機(jī)械工程控制基礎(chǔ)-穩(wěn)定性培訓(xùn)課件

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)2009.11主講人：張燕機(jī)械類專業(yè)必修課機(jī)械與動力工程學(xué)院教學(xué)內(nèi)容1、課程準(zhǔn)備7、系統(tǒng)的性能指標(biāo)與校正2、緒論4、系統(tǒng)的時間響應(yīng)分析3、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5、系統(tǒng)的頻率特性分析6、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析教學(xué)內(nèi)容第一講穩(wěn)定性概念Routh判據(jù)4a,b稱為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)小球在a處穩(wěn)定，

在b處不穩(wěn)定ababb擺在a處穩(wěn)定，

在b處不穩(wěn)定。穩(wěn)定性的基本概念c)穩(wěn)定d)臨界穩(wěn)定e)不穩(wěn)定Ab、不穩(wěn)定的擺AAA″a、穩(wěn)定的擺6②：閉環(huán)控制的磁懸浮系統(tǒng)可以穩(wěn)定。+VLightsourceRControllerFmgIuFmgI①：開環(huán)控制的磁懸浮系統(tǒng)不穩(wěn)定①②7針對不穩(wěn)定對象的反饋控制大部分受控對象是穩(wěn)定的，但反饋控制所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定。針對穩(wěn)定對象的反饋控制1)系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象例：液壓位置隨動系統(tǒng)原理：外力→閥芯初始位移Xi(0)→閥口2、4打開→活塞右移→閥口關(guān)閉（回復(fù)平衡位置）→（慣性）活塞繼續(xù)右移→閥口1、3開啟→活塞左移→平衡位置→（慣性）活塞繼續(xù)左移→閥口2、4開啟……①

隨動：活塞跟隨閥芯運(yùn)動②慣性：引起振蕩③振蕩結(jié)果：①

減幅振蕩（收斂，穩(wěn)定）②等幅振蕩（臨界穩(wěn)定）③

增幅振蕩（發(fā)散，不穩(wěn)定）一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件系統(tǒng)的穩(wěn)定性—穩(wěn)定性概念三、關(guān)于于穩(wěn)定性性的相關(guān)關(guān)提法1.李亞普諾諾夫意義義下的穩(wěn)穩(wěn)定性

若o為系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)，擾動使系統(tǒng)偏離此工作點(diǎn)的起始偏差（即初態(tài)）不超過域η，由擾動引起的輸出（這種初態(tài)引起的零輸入響應(yīng)）及其終態(tài)不超過預(yù)先給定的整數(shù)ε，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—穩(wěn)定性概概念3.“小偏差”穩(wěn)定性

系統(tǒng)初始偏差（初態(tài)）不超過某一微小范圍時的穩(wěn)定性，稱之為“小偏差穩(wěn)定性”或“局部穩(wěn)定性”。4.“大范圍”漸近穩(wěn)定性

若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱為“大范圍漸近穩(wěn)定”，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2.漸近穩(wěn)定定性就是線性性系統(tǒng)的的穩(wěn)定性性，要求求由初始始狀態(tài)引引起的響響應(yīng)最終終衰減為為零。漸漸近穩(wěn)定定性滿足足李氏穩(wěn)穩(wěn)定性定定義；對對非線性性定義，，這兩種種穩(wěn)定性性是不同同的。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—穩(wěn)定性概概念控制工程程中希望望大范圍圍漸近穩(wěn)穩(wěn)定，基基于精度度要求，，也需要要確定最最大范圍圍。四、Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)1.系統(tǒng)穩(wěn)定定的必要要條件設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：兩邊同除除an系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)依據(jù)上式式，s的同次冪冪前系數(shù)數(shù)應(yīng)對等等

要使系統(tǒng)穩(wěn)定，即系統(tǒng)全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必須滿足以下兩個條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都不等于0；特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號相同。按習(xí)慣，，一般取取最高階階次項(xiàng)的的系數(shù)為為正，上上述兩個個條件可可以歸結(jié)結(jié)為系統(tǒng)特征征方程的的各項(xiàng)系系數(shù)全大大于0，此即系系統(tǒng)穩(wěn)定定的必要要條件。。從根與系系數(shù)的關(guān)關(guān)系可以以看出，，僅僅有各各項(xiàng)系數(shù)數(shù)大于0，還不能能判定特特征根均均具有負(fù)負(fù)實(shí)部，也許特特征根中中有正有有負(fù)，它它們組合合起來仍仍能滿足足“根與與系數(shù)的的關(guān)系””中的各各式。也也就是說說上式為為系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定的必必要條件件，而不不是充要要條件。。實(shí)例分析析1系統(tǒng)特征征方程試用Routh表判斷其其穩(wěn)定性性。改變符號號一次改變符號號一次解：由Routh判據(jù)：系系統(tǒng)不穩(wěn)穩(wěn)定。低階系統(tǒng)統(tǒng)的勞斯斯穩(wěn)定判判據(jù)二階系統(tǒng)統(tǒng)勞斯陣列為：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2a0>0，a1>0，a2>0從而，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：三階系統(tǒng)統(tǒng)勞斯陣列為：s3

