－4來(lái)看，并未注明f(x)的定義域，那么按一般理解，就應(yīng)認(rèn)為其定義域是全體實(shí)數(shù)．但是f(x)＝x2－4的定義域不是全體實(shí)數(shù)．正解∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，令t＝x2＋2(t≥2)，則f(t)＝t2－4(t≥2)，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．函數(shù)的表示法是高考考查的熱點(diǎn)，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)居多，主要考查數(shù)學(xué)語(yǔ)言(表格、圖象、符號(hào))、識(shí)圖和用圖的能力；分段函數(shù)知識(shí)，是高考卷中體現(xiàn)較多的，同時(shí)也是較基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)；映射是函數(shù)知識(shí)的一個(gè)應(yīng)用，近兩年高考涉及很少．1．(安徽高考)圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為()A．y=|x-1|(0≤x≤2)B．y=|x-1|(0≤x≤2)C．y=-|x-1|(0≤x≤2)D．y=1-|x-1|(0≤x≤2)解析方法一(特殊值)取x=0可排除A、C，取x=1可排除D，故選B.方法二(直接法)0≤x<1時(shí)，k=，則y=x；1≤x≤2時(shí)線段過(guò)(1，)，(2,0)兩點(diǎn)，則k=-，∴y=-(x-2)．∴y=分析答案知選B.答案B2．(天津質(zhì)檢)已知函數(shù)y＝f(x)，x∈[a.，b]且A＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a.，b]}，B＝{(x，y)|x＝1}，則A∩B中所含元素的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．0或1D解析若1∈[a，b]，則根據(jù)函數(shù)定義知，x＝1與y＝f(x)交點(diǎn)只有一個(gè)，若1?[a，b]，則A∩B＝?，∴應(yīng)選C.答案C1．已知f(x)＝x2＋px＋q滿足f(1)＝f(2)＝0，則f(－1)的值為()A．5B．－5C．6D答案C解析由f(1)＝f(2)＝0，得p＝－3，q＝2，故f(x)＝x2－3x＋2，于是f(－1)＝6.2．以下幾個(gè)論斷：①?gòu)挠成浣嵌瓤?，函?shù)是其定義域到值域的映射；②函數(shù)y＝x－1，x∈Z且x∈(－3,3]的圖象是一條線段；③函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0,－x2，x<0))的圖象是拋物線．其中正確的論斷有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)答案B解析函數(shù)是特殊的映射，由此知①正確；②中的定義域?yàn)閧－2，－1,0,1,2,3}，它的圖象是直線y＝x－1上的六個(gè)孤立的點(diǎn)；③是分段函數(shù)，它的圖象不是拋物線．因此，②、③都不正確．3．已知集合M＝{0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，不能構(gòu)成M到P的映射的是()A．f:x→y＝eq\f(1,2)xB．f:x→y＝eq\f(1,3)xC.f:x→y＝x:x→y＝eq\f(1,6)x答案C解析由映射定義判斷，選項(xiàng)C中，x＝6時(shí)，y＝6?P.4．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的圖象是()答案C解析f(x)=x+的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，所以f(x)=，由此即得．5．某城市出租車(chē)起步價(jià)為10元，最長(zhǎng)可租乘3km(含3km)，以后每1km為1.6元(不足1km，按1km計(jì)費(fèi))，答案C解析由題意，當(dāng)0<x≤3時(shí)，y=10；當(dāng)3<x≤4時(shí)，y=11.6；當(dāng)4<x≤5時(shí)，y=13.2；…當(dāng)n-1<x≤n時(shí)，y=10+(n-3)×1.6.6．向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h之間的函數(shù)關(guān)系如圖(1)所示，那么水瓶的形狀(如圖(2)所示)是()答案B解析解決這道函數(shù)應(yīng)用題，不可能列出V與h的精確解析式，需要對(duì)圖形進(jìn)行整體把握，取特殊值加以分析或通過(guò)觀察已知圖象的特征，取模型來(lái)判斷．方法一很明顯，從V與h的函數(shù)圖象上看，V從0開(kāi)始后，h先增加較慢，后增加較快，因此應(yīng)是底大口小的容器．方法二取特殊值當(dāng)h=時(shí)，V>，而通過(guò)觀察可以看出C，D圖中的水瓶的容量恰好是，A圖中的水瓶的容量小于，不符合上述分析，排除A，C，D選項(xiàng)．7．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5(x≥6),f(x＋2)(x<6)))，則f(3)＝________.答案2解析f(3)＝f(5)＝f(7)＝7－5＝2.8．已知函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函數(shù)，g(x)是x的反比例函數(shù)，且Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝16，F(xiàn)(1)＝8，則F(x)的解析式為_(kāi)___________．答案F(x)＝3x＋eq\f(5,x)解析設(shè)f(x)＝kx，g(x)＝eq\f(m,x)(k≠0，m≠0)，則F(x)＝kx＋eq\f(m,x).由Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝16，F(xiàn)(1)＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k＋3m＝16，,k＋m＝8)).解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝3,m＝5))，所以F(x)＝3x＋eq\f(5,x).9．