第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用課件

高等數(shù)學(xué)

（二）廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院

數(shù)學(xué)教學(xué)部張靜華高等數(shù)學(xué)（二）廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)部1高等數(shù)學(xué)（二）第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第十章二重積分第十章三重積分第十一章曲線積分第十二章無窮級數(shù)第十一章曲面積分目錄高等數(shù)學(xué)（二）第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第十章二重2第一節(jié)多元函數(shù)基本的概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法第一節(jié)多元函數(shù)基本的概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分3區(qū)域通常可用含有點的坐標

的一、多元函數(shù)的概念第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

⒈平面區(qū)域所謂平面區(qū)域，通常是指平面上的一條或幾條曲線所圍成的連成圍成區(qū)域的曲線（或點）稱為區(qū)域的邊界。包含邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域；一片的圖形。所分邊界的區(qū)域稱為半開區(qū)域。在平面上建立了直角坐標系后，一個或幾個不等式來表示。xyo開區(qū)域（開圓）例如：不包含邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域；只包含部區(qū)域通?？捎煤悬c的坐標的一、多元4xyo閉區(qū)域（閉圓）xyo開區(qū)域例1xyo閉區(qū)域（閉圓）xyo開區(qū)域例15對于區(qū)域

D，如果存在一個中心在原點，半徑足夠大的圓使

D

全部包含在這圓內(nèi)，則稱

D

為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)xyo半開區(qū)域例2域。對于區(qū)域D，如果存在一個中心在原點，半徑足夠大的圓使6。⒉鄰域設(shè)是

xOy

平面上的一點，是某一正數(shù)，與點的距離小于的點所成的集合，稱為點的鄰域，記作在幾何上，是

xOy

平面上以點為圓心，為半徑的圓內(nèi)的點所成的集合。x0y·x0y。⒉鄰域設(shè)是xOy平面上的一點，是某一正數(shù)，與點的距離7⒊二元函數(shù)的概念定義：設(shè)

D

是

x

O

y

面上的一個點集，對任意的點，變量

z

按照某個對應(yīng)關(guān)系

f

總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱

z

是x，y

的二元函數(shù)，記為稱

x

，y

為自變量，z

為因變量，點集

D

稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為該函數(shù)的值域。函數(shù)在點處的函數(shù)值，記為，，⒊二元函數(shù)的概念定義：設(shè)D是xOy面上的8⒋二元函數(shù)定義域的求法二元函數(shù)的兩個要素：定義域和對應(yīng)關(guān)系。對由解析式給出的函數(shù)，它的定義域是使函數(shù)表達式有意義的點的全體，可用不等式或不等式組表示；對應(yīng)用問題中的函數(shù)，則要根據(jù)自變量的具體意義來確定它的范圍。⒋二元函數(shù)定義域的求法二元函數(shù)的兩個要素：定義域和對應(yīng)關(guān)9例1：求下列函數(shù)的定義域并用圖形表示⑴解：要使該函數(shù)的表達式有意義，必須有，即故所求函數(shù)的定義域是xyo2例1（1）例1：求下列函數(shù)的定義域并用圖形表示⑴解：要使該函數(shù)10⑵解：要使該函數(shù)的表達式有意義，必須有xyo12－1－2例1（2），即⑵解：要使該函數(shù)的表達式有意義，必須有xyo12－111⑶解：定義域為xyo例1（3）⑶解：定義域為xyo例1（3）12例2：⑴二元函數(shù)，則；⑵若，則.例3：設(shè)，求解：這是一個求函數(shù)表達式的題目，一個常用的方法是對f中的表達式作變量替換。令，則從而，所以例2：⑴二元函數(shù)，則；⑵若，則.例3：設(shè)，求解：這13例4：設(shè)，求解：首先應(yīng)

求出函

數(shù)

表

達

式求

函

數(shù)

表

達的另一個常用的方法

是

將等

號

右

邊的表

達

式

用f中的

表

達

式來表示。則例4：設(shè)，求解：首先應(yīng)求出函數(shù)表達式求函數(shù)表14⒋二元函數(shù)的幾何意義設(shè)二元函數(shù)的定義域為

D，對，空間中的點構(gòu)成的圖形，一般是一張曲面（如下圖），稱為函數(shù)的圖象。xyz0xyMD··⒋二元函數(shù)的幾何意義設(shè)二元函數(shù)的定義域為D，對，空間中15二、二元函數(shù)的極限定義：在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，是該鄰域內(nèi)的任意一點，沿任意路徑無限趨近于點時，無限地趨近于一個確定的常數(shù)

A

，時，函數(shù)以A為極限，記為或注意：⑴定義中的點時，是指點

P

可以沿任何方向、任何途徑無限地趨近于，而一元函數(shù)極限中的是指x沿x軸無限趨近于；⑵如果點P

只取

某

些

特殊方式

，函數(shù)

值逼

近

某

一

確定值，并不能斷定函數(shù)的極限一定存在；而當點

P

沿不同方式趨于點時，函數(shù)值逼近不同的值，則極限不存在。設(shè)函數(shù)如果當點相應(yīng)的函數(shù)值則稱當二、二元函數(shù)的極限定義：在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，是該鄰域16例5：討論二元函數(shù)當時的極限。解：由于例5例5：討論二元函數(shù)當時的極限。解：由于例517練習(xí)：問是否存在？練習(xí)解：因為所以不存在。練習(xí)：問18念和定理，都可以直接類推到二元函數(shù)，這里不作詳細的有關(guān)一元函數(shù)極限的運算法則和定理以及無窮小的概敘述，僅在后面舉例說明。說明念和定理，都可以直接類推到二元函數(shù)，這里不作詳細的有關(guān)一元函19三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義：設(shè)二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)在點連續(xù)。如果二元函數(shù)在區(qū)域

