函數(shù)定義域、值域、解析式求法

1．函數(shù)的概念1．函數(shù)的定義(1)傳統(tǒng)定義：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于在某一個范圍內的任一個x的值，都有唯一的y的值與它對應，則稱y是x的函數(shù)，x叫自變量，y叫因變量．B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)(x∈A)．其中x叫做自變量，x的取值集合A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)(x∈A)．其中x叫做自變量，x的取值集合A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．(3)對函數(shù)概念的理解需注意以下幾點：①A、B都是非空數(shù)集，因此定義域(或值域)為空集的函數(shù)不存在．②在現(xiàn)代定義中，B不一定是函數(shù)的值域，如函數(shù)y＝x2＋1可稱為實數(shù)集到實數(shù)集的函數(shù)．③對應關系、定義域、值域是函數(shù)的三要素，缺一不可，其中對應關系是核心，定義域是根本，當定義域和對應關系已確定，則值域也就確定了．④函數(shù)符號f(x)的含義：f(x)是表示一個整體，一個函數(shù)，而記號“f”可以看作是對“x”施加的某種法則(或運算)，如f(x)＝x2－2x＋x＝2時，可看作是對“2”施加了這樣的運算法則：先平方，再減去它與2的積，再加上3；當x為某一個代數(shù)式(或某一個函數(shù)記號)時，則左右兩邊的所有x都用同一個代數(shù)式(或函數(shù)記號)代替，如f(2x－1)＝(2x－1)2－2(2x－1)＋3，f[g(x)]＝[g(x)]2－2g(x)＋3等，f()與f(x)的區(qū)別就在于前者是函數(shù)值，是常數(shù)；而后者是因變量，是變量．⑤對應關系：A中的任一個元素，B中都有唯一的元素與之對應；而B中的元素在A中的對應元素可以不唯一，也可以沒有．2．兩個函數(shù)相等只有當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)，這就是說：(1)定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；(2)對應法則不同，兩個函數(shù)也是不同的；(3)即使是定義域和值域分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)的定義域和值域不能惟一地確定函數(shù)的對應法則．例如，函數(shù)y＝x＋1與y＝x－1，其中定義域都是R，值域都是R.但它們的對應法則是不同的，因此不能說這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．3．區(qū)間的概念函數(shù)的定義域和值域通常用區(qū)間表示，下面介紹區(qū)間的概念：設a，b是兩個實數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：①滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．②滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a，b)．③滿足不等式a≤x<b，或a<x≤b的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a，b)，(a，b]．滿足x≥a，x>a，x≤a，x<a的實數(shù)x的集合用區(qū)間分別記作[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，a]，(－∞，a)．對區(qū)間概念的理解，要注意以下三點：(1)區(qū)間符號里面兩個字母(或數(shù)字)之間用“，”間隔開．(2)無窮大是一個符號，不是一個數(shù)．(3)在求函數(shù)的定義域或值域時，既可以用集合也可以用區(qū)間表示.題型一兩個函數(shù)相等的判斷判斷下列函數(shù)f(x)與g(x)是否表示同一個函數(shù)，并說明理由．①f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1②f(x)＝x，g(x)＝eq\r(x2)③f(x)＝x2，f(x)＝(x＋1)2④f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)解①f(x)＝(x－1)0的定義域為{x|x≠1}，g(x)＝1的定義域為實數(shù)集R，它們定義域不同，所以它們不表示同一函數(shù)；②f(x)＝x的值域是R，g(x)＝eq\r(x2)的值域是[0，＋∞)，它們的值域不同，所以它們不表示同一函數(shù)；③f(x)＝x2與f(x)＝(x＋1)2的對應關系不同，所以它們不表示同一函數(shù)；④f(x)＝|x|與g(x)＝eq\r(x2)的定義域都為實數(shù)集R，值域都為[0，＋∞)，對應關系相同，所以它們是同一函數(shù)．點評判斷兩個函數(shù)是否相同時，只要看定義域和對應關系是否完全一致，只有完全一致，這兩個函數(shù)才是相等函數(shù)，對于解析式較為復雜的函數(shù)需先化簡比較對應關系是否相同，但化簡過程必須是等價的．題型二函數(shù)的求值已知函數(shù)f(x)＝x2＋x－1，求：(1)f(2)；(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))；(3)若f(x)＝5，求x的值．解(1)f(2)＝4＋2－1＝5.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))－1＝eq\f(1,x2)＋eq\f(3,x)＋1.(3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5.由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.點評求函數(shù)值主要用代入法，每當代入時要注意式子的化簡和符號的變化，求f(g(x))可以看作是求以g(x)為f(x)的自變量的函數(shù)值．題型三函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)；(2)y＝eq\r(|x－2|＋2)＋eq\f(1,\r(3,3x＋7))；(3)f(x)＝eq\f((x＋1)0,\r(|x|－x))；(4)若函數(shù)f(x)的定義域為[2,3]，求f(x＋2)的定義域；(5)若函數(shù)f(x＋3)的定義域為[－5，－2]，求F(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)的定義域．分析一般來說，如果函數(shù)由解析式給出，則其定義域就是使式子有意義的自變量的取值范圍．當一個函數(shù)是由兩個以上數(shù)學式子的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使各部分有意義的公共部分的集合．對于復合函數(shù)的定義域，在同一對應關系f下，括號內整體的取值范圍相同．解(1)依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0,2－x≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1,x≠2))，∴函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定義域是{x|x≥－1且x≠2}．