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庫恩—塔克條件數(shù)學規(guī)劃設(shè)如下的數(shù)學模型稱為數(shù)學規(guī)劃(MathematicalProgramming,MP)：約束集或可行域向量化表達令

其中，那么(MP)可簡記為

或者

當p=0,q=0時，稱為無約束非線性規(guī)劃或者無約束最優(yōu)化問題。否則，稱為約束非線性規(guī)劃或者約束最優(yōu)化問題。有效約束

是非線性規(guī)劃的一個可行解。現(xiàn)考慮某一不等式約束，滿足該不等式有兩種可能：（1）此時不在由該約束形成的可行域邊界上，因此該約束對的微小變動不起限制作用，從而稱該約束為無效約束；（2）此時處在由該約束形成的可行域邊界上，因此該約束對的微小變動會起某種限制作用，從而稱該約束為有效約束。顯而易見，所有等式約束都是有效約束。

可行方向的有效約束若是點的任一可行方向，則對該點所有有效約束均有：

(1)

其中j代表在點所有有效約束下標的集合可行方向的有效約束另一方面，由泰勒展開式

(2)

可知對所有有效約束，當足夠小時，只要滿足（1）式，則有此外，對點所有的無效約束來講，由于約束函數(shù)的連續(xù)性，當足夠小時，上式依然成立。從而，只要方向滿足式（1），即可保證是點的可行方向。可行下降方向?qū)⒛繕撕瘮?shù)在處作一階泰勒展開，若方向D滿足（3）則D必是點的一個下降方向。如果Ｄ方向既是點的一個可行方向又是一個下降方向，就稱Ｄ是點的一個可行下降方向。顯然，如果某點存在可行下降方向，那么該點就不會是極小點；另一方面，如果某點是極小點，則該點不存在可行下降方向。兩種情況假設(shè)X*是非線性規(guī)劃的極小點，該點可能處于可行域的內(nèi)部，也可能處于可行域的邊緣上。若為前者，該規(guī)劃問題實質(zhì)是一個無約束極值問題，X*必滿足；若為后者，情況就復雜多了，接下來我們就對這一復雜情況進行分析。

兩個有效約束邊界的情況及推廣由此可見，如果X*是極小點，而且X*點的有效約束的梯度和線性獨立，則可以將表示成為和的非負線性組合；也就是說，存在實數(shù)和，使：（6）如此類推，可以得到（J是所有有效約束的集合）（7）可能的無效約束處理為使所有無效約束也同上述有效約束一樣包含在式（7）中，增加約束條件

庫恩—塔克條件設(shè)X*是非線性規(guī)劃的極小點，而且X*點各有效約束的梯度線性獨立，則存在向量，使下述條件成立：（8）

一般形式的庫恩-塔克條件

由于等式約束總是有效約束，所以一般形式的非線性規(guī)劃的庫恩-塔克條件可表達為：設(shè)X*是非線性規(guī)劃的極小點，而且X*點的所有有效約束的梯度

和

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