a0

a2s2

a1

a3s1 0s0

a3從而，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)大于零，且：a1a2-a0a3>03.Routh判據(jù)的特特殊情況況（1）如果在在Routh表中任意意一行的的第一個個元素為為0，而其后后各元不不全為0，則在計(jì)計(jì)算下一一行的元元素時，，將趨向向于無窮窮大。于于是Routh表計(jì)算無無法繼續(xù)續(xù)，為了了克服這這一困難難，用一個很很小的正正數(shù)ε代替第一一列的0，然后計(jì)計(jì)算Routh表的其余余各元。。若ε上下各元元符號不不變，且且第一列列元素符符號均為為正，則則系統(tǒng)特特征根中中有共軛軛的虛根根。此時時，系統(tǒng)統(tǒng)為臨界界穩(wěn)定系系統(tǒng)。（2）如果Routh表中任意意一行的的所有元元素都為為0，Routh表的計(jì)算算無法繼繼續(xù)。此此時，可可以利用用該行的的上一行行的元素素構(gòu)成一一個輔助助多項(xiàng)式式，并用用多項(xiàng)式式的導(dǎo)數(shù)數(shù)的系數(shù)數(shù)組成Routh表的下一一行。這這樣，Routh表就可以以計(jì)算下下去。出現(xiàn)這種種情況，，一般是是由于系系統(tǒng)的特特征根中中，或存存在兩個個符號相相反的實(shí)實(shí)根（系系統(tǒng)自由由響應(yīng)發(fā)發(fā)散，系系統(tǒng)不穩(wěn)穩(wěn)定），，或存在在一對共共軛的純純虛根（（即系統(tǒng)統(tǒng)自由響響應(yīng)維持持某一頻頻率的等等幅振蕩蕩，系統(tǒng)統(tǒng)臨界穩(wěn)穩(wěn)定），，或是以以上幾種種根的組組合。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)實(shí)例分析析2系統(tǒng)特征征方程：：試用Routh表判斷其其穩(wěn)定性性。解：列Routh表如下：：改變符號號一次改變符號號一次由Routh判據(jù)：系系統(tǒng)不穩(wěn)穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)實(shí)例分析析3系統(tǒng)特征征方程：：試用Routh表判斷其其穩(wěn)定性性。解：列Routh表如下：：Routh表中出現(xiàn)0元行，構(gòu)造輔助多項(xiàng)式如下：取F(s)對s的導(dǎo)數(shù)得新方程：用上式中中的系數(shù)數(shù)8和96代替0元行，繼繼續(xù)進(jìn)行行運(yùn)算。。改變符號號一次此表第一一列各元元符號改改變次數(shù)數(shù)為1，該系統(tǒng)包包括一個個具有正正實(shí)部的的特征根根，系統(tǒng)統(tǒng)是不穩(wěn)穩(wěn)定的。根據(jù)Routh判據(jù)，2p的輔助多多項(xiàng)式應(yīng)應(yīng)該存在在p對實(shí)部符符號相異異、虛部部數(shù)值相相同的共共軛復(fù)根根。這些些特征根根可以通通過解輔輔助多項(xiàng)項(xiàng)式得到到。本例中輔助多項(xiàng)式為：解此輔助多項(xiàng)式可得：這兩對復(fù)根是原特征方程的根的一部分。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)五、相對對穩(wěn)定性性的檢驗(yàn)驗(yàn)應(yīng)用Routh判據(jù)可檢檢驗(yàn)穩(wěn)定系統(tǒng)統(tǒng)的相對穩(wěn)定定性方法如下下：將s平面的虛虛軸向左左移動某某個數(shù)值值，即令令s＝z－σ（σ為正實(shí)數(shù)數(shù)），代入系系統(tǒng)特征征方程，，則得到到關(guān)于z的特征方方程；利用Routh表和Routh判據(jù)對新新的特征征方程進(jìn)進(jìn)行穩(wěn)定定性判別別。如果果新系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定，，則說明明原系統(tǒng)統(tǒng)特征方方程的根根均在新新的虛軸軸之左邊邊，σ越大，系系統(tǒng)相對對穩(wěn)定性性越好。。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)系統(tǒng)傳遞遞函數(shù)方方框圖如如下圖所所示，已已知T1＝0.1s，T2＝0.25s，試求:實(shí)例分析析4解：（1）求系統(tǒng)穩(wěn)定定時K值的取值值范圍（1）系統(tǒng)穩(wěn)定定時K值的取值值范圍；；（2）若要求系系統(tǒng)的特特征根均均位于于s＝－1線的左側(cè)側(cè)，K值的取值值范圍。。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)因?yàn)椋簩1和T2代入得：：列Routh表如下：：解之得系系統(tǒng)穩(wěn)定定時K的取值范范圍為：：由Routh表和Routh判據(jù)得：：系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)（2）令s＝z－1，代入特特征方程程得：即：列Routh表如下：：解之得：：由Routh表和Routh判據(jù)得：：與(1)的結(jié)果比比較可知知，K的取值范范圍變小小了。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定定性是指指系統(tǒng)在在干擾作作用下偏偏離平衡衡位置，，當(dāng)干擾擾撤除后后，系統(tǒng)統(tǒng)自動回回到平衡衡位置的的能力；六、本講講小結(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定定的充要要條件是是所有特特征根具具有負(fù)實(shí)實(shí)部，或或系統(tǒng)傳傳遞函數(shù)數(shù)的所有有極點(diǎn)均均分布在在[s]平面的左左半平面面;Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)是Routh表的第一一列元素素均大于于0。利用Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)不僅可可判定系系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性，，而且可可以確定定某些參參數(shù)的取取值范圍圍和相對對穩(wěn)定性性。