D

上的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在D上連續(xù)。區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)的圖象是一張不間斷、無裂縫的曲面。三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義：設(shè)二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，20二元函數(shù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果二元函數(shù)在有界閉區(qū)域

D

上連續(xù)，則該函數(shù)在

D

上一定能取到最大值和最小值。由常數(shù)、x

或

y的基本初等函數(shù)，經(jīng)過有限次的四則運算和有限次復(fù)合且能用一個式子表達的函數(shù)稱為二元初等函數(shù)。二元初等函數(shù)在它的定義區(qū)域內(nèi)的每一點都連續(xù)。二元函數(shù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果二元函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，21四、求二元函數(shù)極限的常用方法：例6⑴利用二元初等函數(shù)的連續(xù)性例6：求解：函數(shù)是初等函數(shù)，它的定義域是R2，根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在點處連續(xù)，因此四、求二元函數(shù)極限的常用方法：例6⑴利用二元初等函數(shù)的連22⑵通過變量替換，化二元函數(shù)的極限為一元函數(shù)的極限例7：求原式例8：求解：解：，原式例7、8⑵通過變量替換，化二元函數(shù)的極限為一元函數(shù)的極限例7：求23例9：求解：原式例9例9：求解：原式例924⑶若事先已肯定在點

P0處極限存在，則可使P沿一殊途徑趨于P0而求出其極限。例10：（A）e（B）0（C）y（D）1解：原式例10⑶若事先已肯定在點P0處極限存在，則可使P沿一殊途25第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計算第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計算26⒈偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，得到一個一元函數(shù).若自變量x有增量，相應(yīng)地函數(shù)z有關(guān)于x的增量（稱為偏增量）如果存在，在點處對x的偏導(dǎo)數(shù)，或等四式中的某一式。固定則稱此極限值為函數(shù)記作偏導(dǎo)數(shù)的定義⒈偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，得到一個一元函27同理，函數(shù)在點處對

y的偏導(dǎo)數(shù)定義為記作或偏導(dǎo)數(shù)的定義（續(xù)1）同理，函數(shù)在點處對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為記作或偏導(dǎo)數(shù)的定義（28如果函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)每一點處對

x

的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這樣的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù)，稱為函數(shù)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)（簡稱偏導(dǎo)數(shù)），記作或類似地可以定義函數(shù)對自變量y的偏導(dǎo)數(shù)，記作或顯然，偏導(dǎo)數(shù)的定義（續(xù)2）如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這29例1：設(shè)求例1解：例1：設(shè)30練習(xí)（2011專插本）設(shè)

則練習(xí)A.-

1B.0C.1D.2解：練習(xí)（2011專插本）設(shè)31⒉偏導(dǎo)數(shù)的求法由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要新的方法。對二元函數(shù)的某一個自變量（如

x

）求偏導(dǎo)數(shù)時，只要把另一個自變量（

如

y

）看作常數(shù)

，而對該自變量x用一元函數(shù)的求導(dǎo)方法求得結(jié)果。偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法可以推廣到二元以上的多元函數(shù)。⒉偏導(dǎo)數(shù)的求法由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并32例2：求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因為所以例2例2：求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因為所以例233例3：設(shè)，求分析：求函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)，可先求出偏導(dǎo)函數(shù)，然后將該點的坐標代入，即求出偏導(dǎo)函數(shù)在該點的函數(shù)值。數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)定義，求，可以

先

把

y的

值

代

入求得，然后求關(guān)于x在處的導(dǎo)數(shù)。解：，則所以此外，由函例3：設(shè)，求分析：求函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)，可先求出偏導(dǎo)函數(shù)，然34例4：求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例4所以因為所以例4：求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例4所以因為所以35例5：求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

.⑴解：u例5（1）例5：求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).⑴解：u例5（1）36⑵解：例5（2）⑵解：例5（2）37⑶解法一：例5（3）解法一⑶解法一：例5（3）解法一38⑶解法二：例5（3）解法二⑶解法二：例5（3）解法二39⑷解：例5（4）⑷解：例5（4）40⑸解：由，得例5（5）⑸解：由，得例5（5）41例6：設(shè)滿足分析：實質(zhì)上這是一元函數(shù)的積分問題。當

y

任意給定時，求例6求就是

x

的一元函數(shù)的積分問題，但這里求積分后還含有y

的任意函數(shù)，要由定出這個任意函數(shù)。解：將等式

⑴

兩邊對

x

求積分，得例6：設(shè)滿足分析：實質(zhì)上這是一元42例6（續(xù)）其中

為待定函數(shù)。由

⑵

式，得故因此，例6（續(xù)）其中為待定函數(shù)。由⑵式43例7：理想氣體的狀態(tài)方程為

P

V=R

T，其中R為常數(shù)，求證：證：由狀態(tài)方程可得從而故注意：

對

一元

函數(shù)

來說，既可看作導(dǎo)數(shù)

的整

體記號，也可理解為“微商”。但對二元函數(shù)而言，則只能看成整體記號，不能理解為之商。例7例7：理想氣體的狀態(tài)方程為PV=RT，其中R44⒊偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)性對多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)之間沒有必然聯(lián)系。例如，函數(shù)在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在，事實上（

見§7.1例5

）⒊偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)性對多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)之間45偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)性（續(xù)）又如，函數(shù)在點處是連續(xù)的（圓錐、無裂縫），的偏導(dǎo)數(shù)不存在。但在點xoyz偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)性（續(xù)）又如，函數(shù)在點處是連續(xù)的（圓錐、46⒋

偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義xoyzy0

x0

設(shè)曲面的方程為，M0

是該曲面上的一點，過點

M0作平面，截此平面得一條曲線，其方程

為則偏導(dǎo)數(shù)表示上述曲線在點

M0

處的切線

M0Tx對x

軸正向的斜率。同理，偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面

所截得的曲線在點M0處的的切線M0Ty對y軸正向的斜率。Tx

.Ty

⒋偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義xoy47例8例8：求曲線

在點處的切線與x軸正向所成的傾角。解：所給的曲線是曲面與平面

的交線，所以根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，該曲線在點

處的切線關(guān)于x軸的斜率為例8例8：求曲線48二、高階偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么，在

D內(nèi)都是

x、y

的函數(shù)。個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也

存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏、設(shè)函數(shù)如果這兩導(dǎo)數(shù)。二、高階偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么，在D內(nèi)都是49對不同自變量的二階偏導(dǎo)數(shù)，稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)的四個二階偏導(dǎo)數(shù)常采用下列記號表示：二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的記號對不同自變量的二元函數(shù)的四個二階偏導(dǎo)數(shù)常采用下列記號表示：二50類似于二階偏導(dǎo)數(shù)的概念，可以給出二元函數(shù)的三階、四階直至n階偏導(dǎo)數(shù)的概念，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的概念，可以直接類推到三元及三元以上的函數(shù)。高階偏導(dǎo)數(shù)類似于二階偏導(dǎo)數(shù)的概念，可以給出二元函數(shù)的三階、四階直至n51例9：求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例9所以例9：求函數(shù)52例10：求函數(shù)

的二階偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例10所以例10：求函數(shù)53定理從上例的解中可以看到，函數(shù)

的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)

、

雖然對x和y的求導(dǎo)次序不同，但它們是相等的。我們自然要問，對于一般的二元函數(shù)

是否也具有這個性質(zhì)？若不是，那么，在什么條件下，它的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)相等？下面的定理回答了這個問題。定理：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)次序無關(guān)。對初等函

數(shù)

的

混

合偏導(dǎo)數(shù)

而言，一

般

都

是

連續(xù)的，這是就與求導(dǎo)次序無關(guān)，因此有定理從上例的解中可以看到，函數(shù)54練習(xí)：練習(xí)解：⑴⑴設(shè)⑵設(shè)練習(xí)：練習(xí)解：⑴⑴設(shè)⑵設(shè)55練習(xí)（續(xù)）解：⑵設(shè)練習(xí)（續(xù)）解：⑵設(shè)56第三節(jié)全微分一、全微分的概念（全增量）⒈二元函數(shù)的全增量設(shè)，記，稱為二元函數(shù)的全增量。x：xy：yz：第三節(jié)全微分一、全微分的概念（全增量）⒈二元函數(shù)57設(shè)函數(shù)

在點

的某個鄰域內(nèi)有定義，且

稱函數(shù)

在

處可微，并稱

為⒉全微分的定義、

存在。如果函數(shù)在點

處的全微分，記為

，即全微分的定義，則設(shè)函數(shù)在點58由于x、y都是自變量，所以則如果函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)每一點處都可微，則稱該函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)可微。二元函數(shù)的全微分概念可以類比推廣到二元以上的多元函數(shù)如：若存在全微分，則有全微分的概念（續(xù)）由于x、y都是自變量，所以則如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一59例1：求函數(shù)的全微分。解：因為例1故所求的全微分例1：求函數(shù)60例2例2：求函數(shù)在點處的全微分。解：因為所以，故所求全微分例2例2：求函數(shù)在點61例3例3：設(shè)，求解：令，則從而即由，得，從而例3例3：設(shè)62例3（續(xù)）由，得所以，例3（續(xù)）由，得所以，63例4例4：已知

，求解：例4例4：已知64例5：求函數(shù)在點

處，當時的全增量及全微分的值.解：全增量x：2→2.02y：-

1→-

1.01z：f

(

2,-

1

)→f

(2.02,-

1.01

)例5全微分誤差例5：求函數(shù)在點65二、可微、可導(dǎo)、連續(xù)的相互關(guān)系在點連續(xù)在點可微在點連續(xù)在點處均存在關(guān)于二元函數(shù)的可微性有如下結(jié)果：設(shè)函數(shù)，則（證明略）二、可微、可導(dǎo)、連續(xù)的相互關(guān)系在點連續(xù)在點可微在點連續(xù)在點處66例6例6：考察函數(shù)

在點處偏導(dǎo)數(shù)是否存在？是否可微？解：因為所以，同理，即在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在。例6例6：考察函數(shù)67而因為所以函數(shù)在點處不可微。例6（續(xù)）而因為所以函數(shù)68的偏導(dǎo)數(shù)在的鄰域內(nèi)均存在，但在

處它的偏導(dǎo)數(shù)練習(xí)練習(xí)：試證函數(shù)不連續(xù)，而函數(shù)

卻在

處可微。的偏導(dǎo)數(shù)在的鄰域內(nèi)均存在，但在69第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法70定理：設(shè)函數(shù)復(fù)合而，其復(fù)合關(guān)系圖如下：若都在點具有對的偏導(dǎo)數(shù)，在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可有下列公式計算：得復(fù)合函數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則則復(fù)合函數(shù)

在一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理：設(shè)函數(shù)復(fù)合而，其復(fù)合關(guān)系圖如下：若都在點具有對71⑴設(shè)，則是x的一元函數(shù)。則其復(fù)合關(guān)系圖如下：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（續(xù)1）⑴設(shè)，則是x的一元函數(shù)。則其復(fù)合關(guān)系圖如下：多元復(fù)合72⑵設(shè)由得復(fù)合函數(shù)其復(fù)合關(guān)系圖如下：則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（續(xù)2）⑵設(shè)由得復(fù)合函數(shù)其復(fù)合關(guān)系圖如下：則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則73例1：設(shè)解：例1例1：設(shè)解：例174例2：設(shè)解：例2例2：設(shè)解：例275例3：設(shè)解：例3例3：設(shè)解：例376例4：設(shè)函數(shù)解：例4例4：設(shè)函數(shù)解：例477例5：設(shè)解：令，