(2)依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－2|＋2≥0,3x＋7≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R,x≠－\f(7,3)))，∴函數(shù)y＝eq\r(|x－2|＋2)＋eq\f(1,\r(3,3x＋7))的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R，x≠－\f(7,3))).(3)依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0,|x|－x>0))，得x<0且x≠－1，故定義域為(－∞，－1)∪(－1,0)．(4)∵函數(shù)f(x)的定義域為[2,3]，故2≤x≤3.由2≤x＋2≤3，得0≤x≤1，∴f(x＋2)的定義域為[0,1]．(5)∵函數(shù)f(x＋3)的定義域為[－5，－2]，即－5≤x≤－2，∴－2≤x＋3≤1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x＋1≤1,－2≤x－1≤1))，得F(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)的定義域為[－1,0]．點評(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合；(3)如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內的式子不小于零的實數(shù)的集合；(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合(即使每個部分有意義的實數(shù)的集合的交集)；(5)如果f(x)是由實際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數(shù)的集合；(6)求抽象函數(shù)的定義域，要明確以下兩點：①定義域是指自變量x的取值集合，y＝f(x)的定義域是x的取值集合，y＝f[g(x)]的定義域也是指x的取值集合；②同一個f，括號內整體的取值范圍相同，好比法律面前人人平等，y＝f(x)的定義域為[a，b]，則y＝f[g(x)]的定義域是指滿足不等式a≤g(x)≤b的x的取值集合．已知函數(shù)y＝eq\f(2kx－8,k2x2＋3kx＋1)的定義域為R，求實數(shù)k的值．錯解函數(shù)的定義域為R，即k2x2＋3kx＋1≠0對任意的實數(shù)x恒成立，∴Δ＝9k2－4k2<0，此時5k2<0，無解，∴k值不存在．錯因分析本題忽視了k＝0的討論，誤認為k2x2＋3kx＋1一定是二次函數(shù)．正解問題轉化為：求使k2x2＋3kx＋1≠0成立的k的值．(1)k＝0時，y＝eq\f(－8,1)＝－8，定義域為R，∴k＝0符合題意．(2)k≠0時，k2>0，∴k2x2＋3kx＋1≠0，即Δ＝9k2－4k2<0，此時5k2<0，無解．綜上，k＝0時函數(shù)y＝eq\f(2kx－8,k2x2＋3kx＋1)的定義域為R.高考對本節(jié)知識的考查，一是求一些簡單函數(shù)的定義域；二是考查對函數(shù)定義的理解．常以客觀題形式出現(xiàn)，屬于試卷中的容易題．1．(全國Ⅰ高考)函數(shù)y＝eq\r(x(x－1))＋eq\r(x)的定義域為()A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}解析要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x(x－1)≥0，,x≥0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1或x≤0，,x≥0.))∴函數(shù)的定義域為{x|x≥1}∪{0}．答案C2．(浙江高考)函數(shù)y＝eq\f(x2,x2＋1)(x∈R)的值域是________．解析y＝eq\f(x2,x2＋1)＝1－eq\f(1,x2＋1)，由x2＋1≥1，得0<eq\f(1,x2＋1)≤1∴－1≤－eq\f(1,x2＋1)<0，∴0≤1－eq\f(1,x2＋1)<1，即0≤y<1，∴值域為[0,1)．答案[0,1)1．下列說法中不正確的是()A．函數(shù)定義域中的每一個數(shù)都有值域中的一個數(shù)與之對應B．函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合C．定義域和對應關系確定以后，函數(shù)的值域也就隨之確定D．若函數(shù)的定義域中只有一個元素，則值域中也只有一個元素答案B解析函數(shù)的定義域和值域可能是有限集，也可能是無限集，但不能是空集，故選B.2．下列圖象中不能作為函數(shù)圖象的是()答案B解析B中的圖象與垂直于x軸的直線可能有兩個交點，顯然不滿足函數(shù)的定義，故選B.3．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．y＝x－1和y＝eq\f(x2－1,x＋1)B．y＝x和y＝eq\f(x2,x)C．y＝x2和y＝(x＋1)2D．y＝eq\f((\r(x))2,x)和y＝eq\f(x,(\r(x))2)答案D解析A，B中兩函數(shù)的定義域不同，C中的兩個函數(shù)對應關系不同，故選D.4．下列函數(shù)中，定義域不是R的是()A．y＝kx＋bB．y＝eq\f(k,x＋1)C．y＝x2－cD．y＝eq\f(1,x2＋x＋1)答案B解析選項A、C都是整式函數(shù)，符合題意，選項D中，對任意實數(shù)x都成立．5．下列對應為A到B的函數(shù)的是()A．A=R，B，f:x→y=|x|B．A=Z,B=N,f:x→y=xC.A=Z,B=Z,f:x→y=A=,B=,f:x→y=0答案D解析A、B不滿足存在性，C不滿足任意性．6．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－2,4]，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋f(－x)的定義域是()A．[－4,4]B．[－2,2]C．[－4，－2]D．[2,4]答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤4,－2≤－x≤4))，可得－2≤x≤2.7．已知f(x)＝eq\f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2.(1)求f(2)與g(a.)；(2)求g[f(2)]和f[g(x)]．解(1)f(2)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)，g(a)＝a2＋2；(2)f(2)＝eq\f(1,3)，g[f(2)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋2＝eq\f(19,9)，f[g(x)]＝f(x2＋2)＝eq\f(1,1＋(x2＋2))＝eq\f(1,3＋x2).8．已知f(x)的定義域為(0,1]，求g(x)＝f(x＋a)·f(x－a)(a≤0)的定義域．解由已知得即(a≤0)用數(shù)軸法，討論(1)當a＝0時，x∈(0,1]；(2)當a≤－eq\f(1,2)時，x∈?，即函數(shù)不存在；(3)當－eq\f(1,2)<a<0時，x∈(－a,1＋a.].學習目標1．理解函數(shù)的概念，能用集合與對應的語言刻畫函數(shù)，體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用．2．