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Routh穩(wěn)定判據(jù)據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)據(jù)第二講Nyquist穩(wěn)定判據(jù)據(jù)K=8K=6乃奎斯特特圖及時時間響應(yīng)應(yīng)K=4K=1K=0.5由以上可可以看出出：極坐坐標(biāo)圖離離（-1，j0）點(diǎn)的遠(yuǎn)遠(yuǎn)近程度度是系統(tǒng)統(tǒng)的相對對穩(wěn)定性性的一種種度量，，這種度度量常用用相角裕裕量(度)和幅值裕裕量(度)來描述。。一、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)據(jù)判據(jù)提出出：該穩(wěn)定性性判據(jù)由由H.Nyquist于1932年提出，，在1940年以后得得到廣泛泛應(yīng)用。。判據(jù)原理理：將閉環(huán)系系統(tǒng)的特特征方程程1+G(s)H(s)=0與開環(huán)頻頻率特性性GK(jω)=G(s)H(s)聯(lián)系起來來，從而而將系統(tǒng)統(tǒng)特性從從復(fù)域引引入頻域域來分析析。判斷方法法：通過GK(jω)的Nyquist圖，利用用圖解法法來判明明閉環(huán)系系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性。。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)中的幅角原理。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)據(jù)幅角原理理（Cauchy定理）例如：進(jìn)一步，，我們考考慮S平面上的的一個圍線線（封閉閉曲線）），如圖(a)Ｓ平面中中的ABCDEFGH所示，要要觀察該該圍線在在F(S)平面上的的映射，，先求A、C、E、G四個點(diǎn)，，有如下下結(jié)果分析一下下F(s)零點(diǎn)：-2極點(diǎn)：0第一次s平面上的的曲線包包圍了F(s)的極點(diǎn)，未未包含零零點(diǎn)F(s)包圍圍原原點(diǎn)點(diǎn)，，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)方方向向：：逆時時針針方方向向s平面面選選擇擇方方向向：：順時時針針F(s)包含含坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)，，方方向向：：逆逆時時針針??！記住?。海喝绻屪宻平面面上上的的圍圍線線同同時時包包圍圍F(s)的極極點(diǎn)點(diǎn)和和零零點(diǎn)點(diǎn)F(s)曲線線會會？？不包包含含坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)如果果再再把把S平面面圍圍線線的的CDE段移移到到的的-1點(diǎn)，，這這時時包圍圍了了零零點(diǎn)點(diǎn)，但不不包包圍圍其其極極點(diǎn)點(diǎn)。此此時時，，F(xiàn)(s)平面面上上的的圍圍線線包包圍圍了了原原點(diǎn)點(diǎn)，，而而方方向向都都是是順順時時針針的的??！如如下下圖圖包含含坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)，，方方向向：：順順時時針針??！注意意:S平面面的的曲曲線線如如果果只只包包含含F(xiàn)(s)的極點(diǎn)點(diǎn)：F(s)曲線線將將包含含原原點(diǎn)點(diǎn)，且且曲曲線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)方方向向?yàn)闉槟鏁r時針針。。S平面面的的曲曲線線如如果果只只包包含含F(xiàn)(s)的零點(diǎn)點(diǎn)：F(s)曲線線將包包含含原原點(diǎn)點(diǎn)，且且曲曲線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)方方向向?yàn)闉轫槙r時針針。。S平面面的的曲曲線線如如果果既既包包含含F(xiàn)(s)的零零點(diǎn)點(diǎn)，，又又包包含含極極點(diǎn)點(diǎn)？？→剛才才我我們們看看見見的的F(s)不包包含含零零點(diǎn)點(diǎn)，，即即包包圍圍零零點(diǎn)點(diǎn)圈圈數(shù)數(shù)=0。結(jié)論論:如果果s平面面上上的的曲曲線線包包含含F(xiàn)(s)的Z個零零點(diǎn)點(diǎn)，P個極極點(diǎn)點(diǎn)，那那么么F(s)繞零零點(diǎn)點(diǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)圈圈數(shù)數(shù)為為：：N=Z-P(順時時針針)。單域域問問題題N＝1N=-1N=m-n=3––1=2零點(diǎn)點(diǎn)極點(diǎn)點(diǎn)Z=3P=1N=2Z=0P=1N=-11.幅角角原原理理（（Cauchy定理理））設(shè)F(s)在[s]平面面上上除有有限限個個奇奇點(diǎn)點(diǎn)外外為單單值值的的連連續(xù)續(xù)正正則則函函數(shù)數(shù)，，并并設(shè)設(shè)[s]平面面上上解解析析點(diǎn)點(diǎn)s映射射到到[F(s)]平面面上上為為點(diǎn)點(diǎn)F(s)，或或?yàn)闉閺膹脑c(diǎn)點(diǎn)指指向向此此映映射射點(diǎn)點(diǎn)的的向向量量F(s)。若若在在[s]平面面上上任任意意一一封封閉閉曲曲線線Ls，只只要要此此曲曲線線不不經(jīng)經(jīng)過過F(s)的奇奇點(diǎn)點(diǎn)，，則在在[F(s)]平面面上上必必有有一一條條對對應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線LF，也也是是一一條條封封閉閉曲曲線線。。當(dāng)解解析析點(diǎn)點(diǎn)s按順順時時針針方方向向沿沿Ls變化化一一周周時時，向向量量F(s)將按按順順時時針針方方向向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)N周，即即F(s)以原原點(diǎn)點(diǎn)為為中中心心順順時時針針旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)N周，，這這就就等等于于曲曲線線LF順時時針針包包圍圍原原點(diǎn)點(diǎn)N次。