大一學(xué)科任務(wù)-高等數(shù)學(xué)3.2法則

◆拉格朗日中值定理P116若函數(shù)滿足：

(2)

在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使

(1)

在閉區(qū)間上連續(xù)；xy推論1：如果函數(shù)f(x)在(a,b)上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在(a,b)上是一個(gè)常數(shù)函數(shù)P119推論2：如果函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都相等，那么這兩個(gè)函數(shù)在(a,b)內(nèi)最多相差一個(gè)常數(shù)P119證明：令h(x)=f(x)—g(x),則在(a,b)上有由推論1可知，h(x)在(a,b)內(nèi)為一個(gè)常數(shù)，即

f

(x)與g(x)在(a,b)內(nèi)最多相差一個(gè)常數(shù)例3

證明證明令而所以而所以◆柯西中值定理P120則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使(2)

在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(1)

在閉區(qū)間上連續(xù)(3)

若函數(shù)

滿足：(2)

在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)；(1)

在閉區(qū)間上連續(xù)(3)

由柯西中值定理可知

在

內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使設(shè)函數(shù)和g(x)=x,則f(x)和g(x)滿足：證明：也可以在(0,x)上對(duì)使用拉格朗日中值定理

◆羅爾定理(2)

在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使

(1)

在閉區(qū)間上連續(xù)(3)

若函數(shù)滿足：◆第三節(jié)：洛必達(dá)法則P129

即在定理的條件下，未定式的極限定值，可轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)之商的極限。說(shuō)明：（1）在其它的極限過(guò)程中，洛必達(dá)法則也成立P129（2）若，即類的極限定值，也有洛必達(dá)法則；P130◆洛必達(dá)法則

（3）法則只能解決存在時(shí)，未定式的定值問(wèn)題。

即如果

不存在，也不是

，則法則失效。若不存在也不是無(wú)窮大，則不能使用洛必達(dá)法則例1

求下列極限

型型型解原式P42解原式P42解原式練習(xí)求下列極限型解原式型解原式例2

求極限P133解這是型的未定式，且當(dāng)時(shí)，所以，原式適當(dāng)使用等價(jià)無(wú)窮小替換，再使用洛必達(dá)法則，可簡(jiǎn)化極限運(yùn)算。P133

例3

求極限解但使用洛必達(dá)法則有不存在，非無(wú)窮大所以極限的確定不能用洛必達(dá)法則。(不能使用洛必達(dá)法則).練習(xí)?（1）形如的未定式其它形式的未定式的定值P131解題方法：將未定式變形例4

求極限解原式（2）形如的未定式P132解題方法：將未定式變形例5

求極限解原式練習(xí)求極限適當(dāng)使用等價(jià)無(wú)窮小，可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值P132-133

解題方法：將未定式先取自然對(duì)數(shù)、變形，再按情形（1）處理例5

求極限解令則所以而例