通過實例領悟構成函數(shù)的三要素；會求一些簡單函數(shù)的定義域．3．了解區(qū)間的概念，體會用區(qū)間表示數(shù)集的意義和作用．自學導引B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y＝f(x)，x∈A.(其中x叫自變量)，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y＝f(x)，x∈A.(其中x叫自變量)，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．2．函數(shù)的三要素是定義域、值域和對應法則．3．由于值域是由函數(shù)的定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相同．4．(1)滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．(2)滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a，b)．(3)滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a，b)，(a.，b]．(4)實數(shù)集R用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)．(5)把滿足x≥a，x>a，x≤b，x<b的實數(shù)x的集合分別表示為[a，＋∞)，(a.，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b).一、判斷對應是否為函數(shù)例1判斷下列對應是否為函數(shù)：(1)，x≠0，x∈R；(2)x→y，這里y2＝x，x∈N，y∈R；(3)集合A＝R，B＝{－1,1}，對應關系f：當x為有理數(shù)時，f(x)＝－1；當x為無理數(shù)時，f(x)＝1，該對應是不是從A到B的函數(shù)？分析函數(shù)是一種特殊的對應，要檢驗給定兩個變量之間是否具有函數(shù)關系，只要檢驗：(1)定義域和對應關系是否給出；(2)根據給出的對應關系，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都有唯一確定的函數(shù)值y與之對應．解(1)對于任意一個非零實數(shù)x,被x為以確定，所以當x0時，是函數(shù)，這個函數(shù)也可以表示為f(x)＝eq\f(2,x)(x≠0)．(3)是函數(shù)，滿足函數(shù)的定義，在A中任取一個值，B中有唯一確定的值和它對應．點評判斷函數(shù)的標準可以簡記成：兩個非空數(shù)集A、B，一個對應關系f，A中任一對B中唯一(即多對一或一對一)．變式遷移1判斷下列對應是否為集合A到集合B的函數(shù)：(1)A=R,B=R,對任意的；（2）A=,對任意的（x,y）,(x,y)；(3)A=B=N,對任意的A,x→|x－3|.解(1)是．(2)不是，因為集合A不是數(shù)集．(3)不是，因為當x＝3時，在集合B中不存在數(shù)值與之對應．二、已知解析式求函數(shù)的定義域例2求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝3－eq\f(1,2)x；(2)y＝eq\f(3,1－\r(1－x))；(3)y＝eq\f(\r(－x),2x2－3x－2)；(4)y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x).分析求函數(shù)定義域，其實質是求使解析式各部分都有意義的未知數(shù)的取值范圍．解(1)函數(shù)y＝3－eq\f(1,2)x的定義域為R；(2)要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1,x≠0))?x≤1且x≠0，所以函數(shù)y＝eq\f(3,1－\r(1－x))的定義域為{x|x≤1且x≠0}＝(－∞，0)∪(0,1]；(3)要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x≥0，,2x2－3x－2≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x≠2且x≠－\f(1,2)))?x≤0且x≠－eq\f(1,2).故函數(shù)y＝eq\f(\r(－x),2x2－3x－2)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤0且x≠－\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))；(4)要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3≥0，,2－x>0，,x≠0.))解得－eq\f(3,2)≤x<2且x≠0，所以函數(shù)y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x<2且x≠0))＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))∪(0,2)．點評求函數(shù)定義域的原則：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被開方數(shù)(式)為非負數(shù)；(3)零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零等．變式遷移2求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\f(6,x2－3x＋2)；(2)f(x)＝eq\r(3x－1)＋eq\r(1－2x)＋4；(3)f(x)＝eq\f((x＋1)0,|x|－x).解(1)由x2－3x＋2≠0，得：x≠1，x≠2∴f(x)＝eq\f(6,x2－3x＋2)的定義域是{x∈R|x≠1且x≠2}．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1≥0,1－2x≥0))，得eq\f(1,3)≤x≤eq\f(1,2).∴f(x)＝eq\r(3x－1)＋eq\r(1－2x)＋4的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0,|x|－x≠0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1,|x|≠x，))∴x<0且x≠－1，∴原函數(shù)的定義域為{x|x<0且x≠－1}．三、兩函數(shù)相同的判定例3下列各題中兩個函數(shù)是否表示同一函數(shù)：(1)f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2；(2)f(x)＝x，g(x)＝eq\r(x2)；(3)f(t)＝t，g(x)＝eq\r(3,x3)；(4)f(x)＝eq\f(x2－4,x－2)，g(x)＝x＋2.分析要判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，關鍵在于看函數(shù)的兩要素：定義域和對應關系是否相同，兩者只要有一個不同，兩個函數(shù)就不是同一函數(shù)．解(1)f(x)的定義域為R，g(x)的定義域為{x|x≥0}，兩個函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù)．(2)g(x)＝eq\r(x2)＝|x|，兩個函數(shù)對應關系不同，故不是同一函數(shù)．(3)g(x)＝x，兩者的定義域和對應關系相同，故是同一函數(shù)．