若若令令Z為包包圍圍于于Ls內(nèi)的的F(s)的零零點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)，，P為包包圍圍于于Ls內(nèi)的的F(s)的極極點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)，，則則有有N＝Z－P取任任意意拉拉氏氏函函數(shù)數(shù)：：系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性—Nyquist穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)向量量F(s)的相相位位為為系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性—Nyquist穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)簡要要說說明明系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性—Nyquist穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)假設(shè)設(shè)Ls內(nèi)只只包包圍圍了了F(s)的一個個零零點(diǎn)點(diǎn)zi，其其它它零零極極點(diǎn)點(diǎn)均均位位于于Ls之外外，，當(dāng)當(dāng)s沿Ls順時時針針移移動動一一周周時時，，向向量量（（s－zi）的的相相位位角角變變化化為為－－2ππ弧度度，，而而其其余余相相位位角角的的變變化化為為0。即即向向量量F(s)的相相位位角角變變化化為為－2ππ，或或者者說說F(s)在[F(s)]平面面上上沿沿LF繞原原點(diǎn)點(diǎn)順順時時針針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)了了一一圈圈。。系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性—Nyquist穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)若[s]平面面上上的的封封閉閉曲曲線線包包圍圍F(s)的Z個零零點(diǎn)點(diǎn)，，則則在在[F(s)]平面面上上的的映映射射曲曲線線LF將繞繞原原點(diǎn)點(diǎn)順順時時針針Z圈，而而若[s]平面內(nèi)內(nèi)的封封閉曲曲線包包圍這這F(s)的P個極點(diǎn)點(diǎn)，則則平面面上的的映射射曲線線LF將繞原原點(diǎn)逆逆時針針轉(zhuǎn)P圈。若若Ls包圍了了F(s)的Z個零點(diǎn)點(diǎn)和P個極點(diǎn)點(diǎn)，則則[F(s)]平面上上的映映射曲曲線LF將繞原點(diǎn)點(diǎn)順時時針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)N=Z-P圈。2.Nyquist穩(wěn)定判判據(jù):利用開開環(huán)頻頻率特特性判判斷閉閉環(huán)系系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性設(shè)閉環(huán)環(huán)傳遞遞函數(shù)數(shù)方框框圖對對應(yīng)的的開環(huán)環(huán)傳遞遞函數(shù)數(shù)為：：Xi(s)G(s)H(s)Xo(s)其閉環(huán)環(huán)傳遞遞函數(shù)數(shù)為：：特征方方程令則有：：系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)因?yàn)?特征方方程為為：由此可可知，，s1,s2,…,sn`是F(s)的零點(diǎn)點(diǎn)，即即為GB(s)的極點(diǎn)點(diǎn)，亦即即系統(tǒng)統(tǒng)特征征方程程的根根；F(s)的極點(diǎn)點(diǎn)p1,p2,…,pn即GK(s)的極點(diǎn)點(diǎn)。上述各各函數(shù)數(shù)零點(diǎn)點(diǎn)與極極點(diǎn)之之間的的對應(yīng)應(yīng)關(guān)系系如下下：零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)相同相同零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)相同相同定常線線性系系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定的的充要要條件件是其閉閉環(huán)特特征方方程的的全部部根具具有負(fù)負(fù)實(shí)部部，即即在[s]右半平平面內(nèi)內(nèi)沒有有極點(diǎn)點(diǎn)，也也就是是說，，F(xiàn)(s)在[s]平面的的右半半平面面沒有有零點(diǎn)點(diǎn)。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)下面我我們通通過幅角原原理導(dǎo)出Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)為研究究F(s)有無零零點(diǎn)位位于[s]平面的的右半半平面面，可選選擇一一條包圍整整個[s]右半平平面的封閉曲曲線Ls，如圖圖。Ls由兩部部分組組成，，其中中，L1為ω→－∞到+∞的整個個虛軸軸，L2為半徑徑R趨于無無窮大大的半半圓弧弧。因因此，，Ls封閉地地包圍圍了整整個[s]平面的的右半半平面面。這這一封封閉曲曲線Ls即為[s]平面上上的Nyquist軌跡。。當(dāng)ω→－∞到+∞，軌跡跡的方方向?yàn)闉轫槙r時針方方向。。由于在在應(yīng)用幅幅角原原理時，Ls不能通通過F(s)函數(shù)的的任何何極點(diǎn)點(diǎn)，所以以當(dāng)函函數(shù)F(s)有若干干極點(diǎn)點(diǎn)處于于[s]平面的的虛軸軸或原原點(diǎn)處處時，，Ls應(yīng)以這這些點(diǎn)點(diǎn)為圓圓心，，以無無窮小小為半半徑的的圓弧弧按逆逆時針針方向向繞過過這些些點(diǎn)。。由于于繞過過這些些點(diǎn)的的圓弧弧的半半徑為為無窮窮小，，因此此，可可以認(rèn)認(rèn)為Ls曲線仍仍然包包圍了了整個個[s]平面的的右半半平面面。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)設(shè)F(s)＝1＋G(s)H(s)在[s]右平面面有Z個零點(diǎn)點(diǎn)和P個極點(diǎn)點(diǎn)，由幅幅角原原理，，當(dāng)s沿[s]平面上上的Nyquist軌跡移移動一一周時時，在在[F]平面上上的映映射曲曲線LF將順時時針包包圍原原點(diǎn)N＝Z－P圈。因?yàn)?