則例5例5：設(shè)解：令，則例578例6：設(shè)解：例6例6：設(shè)解：例679例7：設(shè)

，且

f

和

g

具有一階連續(xù)偏導(dǎo)例7數(shù)，求解：例7：設(shè)80例8（2012廣東專插本）設(shè)函數(shù)

f(u)

可微，且，則例8在點處的全微分

.解：令，則例8（2012廣東專插本）設(shè)函數(shù)f(u)可微，且81例9：設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：證：令，則例9例9：設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：證：令，則例982例9（續(xù)）則例9（續(xù)）則83練習(xí)：設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，求證：令，則練習(xí)1練習(xí)：設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，求證：令，則練習(xí)184例10：設(shè)，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和解：令，，則其中，

仍是含有中間變量

u

和例10例10：設(shè)85其中，

仍是含有中間變量

u

和v的復(fù)合函數(shù)。其復(fù)合關(guān)系圖：將上式兩邊對x

求偏導(dǎo)，并應(yīng)用四則運算求導(dǎo)法則，得例10（續(xù)1）其中，仍是含有中間變量u86例10（續(xù)2）例10（續(xù)2）87類似地可得例10（續(xù)3）類似地可得例10（續(xù)3）88練習(xí)設(shè)解：令則練習(xí)2練習(xí)設(shè)解：令則練習(xí)289練習(xí)2（續(xù)1）練習(xí)2（續(xù)1）90練習(xí)2（續(xù)2）練習(xí)2（續(xù)2）91定一個可導(dǎo)隱函數(shù)

，則一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式為：二、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1、由方程所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)函數(shù)可微，

，由方程

確定一個可導(dǎo)隱函數(shù)，則一元隱函92一元隱函數(shù)求導(dǎo)公式的證明事實上，在方程的兩邊對x求全導(dǎo)數(shù)，得由于，則由上式可解出，即一元隱函數(shù)求導(dǎo)公式的證明事實上，在方程93設(shè)函數(shù)，則一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式為：確定一個可導(dǎo)隱函數(shù)例1：設(shè)解：令，則從而可微，，由方程例1設(shè)函數(shù)，則一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式為：確定一個可導(dǎo)隱函數(shù)例1：設(shè)94例2：設(shè)

具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)及分析：復(fù)合關(guān)系圖例2分別由

和

確定，求解：首先（＊）下面分別求

和例2：設(shè)95例2（續(xù)）由

兩邊對x求導(dǎo)，得又由

兩邊對x求導(dǎo)，得把

、

代入（＊）式，得例2（續(xù)）由96設(shè)函數(shù)可微，

由方程確

定

一

個可求偏

導(dǎo)數(shù)

的

二

元

隱函數(shù)

，則二元隱函數(shù)求導(dǎo)公式2、由方程所確定的二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)函數(shù)可微，97例3：設(shè)解：令，則例3例3：設(shè)解：令，則例398由方程

確定了函數(shù)

，則例4（2011廣東省大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽、經(jīng)濟管理類、本科）例4解：由方程99例5：設(shè)

有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

由方程例5所確定，求分析：復(fù)合關(guān)系圖所以，又下面求

和例5：設(shè)100例5（續(xù)1）設(shè)，則從而則所以例5（續(xù)1）設(shè)，則從而則所以101例5（續(xù)2）例5（續(xù)2）102第七節(jié)多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值在點的某鄰域內(nèi)有定義，對該鄰域內(nèi)異于的任意一點，都有則稱為函數(shù)的極大（?。┲担Q點為函數(shù)

的

極大（?。┲?/p>

點

。函

數(shù)的

極大值

、極小值

統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，函數(shù)的極大值點、極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點。定義：設(shè)函數(shù)第七節(jié)多元函數(shù)的極值和最值一、多元函數(shù)的極值在點的某103定理1（必要條件）

設(shè)函數(shù)

在點

處具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點

處有極值，則在該點的偏導(dǎo)數(shù)

必為零，即定理1使二元函數(shù)的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點叫做該函數(shù)的駐點。即若點

為函數(shù)的駐點，則定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)104定理2（充分條件）設(shè)為函數(shù)的駐點，且在點的某鄰域內(nèi)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若令，則⑴時，函數(shù)有極值，且時，有極大值，時，有極小值；⑵時，函數(shù)沒有極值；⑶時，函數(shù)可能有極值，也可能沒有極值。定理2定理2（充分條件）設(shè)為函數(shù)的駐點，且在點的某鄰域內(nèi)，具有二105例1：求函數(shù)的極值。解：

由得駐點因為在點處：所以，函數(shù)在點處沒有極值。例1例1：求函數(shù)106由又知，函數(shù)在點處有極大值，極大值為因為在點處：所以，函數(shù)在點處有極值，且例1（續(xù)）由又知，函數(shù)在點107二、多元函數(shù)的最值在第一節(jié)中已經(jīng)知道，有界閉區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值，在閉區(qū)域的邊界上取得。區(qū)域內(nèi)部的點取得，得，域