(4)f(x)的定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定義域為R，故不是同一函數(shù)．點評只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關系都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，這就是說：(1)定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；(2)對應關系不同，兩個函數(shù)也是不同的；(3)即使是定義域和值域分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應關系．(4)兩個函數(shù)是否相同，與自變量是什么字母無關．變式遷移3試判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)：(1)f(x)＝eq\r(x)·eq\r(x＋1)與g(x)＝eq\r(x(x＋1))；(2)f(x)＝x2－2x與g(t)＝t2－2t；(3)f(x)＝1與g(x)＝x0(x≠0)．解(2)是，(1)、(3)不是．對于(1)，f(x)的定義域為[0，＋∞)，而g(x)定義域為(－∞，－1]∪[0，＋∞)．(3)也是定義域不同．四、求函數(shù)的值域例4(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，定義域A＝{0,1,2,3}，求這個函數(shù)的值域；(2)求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2＋1)，x∈R，在x＝0,1,2處的函數(shù)值及該函數(shù)的值域．解(1)函數(shù)的定義域為A＝{0,1,2,3}，分別令x＝0,1,2,3得相應的函數(shù)值分別為0，－1,0,3，于是知，函數(shù)的值域為{－1,0,3}．(2)f(0)＝1，f(1)＝eq\f(1,2)，f(2)＝eq\f(1,5).容易看出，這個函數(shù)當x＝0時，取得最大值，當自變量x的絕對值逐漸變大時，函數(shù)值逐漸變小并無限接近于0，但永遠不會等于0.從而可知，這個函數(shù)的值域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝\f(1,x2＋1)，x∈R))＝(0,1]．點評(1)求函數(shù)的值域的問題首先必須明確兩點：一是值域的概念，即對于定義域A上的函數(shù)，其值域是指集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函數(shù)的定義域和對應關系．對應關系相同，而定義域不同，其值域肯定不同，如f(x)＝x2－2x，x∈[0,2]與f(x)＝x2－2x，x∈R.(2)求函數(shù)的值域沒有固定的方法和模式，就目前階段主要用觀察法求值域，但函數(shù)的圖象在求函數(shù)的值域中也起著十分重要的作用．變式遷移4(1)函數(shù)f(x)＝eq\r(x－1)的值域為(用區(qū)間表示)________；(2)函數(shù)y＝eq\f(2,x)(1≤x≤2)的值域為(用區(qū)間表示)______．答案(1)[0，＋∞)(2)[1,2]1．函數(shù)符號y＝f(x)是難以理解的抽象符號，它的內涵是“對于定義域中的任意x，在對應關系f的作用下即可得到y(tǒng)”．在學習過程中，不容易認識到函數(shù)概念的整體性，而將函數(shù)單一地理解成函數(shù)中的對應關系，甚至認為函數(shù)就是函數(shù)值．2．正確理解函數(shù)的三要素，其中對應關系是函數(shù)的核心，而函數(shù)的定義域就是指能使這個解析式有意義的所有實數(shù)的集合，在實際問題中，還必須考慮自變量的取值應符合實際意義．3．區(qū)間是某些數(shù)集的一種重要表示形式，具有簡單直觀的優(yōu)點，因此是表示函數(shù)的定義域、值域及不等式解集的重要工具．一、選擇題1．下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是()A．y＝eq\f(x2－9,x－3)與y＝x＋3B．y＝eq\r(x2)－1與y＝x－1C．y＝x0(x≠0)與y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z答案C解析A中的兩函數(shù)定義域不同，B中的兩函數(shù)值域不同，D中的兩函數(shù)對應法則不同．C正確．2．下列集合A，B及對應關系不能構成函數(shù)的是()A．A＝B＝R，f(x)＝|x|B．A＝B＝R，f(x)＝eq\f(1,x)C．A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3D．A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0答案B解析在B項中f(0)無意義，即A中的數(shù)0在B中找不到和它的對應的數(shù)．3．設f(x)＝eq\f(x2－1,x2＋1)，則eq\f(f(2),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))等于()A．1B．－1C.eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)答案B解析∵f(2)＝eq\f(22－1,22＋1)＝eq\f(3,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1)＝－eq\f(3,5)∴eq\f(f(2),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝－14．函數(shù)y＝eq\f((x－1)0,\r(|x|＋x))的定義域是()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≠0,|x|＋x>0))，得x>0且x≠1.5．給出四個命題：①函數(shù)就是定義域到值域的對應關系；②若函數(shù)的定義域只含有一個元素，則值域也只含有一個元素；③因f(x)＝5(x∈R)，這個函數(shù)值不隨x的變化而變化，所以f(0)＝5也成立；④定義域和對應關系確定后，函數(shù)值域也就確定了．以上命題正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個答案D二、填空題6．將集合{x|x＝1或2≤x≤8}表示成區(qū)間為____________．答案{1}∪[2,8]7．若f(x)＝eq\f(5x,x2＋1)，且f(a)＝2，則a＝________.答案2或eq\f(1,2)8．函數(shù)y＝x2－x(－1≤x≤4，x∈Z)的值域為________．答案{0,2,6,12}三、解答題9．求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)＝eq\f(\r(5－x),|x|－3)；(2)y＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x).解(1)要使函數(shù)有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0,|x|－3≠0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤5,x≠±3))，在數(shù)軸上標出，如圖，即x<－3或－3<x<3或3<x≤5.故函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．