G(s)H(s)＝F(s)－1

可見[GH]平面是將[F]平面的虛軸右移一個單位所構(gòu)成的復(fù)平面。[F]平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)，就是[GH]平面上的（－1，j0）點(diǎn)，F(xiàn)(s)的映射曲線LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)就等于G(s)H(s)的映射曲線LGH包圍（－1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)設(shè)F(s)＝1＋G(s)H(s)在[s]右平面面有Z個零點(diǎn)點(diǎn)和P個極點(diǎn)點(diǎn)，由幅幅角原原理，，當(dāng)s沿[s]平面上上的Nyquist軌跡移移動一一周時時，在在[F]平面上上的映映射曲曲線LF將順時時針包包圍（（-1，j0）N＝Z－P圈。對于任任何物物理上上可實(shí)實(shí)現(xiàn)的的開環(huán)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)，其其GK(s)的分母母的階階次n必不小小于分分子的的階次次m，即n≥m，故有有：這里s→∞∞是指其模而言，，所以以，[s]平面上上半徑徑為∞∞的半半圓映映射到到[GH]平面上上為原原點(diǎn)或或?qū)嵼S軸上的的一點(diǎn)點(diǎn)。?íì=>=￥?mnmnsHsGs

當(dāng)const當(dāng)0)()(lim因?yàn)?，，Ls為[s]平面上上的整整個虛虛軸再再加上上半徑徑為無無窮大大的半半圓弧弧，而而[s]平面上上半徑徑為無無窮大大的半半圓弧弧映射射到[GH]平面上上只是是一個個點(diǎn)，，它對對于G(s)H(s)的映射射曲線線LGH對某點(diǎn)點(diǎn)的包包圍情情況無無影響響，所所以G(s)H(s)的繞行行情況況只考考慮[s]平面的的虛軸軸映射射到[GH]平面上上的開開環(huán)Nyquist軌跡G(jω)H(jω)即可。。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)向量F(s)的相位位為F(s)若[s]平面上上的封封閉曲曲線包包圍F(s)的Z個零點(diǎn)點(diǎn)，則則在[F(s)]平面上上的映映射曲曲線LF將繞原原點(diǎn)順順時針針Z圈，而而若[s]平面內(nèi)內(nèi)的封封閉曲曲線包包圍這這F(s)的P個極點(diǎn)點(diǎn)，則則平面面上的的映射射曲線線LF將繞原原點(diǎn)逆逆時針針轉(zhuǎn)P圈。若若Ls包圍了了F(s)的Z個零點(diǎn)點(diǎn)和P個極點(diǎn)點(diǎn)，則則[F(s)]平面上上的映映射曲曲線LF將繞原點(diǎn)點(diǎn)順時時針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)N=Z-P圈。閉環(huán)系系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定的的充要要條件件是：：F(s)在[s]平面的的右半半平面面無零零點(diǎn)，，即Z＝0。因此此，如如果G(s)H(s)的Nyquist軌跡逆逆時針針包圍圍（－－1，j0）點(diǎn)的的圈數(shù)數(shù)N等于G(s)H(s)在[s]平面的的右半半平面面的極極點(diǎn)數(shù)數(shù)P時，有有N＝－P，閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定定。綜上所所述，，Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)表表述如如下：：當(dāng)ω→－∞到+∞時，若若[GH]平面上上的開開環(huán)頻頻率特特性G(jω)H(jω)逆時針針包圍（（－1，j0）點(diǎn)P圈，則則閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定定。P為G(s)H(s)在[s]平面的的右半半平面面的極極點(diǎn)數(shù)數(shù)。對于開環(huán)穩(wěn)穩(wěn)定的的系統(tǒng)統(tǒng)，有P＝0，此時時閉環(huán)系系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定的的充要要條件件是：：系統(tǒng)統(tǒng)的開開環(huán)頻頻率特特性G(jω)H(jω)不包圍圍（－－1，j0）點(diǎn)。定常線線性系系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定的的充要要條件件是其閉閉環(huán)特特征方方程的的全部部根具具有負(fù)負(fù)實(shí)部部，即即在[s]右半平平面內(nèi)內(nèi)沒有有極點(diǎn)點(diǎn)，也也就是是說，，F(xiàn)(s)在[s]平面的的右半半平面面沒有有零點(diǎn)點(diǎn)。零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)相同相同如圖是是P=0的系統(tǒng)統(tǒng)的開開環(huán)奈奈氏圖圖。