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0,0，x<0))則不等式xf(x)＋x≤2的解集是__________．答案{x|x≤1}解析當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，∴x<0.綜上可知x≤1.10．動(dòng)點(diǎn)P從邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)順次經(jīng)過(guò)B、C、D再回到A，設(shè)x表示P點(diǎn)的行程，f(x)表示PA的長(zhǎng)，求f(x)的解析式．解如圖，當(dāng)P點(diǎn)在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA＝x；當(dāng)P點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由Rt△ABP可得PA＝eq\r(1＋(x－1)2)；當(dāng)P點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由Rt△ADP可得PA=；當(dāng)P點(diǎn)在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=4-x.故f(x)的表達(dá)式為：f(x)=1．函數(shù)的表示法(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握函數(shù)的三種表示方法：列表法、圖象法、解析法，體會(huì)三種表示方法的特點(diǎn)．2．掌握函數(shù)圖象的畫(huà)法及解析式的求法.自學(xué)導(dǎo)引表示函數(shù)的方法常用的有：解析法、圖象法、列表法．(1)解析法——用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(2)圖象法——用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；(3)列表法——列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.一、函數(shù)的表示法例1已知完成某項(xiàng)任務(wù)的時(shí)間t與參加完成此項(xiàng)任務(wù)的人數(shù)x之間適合關(guān)系式t＝a.x＋eq\f(b,x)，當(dāng)x＝2時(shí)，t＝100；當(dāng)x＝14時(shí)，t＝28，且參加此項(xiàng)任務(wù)的人數(shù)不能超過(guò)20人．(1)寫(xiě)出函數(shù)t的解析式；(2)用列表法表示此函數(shù)；(3)畫(huà)出函數(shù)t的圖象；(4)根據(jù)(2)(3)分析：隨著工作人數(shù)的增加，工作效率的變化情況．分析可用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．解(1)由題設(shè)條件知：當(dāng)x＝2時(shí)，t＝100，當(dāng)x＝14時(shí)，t＝28得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(14b＝(a－1)2.,＋\f(b,14)＝28，,2b＝(a－1)2.,＋\f(b,2)＝100.))解此方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝(a－1)2.,＝1，,b＝196.))所以t＝x＋eq\f(196,x)，又因?yàn)閤≤20，x為正整數(shù)，所以函數(shù)的定義域是{x|0<x≤20，x∈N*}．y，這里y2＝x，x∈N，y∈R；＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20個(gè)值，列表如下：x12345678910t19710053351112131415161718192028注：表中的部分?jǐn)?shù)據(jù)是近似值．(3)函數(shù)t的圖象是由20個(gè)點(diǎn)組成的一個(gè)點(diǎn)列．如圖所示．(4)自變量x共取1～20之間的20個(gè)正整數(shù)，從表中的函數(shù)值可以看出完成任務(wù)的時(shí)間與參加任務(wù)的人數(shù)之間的關(guān)系，一開(kāi)始，完成任務(wù)的時(shí)間隨著人數(shù)的增加而減少，而當(dāng)人數(shù)增加到一定的數(shù)量，完成工作的時(shí)間減少得很慢，人數(shù)在達(dá)到7人以后，至14人之間，完成工作的時(shí)間基本上變化不大；再增加人數(shù)，完成工作的時(shí)間反而有所增加．由函數(shù)的圖象的變化也可以看出上面分析的結(jié)果．可以再設(shè)想，假設(shè)工作的人數(shù)沒(méi)有限制，x再增大時(shí)，比如，x=50,100,196,392等數(shù)值，則完成工作的時(shí)間t=53.92,101.96,197,392.5，由此可見(jiàn)，工作效率隨著人數(shù)的增加反而降低．列表→列表→描點(diǎn)，畫(huà)出圖象，然后再總結(jié)出函數(shù)的性質(zhì)．三種方法相互兼容和補(bǔ)充，各有優(yōu)缺點(diǎn)，在實(shí)際操作中，仍以解析法為主．變式遷移1(1)某城市在某一年里各月份毛線的零售量(單位：100kg)如表所示：月份t123456789101112零售量y818445469561594161144123則零售量是否為月份的函數(shù)？為什么？(2)由下列圖形是否能確定y是x的函數(shù)？解(1)是函數(shù)．∵對(duì)于集合{1,2，…，12}中的任一個(gè)值，由表可知y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，∴由它可確定為y是t的函數(shù)．(2)①不能確定為y是x的函數(shù)．∵當(dāng)x＝0時(shí)，由圖①可確定y有兩個(gè)值±1與它對(duì)應(yīng)；②能確定y是x的函數(shù)．∵當(dāng)x在{x|x<－1或x≥1}中任取一個(gè)值時(shí)，由圖②可確定唯一的y的值與它對(duì)應(yīng)；③能確定y是x的函數(shù)．∵當(dāng)x在{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任取一個(gè)值時(shí)，由圖③可確定y有唯一的值與它對(duì)應(yīng)；④能確定y是x的函數(shù)，∵當(dāng)對(duì)于R上任意的x，由圖④都能確定唯一的y值與之對(duì)應(yīng)．