專題三：不定方程的整數(shù)解問題(含答案)

22初奧匹競培：定程整解題所謂不定方程，是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)，且未知數(shù)受到某些條件限制（如要求是有理、整數(shù)或正整數(shù)等等）的方程或方程組。數(shù)學競賽中的不定方程問題，不僅要求學生對初等數(shù)論的般理論、方法有一定的了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創(chuàng)造性地解決問題。在本專題中我們起來學習不定方程整數(shù)解的一些解法技巧?！镜A(chǔ)識．不定方程整數(shù)解的常見類型：求不定方程的整數(shù)解；判定不定方程是否有整數(shù)解；判定不定方程整數(shù)解的個數(shù)（有限個還是無限個．解不定方程整數(shù)解問題常用的解法：代數(shù)恒等變形：如因式分解法、配方法、分離整數(shù)法、換元法（參數(shù)法）等；奇偶分析法：縮小變量的范圍或性質(zhì)，得出不定方程的整數(shù)解或判定其無解；構(gòu)造法：如構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式和韋達定理等性質(zhì)；枚舉法：列舉出所有可能的情況；不等式分析法：通過不等式估算法，確定出方程中某些變量的范圍，進而求解；無窮遞推法?！拘皖}析一代恒變、式解【1已知

都是整數(shù)，且滿足

xy)

，求

xy

的最大分析：由

xy)，得(2)因為

(x2),(2)

都是整數(shù)，所以

x2，或，，y解得

x，或，或，yyyy故x的大為注一地整數(shù)

,b,c

的次程

，1可形：分，

2()()ad

求數(shù)時只把數(shù)

()

分成個數(shù)積轉(zhuǎn)為幾方組

axay#

（

ad

）解通取求符題的數(shù)?！?求方

x

2

y

2

x

的整數(shù)解

(,y

分析：原方程可化為

xy2y

，配方得

(2x2(2y32所以

(xy2)因為

(

和

(

的奇偶性不同得

xyxy

，或

xyx

，或

xyxy

，或

xyxy解得：、方

(y)8),(2,1),(【3求

x

2

xy

2

x

的非負整數(shù)解

(,y)

的組數(shù)為（）A0B1C2D、3分析：由

x

2

xy

2

x配方得

2

x3)

xy)

2

y2)

2

當當

xx0

時，左邊時，左邊

2x13所以

x0

或當

x0

時，代入原方程得

y當

x

時，代入原方程得

y

或

因此共有組非負整數(shù)解.、離數(shù)【例】已知

是整數(shù)，滿足

x0,

，則整數(shù)

的所有可能值有（

）個4B.5C.6D.82分析：由

x0,，x

a11

為整數(shù)根據(jù)整除性質(zhì)，可知：

，即

1,0,2,3,5

共個值.【例】求

x(y

的正整數(shù)解.解：原方程可化為

y

51(2)(x49xxx因為

為正整數(shù)，且

49x

是整數(shù)，所以

x

或，即

x6

或48當x6時，y；時y

舍去故所求正整數(shù)解、元

(x,y)(6,3)【例】已知：x,y為數(shù)，且

y

x2009x

，求y的大值為

分析：原方程可化為

y

x2009

，令

x2009,bx，則y

2

2

xx2011)4020(a)因為

(a)

具有相同的奇偶性，且都是正整故

ya

的最大值為

2010

二奇分法【例】證明方程

xy2

無整數(shù)分析：不妨設(shè)原方程有整數(shù)解，因為

x

2

y

2

為偶數(shù)，所以x,具相同的奇偶性若

都是偶數(shù)，令

x,yb

，代入原方程，化簡，得a

2

z

，左右奇偶數(shù)不同，矛盾。若xy都奇數(shù)，令

xab

，代入原方程，化簡，得

(a(bz因為

(b(

都是偶數(shù)，所以上式左邊為偶,邊奇數(shù)，矛盾.綜上，原方程無整數(shù)解。3【例8】

xy2

的正整數(shù)解分析：顯然y

，不妨設(shè)

xy

，由于是數(shù)，故y

的奇偶性相同，而328能被4整，偶數(shù)的平方被4除余0，奇數(shù)的平方4余，所以x

都是偶數(shù)設(shè)

x,y

，則

2282，a0，b241

，取

2對應(yīng)

2

，故只能取

2

2

，ab由x,

的對稱性，因此所求正整數(shù)解

(,y(18,2),(2,18)