(a)圖不包包圍(-1，j0)點(diǎn)，它它所對對應(yīng)的的閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定定；(b)圖對應(yīng)應(yīng)的閉閉環(huán)系系統(tǒng)不不穩(wěn)定定。(a)(b)實(shí)例分分析1系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)實(shí)例分分析2已知某某系統(tǒng)統(tǒng)的開開環(huán)傳傳遞函函數(shù)為為：其開環(huán)環(huán)傳遞遞函數(shù)數(shù)的奈奈氏圖圖如下下：由開環(huán)環(huán)傳遞遞函數(shù)數(shù)可知知，P=1，即在在[s]平面的的右半半平面面有一一個極極點(diǎn)。。其奈奈氏軌軌跡逆時針針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈圈，所所以閉閉環(huán)系系統(tǒng)仍仍是穩(wěn)穩(wěn)定的的。這就是是所謂謂的開環(huán)不不穩(wěn)定定而閉閉環(huán)穩(wěn)穩(wěn)定。開環(huán)環(huán)不穩(wěn)穩(wěn)定是是指開開環(huán)傳傳遞函函數(shù)在在[s]平面的的右半半平面面有極極點(diǎn)。。顯然然，此此時的的開環(huán)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)是非非最小小相位位系統(tǒng)統(tǒng)。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)向量F(s)的相位位為F(s)若[s]平面上上的封封閉曲曲線包包圍F(s)的Z個零點(diǎn)點(diǎn)，則則在[F(s)]平面上上的映映射曲曲線LF將繞原原點(diǎn)順順時針針Z圈，而而若[s]平面內(nèi)內(nèi)的封封閉曲曲線包包圍這這F(s)的P個極點(diǎn)點(diǎn)，則則平面面上的的映射射曲線線LF將繞原原點(diǎn)逆逆時針針轉(zhuǎn)P圈。若若Ls包圍了了F(s)的Z個零點(diǎn)點(diǎn)和P個極點(diǎn)點(diǎn)，則則[F(s)]平面上上的映映射曲曲線LF將繞原原點(diǎn)點(diǎn)順順時時針針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)N=Z-P圈?？偨Y(jié)結(jié)閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定定的的充充要要條條件件是是：：F(s)在[s]平面面的的右右半半平平面面無無零零點(diǎn)點(diǎn)，，即即Z＝0。因因此此，，如如果果G(s)H(s)的Nyquist軌跡跡逆逆時時針針包包圍圍（（－－1，j0）點(diǎn)點(diǎn)的的圈圈數(shù)數(shù)N等于于G(s)H(s)在[s]平面面的的右右半半平平面面的的極極點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)P時，，有有N＝－－P，閉閉環(huán)環(huán)系系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定定。。定常常線線性性系系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定定的的充充要要條條件件是其其閉閉環(huán)環(huán)特特征征方方程程的的全全部部根根具具有有負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)部部，，即即在在[s]右半半平平面面內(nèi)內(nèi)沒沒有有極極點(diǎn)點(diǎn)，，也也就就是是說說，，F(xiàn)(s)在[s]平面面的的右右半半平平面面沒沒有有零零點(diǎn)點(diǎn)。零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)相同相同3.開環(huán)環(huán)含含有有積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)的的Nyquist軌跡跡軌跡跡特特點(diǎn)點(diǎn)：：當(dāng)系系統(tǒng)統(tǒng)中中串串聯(lián)聯(lián)有有積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)時時，，開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)有有位位于于[s]平面面坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)處處的的極極點(diǎn)點(diǎn)。