計算機硬件及網絡數值分析教程課件

計算方法計算方法第一章引論一、數值分析的概念、地位和特點§1數值分析的研究對象（課程簡介）

數值分析是研究各種數學問題的數值方法的設計、分析、有關的數學理論和具體實現的一門學科。實際上就是介紹用計算機解決數學問題的計算方法及其理論。這門課程又稱為(數值)計算方法、數值計算等。1.數值分析的概念第一章引論一、數值分析的概念、地位和特點§1數值分析的研3先看兩個例子。

例1

求方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2)內的根。理論上可知顯然找不出根的解析式，即無法求出精確解。

例2

用Cramer法則求解n元線性方程組。顯然理論上可行，且有精確表達式。實際計算時會出現什么問題呢？3先看兩個例子。若記,則有n階線性代數方程組:克萊姆算法若記,則有n階線性代數方程組:克萊姆算法

若A是非奇異矩陣，則方程組有唯一解。記D=detA，應用Cramer法則可得即其中若A是非奇異矩陣，則方程組有唯一解。記D=detA[計算機硬件及網絡]數值分析教程課件

利用Cramer法則求解方程組需要進行的乘法和除法的次數為：利用Cramer法則求解方程組需要進行的乘數值分析輸入復雜問題或運算計算機近似解利用計算機高速的簡單運算(加、減、乘、除)去實現各種復雜的功能。數值分析的本質數值輸入復雜問題或運算計算機近似解利用計算機高速的簡

科學計算

的核心內容是以現代化的計算機及數學軟件（Matlab,Mathematica,Maple,MathCADetc.

）為工具，以數學模型為基礎進行模擬研究?，F代科學的三個組成部分:

科學理論,科學實驗,科學計算2.數值分析的地位促使一些邊緣學科的相繼出現：計算數學,計算物理學,計算力學,計算化學,計算生物學,計算地質學,計算經濟學,等等科學計算的核心內容是以現代化的計算機及數學軟件（M實際問題建立數學模型數值分析提出算法程序設計編程上機計算分析結果并對實際問題進行解釋說明

在建立了數學模型之后，并不能立刻用計算機直接求解，還必須尋找用計算機計算這些數學模型的數值方法，即將數學模型中的連續(xù)變量離散化，轉化成一系列相應的算法步驟，編制出正確的計算程序，再上機計算得出滿意的數值結果。

實際問題建立數學模型數值分析提出算法程序編程上機計算分析結果總的來看，數值分析這門課具有以下幾個特點：

(1)數值分析是一門與計算機應用密切結合的實用性很強的學科；

(2)面向計算機，要根據計算機的特點提供實際可行的有效算法；(3)有可靠的理論分析，能任意逼近并達到精度要求，對近似算法要保證收斂性和數值穩(wěn)定性；3.數值分析的特點(4)要有好的算法復雜性，即時間復雜度和空間復雜度要??；(5)要有數值試驗?？偟膩砜矗瑪抵捣治鲞@門課具有以下幾個特點：(1)數值分析二、數值分析的研究內容◆插值問題（Ch2）◆線性代數方程組的數值解法(Ch5,Ch6)◆非線性方程組的數值解法(Ch7)◆數值積分與數值微分(Ch4)◆常微分方程的數值解法(Ch9)◆函數逼近(Ch3)◆代數特征值問題(Ch8)二、數值分析的研究內容◆插值問題（Ch2）◆線性代數方程組的

理論上課時數：30上機實驗時數：0

參考書：

1.《計算方法（c語言版）》（第1版），靳天飛等，清華大學出版社，2010.6

教材：

1.《數值分析》（第5版），李慶揚等，清華大學出版社，2008.12理論上課時數：30上機實驗時數：0參考書實際問題建立數學模型確定數值計算方法編制程序上機算出結果§2數值計算的誤差2.1誤差的來源與分類

用計算機解決科學計算問題時，需要經歷以下幾個環(huán)節(jié)：

數值結果是指在選擇某種數值方法之后，編制程序正確，輸入初始數據正確的情形下所獲得的結果。

實際問題的精確解與用計算機計算出來的數值結果之間就有差異，這種差異在數學上稱為誤差。實際問題建立數學模型確定數值計算方法編制程序上機算出結果§2現實世界研究對象觀測數據數學模型的建立計算方法的構成數值運算的執(zhí)行觀測誤差模型誤差截斷誤差舍入誤差

