考點(diǎn)02 指對(duì)數(shù)函數(shù)及相關(guān)運(yùn)算（解析版）

考點(diǎn)02指對(duì)數(shù)函數(shù)及相關(guān)運(yùn)算一、單選題1．函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令指數(shù)為零，求出的值，并代入函數(shù)的解析式，即可得出定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】令，得，，因此，定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，一般利用指數(shù)為零可求得定點(diǎn)的坐標(biāo)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．已知，由此可以推斷是（）位整數(shù).A． B． C． D．【答案】C【分析】令，兩邊取對(duì)數(shù)后求得，由此可得的整數(shù)位.【詳解】解：∵，令，∴，則，∴是位整數(shù).故選：C.3．圖中、、為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3【答案】D【詳解】由題意得，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，，所以解析式中指數(shù)的值依次可以是，故選：D．4．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)有，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性有，即可知a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】，，又，∴，故選：D5．已知?jiǎng)t（）A．4 B． C．6 D．【答案】D【分析】利用分段函數(shù)解析式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，求得的值.【詳解】因?yàn)椋?，而，故，故．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題.6．已知，且，則函數(shù)與的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】討論或，首先判斷的圖象，再判斷圖象即可得出結(jié)果.【詳解】若，函數(shù)的圖象下降，即為減函數(shù)，且過(guò)，的圖象下降，即為減函數(shù)，且以上圖象C符合；若，函數(shù)的圖象上升，即為增函數(shù)，且過(guò)，的圖象上升，即為增函數(shù)，以上圖象都不符合.故選：C7．設(shè)，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)已知求出，再求的值.【詳解】，，則.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．， C．， D．【答案】C【分析】先確定，再轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上為減函數(shù)，且，即可求得的取值范圍.【詳解】解：若，則在區(qū)間上為增函數(shù)，不可能，舍去；

若，則在區(qū)間上為減函數(shù)，且,

即的取值范圍是.

故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題.二、多選題9．若函數(shù)是冪函數(shù)，則一定（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，由求得m，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，所以或，由冪函數(shù)性質(zhì)知是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故選：BD.10．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】由根式與分式指數(shù)冪互化的法則，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，而，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)槌闪ⅲ訡正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，所以D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查了根式與分式指數(shù)冪的互化，考查了運(yùn)算求解能力，注意底數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11．對(duì)于函數(shù)的定義域中任意的，有如下結(jié)論:當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)判斷A，B，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C，由指數(shù)冪和根式的互化結(jié)合基本不等式判斷D．【詳解】對(duì)于A，，，，正確；對(duì)于B，，，，錯(cuò)誤；對(duì)于C，在定義域中單調(diào)遞增，，正確；對(duì)于D，，又，則，正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是將指數(shù)冪形式化為根式，即，利用指數(shù)冪的運(yùn)算結(jié)合基本不等式放縮得出答案，并驗(yàn)證取等條件，考查了學(xué)生邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．12．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．定義域?yàn)?B．定義域?yàn)镃．值域?yàn)?D．遞增區(qū)間為【答案】ACD【分析】令可得函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求出的值域，可得函數(shù)的值域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)單調(diào)性．【詳解】解：令，得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋珹正確，B錯(cuò)誤；，，C正確；令，則其在在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得的遞增區(qū)間為，D正確；故選：ACD．三、填空題13．計(jì)算：________.【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】原式.故答案為：.14．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______．【答案】【分析】將函數(shù)解析式變形為，即可求得原函數(shù)的定義域.【詳解】，所以，.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.15．是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為_(kāi)___________.【答案】【分析】根據(jù)條件可得出，當(dāng)時(shí)，由得出，然后根據(jù)是偶函數(shù)即可得出不等式的解集．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由，得，解得.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的解集為.故答案為：16．已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，分段函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)，則在每個(gè)函數(shù)內(nèi)單調(diào)，注意銜接點(diǎn)的函數(shù)值.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)且在區(qū)間上也是增函數(shù)，對(duì)于函數(shù)在上是增函數(shù)，則；①對(duì)于函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，，外函數(shù)為定義域內(nèi)的減函數(shù)，內(nèi)函數(shù)在上是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”可得時(shí)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，不符合題意，故舍去，（2）當(dāng)時(shí)，外函數(shù)為定義域內(nèi)的增函數(shù)，要使函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則內(nèi)函數(shù)在上也是增函數(shù)，且對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0，即在上也要恒成立，所以，又，所以，②又在上是增函數(shù)則在銜接點(diǎn)處函數(shù)值應(yīng)滿(mǎn)足：，化簡(jiǎn)得，③由①②③得，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用單調(diào)性求參數(shù)方法如下：（1）依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較；（2）需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；（3）分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值．四、解答題17．（1）計(jì)算×+80.25×（2）已知＝3，求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接根據(jù)將根數(shù)轉(zhuǎn)化為冪運(yùn)算可得解；（2）分別計(jì)算和代入可得解.【詳解】（1）×+80.25×（2）∵＝3，∴，故．18．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】（1）原式；（2）方法一：原式；方法二：原式lg；（3）原式.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．已知幕函數(shù)在上是增函數(shù)（1）求的解析式（2）若，求的取值范圍【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題意可得且即可求解；（2）由（1）知，所以為上的增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和根式有意義即可求的范圍，進(jìn)而可求的取值范圍【詳解】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，即解得：或，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以，解得，所以，故（2）由（1）知，所以為上的增函數(shù)，所以，解得：，所以，即故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是熟悉冪函數(shù)的性質(zhì)，冪函數(shù)形式為系數(shù)為，可得，當(dāng)時(shí)在上是增函數(shù)，所以，可求出，，第二問(wèn)利用單調(diào)性即可解不等式.20．已知函數(shù)（1）當(dāng)為何值時(shí)，為奇函數(shù)；（2）求證：為上的增函數(shù).【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）任取，計(jì)算化簡(jiǎn)判斷正負(fù)，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，解得.當(dāng)時(shí)，，，滿(mǎn)足，故當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；（2）證明：，定義域?yàn)镽，設(shè)，，，，又，所以為上的增函數(shù).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：（1）在定義域內(nèi)任??；（2）計(jì)算并化簡(jiǎn)整理；（3）判斷的正負(fù)；（4）得出結(jié)論，若，則單調(diào)遞增；若，則單調(diào)遞減.21．知函數(shù)（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在上恒有意義，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且最大值為2？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，【分析】（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問(wèn)題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問(wèn)題，利用參變分離，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解；（3）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及最值列不等式求解．【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，得，不合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，解得，綜合得；（2）函數(shù)在上恒有意義，即在上恒成立，恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，，；（3）當(dāng)時(shí)，或，解得，當(dāng)時(shí)，或，解得．故存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且最大值為2．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒成立問(wèn)題有兩種處理方式，一．直接轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，這種方式可能要分類(lèi)討論；二．先參變分離，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，這種方式可避免分類(lèi)討論．22．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：①對(duì)任意的，都有；②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立.（1）求；（2）設(shè)，若，試比較，的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）令，代入可得；（2）記，代入已知等式，由可得，從而有，得結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式變形為恒成立，然后設(shè)后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式和一元不次不等式恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，可求得參數(shù)范圍．【詳解】（1）令，則，所以.（2），理由如下：