設(shè)開開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)式中中，，ν為系系統(tǒng)統(tǒng)中中積積分分環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)的的個個數(shù)數(shù)，，當(dāng)當(dāng)s沿?zé)o無窮窮小小半半圓圓弧弧逆逆時時針針方方向向移移動動時時，，有有映射射到到[GH]平面面上上的的Nyquist軌跡跡為為：：映射射到到[GH]平面面上上的的Nyquist軌跡跡為為：：因此此，，當(dāng)當(dāng)s沿小小半半圓圓從從ω＝0－變化化到到ω＝0＋時，，θ角從從－－π/2變化化到到π/2，這這時時[GH]平面面上上的的Nyquist軌跡跡將將沿沿?zé)o無窮窮大大半半徑徑按按順時時針針方方向向從vπ/2轉(zhuǎn)到到-vπ/2。系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性—Nyquist穩(wěn)定定判判據(jù)據(jù)實(shí)例例分分析析3已知知某某系系統(tǒng)統(tǒng)的的開開環(huán)環(huán)傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)為為：：當(dāng)ω=0時，當(dāng)ω=∞時，故奈奈氏氏曲曲線線將將穿穿越越負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸，，在在交交點(diǎn)點(diǎn)處處，，有有由此可可算得得：當(dāng)ω由-∞變到+∞時，經(jīng)經(jīng)過ω=0時，由由于G(s)H(s)分母中中有兩兩個積積分環(huán)環(huán)節(jié)，，所以以，影影射到到[GH]平面上上就是是半徑徑為∞∞按按順時時針方方向從從π到-π的圓弧弧。因因P=0，當(dāng)ω由-∞變到+∞時，開開環(huán)奈奈氏軌軌跡順時針針包圍(-1，j0)點(diǎn)兩圈圈，所所以，，閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)不穩(wěn)穩(wěn)定。。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)已知某某系統(tǒng)統(tǒng)的開開環(huán)傳傳遞函函數(shù)為為分析：G(s)H(s)在[s]平面的的右半半平面面有一一個極極點(diǎn)，，為s=1，所以以，P=1。實(shí)例分分析4當(dāng)ω由-∞變到+∞時，開開環(huán)奈奈氏軌軌跡逆逆時針針包圍圍(-1，j0)點(diǎn)一圈圈，所所以，，閉環(huán)系系統(tǒng)是是穩(wěn)定定的。。顯然，，此時時的開開環(huán)系系統(tǒng)是是非最最小相相位系系統(tǒng)。。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)四.關(guān)于Nyquist判據(jù)的的幾點(diǎn)點(diǎn)說明明Nyquist判據(jù)是是在[GH]平面判別系系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性；根據(jù)據(jù)GH軌跡包包圍(-1,j0)點(diǎn)的情情況來來判別別閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性性。Nyquist判據(jù)證明復(fù)復(fù)雜，，但應(yīng)應(yīng)用簡簡單；由于于一般般系統(tǒng)統(tǒng)的開開環(huán)系系統(tǒng)多多為最最小相相位系系統(tǒng)，，P=0，因此此，只只要看看開環(huán)環(huán)Nyquist軌跡是是否包包圍(-1,j0)點(diǎn)，若若不包包圍，，系統(tǒng)統(tǒng)就穩(wěn)穩(wěn)定。。當(dāng)開開環(huán)系系統(tǒng)為為非最最小相相位系系統(tǒng)P≠0時，先先求出出P，再看看開環(huán)環(huán)Nyquist軌跡包包圍點(diǎn)點(diǎn)(-1,j0)的圈數(shù)數(shù)，并并注意意ω由小到到大的的軌跡跡的方方向，，若是是逆時針針包圍圍點(diǎn)(-1,j0)P圈，則系系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定。。開環(huán)穩(wěn)穩(wěn)定與與閉環(huán)環(huán)穩(wěn)定定之間間的關(guān)關(guān)系；開環(huán)Nyquist軌跡是是對稱稱的。。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)∠∠實(shí)例分分析5已知系系統(tǒng)的的開環(huán)環(huán)傳遞遞函數(shù)數(shù)為：：開環(huán)奈奈氏軌軌跡如如右邊邊圖所所示。。因?yàn)闉镻=0，當(dāng)ω由-∞變到+∞時，開開環(huán)奈奈氏軌軌跡不不包圍圍(-1，j0)點(diǎn)，所所以，，不論論K取任何何正值值，其其所對對應(yīng)的的閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)都是是穩(wěn)定定的。。