D

上的最值的方法是：函數(shù)在

D

的邊界上的最大值和最小值；最大（小）者就是二元函數(shù)在

D

上的最大（?。┲?。道函數(shù)的最大值（最小值）一定在

D

的內(nèi)部取得，在

D

內(nèi)只有一個駐點，在

D

上的最大值（最小值）。法由于要求出在

D

的邊界上的最大值和最小值，所以往往相當復(fù)雜。在通常遇到的實際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，知其最大值和最小值可能在閉區(qū)域內(nèi)部取得，也可能如果二元可微函數(shù)的最大值和最小值在則該點必是函數(shù)的駐點；如果是在邊界上取它一定也是邊界上的最值點。因此，求二元函數(shù)在有界閉區(qū)首先求出函數(shù)在

D

內(nèi)各駐點的函數(shù)值及其次比較這些值的大小，但是這種做而函數(shù)那么可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)二、多元函數(shù)的最值在第一節(jié)中已經(jīng)知道，有界閉區(qū)域上的二元連續(xù)108例

2

：要

造

一

個容

積

為

3

2

m3

的無蓋長方體水池，應(yīng)該如何設(shè)計水池的尺寸，才能使水池的表面積最小。解設(shè)長方體水池的長、寬、高分別為x、y、z，依題意，有故所以，無蓋長方體水池的表面積為例2例2：要造一個容積為32m3的無蓋長方109無蓋長方體水池的表面積為令解得從而例2（續(xù)）根據(jù)題意可知，容積為

32

m3

的無蓋長方體水池的表面積的最小值一定存在。又函數(shù)在開區(qū)域D

：內(nèi)只有唯一的駐點，因此可斷定當時，A取得最小值，就是說，當水池的長為

4

m

，寬為

4

m

，高為

2

m時，水池的表面積最小。無蓋長方體水池的表面積為令解得從而例2（續(xù)）根據(jù)題意可知，容110例

3

：在曲面上求一點，使它到原點的距離最短。解：設(shè)點P

(

x

,y

,z

)，它到原點的距離為

d

，則又，所以令，得駐點(

0

,

0

)（唯一），從而z

=

±

1依

題

意知，曲面上

必

存

在

到

原點

距離最

近的點，或故

所求

的點為例3例3：在曲面上求一點，使它到原點的距離最短。解：設(shè)點P111結(jié)束結(jié)束112知，如果函數(shù)在點

可微分，那么

這函數(shù)在該證明可微必連續(xù)在第二節(jié)中曾指出，多元函數(shù)在某點的各個偏導(dǎo)數(shù)即使都存在，卻不能保證函數(shù)在該點連續(xù)。但是，由全微分的定義可點必定連續(xù)。，從而，可得因此函數(shù)

在點處連續(xù)。事實上，由知，如果函數(shù)在點113高等數(shù)學(xué)

（二）廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院

數(shù)學(xué)教學(xué)部張靜華高等數(shù)學(xué)（二）廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)部114高等數(shù)學(xué)（二）第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第十章二重積分第十章三重積分第十一章曲線積分第十二章無窮級數(shù)第十一章曲面積分目錄高等數(shù)學(xué)（二）第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第十章二重115第一節(jié)多元函數(shù)基本的概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則第五節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法第一節(jié)多元函數(shù)基本的概念第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分116區(qū)域通?？捎煤悬c的坐標

的一、多元函數(shù)的概念第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

⒈平面區(qū)域所謂平面區(qū)域，通常是指平面上的一條或幾條曲線所圍成的連成圍成區(qū)域的曲線（或點）稱為區(qū)域的邊界。包含邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域；一片的圖形。所分邊界的區(qū)域稱為半開區(qū)域。在平面上建立了直角坐標系后，一個或幾個不等式來表示。xyo開區(qū)域（開圓）例如：不包含邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域；只包含部區(qū)域通?？捎煤悬c的坐標的一、多元117xyo閉區(qū)域（閉圓）xyo開區(qū)域例1xyo閉區(qū)域（閉圓）xyo開區(qū)域例1118對于區(qū)域

D，如果存在一個中心在原點，半徑足夠大的圓使

D

全部包含在這圓內(nèi)，則稱

D

為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)xyo半開區(qū)域例2域。對于區(qū)域D，如果存在一個中心在原點，半徑足夠大的圓使119。⒉鄰域設(shè)是

xOy

平面上的一點，是某一正數(shù)，與點的距離小于的點所成的集合，稱為點的鄰域，記作在幾何上，是

xOy

平面上以點為圓心，為半徑的圓內(nèi)的點所成的集合。x0y·x0y。⒉鄰域設(shè)是xOy平面上的一點，是某一正數(shù)，與點的距離120⒊二元函數(shù)的概念定義：設(shè)

D

是

x

O

y

面上的一個點集，對任意的點，變量

z

按照某個對應(yīng)關(guān)系

f

總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱

z

是x，y

的二元函數(shù)，記為稱

x

，y

為自變量，z

為因變量，點集

D

稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為該函數(shù)的值域。函數(shù)在點處的函數(shù)值，記為，，⒊二元函數(shù)的概念定義：設(shè)D是xOy面上的121⒋二元函數(shù)定義域的求法二元函數(shù)的兩個要素：定義域和對應(yīng)關(guān)系。對由解析式給出的函數(shù)，它的定義域是使函數(shù)表達式有意義的點的全體，可用不等式或不等式組表示；對應(yīng)用問題中的函數(shù)，則要根據(jù)自變量的具體意義來確定它的范圍。⒋二元函數(shù)定義域的求法二元函數(shù)的兩個要素：定義域和對應(yīng)關(guān)122例1：求下列函數(shù)的定義域并用圖形表示⑴解：要使該函數(shù)的表達式有意義，必須有，即故所求函數(shù)的定義域是xyo2例1（1）例1：求下列函數(shù)的定義域并用圖形表示⑴解：要使該函數(shù)123⑵解：要使該函數(shù)的表達式有意義，必須有xyo12－1－2例1（2），即⑵解：要使該函數(shù)的表達式有意義，必須有xyo12－1124⑶解：定義域為xyo例1（3）⑶解：定義域為xyo例1（3）125例2：⑴二元函數(shù)，則；⑵若，則.例3：設(shè)，求解：這是一個求函數(shù)表達式的題目，一個常用的方法是對f中的表達式作變量替換。令，則從而，所以例2：⑴二元函數(shù)，則；⑵若，則.例3：設(shè)，求解：這126例4：設(shè)，求解：首先應(yīng)