二、函數(shù)解析式的求法例2求下列函數(shù)的解析式：(1)已知：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)＝a.x2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．分析求函數(shù)的解析式的方法主要有：換元法、配湊法、待定系數(shù)法、解方程組法以及求實(shí)際問(wèn)題的解析式．在求解的過(guò)程中要根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解．解(1)方法一(配湊法)x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x))2＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1，∴f(eq\r(x)＋1)＝(eq\r(x)＋1)2－1(eq\r(x)＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(換元法)令t＝eq\r(x)＋1，x＝(t－1)2，t≥1.代入原式有，f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1(t≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)∵f(0)＝c＝0，∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1.∴?∴f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x.點(diǎn)評(píng)(1)中方法一為配湊法，這種解法對(duì)變形能力、觀察能力有較高的要求；方法二為換元法，換元法是求解函數(shù)解析式的基本方法，在不清楚函數(shù)模型的情況下往往運(yùn)用此法．但要注意自變量的取值范圍的變化情況，否則就得不到正確的表達(dá)式．(2)中解法稱為待定系數(shù)法，我們只要清楚所求函數(shù)解析式的類型，便可設(shè)出其函數(shù)解析式，只要想法確定其系數(shù)即可求出結(jié)果．變式遷移2已知f(2x＋1)＝x2＋1，求f(x)的解析式．解設(shè)t＝2x＋1，則x＝eq\f(t－1,2)，∴f(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t－1,2)))2＋1.∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)))2＋1.三、函數(shù)圖象的作法例3作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝1－x，x∈Z；(2)y＝|x－1|(x>0)．解(1)因?yàn)閤∈Z，所以函數(shù)圖象是由一些點(diǎn)組成的，這些點(diǎn)都在直線y＝1－x上．(如圖①)(2)所給函數(shù)可化簡(jiǎn)為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1(x≥1)，,1－x(0<x<1)，))是一條折線．(如圖②)點(diǎn)評(píng)函數(shù)圖象的作法大致有兩種：(1)描點(diǎn)作圖法：步驟分三步，列表、描點(diǎn)、連線成圖．必要時(shí)，先對(duì)其函數(shù)定義域及性質(zhì)進(jìn)行研究，再分三步完成圖象．(2)圖象變換法：利用基本函數(shù)圖象作出所求圖象，這種方法是一種常見(jiàn)的重要的方法．另外：作函數(shù)圖象要注意函數(shù)的定義域，函數(shù)能化簡(jiǎn)的盡量先化簡(jiǎn)(等價(jià)轉(zhuǎn)化)．變式遷移3①若(1)中定義域?yàn)閧x|x≤0}；②若(2)中定義域?yàn)閧x|x≥1或x≤－1}．解析式不變，應(yīng)如何作圖．解①如圖所示②y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1(x≥1)，,1－x(x≤－1)，))如圖所示1．函數(shù)的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法．2．畫(huà)函數(shù)圖象的方法：(1)列表、描點(diǎn)、連線；(2)圖象變換．3．求函數(shù)解析式的方法有：換元法、配湊法、待定系數(shù)法等．一、選擇題1．下圖中，可表示函數(shù)y＝f(x)的圖象的只可能是()答案D解析只有D符合函數(shù)定義，即在定義域內(nèi)每一個(gè)x對(duì)應(yīng)唯一的y值．2．下列表格中的x與y能構(gòu)成函數(shù)的是()A.x非負(fù)數(shù)非正數(shù)y1－1B.x奇數(shù)0偶數(shù)y10－1C.x有理數(shù)無(wú)理數(shù)y1－1D.x自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)y10－1答案C解析A中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝±1；B中0是偶數(shù)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0或y＝－1，D中自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)之間存在包含關(guān)系，如x＝1∈N(Z，Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正確．3．若f(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))等于()A．1B．3C．15D答案C解析方法一令1－2x＝t，則x＝eq\f(1－t,2)(t≠1)，∴f(t)＝eq\f(4,(t－1)2)－1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝16－1＝15.方法二令1－2x＝eq\f(1,2)，得x＝eq\f(1,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝16－1＝15.4．已知f(x)是一次函數(shù)，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則f(xA．