結果現實世界研究觀測數學模型的建立計

模型誤差

/*ModelingError*/

——從實際問題中抽象出數學模型時產生的誤差

觀測誤差

/*MeasurementError*/——通過測量得到模型中參數的值導致輸入數據的誤差

方法誤差(截斷誤差

/*TruncationError*/)——近似求解時產生的誤差

舍入誤差

/*RoundoffError*/

——由于計算機字長有限而在數值運算的每一步所產生的誤差模型誤差/*ModelingError*/觀測大家一起猜？11/e解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4

/*Remainder*/取則稱為截斷誤差

/*TruncationError*/|

舍入誤差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起大家一起猜？11/e解法之一：將作Tayl

設是某實數的精確值,是它的一個近似值，則稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差.2.2誤差與有效數字定義2.1絕對誤差、相對誤差定義2.2絕對誤差界、相對誤差界若，則稱為絕對誤差界，簡稱誤差界稱為相對誤差界,記為.

稱為的相對誤差,常用表示.設是某實數的精確值,是它的一個近似值，則稱定義2.3有效數字

/*significantdigits*/用科學計數法，記（其中）.若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數字，精確到。例：問：有幾位有效數字？請證明你的結論.證明：有5位有效數字，精確到小數點后第4位。注：0.2300有4位有效數字，而0.0023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數字.

數字末尾的0不可隨意省去！定義2.3有效數字/*significantd例:

設

x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,

問它們分別有幾位有效數字?3位5位4位例:設3位定理2.1有效數字與相對誤差的關系

有效數字

相對誤差限已知x*有n位有效數字，則其相對誤差限為相對誤差限有效數字已知x*的相對誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數字。定理2.1有效數字與相對誤差的關系有效數字相解：例有效數字解：例有效數字2.3

求函數值和算術運算的誤差估計初始數據引起計算函數值的誤差函數值A*的絕對誤差略去高階項：2.3求函數值和算術運算的誤差估計初始數據函數值A*的絕[計算機硬件及網絡]數值分析教程課件基本運算中的誤差估計基本運算中的誤差估計例假定某長方形運動場的長為x，寬為y，并實地測得其長x*=100.30米，寬y*=80.50米，若x*和y*的誤差限都是0.005米，試求其面積s的近似值s*的誤差限和相對誤差限。由兩個數的積的相對誤差限估計式得解據題意，由兩個數的積的誤差限估計式得

例假定某長方形運動場的長為x，寬為y，并實地測得其長x*=

例在計算球的體積時，為了使相對誤差限為1%，問測量半徑r時允許的相對誤差限為多少？從而有

解計算球的體積公式為設體積的近似值為，半徑的近似值為，則

得到相對誤差限估計式為

這說明，測量半徑r時允許的相對誤差限為1/300。例在計算球的體積時，為了使相對誤差限為1%，問測量半徑r§3

病態(tài)問題、數值穩(wěn)定性與避免誤差危害問題：對于y=f(x)，若用x*

取代x，將對y

產生什么影響？3.1病態(tài)問題與條件數條件數

/*conditionnumber*/條件數很大時，初始數據的微小誤差可能引起結果A的很大誤差.§3病態(tài)問題、數值穩(wěn)定性與避免誤差危害問題：對于y=

對數學問題而言，如果輸入數據有微小擾動，引起輸出數據（即數學問題的解）有很大擾動，則稱數學問題是病態(tài)問題，否則稱為良態(tài)問題。對數學問題而言，如果輸入數據有微小擾動，引起例：計算

公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!3.2

數值方法的穩(wěn)定性例：計算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差???考察第n步的誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增?？梢姵跏嫉男_動

公式注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇】疾斓趎步的誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法取Wejustgotlucky?取Wejustgotlucky?考察反推一步的誤差：以此類推，對n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。定義：一個算法如果輸入數據有擾動（即有誤差），而計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數值穩(wěn)定的，否則稱此算法為不穩(wěn)定的?？疾旆赐埔徊降恼`差：以此類推，對n<N有：誤差逐步遞1.要避免除數絕對值遠遠小于被除數絕對值的除法;2。避免兩個相近的數相減;3.要防止大數“吃掉”小數;2。應選用數值穩(wěn)定性的計算方法;2。簡化計算步驟和公式，設法減少運算次數。避免誤差危害的若干原則