當然也可以表示為{x|x<－3或－3<x<3或3<x≤5}．(2)要使函數(shù)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0,1－x≥0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1,x≤1))，所以x＝1，從而函數(shù)的定義域為{1}．10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))；(2)由(1)中求得結果，你能發(fā)現(xiàn)f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))有什么關系？并證明你的發(fā)現(xiàn)；(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2008)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2008))).解(1)∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)＝eq\f(22,1＋22)＝eq\f(4,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(1,5)，f(3)＝eq\f(32,1＋32)＝eq\f(9,10)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(1,10).(2)由(1)可發(fā)現(xiàn)f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝1，證明如下：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(1,1＋x2)＝1.(3)由(2)知：f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝1，…，f(2008)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2008)))＝1，∴原式＝eq\f(1,2)＋1＋1＋1＋…＋eq\o(1,\s\do4(2007個))＝2007＋eq\f(1,2)＝eq\f(4015,2).1．函數(shù)的表示法1．函數(shù)的表示方法(1)表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、圖象法．①解析法就是把兩個變量的函數(shù)關系，用一個數(shù)學表達式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式．②列表法就是列出表格來表示兩個變量之間的函數(shù)關系．③圖象法就是用函數(shù)的圖象表示兩個變量之間的函數(shù)關系．(2)三種方法的優(yōu)缺點：①解析法優(yōu)點：一是簡明、全面地概括了變量間的關系；二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數(shù)值．缺點：不夠形象、直觀、具體，而且并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示出來．②列表法優(yōu)點：不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應的函數(shù)值．缺點：它只能表示自變量較少的有限值的對應關系．③圖象法優(yōu)點：能直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況．缺點：只能近似地求出自變量的值所對應的函數(shù)值，而且有時誤差較大．2．分段函數(shù)在函數(shù)定義域內，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)．對分段函數(shù)的概念必須注意：(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．例如，已知一個函數(shù)y=f(x)的定義域為區(qū)間[0,2]，當x∈[0,1]時，對應關系為y=x；當x∈(1,2]時，對應關系為y=2-x，則函數(shù)用解析法可表示為y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x∈[0,1],2-x，x∈(1,2]))，用圖象表示這個函數(shù)，它由兩條線段組成，如圖所示．,注意：分段函數(shù)的圖象是由幾個不同的部分組成，作分段函數(shù)的圖象時，應根據不同定義域上的不同解析式分別作出．,,B.,→B.,對映射概念的理解：,B，其中A，B是兩個非空集合；A到B的映射與B到A的映射往往不同；,→B，其中A，B是兩個非空集合；A到B的映射與B到A的映射往往不同；,(2)集合A中每一個元素在集合B中必有唯一的元素和它對應(有，且唯一)；,B(A，B是非空集合)，允許B中元素沒有被A中元素對應，A中元素與B中元素對應，可以是“一對一”、“多對一”，但不能是“一對多”．,→B(A，B是非空集合)，允許B中元素沒有被A中元素對應，A中元素與B中元素對應，可以是“一對一”、“多對一”，但不能是“一對多”．,(4)函數(shù)是集合A，B為非空數(shù)集的一種特殊映射，映射是函數(shù)概念的推廣題型一映射概念的理解,,(1)在下列對應關系中，哪些能構成A到B的映射？,(2)設集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列的對應不表示從P到Q的映射的是()A.f:,y＝eq\f(1,2)xB.f:xy＝eq\f(1,3)xC.f:xy＝eq\f(2,3)xD.f:x→y＝eq\r(x)(1)解判斷一個對應是否是映射，關鍵是看這個對應是否滿足映射的特性．對于①，是多對一，且每個元素都有象，因此是映射；對于②、③，也滿足映射的定義；對于④，有一個元素沒有象，不滿足映射的存在性；對于⑤，元素a.有兩個象，不滿足唯一性，因此也不是映射．所以只有①、②、③是映射．(2)解析判斷集合P中任何一個元素能否在集合Q中都有唯一確定的元素與它對應．由于是選擇題，可直接找出不是映射的對應．通過對比發(fā)現(xiàn)，在對應關系f:xy＝eq\f(2,3)x的作用下，4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)>2.答案C點評在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的對應元素，不會出現(xiàn)一對多的情形．只能是“多對一”或“一對一”形式．題型二分段函數(shù)的圖象及應用求下列函數(shù)的圖象及值域：(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)(0<x<1),x(x≥1)))；(2)y＝|x＋1|＋|x－2|.分析解答本題可先將解析式化簡，然后畫出函數(shù)圖象，再根據圖象得到函數(shù)的值域．解(1)函數(shù)y=的圖象如圖，觀察圖象，得函數(shù)的值域為[1，+∞)．(2)將原函數(shù)的解析式中的絕對值符號去掉，化為分段函數(shù)y=.它的圖象如圖．觀察圖象，顯然函數(shù)值y≥3，所以函數(shù)的值域為[3，+∞)．點評本例利用圖象法求函數(shù)值域，其關鍵是準確作出分段函數(shù)的圖象．由于分段函數(shù)在定義域的不同區(qū)間內解析式不一樣，因此畫圖象時要特別注意區(qū)間端點處對應點的實虛之分．題型三求函數(shù)解析式已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下圖中的兩條射線和拋物線的一部分組成，求函數(shù)的解析式．解根據圖象可知，設左側射線對應的函數(shù)解析式為y=kx+b(x<1)，因為點(1,1)，(0,2)在射線上，所以