求出函

數(shù)

表

達

式求

函

數(shù)

表

達的另一個常用的方法

是

將等

號

右

邊的表

達

式

用f中的

表

達

式來表示。則例4：設(shè)，求解：首先應(yīng)求出函數(shù)表達式求函數(shù)表127⒋二元函數(shù)的幾何意義設(shè)二元函數(shù)的定義域為

D，對，空間中的點構(gòu)成的圖形，一般是一張曲面（如下圖），稱為函數(shù)的圖象。xyz0xyMD··⒋二元函數(shù)的幾何意義設(shè)二元函數(shù)的定義域為D，對，空間中128二、二元函數(shù)的極限定義：在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，是該鄰域內(nèi)的任意一點，沿任意路徑無限趨近于點時，無限地趨近于一個確定的常數(shù)

A

，時，函數(shù)以A為極限，記為或注意：⑴定義中的點時，是指點

P

可以沿任何方向、任何途徑無限地趨近于，而一元函數(shù)極限中的是指x沿x軸無限趨近于；⑵如果點P

只取

某

些

特殊方式

，函數(shù)

值逼

近

某

一

確定值，并不能斷定函數(shù)的極限一定存在；而當點

P

沿不同方式趨于點時，函數(shù)值逼近不同的值，則極限不存在。設(shè)函數(shù)如果當點相應(yīng)的函數(shù)值則稱當二、二元函數(shù)的極限定義：在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，是該鄰域129例5：討論二元函數(shù)當時的極限。解：由于例5例5：討論二元函數(shù)當時的極限。解：由于例5130練習(xí)：問是否存在？練習(xí)解：因為所以不存在。練習(xí)：問131念和定理，都可以直接類推到二元函數(shù)，這里不作詳細的有關(guān)一元函數(shù)極限的運算法則和定理以及無窮小的概敘述，僅在后面舉例說明。說明念和定理，都可以直接類推到二元函數(shù)，這里不作詳細的有關(guān)一元函132三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義：設(shè)二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)在點連續(xù)。如果二元函數(shù)在區(qū)域

D

上的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在D上連續(xù)。區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)的圖象是一張不間斷、無裂縫的曲面。三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義：設(shè)二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，133二元函數(shù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果二元函數(shù)在有界閉區(qū)域

D

上連續(xù)，則該函數(shù)在

D

上一定能取到最大值和最小值。由常數(shù)、x

或

y的基本初等函數(shù)，經(jīng)過有限次的四則運算和有限次復(fù)合且能用一個式子表達的函數(shù)稱為二元初等函數(shù)。二元初等函數(shù)在它的定義區(qū)域內(nèi)的每一點都連續(xù)。二元函數(shù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果二元函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，134四、求二元函數(shù)極限的常用方法：例6⑴利用二元初等函數(shù)的連續(xù)性例6：求解：函數(shù)是初等函數(shù)，它的定義域是R2，根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在點處連續(xù)，因此四、求二元函數(shù)極限的常用方法：例6⑴利用二元初等函數(shù)的連135⑵通過變量替換，化二元函數(shù)的極限為一元函數(shù)的極限例7：求原式例8：求解：解：，原式例7、8⑵通過變量替換，化二元函數(shù)的極限為一元函數(shù)的極限例7：求136例9：求解：原式例9例9：求解：原式例9137⑶若事先已肯定在點

P0處極限存在，則可使P沿一殊途徑趨于P0而求出其極限。例10：（A）e（B）0（C）y（D）1解：原式例10⑶若事先已肯定在點P0處極限存在，則可使P沿一殊途138第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計算第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計算139⒈偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，得到一個一元函數(shù).若自變量x有增量，相應(yīng)地函數(shù)z有關(guān)于x的增量（稱為偏增量）如果存在，在點處對x的偏導(dǎo)數(shù)，或等四式中的某一式。固定則稱此極限值為函數(shù)記作偏導(dǎo)數(shù)的定義⒈偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，得到一個一元函140同理，函數(shù)在點處對

y的偏導(dǎo)數(shù)定義為記作或偏導(dǎo)數(shù)的定義（續(xù)1）同理，函數(shù)在點處對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為記作或偏導(dǎo)數(shù)的定義（141如果函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)每一點處對

x

的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這樣的偏導(dǎo)數(shù)是x、y的函數(shù)，稱為函數(shù)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)（簡稱偏導(dǎo)數(shù)），記作或類似地可以定義函數(shù)對自變量y的偏導(dǎo)數(shù)，記作或顯然，偏導(dǎo)數(shù)的定義（續(xù)2）如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這142例1：設(shè)求例1解：例1：設(shè)143練習(xí)（2011專插本）設(shè)

則練習(xí)A.-

1B.0C.1D.2解：練習(xí)（2011專插本）設(shè)144⒉偏導(dǎo)數(shù)的求法由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要新的方法。對二元函數(shù)的某一個自變量（如

x

）求偏導(dǎo)數(shù)時，只要把另一個自變量（

如

y

）看作常數(shù)