3x＋2B．3x－2C．2x＋3D．2x－3答案B解析設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵2f(2)－3f(1)＝5,2f∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－b＝5,k＋b＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝3,b＝－2))，∴f(x)＝3x－2.5．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．可能無(wú)數(shù)B．只有一個(gè)C．至多一個(gè)D．至少一個(gè)答案C解析設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則當(dāng)m∈D時(shí)，f(x)圖象與直線x＝m有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m?D時(shí)，f(x)圖象與直線x＝m無(wú)交點(diǎn)．二、填空題6．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，則a的值為_(kāi)_____．答案5解析∵f(2x＋1)＝3x－2＝eq\f(3,2)(2x＋1)－eq\f(7,2)∴f(x)＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,2)∴f(a)＝4，即eq\f(3,2)a－eq\f(7,2)＝4∴a＝57．一水池有2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口，進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開(kāi)一個(gè)水口)給出以下3個(gè)論斷：①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水．則一定能確定正確的論斷序號(hào)是________．答案①解析設(shè)進(jìn)水量為y1，出水量為y2，時(shí)間為t，由圖象知y1＝t，y2＝2t.由圖丙知，從0～3時(shí)蓄水量由0變?yōu)?，說(shuō)明0～3時(shí)兩個(gè)進(jìn)水口均打開(kāi)進(jìn)水但不出水，故①正確；3～4時(shí)蓄水量隨時(shí)間增加而減少且每小時(shí)減少一個(gè)單位，若3～4點(diǎn)不進(jìn)水只出水，應(yīng)每小時(shí)減少兩個(gè)單位，故②不正確；4～6時(shí)為水平線說(shuō)明水量不發(fā)生變化，應(yīng)該是所有水口都打開(kāi)，進(jìn)出均衡，故③亦不正確．所以正確序號(hào)只有①.8．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．x123f(x)211x123g(x)321則f[g(1)]的值為_(kāi)___________；當(dāng)g[f(x)]＝2時(shí)，x＝__________.答案11解析(1)f[g(1)]＝f(3)＝1；(2)g[f(x)]＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.1．函數(shù)的表示法(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解分段函數(shù)的概念，會(huì)畫(huà)分段函數(shù)的圖象，并能解決相關(guān)問(wèn)題．2．了解映射的概念及含義，會(huì)判斷給定的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是映射．自學(xué)導(dǎo)引1．分段函數(shù)(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．(3)作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象．2．映射的概念B為從集合A到集合B的一個(gè)映射．→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射．2．映射與函數(shù)由映射的定義可以看出，映射是函數(shù)概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射，要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合A，B必須是非空數(shù)集.一、分段函數(shù)的求值問(wèn)題例1已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2(x≤－1)，,x2(－1<x<2)，,2x(x≥2).))(1)求f[f(eq\r(3))]的值；(2)若f(a)＝3，求a的值．分析本題給出的是一個(gè)分段函數(shù)，函數(shù)值的取得直接依賴于自變量x屬于哪一個(gè)區(qū)間，所以要對(duì)x的可能范圍逐段進(jìn)行討論．解(1)∵－1<eq\r(3)<2.∴f(eq\r(3))＝(eq\r(3))2＝3.而3≥2，∴f[f(eq\r(3))]＝f(3)＝2×3＝6.(2)當(dāng)a≤－1時(shí)，f(a)＝a＋2，又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；當(dāng)－1<a<2時(shí)，f(a)＝a2，又f(a)＝3，∴a＝±eq\r(3)，其中負(fù)值舍去，∴a＝eq\r(3)；當(dāng)a≥2時(shí)，f(a)＝2a，又f(a)＝3，∴a＝eq\f(3,2)(舍去)．綜上所述，a＝eq\r(3).點(diǎn)評(píng)對(duì)于f(a)，究竟用分段函數(shù)中的哪一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，與a所在范圍有關(guān)，因此要對(duì)a進(jìn)行討論．由此我們可以看到：(1)分段函數(shù)的函數(shù)值要分段去求；(2)分類討論不是隨意的，它是根據(jù)解題過(guò)程中的需要而產(chǎn)生的．變式遷移1設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1(x≥0)，,\f(1,x)(x<0)，))若f(a)>a，