2011年天津大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽

PAGEPAGE82011年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題(理工類)一.填空題（153分）:f(x)

1 f(x)x1f(x,且lim1cos

4,則lim1 x e2 .x0

x0 f(x)

2x23axb,若limf(x)0,則a 2 ,b 4 .x2

xx3. exx

lnxdx exlnxC .fx,y,f(xy)xy

f(xydxdyDx軸、y軸以及Dxy1圍成,fxy)

xy1 .12xy2z1102xy2z 110.2x22xy2z1102xy2z 110.2和二.選擇題（本題15分，每小題3分）:1. 設(shè)f(x)(2x)ln(1x),則f(x)在x0處(A)f2, (B)f0, (C) f2, (D)不可導(dǎo)答:(A)yfx,yyesinx0.fx)0,則0f(x)在x 的某個(gè)鄰域中單調(diào)增, (B) f(x)在x 的某個(gè)鄰域中單調(diào)增,0 0(C) f(x)在x處取得極小, (D)f(x)在x處取得極大.0 0答:(C)yfx,fx在區(qū)間[0,a則積分axf(x)dx表示 y A0 直角三角形AOB的面積, (B)直角三角形AOC的面積,

yf(x)(C)曲邊三角形AOB的面積, (D)曲邊三角形AOC的面積.:(D) O B(a,0) x4. 設(shè)在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)f(x)0,且fx)0, fx)0. 令S1

ba

f(x)dx,S f(b)(ba), S2

1[f(a)f(b)](ba),則2(A)SS1 2

S, (B) S3

SS1

, (C) S2

SS1

, (D) S2

S S.3 1答:(C)5. 設(shè)曲面{(x,y,z)|zx2y2,0z取上側(cè)為正, 是在x0的部分,則1曲面積分(A) xdydz0, (B) zdxdy2zdxdy. (C)

y

dydz2

y2dydz,

x

dydz2

1

x2dydz,答:(B)

1x[(t1)

1(u)du]dt三.(6分)設(shè)函數(shù)fx 0 0

, x0, 其中函數(shù)處處連續(xù)討論0,

sin2

x0.fxx0.x[(t1)t2(u)du]dt

(x1)x2(u)du解 limf(x)lim 0 0x0 x0 x2

lim 0x0 2xlimx0

xx2(u)du02x

x0

x2(u)du02x0lim2x(x2)0f(0)x0 2因此, f(x)在x0處連續(xù).f(x)f(0)

x[(t1)t2(u)du]dt

(x1)x2(u)dulim

lim 0 0

lim 0 x0 x

x0

x3 x0

3x21limx (u)du 1 (u)du 1x2 x20 lim 0 (0)3x0 x2 3x0 x2 3因此, f(x)在x0處可導(dǎo),且f1(0).3四.(6分)xx(t由方程tcosxx0確定,yyx由方程ey2xy1確定,yyx(t))

.dydtdydt解方程tcosxx0兩邊對(duì)t求導(dǎo)cosxtsinxdxdtdxdt

0.t=0時(shí),x=0,

dxddxdtcosxtsinx1t0

t0x0

1.方程ey2xy1x求導(dǎo)dy dyey2dx當(dāng)x0時(shí),y2, 故dydydx

yx

dxyeyyey2x

0.2.因此,

x0dydtddydtdydx

y

2.t0

x0

t0dxdt(6fx在(,上二階可導(dǎo)，且limfdxdtx0 x求(x)的導(dǎo)數(shù)，并討論(x)在x0處的連續(xù)性.解由已知的極限知f(0)0, f0, 從而有

0，記(x)10

fxt)dt，(0)0

f(0)dt0.當(dāng)x0時(shí),x)1fxt)dt11

fxt)d(xt)1xf(u)dufx), 從而有0 x

x 0 xf(x), x0(x) x0, x0.因?yàn)閘im(x)lim

f(x)

0(0),x0

x0 x所以,xx0處連續(xù).當(dāng)x0時(shí),x)xfx)f(x),x2x0處,由(0)0,有(0)lim(x)(0)x0 x

limf(x)x0 x2

limfx)1x0 2x 2

f(0)所以,

xf(x)f(x),1x) x21 f(0),

x0x0.2而limx)

fx)

f(x)

fx)

fx)x0 x0

x0 x2

x0

x0 2x1lim

fx)

f(x)f(0)1

f(0)2x0 x 2x0 x 2故(x)在x0處連續(xù).(7yyx在(,上可導(dǎo),且滿足:yx2y2,(Ⅰ)研究y(x)在區(qū)間(0,)的單調(diào)性和曲線yy(x)的凹凸性.