，而對該自變量x用一元函數(shù)的求導(dǎo)方法求得結(jié)果。偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法可以推廣到二元以上的多元函數(shù)。⒉偏導(dǎo)數(shù)的求法由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并145例2：求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因為所以例2例2：求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因為所以例2146例3：設(shè)，求分析：求函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)，可先求出偏導(dǎo)函數(shù)，然后將該點的坐標代入，即求出偏導(dǎo)函數(shù)在該點的函數(shù)值。數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)定義，求，可以

先

把

y的

值

代

入求得，然后求關(guān)于x在處的導(dǎo)數(shù)。解：，則所以此外，由函例3：設(shè)，求分析：求函數(shù)在某點的偏導(dǎo)數(shù)，可先求出偏導(dǎo)函數(shù)，然147例4：求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例4所以因為所以例4：求函數(shù)在點處的偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例4所以因為所以148例5：求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

.⑴解：u例5（1）例5：求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).⑴解：u例5（1）149⑵解：例5（2）⑵解：例5（2）150⑶解法一：例5（3）解法一⑶解法一：例5（3）解法一151⑶解法二：例5（3）解法二⑶解法二：例5（3）解法二152⑷解：例5（4）⑷解：例5（4）153⑸解：由，得例5（5）⑸解：由，得例5（5）154例6：設(shè)滿足分析：實質(zhì)上這是一元函數(shù)的積分問題。當

y

任意給定時，求例6求就是

x

的一元函數(shù)的積分問題，但這里求積分后還含有y

的任意函數(shù)，要由定出這個任意函數(shù)。解：將等式

⑴

兩邊對

x

求積分，得例6：設(shè)滿足分析：實質(zhì)上這是一元155例6（續(xù)）其中

為待定函數(shù)。由

⑵

式，得故因此，例6（續(xù)）其中為待定函數(shù)。由⑵式156例7：理想氣體的狀態(tài)方程為

P

V=R

T，其中R為常數(shù)，求證：證：由狀態(tài)方程可得從而故注意：

對

一元

函數(shù)

來說，既可看作導(dǎo)數(shù)

的整

體記號，也可理解為“微商”。但對二元函數(shù)而言，則只能看成整體記號，不能理解為之商。例7例7：理想氣體的狀態(tài)方程為PV=RT，其中R157⒊偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)性對多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)之間沒有必然聯(lián)系。例如，函數(shù)在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在，事實上（

見§7.1例5

）⒊偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)性對多元函數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)之間158偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)性（續(xù)）又如，函數(shù)在點處是連續(xù)的（圓錐、無裂縫），的偏導(dǎo)數(shù)不存在。但在點xoyz偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)性（續(xù)）又如，函數(shù)在點處是連續(xù)的（圓錐、159⒋

偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義xoyzy0

x0

設(shè)曲面的方程為，M0

是該曲面上的一點，過點

M0作平面，截此平面得一條曲線，其方程

為則偏導(dǎo)數(shù)表示上述曲線在點

M0

處的切線

M0Tx對x

軸正向的斜率。同理，偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面

所截得的曲線在點M0處的的切線M0Ty對y軸正向的斜率。Tx

.Ty

⒋偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義xoy160例8例8：求曲線

在點處的切線與x軸正向所成的傾角。解：所給的曲線是曲面與平面

的交線，所以根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，該曲線在點

處的切線關(guān)于x軸的斜率為例8例8：求曲線161二、高階偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么，在

D內(nèi)都是

x、y

的函數(shù)。個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也

存在，則稱它們是函數(shù)的二階偏、設(shè)函數(shù)如果這兩導(dǎo)數(shù)。二、高階偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么，在D內(nèi)都是162對不同自變量的二階偏導(dǎo)數(shù)，稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)的四個二階偏導(dǎo)數(shù)常采用下列記號表示：二元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的記號對不同自變量的二元函數(shù)的四個二階偏導(dǎo)數(shù)常采用下列記號表示：二163類似于二階偏導(dǎo)數(shù)的概念，可以給出二元函數(shù)的三階、四階直至n階偏導(dǎo)數(shù)的概念，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的概念，可以直接類推到三元及三元以上的函數(shù)。高階偏導(dǎo)數(shù)類似于二階偏導(dǎo)數(shù)的概念，可以給出二元函數(shù)的三階、四階直至n164例9：求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例9所以例9：求函數(shù)165例10：求函數(shù)

的二階偏導(dǎo)數(shù)。解：因為例10所以例10：求函數(shù)166定理從上例的解中可以看到，函數(shù)

的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)

、

雖然對x和y的求導(dǎo)次序不同，但它們是相等的。我們自然要問，對于一般的二元函數(shù)

是否也具有這個性質(zhì)？若不是，那么，在什么條件下，它的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)相等？下面的定理回答了這個問題。定理：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)次序無關(guān)。對初等函

數(shù)

的

混

合偏導(dǎo)數(shù)

而言，一

般

都

是

連續(xù)的，這是就與求導(dǎo)次序無關(guān)，因此有定理從上例的解中可以看到，函數(shù)167練習(xí)：練習(xí)解：⑴⑴設(shè)⑵設(shè)練習(xí)：練習(xí)解：⑴⑴設(shè)⑵設(shè)168練習(xí)（續(xù)）解：⑵設(shè)練習(xí)（續(xù)）解：⑵設(shè)169第三節(jié)全微分一、全微分的概念（全增量）⒈二元函數(shù)的全增量設(shè)，記，稱為二元函數(shù)的全增量。x：xy：yz：第三節(jié)全微分一、全微分的概念（全增量）⒈二元函數(shù)170設(shè)函數(shù)

在點

的某個鄰域內(nèi)有定義，且

稱函數(shù)