3.3避免誤差危害的若干原則1.要避免除數絕對值遠遠小于被除數絕對值的除法;2避免兩個相近的數相減

當遇到兩個相近的數相減時，參與運算的數應當多保留幾位有效數字或者變換原來公式以避免這種情況的發(fā)生。由前面公式可知可以看到，如果兩個相近的數相減，則而相對誤差限就會比較大，故有效數字位會大大減少。較小，避免兩個相近的數相減當遇到兩個相近的數相減時，參與運例給定若使用計算機計算有，應如何變換公式使有效數字位增加？，若使用計算器取四位有效數字計算解使用計算器計算取四位有效數字得從而得到但由于而使用計算器取四位有效數字得所以有

這說明變換公式后能使有效數字位由1位增加到3位。例給定若使用計算機計算有，應如何變換公式使有效數字位增加？

幾種經驗性避免方法：當|x|<<1時：取右端的有限項近似代替左端。幾種經驗性避免方法：當|x|<<1時：取右端要防止小數被大數“吃掉”而使有效數字位損失例求一元二次方程

在數值運算中，如果兩個參與運算的數相差太大，則小數有可能被大數“吃掉”而使有效數字位損失，從而影響計算結果的可靠性。的根。遠遠大于解求一元二次方程的根可以使用公式有可能可能損失有效數字位，使計算結果出現錯誤。要防止小數被大數“吃掉”而使有效數字位損失例求一元二次方程按新的求根公式計算得到方程兩個準確根為

例如，在只有7位有效數字的計算機系統(tǒng)上使用求根公式解方程得到的兩個根為要避免這種錯誤的發(fā)生，可以修改求根公式為，按新的求根公式計算得到方程兩個準確根為例如，在只有7要注意減少運算的次數

對于一個計算問題，如果能減少運算次數的話，我們不僅能減少計算時間，提高運行的速度，而且還可以減少誤差的積累。如果把原式子改寫為解按公式直接計算每一項后，再把每一項求和，就要進行則計算n次多項式的算法可以是按秦九韶算法計算n次多項式的值，只需要n次乘法和n次加法。的值。例計算n次多項式次乘法和n次加法。要注意減少運算的次數對于一個計算問題，如果能減少運

例計算ln2的近似值，要求誤差小于10??.

解：①計算量太大②各項的舍入誤差會損失和的有效數字

(b)用級數計算用前9項（即取m=8）計算就能達到精度要求:(a)用級數計算例計算ln2的近似值，要求誤差小于10??.

分母接近零的數會產生溢出錯誤,因而產生大的誤差,此時可以用數學公式化簡后再做.避免做除數絕對值遠遠小于被除數絕對值的除法分母接近零的數會產生溢出錯誤,因而產生大的避利用等價變換使下列表達式計算比較精確.例利用等價變換使下列表達式計算比較精確.例答案答案[計算機硬件及網絡]數值分析教程課件誤差的種類模型誤差：觀測誤差截斷誤差舍入誤差

絕對誤差

相對誤差誤差的表示法內容回顧誤差的種類模型誤差：觀測誤差截斷誤差舍入誤差絕對誤差相對算法設計遵循的條件：（5）絕對值太小的數不宜作為除數。（1）應選用數值穩(wěn)定性的計算方法；（2）簡化計算步驟和公式，設法減少運算次數；（3）合理安排運算順序，防止大數淹沒小數；（4）避免兩相近數相減；算法設計遵循的條件：（5）絕對值太小的數不宜作為除數。（1計算方法計算方法第一章引論一、數值分析的概念、地位和特點§1數值分析的研究對象（課程簡介）

數值分析是研究各種數學問題的數值方法的設計、分析、有關的數學理論和具體實現的一門學科。實際上就是介紹用計算機解決數學問題的計算方法及其理論。這門課程又稱為(數值)計算方法、數值計算等。1.數值分析的概念第一章引論一、數值分析的概念、地位和特點§1數值分析的研50先看兩個例子。

例1

求方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2)內的根。理論上可知顯然找不出根的解析式，即無法求出精確解。

例2

用Cramer法則求解n元線性方程組。顯然理論上可行，且有精確表達式。實際計算時會出現什么問題呢？3先看兩個例子。若記,則有n階線性代數方程組:克萊姆算法若記,則有n階線性代數方程組:克萊姆算法