從開環(huán)傳遞函數(shù)的特點(diǎn)可知，當(dāng)ω=+∞時，相位為-π，當(dāng)ω

由0變到+∞時，開環(huán)奈氏軌跡到不了第二象限。所以，當(dāng)ω

由-∞變到+∞時，開環(huán)奈氏軌跡不會包圍(-1，j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。由此可知，開環(huán)為最小相位系統(tǒng)時，只有三階及其以上，其閉環(huán)系統(tǒng)才有可能不穩(wěn)定。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)實(shí)例分分析7某系統(tǒng)統(tǒng)的開開環(huán)傳傳遞函函數(shù)為為：右圖為為其開開環(huán)奈奈氏曲曲線。。顯然然，只只要K>0，無論論取何何值，，其對對應(yīng)的的閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)都是是穩(wěn)定定的。。此例例中只只有一一個積積分環(huán)環(huán)節(jié)，，而且且是二二階系系統(tǒng)，，相位位最多多為-π所以，，閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)一定定是穩(wěn)穩(wěn)定的的。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)系統(tǒng)的的開環(huán)環(huán)傳遞遞函數(shù)數(shù)為:實(shí)例分分析8–導(dǎo)前環(huán)環(huán)節(jié)在在系統(tǒng)統(tǒng)中的的重要要作用用右圖為為開環(huán)環(huán)奈氏氏曲線線。其其中曲曲線（（1）的T4較小，，即前前導(dǎo)作作用較較弱，，曲線線包圍圍了（-1，j0）點(diǎn)，所所對應(yīng)應(yīng)的閉閉環(huán)系系統(tǒng)不不穩(wěn)定定。曲線(2)的T4較大，，即導(dǎo)導(dǎo)前作作用較較強(qiáng)，，曲線線不包包圍(-1，j0)點(diǎn)，所所對應(yīng)應(yīng)的閉閉環(huán)系系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定。。系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)P=0實(shí)例分分析9–導(dǎo)前環(huán)環(huán)節(jié)和和積分分環(huán)節(jié)節(jié)的作作用系統(tǒng)的的開環(huán)環(huán)傳遞遞函數(shù)數(shù)為：：系統(tǒng)的的穩(wěn)定定性—Nyquist穩(wěn)定判判據(jù)P=0由圖可可知：：（1）T2大，表表示導(dǎo)導(dǎo)前環(huán)環(huán)節(jié)作作用大大，可可使系系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定；；（2）開環(huán)系系統(tǒng)中串串聯(lián)的積積分環(huán)節(jié)節(jié)越多，，即系統(tǒng)統(tǒng)的型次次越高，，開環(huán)Nyquist軌跡越容容易包圍圍點(diǎn)（－－1，j0），系統(tǒng)統(tǒng)越容易易不穩(wěn)定定，故一一般型次次不超過過III型。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Nyquist穩(wěn)定判據(jù)據(jù)五.具有延時時環(huán)節(jié)的的系統(tǒng)的的穩(wěn)定性性分析則幅頻特性性為：相頻特性性為：故具有延時時環(huán)節(jié)的的系統(tǒng)傳傳遞函數(shù)數(shù)結(jié)構(gòu)圖圖為：延時環(huán)節(jié)節(jié)不改變變原頻率率特性幅幅值的大大小，但但改變其其相角的的大小。。sKesGsGt-=)()(1對具有延延時環(huán)節(jié)節(jié)的單位位反饋系系統(tǒng)，其其特征方方程為：：即若系統(tǒng)處處于臨界界狀態(tài)，，有：解得：此例說明明，串聯(lián)聯(lián)延時環(huán)環(huán)節(jié)對系系統(tǒng)穩(wěn)定定性是不不利的。。即使原原系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定，但但串入延延時環(huán)節(jié)節(jié)后系統(tǒng)統(tǒng)可能會會不穩(wěn)定定。此例，τ<1.15，系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定；τ=1.15，系統(tǒng)臨臨界穩(wěn)定定；τ>1.15，系統(tǒng)不不穩(wěn)定。。第三講Bode穩(wěn)定判據(jù)據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Bode穩(wěn)定判據(jù)據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Bode穩(wěn)定判據(jù)據(jù)一Bode判據(jù)原理理判據(jù)原理理：將開環(huán)Nyquist極坐標(biāo)圖圖采用開開環(huán)Bode對數(shù)坐標(biāo)標(biāo)圖以進(jìn)進(jìn)行系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定性性判斷。。判據(jù)對應(yīng)應(yīng)關(guān)系：根據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)據(jù)：三Bode判據(jù)在Bode圖上，當(dāng)ω由0變?yōu)?∞時，在開環(huán)環(huán)對數(shù)幅頻頻特性為為正值的頻率范范圍內(nèi)，開環(huán)對數(shù)相頻頻特性對對-180度線正穿穿越與負(fù)負(fù)穿越的的次數(shù)之之差為P/2時，閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定，否否則閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)不不穩(wěn)定。。其中P為系統(tǒng)開開環(huán)傳遞遞函數(shù)在在[s]平面的右右半平面面的極點(diǎn)點(diǎn)數(shù)。閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定的的充要條條件：當(dāng)P＝0時，若開開環(huán)對數(shù)數(shù)幅頻特特性比其其對數(shù)相相頻特性性先交于于橫軸，，即ωc<ωg，則閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定；若若開環(huán)對對數(shù)幅頻頻特性比比其對數(shù)數(shù)相頻特特性后交交于橫軸軸，即ωc>ωg，則閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)不不穩(wěn)定；若ωc=ωg，則閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)臨臨界穩(wěn)定定。系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性—Bode穩(wěn)定判據(jù)據(jù)若開環(huán)對對數(shù)幅頻頻特性曲曲線對橫橫軸有多多個剪切切頻率，，如圖，，則取剪