y(0)0.(Ⅱ

y(x).x0 x3解(Ⅰ)當(dāng)x0時(shí),有yx2y20,故y(x)在區(qū)間(0,)單調(diào)增. 從而當(dāng)x0時(shí), yx2y2也單調(diào)增.可,曲線yy(x)在區(qū)間(0,)向下凸.(或當(dāng)x0時(shí),可得y2x2yy2x2y(x2y2)0.可見,曲線yy(x)在區(qū)間(0,)向下凸.)(Ⅱ)由題設(shè), y(0)y(0)0.應(yīng)用洛必達(dá)法則lim

y(x)

lim

y(x)

lim

x2y2x0 x3

x0 3x2 x0 3x21lim1y

11y(0)21. 3x3 x0 3x

3 3 3七.(7)f(x在[0,1],且0f(x1,f(0)0.試證1f(x)dx]21[f(x)]3dx.000證令F(x)xf(t)dt2x[f(t)]3dt, 則F(x)在[0,1]連續(xù),且對(duì)x(0,1),00 0F(x)2f(x)0

f(t)dt[f(x)]3f(x)2xf(t)dtf2(x).00x(0,1)時(shí),fx0.g(x2x0

f(t)dtf2(x),gx在[0,1]上連續(xù),且故有

g(x)2f(x)[1fx)]

x(0,1),g(x)g(0)0因此

x(0,1).F(x)0, x(0,1),于是F(x)在[0,1]上單調(diào)增, F(x)F(0)0,x[0,1].取x1,即得F(1)1f(t)dt21[f(t)]dt0.030所證結(jié)論成立.

0 八.(7分)yf(x,f(x)0.La

yf(x上任意一點(diǎn)(a,f(a處的切線其中a[0,1].La

yf(xx0,x1所圍成yV(a).試問a為何值時(shí)V(a).解La于是

的方程為yf(a)f(a)(xa), 即yf(a)xaf(a)f(a).

yyf(x) LaV(a)

1x[f(x)f(a)xaf(a)f(a)]dx0

O a 1 x2

1xf(x)dx1f(a)af(a)1 0 3 2 2

f(a).可見,V(a)在[0,1]連續(xù),在(0,1)可導(dǎo).令V(a)2[1f(a)af(a)]

f(a)(3a2)0,3 2 3由于f(a)0,V(a)在(0,1)內(nèi)有唯一的駐點(diǎn)a2.3,a(0,

2)時(shí),V(a)0; 當(dāng)a(2,1)時(shí), V(a)0,因此,V(a)在a2處3 3 3取得最小值.九.(7分)計(jì)算 (sinyy)dx(xcosy1)dy,其中L為從點(diǎn)O(0,0)沿圓周x2y22x在第L的路徑.解令Psinyy, Qxcosy1,則

yA(1,1)QP

cosy(cosy1)1.x y取點(diǎn)B(1,0).作有向直線段OB,其方程為y0(x從0變到1). O B(1,0)xBA,x1(y01).由曲線L、ABBO形L0

(沿順時(shí)針方向)L,0,

所圍成的區(qū)域記為D,則(sinyy)dx(xcosyL( )((sinyy)dx(xcosy1)dy)AB BOd(sinyy)dx(xcosy1)dyD BA(sinyy)dx(xcosy1)dyOB14

1(cosy1)dy0 1sin11.0 4.(8分)設(shè)（）有向閉曲線是由圓錐螺線OA：xcos,ysin,z（從0變到2）和有向直線段AO構(gòu)成，其中O0,0,0，A2,0,2；x2y2（2）閉曲線將其所在的圓錐面z 劃分成兩部分，x2y2（Ⅰ）

z,1,x

F沿

所做的功W；（Ⅱ）

z1x表示流體的流速，求流體通過.(單位從略）解AO,

yzx

(x從2變到0).所求F沿所做的功為 Wzdxdyxdz (zdxdyxdz) OA AO2sinsincoscosd0

xxdx0 22(cos2sin)d02.x2x2y2x2y2x2x2y2x2y2

，曲面上任一點(diǎn)處向上的一個(gè)法向量為n(zx

,zy

,1)( x

y ,1),在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈,在極坐標(biāo)系下表示: x0r, 02.故所求流體通過流向上側(cè)的流量為yO2yO2

zdydzdzdxxxyz(z x

)(zy

)xdxdy

y x2y2x x dxdy 2x2y2

2rcossinrdr 0 02 33cos2sind20 注:(Ⅰ)的另一解法應(yīng)用Stokes公式，可得W dzdx2z y

dxdy2

y dxdyx2y2x2y20

d0

rsinr

rdr22sind 2.0十一.(8分)設(shè)函數(shù)uu(x,yL:r1cosD上具有二階連續(xù)u偏導(dǎo)數(shù),nL(),是ux,y)L的外法向的方向?qū)?shù),L取逆時(shí)針方向.(Ⅰ)證明:

udsLn

udxudy.LnuLnuds的值.(Ⅱ)若

2u2u

x2yy1, 求x2 y2(Ⅰ)證由方向?qū)?shù)的定義

uds udsLn(ucosuLxy其中,是n相對(duì)于x軸正向的轉(zhuǎn)角. 設(shè) 是L的切向量相對(duì)于x軸正向的轉(zhuǎn),則1

,或2

.故2 udsLn(usinuLx1y1

)dudxuLyx(Ⅱ)解應(yīng)用格林公式

LndsLndsD

)dxdy(x2yy1)dxdy由對(duì)稱性

x2

y2 DLnD1dxdy2LnD0 0 (1cos)2d 0 2十二.(8x2y2

2y

x2y2

1的內(nèi)部,(即a2 b2在這兩點(diǎn)處圓與橢圓都有公共切線).(Ⅰ)求a與b滿足的等; 求a與b的值,使橢圓的面積最.解(Ⅰ) 根據(jù)條件可,切點(diǎn)不