若A是非奇異矩陣，則方程組有唯一解。記D=detA，應用Cramer法則可得即其中若A是非奇異矩陣，則方程組有唯一解。記D=detA[計算機硬件及網絡]數值分析教程課件

利用Cramer法則求解方程組需要進行的乘法和除法的次數為：利用Cramer法則求解方程組需要進行的乘數值分析輸入復雜問題或運算計算機近似解利用計算機高速的簡單運算(加、減、乘、除)去實現各種復雜的功能。數值分析的本質數值輸入復雜問題或運算計算機近似解利用計算機高速的簡

科學計算

的核心內容是以現代化的計算機及數學軟件（Matlab,Mathematica,Maple,MathCADetc.

）為工具，以數學模型為基礎進行模擬研究?，F代科學的三個組成部分:

科學理論,科學實驗,科學計算2.數值分析的地位促使一些邊緣學科的相繼出現：計算數學,計算物理學,計算力學,計算化學,計算生物學,計算地質學,計算經濟學,等等科學計算的核心內容是以現代化的計算機及數學軟件（M實際問題建立數學模型數值分析提出算法程序設計編程上機計算分析結果并對實際問題進行解釋說明

在建立了數學模型之后，并不能立刻用計算機直接求解，還必須尋找用計算機計算這些數學模型的數值方法，即將數學模型中的連續(xù)變量離散化，轉化成一系列相應的算法步驟，編制出正確的計算程序，再上機計算得出滿意的數值結果。

實際問題建立數學模型數值分析提出算法程序編程上機計算分析結果總的來看，數值分析這門課具有以下幾個特點：

(1)數值分析是一門與計算機應用密切結合的實用性很強的學科；

(2)面向計算機，要根據計算機的特點提供實際可行的有效算法；(3)有可靠的理論分析，能任意逼近并達到精度要求，對近似算法要保證收斂性和數值穩(wěn)定性；3.數值分析的特點(4)要有好的算法復雜性，即時間復雜度和空間復雜度要小；(5)要有數值試驗?？偟膩砜?，數值分析這門課具有以下幾個特點：(1)數值分析二、數值分析的研究內容◆插值問題（Ch2）◆線性代數方程組的數值解法(Ch5,Ch6)◆非線性方程組的數值解法(Ch7)◆數值積分與數值微分(Ch4)◆常微分方程的數值解法(Ch9)◆函數逼近(Ch3)◆代數特征值問題(Ch8)二、數值分析的研究內容◆插值問題（Ch2）◆線性代數方程組的

理論上課時數：30上機實驗時數：0

參考書：

1.《計算方法（c語言版）》（第1版），靳天飛等，清華大學出版社，2010.6

教材：

1.《數值分析》（第5版），李慶揚等，清華大學出版社，2008.12理論上課時數：30上機實驗時數：0參考書實際問題建立數學模型確定數值計算方法編制程序上機算出結果§2數值計算的誤差2.1誤差的來源與分類

用計算機解決科學計算問題時，需要經歷以下幾個環(huán)節(jié)：

數值結果是指在選擇某種數值方法之后，編制程序正確，輸入初始數據正確的情形下所獲得的結果。

實際問題的精確解與用計算機計算出來的數值結果之間就有差異，這種差異在數學上稱為誤差。實際問題建立數學模型確定數值計算方法編制程序上機算出結果§2現實世界研究對象觀測數據數學模型的建立計算方法的構成數值運算的執(zhí)行觀測誤差模型誤差截斷誤差舍入誤差

結果現實世界研究觀測數學模型的建立計

模型誤差

/*ModelingError*/

——從實際問題中抽象出數學模型時產生的誤差

觀測誤差

/*MeasurementError*/——通過測量得到模型中參數的值導致輸入數據的誤差

方法誤差(截斷誤差

/*TruncationError*/)——近似求解時產生的誤差

舍入誤差

/*RoundoffError*/

——由于計算機字長有限而在數值運算的每一步所產生的誤差模型誤差/*ModelingError*/觀測大家一起猜？11/e解法之一：將作Taylor展開后再積分S4R4

/*Remainder*/取則稱為截斷誤差

/*TruncationError*/|

舍入誤差

/*RoundoffError*/|=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起大家一起猜？11/e解法之一：將作Tayl

設是某實數的精確值,是它的一個近似值，則稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差.2.2誤差與有效數字定義2.1絕對誤差、相對誤差定義2.2絕對誤差界、相對誤差界若，則稱為絕對誤差界，簡稱誤差界稱為相對誤差界,記為.