.三構(gòu)法如構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式和韋達定理等性質(zhì)進行討論，且當方程有整數(shù)解時，判式為完全平方式?！?已知a,b都質(zhì)數(shù)，且

2

b

2

b，m的分析：若

2，26，22；若

，則

,b

可看作關(guān)于

的一元二次方程

x

2

的兩個根.由韋達定理，得

而

,b

都是質(zhì)數(shù)，由

，故

,b

的值只能是或11所以

m22因此，所求m的為或22.【10已

b,c

是數(shù)且足

c

2

c

，

b,c

的。分析：由

c

，可構(gòu)造以

,b

為根的一元二次程

ttc根據(jù)題意

2

c2)c

2

c(2

2

是一個完全平方式，因此存在非負整數(shù)

，使得

2)

2

2

，即

k

2

(22)

2

13所以，，得，kc所以

t

33，或a2故所求正整數(shù)四枚法

(,c)(5,2,4),(2,5,4),(5,【11方程

xy2010

共有多少個正整數(shù)解？分析：當

x(k

時，

y2010

，此時

可取1到

(2009)

，4nn一共

(2009)

個解.又x可1到2008，故原方程一共有

2008k

(2009)20092008

20092

個正整數(shù)解。注方

x(n且n

的正整數(shù)解個數(shù)為：k

(n)nn

(n2)((n2)(2思：程

xy2010

的負數(shù)共多個五不式析利用整數(shù)性或不等關(guān)確定出方程解的范圍.【例12】求程

x

35

的正整數(shù)解分：對于整數(shù)，原方程得到

x357x因為

x

，所以

235

，解得

分別取

x

和

x

得到

y

和

y即所求的解為

(y)(1,17),(2,3)注：本題也可以通過分離整數(shù)法進行討.【13求方

5(xyyz)xyz

的正整數(shù)解

(,y)

為多少組？分：方程化為

114x

①設(shè)

xy

143，1x4，所以xyz當

x

時，代入式①，得

11132，由yzyz10

，得

y

，所以

y4,5,6將x及分代入式①，得到求的解(,y,)(2,4,20),(2,5,10)當

x

時，代入式①，同樣的方法可以推,程①無整數(shù).綜上，及

,,

的對稱性，得到原方程有12組整數(shù)解5六無遞法【14試明程

x

2

y

2

2

xyz

無零數(shù)分析：我們只需考慮,

都是正整數(shù).顯然x

不能都是奇數(shù)，或一奇二偶，否則左邊為奇數(shù)，而右邊是偶數(shù)，矛盾。若x,,

是二奇一偶，不妨設(shè)

xabc

，則方程左邊＝

x

2

y

2

2

4(a

2

2

2

)

不是的倍數(shù)，而右邊是4的數(shù)矛盾。因此

,z

只能都是偶數(shù)，不妨設(shè)

xxy2y,2111

，代入原方程，得

x2y24y11111

類似于前面的討論，可以證明

x,y,11

都是偶數(shù)。如此繼續(xù)下去…我們可得到：

x

xy2

yz

z

由于上述過程可以無限地進行下去，因而

將無限地增大，即正整數(shù)

x,zkk

k

將無限地小下去，這是不可能的。故原命題得.【對訓題A組、已知滿xy，整數(shù)的值.、方程組

xyyzyz23,

的正整數(shù)解的組數(shù)是（）

C.組

4組、知關(guān)于

的一元二次方程

x

2a22

64)

無實數(shù)根，求滿足條件的正整數(shù),b

的值、已知

b,c

都是整數(shù)，且

2

，求

的值6、方程

的有序整數(shù)解

(x,)

共有

組、設(shè)自然數(shù)

滿足方程

xx

，其中xy

，則

xy

、試確定一切有理數(shù)r，得關(guān)于x的程

2

r

有根且只有整數(shù).B組8、已知

b,c

都是正整數(shù)，且滿足

2930c366

，則

的值為（）A.10B.12C.14D.169、一直角三角形兩直角邊a,b均整數(shù)，且滿足

m

，試求這個直角三角形的三邊.10、知：a為自然數(shù)，且關(guān)于x的程x1為.

至少有一個整數(shù)根，則可的11、已知三個正整數(shù)

,

的最大公約數(shù)為3，且滿足

y222

，則

x

.13、已知

b,c

均為整數(shù)，且恒有

()(x)

，則整數(shù)

＝.ab12、已知a,b為數(shù)且滿足ac7

，求abc的.C組14、已知正整數(shù)

滿足

21（為整數(shù)

的值.15、方程

x

2

xy