2023年廣東省深圳市紅嶺高三下學期第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的實軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上運動，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知x，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．雙曲線的右焦點為，過點且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點，與雙曲線的其中一個交點為，若，且，則該雙曲線的離心率為()A． B． C． D．6．已知直線與直線則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．定義在R上的函數(shù)，，若在區(qū)間上為增函數(shù)，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．8．如圖所示點是拋物線的焦點，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，且總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（）A． B． C． D．9．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．10．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．411．如圖，四邊形為平行四邊形，為中點，為的三等分點（靠近）若，則的值為（）A． B． C． D．12．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是上的單調(diào)函數(shù)的是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為偶函數(shù)，當時，，則__________．14．（5分）已知為實數(shù)，向量，，且，則____________．15．六位同學坐在一排，現(xiàn)讓六位同學重新坐，恰有兩位同學坐自己原來的位置，則不同的坐法有________種（用數(shù)字回答）.16．若，則=____，=___.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，解關于x的不等式；（2）當時，若對任意實數(shù)，都成立，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)，試討論的單調(diào)性；（2）若，，求的取值范圍.19．（12分）已知在多面體中，平面平面，且四邊形為正方形，且//，，，點，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù).（1）若在處導數(shù)相等，證明：；（2）若對于任意，直線與曲線都有唯一公共點，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前n項和，對于任意的滿足關系式.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列的通項公式是，前n項和為，求證：對于任意的正數(shù)n，總有.22．（10分）某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的人的得分（滿分：分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下表所示．組別頻數(shù)（1）已知此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，近似為這人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案.（?。┑梅植坏陀诘目梢垣@贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費；（ⅱ）每次贈送的隨機話費和相應的概率如下表.贈送的隨機話費/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列及數(shù)學期望．附：，若，則，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

分別取、的中點、，連接、、，利用二面角的定義轉化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，，，且、分別為、的中點，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內(nèi)，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題．2．A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設點在雙曲線右支上運動，則，當時，此時，所以，，所以；當軸時，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的性質及其應用，本題的關鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.3．D【解析】

，不能得到，成立也不能推出，即可得到答案.【詳解】因為x，，當時，不妨取，，故時，不成立，當時，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D【點睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.4．D【解析】

連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設正方體的棱長為2，取的中點為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設正方體的棱長為2，則，，在等腰中，取的中點為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質和二倍角公式，還考查空間思維和計算能力.5．D【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點，再利用，求出點，因為點在雙曲線上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率．【詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線方程整理得：，又因為，即可得到，故選：D．【點睛】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質和向量的坐標運算，離心率問題關鍵尋求關于，，的方程或不等式，由此計算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題．6．B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【詳解】若，則，故或，當時，直線，直線，此時兩條直線平行；當時，直線，直線，此時兩條直線平行.所以當時，推不出，故“”是“”的不充分條件，當時，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷，前者應根據(jù)系數(shù)關系來考慮，后者依據(jù)兩個條件之間的推出關系，本題屬于中檔題.7．D【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性對選項逐個判斷即可．【詳解】由條件可得函數(shù)關于直線對稱；在，上單調(diào)遞增，且在時使得；又，，所以選項成立；，比離對稱軸遠，可得，選項成立；，，可知比離對稱軸遠，選項成立；，符號不定，，無法比較大小，不一定成立．故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質及其應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8．B【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標和準線方程，結合定義表示出；根據(jù)拋物線與圓的位置關系和特點，求得點橫坐標的取值范圍，即可由的周長求得其范圍.【詳解】拋物線，則焦點，準線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，圓，圓心為，半徑為，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，解得交點橫坐標為2.點、分別在兩個曲線上，總是平行于軸，因而兩點不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長為，所以，故選：B.【點睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質的簡單應用，圓的幾何性質應用，屬于中檔題.9．B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結合特殊值進行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當m，n時，檢驗可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或對數(shù)的大小關系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質，結合特值法得出選項.10．C【解析】

將直線方程代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系和拋物線的定義即可得出的值．【詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【點睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．11．D【解析】

使用不同方法用表示出，結合平面向量的基本定理列出方程解出．【詳解】解：，又解得，所以故選：D【點睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎題．12．C【解析】

對選項逐個驗證即得答案.【詳解】對于，，是偶函數(shù)，故選項錯誤；對于，，定義域為，在上不是單調(diào)函數(shù)，故選項錯誤；對于，當時，；當時，；又時，.綜上，對，都有，是奇函數(shù).又時，是開口向上的拋物線，對稱軸，在上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故選項正確；對于，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，但，在上不是單調(diào)函數(shù)，故選項錯誤.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)的基本性質，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由偶函數(shù)的性質直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的運算，考查運算求解能力14．5【解析】

由，，且，得，解得，則，則．15．135【解析】

根據(jù)題意先確定2個人位置不變，共有種選擇，再確定4個人坐4個位置，但是不能坐原來的位置，計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意先確定2個人位置不變，共有種選擇.再確定4個人坐4個位置，但是不能坐原來的位置，共有種選擇，故不同的坐法有.故答案為：.【點睛】本題考查了分步乘法原理，意在考查學生的計算能力和應用能力.16．12821【解析】

令，求得的值.利用展開式的通項公式，求得的值.【詳解】令，得.展開式的通項公式為，當時，為，即.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數(shù)有關問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）當時，利用含有一個絕對值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）對分成和兩類，利用零點分段法去絕對值，將表示為分段函數(shù)的形式，求得的最小值，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，由得由得解：，得∴當時，關于的不等式的解集為（2）①當時，，所以在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以，由題設得，解得.②當時，同理求得.綜上所述，的取值范圍為.【點睛】本小題主要考查含有一個絕對值不等式的求法，考查利用零點分段法解含有兩個絕對值的不等式，屬于中檔題.18．（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）由于函數(shù)，得出，分類討論當和時，的正負，進而得出的單調(diào)性；（2）求出，令，得，設，通過導函數(shù)，可得出在上的單調(diào)性和值域，再分類討論和時，的單調(diào)性，再結合，恒成立，即可求出的取值范圍.【詳解】解：（1）因為，所以，①當時，，在上單調(diào)遞減.②當時，令，則；令，則，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因為，可知，，令，得.設，則.當時，，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域是，即.當時，沒有實根，且，在上單調(diào)遞減，，符合題意.當時，，所以有唯一實根，當時，，在上單調(diào)遞增，，不符合題意.綜上，，即的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍，還運用了構造函數(shù)法，還考查分類討論思想和計算能力，屬于難題.19．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）構造直線所在平面，由面面平行推證線面平行；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的余弦值.【詳解】（1）過點交于點，連接，如下圖所示：因為平面平面，且交線為,又四邊形為正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因為為中點，，故可得//，為中點；又因為四邊形為等腰梯形，是的中點，故可得//；又，且平面，平面,故面面，又因為平面，故面.即證.（2）連接，，作交于點，由（1）可知平面，又因為//，故可得平面，則；又因為//，，故可得即，，兩兩垂直，則分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設面的法向量為，則，，則，可取，設平面的法向量為，則，，則，可取，可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎題.20．（I）見解析（II）【解析】

（1）由題x＞0，，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導數(shù)相等，得到，得，由韋達定理得，由基本不等式得，得，由題意得，令,則，令，，利用導數(shù)性質能證明．（2）由得，令，利用反證法可證明證明恒成立．由對任意，只有一個解，得為上的遞增函數(shù)，得，令，由此可求的取值范圍..【詳解】（I）令，得，由韋達定理得即，得令,則，令，則，得（II）由得令，