在

處可微，并稱

為⒉全微分的定義、

存在。如果函數(shù)在點

處的全微分，記為

，即全微分的定義，則設(shè)函數(shù)在點171由于x、y都是自變量，所以則如果函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)每一點處都可微，則稱該函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)可微。二元函數(shù)的全微分概念可以類比推廣到二元以上的多元函數(shù)如：若存在全微分，則有全微分的概念（續(xù)）由于x、y都是自變量，所以則如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一172例1：求函數(shù)的全微分。解：因為例1故所求的全微分例1：求函數(shù)173例2例2：求函數(shù)在點處的全微分。解：因為所以，故所求全微分例2例2：求函數(shù)在點174例3例3：設(shè)，求解：令，則從而即由，得，從而例3例3：設(shè)175例3（續(xù)）由，得所以，例3（續(xù)）由，得所以，176例4例4：已知

，求解：例4例4：已知177例5：求函數(shù)在點

處，當時的全增量及全微分的值.解：全增量x：2→2.02y：-

1→-

1.01z：f

(

2,-

1

)→f

(2.02,-

1.01

)例5全微分誤差例5：求函數(shù)在點178二、可微、可導(dǎo)、連續(xù)的相互關(guān)系在點連續(xù)在點可微在點連續(xù)在點處均存在關(guān)于二元函數(shù)的可微性有如下結(jié)果：設(shè)函數(shù)，則（證明略）二、可微、可導(dǎo)、連續(xù)的相互關(guān)系在點連續(xù)在點可微在點連續(xù)在點處179例6例6：考察函數(shù)

在點處偏導(dǎo)數(shù)是否存在？是否可微？解：因為所以，同理，即在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在。例6例6：考察函數(shù)180而因為所以函數(shù)在點處不可微。例6（續(xù)）而因為所以函數(shù)181的偏導(dǎo)數(shù)在的鄰域內(nèi)均存在，但在

處它的偏導(dǎo)數(shù)練習(xí)練習(xí)：試證函數(shù)不連續(xù)，而函數(shù)

卻在

處可微。的偏導(dǎo)數(shù)在的鄰域內(nèi)均存在，但在182第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法183定理：設(shè)函數(shù)復(fù)合而，其復(fù)合關(guān)系圖如下：若都在點具有對的偏導(dǎo)數(shù)，在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且可有下列公式計算：得復(fù)合函數(shù)一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則則復(fù)合函數(shù)

在一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理：設(shè)函數(shù)復(fù)合而，其復(fù)合關(guān)系圖如下：若都在點具有對184⑴設(shè)，則是x的一元函數(shù)。則其復(fù)合關(guān)系圖如下：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（續(xù)1）⑴設(shè)，則是x的一元函數(shù)。則其復(fù)合關(guān)系圖如下：多元復(fù)合185⑵設(shè)由得復(fù)合函數(shù)其復(fù)合關(guān)系圖如下：則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（續(xù)2）⑵設(shè)由得復(fù)合函數(shù)其復(fù)合關(guān)系圖如下：則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則186例1：設(shè)解：例1例1：設(shè)解：例1187例2：設(shè)解：例2例2：設(shè)解：例2188例3：設(shè)解：例3例3：設(shè)解：例3189例4：設(shè)函數(shù)解：例4例4：設(shè)函數(shù)解：例4190例5：設(shè)解：令，

則例5例5：設(shè)解：令，則例5191例6：設(shè)解：例6例6：設(shè)解：例6192例7：設(shè)

，且

f

和

g

具有一階連續(xù)偏導(dǎo)例7數(shù)，求解：例7：設(shè)193例8（2012廣東專插本）設(shè)函數(shù)

f(u)

可微，且，則例8在點處的全微分

.解：令，則例8（2012廣東專插本）設(shè)函數(shù)f(u)可微，且194例9：設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：證：令，則例9例9：設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：證：令，則例9195例9（續(xù)）則例9（續(xù)）則196練習(xí)：設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，求證：令，則練習(xí)1練習(xí)：設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，求證：令，則練習(xí)1197例10：設(shè)，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和解：令，，則其中，

仍是含有中間變量

u

和例10例10：設(shè)198其中，

仍是含有中間變量

u

和v的復(fù)合函數(shù)。其復(fù)合關(guān)系圖：將上式兩邊對x

求偏導(dǎo)，并應(yīng)用四則運算求導(dǎo)法則，得例10（續(xù)1）其中，仍是含有中間變量u199例10（續(xù)2）例10（續(xù)2）200類似地可得例10（續(xù)3）類似地可得例10（續(xù)3）201練習(xí)設(shè)解：令則練習(xí)2練習(xí)設(shè)解：令則練習(xí)2202練習(xí)2（續(xù)1）練習(xí)2（續(xù)1）203練習(xí)2（續(xù)2）練習(xí)2（續(xù)2）204定一個可導(dǎo)隱函數(shù)

，則一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式為：二、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1、由方程所確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)函數(shù)可微，

，由方程

確定一個可導(dǎo)隱函數(shù)，則一元隱函205一元隱函數(shù)求導(dǎo)公式的證明事實上，在方程的兩邊對x求全導(dǎo)數(shù)，得由于，則由上式可解出，即一元隱函數(shù)求導(dǎo)公式的證明事實上，在方程206設(shè)函數(shù)，則一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式為：確定一個可導(dǎo)隱函數(shù)例1：設(shè)解：令，則從而可微，，由方程例1設(shè)函數(shù)，則一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式為：確定一個可導(dǎo)隱函數(shù)例1：設(shè)207例2：設(shè)

具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)及分析：復(fù)合關(guān)系圖例2分別由

和

確定，求解：首先（＊）下面分別求

和例2：設(shè)208例2（續(xù)）由

兩邊對x求導(dǎo)，得又由

兩邊對x求導(dǎo)，得把

、

代入（＊）式，得例2（續(xù)）由209設(shè)函數(shù)可微，