解得

所以左側射線對應的函數(shù)解析式為y=-x+2(x<1)．同理x>3時，函數(shù)的解析式為y=x-2(x>3)．設拋物線對應的二次函數(shù)解析式為y=a(x-2)2+2(1≤x≤3，a<0)．因為點(1,1)在拋物線上，所以a+2=1，a=-1.所以1≤x≤3時，函數(shù)的解析式為y=-x2+4x-2(1≤x≤3)．綜上可知，函數(shù)的解析式為y=點評圖中給定的圖象實際上是一個分段函數(shù)的圖象，對各段函數(shù)解析式進行求解時，一定要注意其區(qū)間的端點．已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．錯解∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，設t＝x2＋2，則f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.錯因分析本題錯解的原因是忽略了函數(shù)f(x)的定義域．上面的解法，似乎是無懈可擊，然而從其結論，即f(x)＝x2－4來看，并未注明f(x)的定義域，那么按一般理解，就應認為其定義域是全體實數(shù)．但是f(x)＝x2－4的定義域不是全體實數(shù)．正解∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，令t＝x2＋2(t≥2)，則f(t)＝t2－4(t≥2)，∴f(x)＝x2－4(x≥2)．函數(shù)的表示法是高考考查的熱點，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)居多，主要考查數(shù)學語言(表格、圖象、符號)、識圖和用圖的能力；分段函數(shù)知識，是高考卷中體現(xiàn)較多的，同時也是較基礎的知識點；映射是函數(shù)知識的一個應用，近兩年高考涉及很少．1．(安徽高考)圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為()A．y=|x-1|(0≤x≤2)B．y=|x-1|(0≤x≤2)C．y=-|x-1|(0≤x≤2)D．y=1-|x-1|(0≤x≤2)解析方法一(特殊值)取x=0可排除A、C，取x=1可排除D，故選B.方法二(直接法)0≤x<1時，k=，則y=x；1≤x≤2時線段過(1，)，(2,0)兩點，則k=-，∴y=-(x-2)．∴y=分析答案知選B.答案B2．(天津質檢)已知函數(shù)y＝f(x)，x∈[a.，b]且A＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a.，b]}，B＝{(x，y)|x＝1}，則A∩B中所含元素的個數(shù)是()A．0B．1C．0或1D解析若1∈[a，b]，則根據函數(shù)定義知，x＝1與y＝f(x)交點只有一個，若1?[a，b]，則A∩B＝?，∴應選C.答案C1．已知f(x)＝x2＋px＋q滿足f(1)＝f(2)＝0，則f(－1)的值為()A．5B．－5C．6D答案C解析由f(1)＝f(2)＝0，得p＝－3，q＝2，故f(x)＝x2－3x＋2，于是f(－1)＝6.2．以下幾個論斷：①從映射角度看，函數(shù)是其定義域到值域的映射；②函數(shù)y＝x－1，x∈Z且x∈(－3,3]的圖象是一條線段；③函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0,－x2，x<0))的圖象是拋物線．其中正確的論斷有()A．0個B．1個C．2個D．3個答案B解析函數(shù)是特殊的映射，由此知①正確；②中的定義域為{－2，－1,0,1,2,3}，它的圖象是直線y＝x－1上的六個孤立的點；③是分段函數(shù)，它的圖象不是拋物線．因此，②、③都不正確．3．已知集合M＝{0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，則下列對應關系中，不能構成M到P的映射的是()A．f:x→y＝eq\f(1,2)xB．f:x→y＝eq\f(1,3)xC.f:x→y＝x:x→y＝eq\f(1,6)x答案C解析由映射定義判斷，選項C中，x＝6時，y＝6?P.4．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的圖象是()答案C解析f(x)=x+的定義域為{x|x∈R，且x≠0}，所以f(x)=，由此即得．5．某城市出租車起步價為10元，最長可租乘3km(含3km)，以后每1km為1.6元(不足1km，按1km計費)，答案C解析由題意，當0<x≤3時，y=10；當3<x≤4時，y=11.6；當4<x≤5時，y=13.2；…當n-1<x≤n時，y=10+(n-3)×1.6.6．向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h之間的函數(shù)關系如圖(1)所示，那么水瓶的形狀(如圖(2)所示)是()答案B解析解決這道函數(shù)應用題，不可能列出V與h的精確解析式，需要對圖形進行整體把握，取特殊值加以分析或通過觀察已知圖象的特征，取模型來判斷．方法一很明顯，從V與h的函數(shù)圖象上看，V從0開始后，h先增加較慢，后增加較快，因此應是底大口小的容器．方法二取特殊值當h=時，V>，而通過觀察可以看出C，D圖中的水瓶的容量恰好是，A圖中的水瓶的容量小于，不符合上述分析，排除A，C，D選項．7．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－5(x≥6),f(x＋2)(x<6)))，則f(3)＝________.答案2解析f(3)＝f(5)＝f(7)＝7－5＝2.8．已知函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函數(shù)，g(x)是x的反比例函數(shù)，且Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝16，F(xiàn)(1)＝8，則F(x)的解析式為____________．答案F(x)＝3x＋eq\f(5,x)解析設f(x)＝kx，g(x)＝eq\f(m,x)(k≠0，m≠0)，則F(x)＝kx＋eq\f(m,x).由Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝16，F(xiàn)(1)＝8，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)k＋3m＝16，,k＋m＝8)).解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝3,m＝5))，所以F(x)＝3x＋eq\f(5,x).9．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0,0，x<0))則不等式xf(x)＋x≤2的解集是__________．答案{x|x≤1}解析當x≥0時，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；當x<0時，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，∴x<0.綜上可知x≤1.10．動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)順次經過B、C、D再回到A，設x表示P點的行程，f(x)表示PA的長，求f(x)的解析式．