稱為的相對誤差,常用表示.設是某實數的精確值,是它的一個近似值，則稱定義2.3有效數字

/*significantdigits*/用科學計數法，記（其中）.若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數字，精確到。例：問：有幾位有效數字？請證明你的結論.證明：有5位有效數字，精確到小數點后第4位。注：0.2300有4位有效數字，而0.0023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數字.

數字末尾的0不可隨意省去！定義2.3有效數字/*significantd例:

設

x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,

問它們分別有幾位有效數字?3位5位4位例:設3位定理2.1有效數字與相對誤差的關系

有效數字

相對誤差限已知x*有n位有效數字，則其相對誤差限為相對誤差限有效數字已知x*的相對誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數字。定理2.1有效數字與相對誤差的關系有效數字相解：例有效數字解：例有效數字2.3

求函數值和算術運算的誤差估計初始數據引起計算函數值的誤差函數值A*的絕對誤差略去高階項：2.3求函數值和算術運算的誤差估計初始數據函數值A*的絕[計算機硬件及網絡]數值分析教程課件基本運算中的誤差估計基本運算中的誤差估計例假定某長方形運動場的長為x，寬為y，并實地測得其長x*=100.30米，寬y*=80.50米，若x*和y*的誤差限都是0.005米，試求其面積s的近似值s*的誤差限和相對誤差限。由兩個數的積的相對誤差限估計式得解據題意，由兩個數的積的誤差限估計式得

例假定某長方形運動場的長為x，寬為y，并實地測得其長x*=

例在計算球的體積時，為了使相對誤差限為1%，問測量半徑r時允許的相對誤差限為多少？從而有

解計算球的體積公式為設體積的近似值為，半徑的近似值為，則

得到相對誤差限估計式為

這說明，測量半徑r時允許的相對誤差限為1/300。例在計算球的體積時，為了使相對誤差限為1%，問測量半徑r§3

病態(tài)問題、數值穩(wěn)定性與避免誤差危害問題：對于y=f(x)，若用x*

取代x，將對y

產生什么影響？3.1病態(tài)問題與條件數條件數

/*conditionnumber*/條件數很大時，初始數據的微小誤差可能引起結果A的很大誤差.§3病態(tài)問題、數值穩(wěn)定性與避免誤差危害問題：對于y=

對數學問題而言，如果輸入數據有微小擾動，引起輸出數據（即數學問題的解）有很大擾動，則稱數學問題是病態(tài)問題，否則稱為良態(tài)問題。對數學問題而言，如果輸入數據有微小擾動，引起例：計算

公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!3.2

數值方法的穩(wěn)定性例：計算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差???考察第n步的誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增?？梢姵跏嫉男_動

公式注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇】疾斓趎步的誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法取Wejustgotlucky?取Wejustgotlucky?考察反推一步的誤差：以此類推，對n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。定義：一個算法如果輸入數據有擾動（即有誤差），而計算過程中舍入誤差不增長，則稱此算法是數值穩(wěn)定的，否則稱此算法為不穩(wěn)定的。考察反推一步的誤差：以此類推，對n<N有：誤差逐步遞1.要避免除數絕對值遠遠小于被除數絕對值的除法;2。避免兩個相近的數相減;3.要防止大數“吃掉”小數;2。應選用數值穩(wěn)定性的計算方法;2。簡化計算步驟和公式，設法減少運算次數。避免誤差危害的若干原則

3.3避免誤差危害的若干原則1.要避免除數絕對值遠遠小于被除數絕對值的除法;2避免兩個相近的數相減

當遇到兩個相近的數相減時，參與運算的數應當多保留幾位有效數字或者變換原來公式以避免這種情況的發(fā)生。由前面公式可知可以看到，如果兩個相近的數相減，則而相對誤差限就會比較大，故有效數字位會大大減少。較小，避免兩個相近的數相減當遇到兩個相近的數相減時，參與運例給定若使用計算機計算有，應如何變換公式使有效數字位增加？，若使用計算器取四位有效數字計算解使用計算器計算取四位有效數字得從而得到但由于而使用計算器取四位有效數字得所以有

這說明變換公式后能使有效數字位由1位增加到3位。例給定若使用計算機計算有，應如何變換公式使