解如圖，當P點在AB上運動時，PA＝x；當P點在BC上運動時，由Rt△ABP可得PA＝eq\r(1＋(x－1)2)；當P點在CD上運動時，由Rt△ADP可得PA=；當P點在DA上運動時，PA=4-x.故f(x)的表達式為：f(x)=1．函數(shù)的表示法(一)學習目標1．掌握函數(shù)的三種表示方法：列表法、圖象法、解析法，體會三種表示方法的特點．2．掌握函數(shù)圖象的畫法及解析式的求法.自學導引表示函數(shù)的方法常用的有：解析法、圖象法、列表法．(1)解析法——用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系；(2)圖象法——用圖象表示兩個變量之間的對應關系；(3)列表法——列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.一、函數(shù)的表示法例1已知完成某項任務的時間t與參加完成此項任務的人數(shù)x之間適合關系式t＝a.x＋eq\f(b,x)，當x＝2時，t＝100；當x＝14時，t＝28，且參加此項任務的人數(shù)不能超過20人．(1)寫出函數(shù)t的解析式；(2)用列表法表示此函數(shù)；(3)畫出函數(shù)t的圖象；(4)根據(2)(3)分析：隨著工作人數(shù)的增加，工作效率的變化情況．分析可用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．解(1)由題設條件知：當x＝2時，t＝100，當x＝14時，t＝28得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(14b＝(a－1)2.,＋\f(b,14)＝28，,2b＝(a－1)2.,＋\f(b,2)＝100.))解此方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝(a－1)2.,＝1，,b＝196.))所以t＝x＋eq\f(196,x)，又因為x≤20，x為正整數(shù)，所以函數(shù)的定義域是{x|0<x≤20，x∈N*}．y，這里y2＝x，x∈N，y∈R；＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20個值，列表如下：x12345678910t19710053351112131415161718192028注：表中的部分數(shù)據是近似值．(3)函數(shù)t的圖象是由20個點組成的一個點列．如圖所示．(4)自變量x共取1～20之間的20個正整數(shù)，從表中的函數(shù)值可以看出完成任務的時間與參加任務的人數(shù)之間的關系，一開始，完成任務的時間隨著人數(shù)的增加而減少，而當人數(shù)增加到一定的數(shù)量，完成工作的時間減少得很慢，人數(shù)在達到7人以后，至14人之間，完成工作的時間基本上變化不大；再增加人數(shù)，完成工作的時間反而有所增加．由函數(shù)的圖象的變化也可以看出上面分析的結果．可以再設想，假設工作的人數(shù)沒有限制，x再增大時，比如，x=50,100,196,392等數(shù)值，則完成工作的時間t=53.92,101.96,197,392.5，由此可見，工作效率隨著人數(shù)的增加反而降低．列表→列表→描點，畫出圖象，然后再總結出函數(shù)的性質．三種方法相互兼容和補充，各有優(yōu)缺點，在實際操作中，仍以解析法為主．變式遷移1(1)某城市在某一年里各月份毛線的零售量(單位：100kg)如表所示：月份t123456789101112零售量y818445469561594161144123則零售量是否為月份的函數(shù)？為什么？(2)由下列圖形是否能確定y是x的函數(shù)？解(1)是函數(shù)．∵對于集合{1,2，…，12}中的任一個值，由表可知y都有唯一確定的值與它對應，∴由它可確定為y是t的函數(shù)．(2)①不能確定為y是x的函數(shù)．∵當x＝0時，由圖①可確定y有兩個值±1與它對應；②能確定y是x的函數(shù)．∵當x在{x|x<－1或x≥1}中任取一個值時，由圖②可確定唯一的y的值與它對應；③能確定y是x的函數(shù)．∵當x在{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任取一個值時，由圖③可確定y有唯一的值與它對應；④能確定y是x的函數(shù)，∵當對于R上任意的x，由圖④都能確定唯一的y值與之對應．二、函數(shù)解析式的求法例2求下列函數(shù)的解析式：(1)已知：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)＝a.x2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．分析求函數(shù)的解析式的方法主要有：換元法、配湊法、待定系數(shù)法、解方程組法以及求實際問題的解析式．在求解的過程中要根據題目的結構特征，選擇適當?shù)姆椒ㄟM行求解．解(1)方法一(配湊法)x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x))2＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1，∴f(eq\r(x)＋1)＝(eq\r(x)＋1)2－1(eq\r(x)＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(換元法)令t＝eq\r(x)＋1，x＝(t－1)2，t≥1.代入原式有，f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1(t≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)∵f(0)＝c＝0，∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1.∴?∴f(x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x.點評(1)中方法一為配湊法，這種解法對變形能力、觀察能力有較高的要求；方法二為換元法，換元法是求解函數(shù)解析式的基本方法，在不清楚函數(shù)模型的情況下往往運用此法．但要注意自變量的取值范圍的變化情況，否則就得不到正確的表達式．(2)中解法稱為待定系數(shù)法，我們只要清楚所求函數(shù)解析式的類型，便可設出其函數(shù)解析式，只要想法確定其系數(shù)即可求出結果．變式遷移2已知f(2x＋1)＝x2＋1，求f(x)的解析式．解設t＝2x＋1，則x＝eq\f(t－1,2)，∴f(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t－1,2)))2＋1.∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)))2＋1.三、函數(shù)圖象的作法例3作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y＝1－x，x∈Z；(2)y＝|x－1|(x>0)．解(1)因為x∈Z，所以函數(shù)圖象是由一些點組成的，這些點都在直線y＝1－x上．(如圖①)(2)所給函數(shù)可化簡為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1(x≥1)，,1－x(0<x<1)，))是一條折線．(如圖②)點評函數(shù)圖象的作法大致有兩種：(1)描點作圖法：步驟分三步，列表、描點、連線成圖．必要時，先對其函數(shù)定義域及性質進行研究，再分三步完成圖象．(2)圖象變換法：利用基本函數(shù)圖象作出所求圖象，這種方法是一種常見的重要的方法．另外：作函數(shù)圖象要注意函數(shù)的定義域，函數(shù)能化簡的盡量先化簡(等價轉化)．變式遷移3①若(1)中定義域為{x|x≤0}；②若(2)中定義域為{x|x≥1或x≤－1}．解析式不變，應如何作圖．解①如圖所示②y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1(x≥1)，,1－x(x≤－1)，))如圖所示1．函數(shù)的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法．2．畫函數(shù)圖象的方法：(1)列表、描點、連線；(2)圖象變換．3．求函數(shù)解析式的方法有：換元法、配湊法、待定系數(shù)法等．一、選擇題1．下圖中，可表示函數(shù)y＝f(x)的圖象的只可能是()答案D解析只有D符合函數(shù)定義，即在定義域內每一個x對應唯一的y值．2．下列表格中的x與y能構成函數(shù)的是()A.x非負數(shù)非正數(shù)y1－1B.x奇數(shù)0偶數(shù)y10－1C.x有理數(shù)無理數(shù)y1－1D.x自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)y10－1答案C解析A中，當x＝0時，y＝±1；B中0是偶數(shù)，當x＝0時，y＝0或y＝－1，D中自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)之間存在包含關系，如x＝1∈N(Z，Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正確．3．若f(1－2x)＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))等于()A．1B．3C．15D答案C解析方法一令1－2x＝t，則x＝eq\f(1－t,2)(t≠1)，∴f(t)＝eq\f(4,(t－1)2)－1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝16－1＝15.方法二令1－2x＝eq\f(1,2)，得x＝eq\f(1,4)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝16－1＝15.4．已知f(x)是一次函數(shù)，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則f(xA．3x＋2B．3x－2C．2x＋3D．2x－3答案B解析設f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵2f(2)－3f(1)＝5,2f∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－b＝5,k＋b＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝3,b＝－2))，∴f(x)＝3x－2.5．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝m的交點個數(shù)為()A．可能無數(shù)B．只有一個C．至多一個D．至少一個答案C解析設函數(shù)f(x)的定義域為D，則當m∈D時，f(x)圖象與直線x＝m有且只有一個交點；當m?D時，f(x)圖象與直線x＝m無交點．二、填空題6．已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a)＝4，則a的值為______．答案5解析∵f(2x＋1)＝3x－2＝eq\f(3,2)(2x＋1)－eq\f(7,2)∴f(x)＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,2)∴f(a)＝4，即eq\f(3,2)a－eq\f(7,2)＝4∴a＝57．一水池有2個進水口，1個出水口，進出水速度如圖甲、乙所示．某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個水口)給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到6點不進水不出水．則一定能確定正確的論斷序號是________．答案①解析設進水量為y1，出水量為y2，時間為t，由圖象知y1＝t，y2＝2t.由圖丙知，從0～3時蓄水量由0變?yōu)?，說明0～3時兩個進水口均打開進水但不出水，故①正確；3～4時蓄水量隨時間增加而減少且每小時減少一個單位，若3～4點不進水只出水，應每小時減少兩個單位，故②不正確；4～6時為水平線說明水量不發(fā)生變化，應該是所有水口都打開，進出均衡，故③亦不正確．所以正確序號只有①.8．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．x123f(x)211x123g(x)321則f[g(1)]的值為____________；當g[f(x)]＝2時，x＝__________.答案11解析(1)f[g(1)]＝f(3)＝1；(2)g[f(x)]＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.1．函數(shù)的表示法(二)學習目標1．了解分段函數(shù)的概念，會畫分段函數(shù)的圖象，并能解決相關問題．2．了解映射的概念及含義，會判斷給定的對應關系是否是映射．自學導引1．分段函數(shù)(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數(shù)．(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．(3)作分段函數(shù)圖象時，應分別作出每一段的圖象．2．映射的概念B為從集合A到集合B的一個映射．→B為從集合A到集合B的一個映射．2．映射與函數(shù)由映射的定義可以看出，映射是函數(shù)概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射，要注意構成函數(shù)的兩個集合A，B必須是非空數(shù)集.一、分段函數(shù)的求值問題例1已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2(x≤－1)，,x2(－1<x<2)，,2x(x≥2).))(1)求f[f(eq\r(3))]的值；(2)若f(a)＝3，求a的值．分析本題給出的是一個分段函數(shù)，函數(shù)值的取得直接依賴于自變量x屬于哪一個區(qū)間，所以要對x的可能范圍逐段進行討論．解(1)∵－1<eq\r(3)<2.∴f(eq\r(3))＝(eq\r(3))2＝3.而3≥2，∴f[f(eq\r(3))]＝f(3)＝2×3＝6.(2)當a≤－1時，f(a)＝a＋2，又f(a)＝3，∴a＝1(舍去)；當－1<a<2時，f(a)＝a2，又f(a)＝3，∴a＝±eq\r(3)，其中負值舍去，∴a＝eq\r(3)；當a≥2時，f(a)＝2a，又f(a)＝3，∴a＝eq\f(3,2)(舍去)．綜上所述，a＝eq\r(3).點評對于f(a)，究竟用分段函數(shù)中的哪一個對應關系，與a所在范圍有關，因此要對a進行討論．由此我們可以看到：(1)分段函數(shù)的函數(shù)值要分段去求；(2)分類討論不是隨意的，它是根據解題過程中的需要而產生的．變式遷移1設f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1(x≥0)，,\f(1,x)(x<0)，))若f(a)>a，