數(shù)理統(tǒng)計-4.2誤差分析和檢驗

6.4模型誤差分析

一．模型誤差的客觀存在性希望建立的模型盡善盡美：

能“逼真”地模擬現(xiàn)實系統(tǒng)；

能“精確”地預(yù)測系統(tǒng)的未來情況；

能“準(zhǔn)確”地控制系統(tǒng)；

得到問題的“最優(yōu)”解；…逼真、精確、準(zhǔn)確、最優(yōu)、…良好愿望

數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實世界的理想化，不可能是真實世界的再現(xiàn)

任何數(shù)學(xué)模型在建立和使用的過程中，不可避免的產(chǎn)生模型誤差。

如：附加進數(shù)據(jù)的測量誤差、舍入誤差和截斷誤差等。

因此，有必要對模型誤差進行分析，并給出估計。常用“絕對誤差”和“相對誤差”來衡量誤差的大小程度：

絕對誤差=測量值－近似值相對誤差=絕對誤差/測量值與數(shù)量級有關(guān)

例6.6.1用經(jīng)驗公式

x≥0

作為土豆產(chǎn)量的近似估計公式，其誤差數(shù)值列表如下（參見p157表6.8）施肥量02498196估計值31.534.538.4841.20絕對誤差1.96－2.032.560.06相對誤差0.06－0.060.0620.001問題：如何評價誤差數(shù)據(jù)？二．誤差分析各類誤差

數(shù)據(jù)測量誤差

截斷誤差

模型假設(shè)誤差

1．?dāng)?shù)據(jù)測量誤差*在建立模型之前應(yīng)該盡量控制實驗數(shù)據(jù)的質(zhì)量，使之測量準(zhǔn)確可靠。

*數(shù)據(jù)帶有無法消除的測量誤差時，應(yīng)分析它對模型造成的影響，并對模型誤差進行估計。

例6.6.2有高為100厘米的半球形容器中裝滿了水。從某一時刻開始，水從底部一個橫截面積為1平方厘米的小孔流出，可以隨時測出水面高度h。由水力學(xué)知，水從孔口流出的流量（即通過孔口橫截面的水的體積V對時間t的變化率）Q，有關(guān)系式

其中0.62為流量系數(shù)，S是小孔口橫截面積，g為重力加速度。

由測出的水面高度h，可算得水流量。由于儀器所限，測出的高度值有土0.1厘米的誤差，這會引起水流量Q的多大誤差？

100h水面高度h有誤差Δh

分析水面高度誤差為Δh

，水流量誤差則為在

h=50厘米處，代入Δh=0.1厘米，可算得絕對誤差為（注意此時重力加速度的單位！）誤差大嗎？水流量Q的相對誤差為在h=50厘米處的相對誤差為約為1‰

。誤差大嗎？2.截斷誤差

截斷誤差的來源：

1.用數(shù)值方法近似求解會產(chǎn)生截斷誤差；

2.函數(shù)近似產(chǎn)生截斷誤差；3.計算機運算的精度誤差；

應(yīng)分析截斷誤差對模型的影響

例6.6.3廣義生日問題

一個班有30名學(xué)生，他們中至少有兩名同一天生日的概率p=?他們生日均不同日的概率為q則

p=1－q。一般化后，考慮下問題：求最小的整數(shù)n，使

f(n)≤q（給定）。

思考：如何求n的精確解？

對于給定的

x，f(n)是單調(diào)下降函數(shù)(序列)解：可采用求根方法—對分法

當(dāng)q=0.5時，對不同的x，可以算出n

的最小值n*，見P159表6.9的前兩列。q

用不同方法建立：滿足f(n)≤q的最小值n*和x

之間的近似關(guān)系式.

建立經(jīng)驗公式為建立泰勒近似公式為方法二泰勒近似方法一

最小二乘法泰勒近似式的誤差控制函數(shù)

練習(xí)：對兩種近似求解方法，計算各個近似值的絕對誤差和相對誤差。3.模型假設(shè)誤差通過對數(shù)據(jù)進行分析可以判斷假設(shè)是否合理。

續(xù)例6.6.4施肥效果分析

有人做了如下兩條假設(shè)：

*1在實驗中除施肥量，其他影響因子：如環(huán)境條件、種植密度、土壤肥力等，均處于同等水平；*2各次實驗獨立,誤差項ε均服從N(0,σ2),σ>0分析：從數(shù)據(jù)可見在實驗點（n0，p0，k0）=（259，196，372）實際重復(fù)了三次試驗。

問題：三次試驗的土豆產(chǎn)量分別為43.15，41.26，38.43（單位：t/ha）怎樣解釋這3個數(shù)據(jù)的波動？

按照假設(shè)，這3次重復(fù)試驗產(chǎn)生的產(chǎn)量波動完全因隨機誤差所致。Y=μ(n,p,k)＋ε～N（μ,σ2）

并且土豆產(chǎn)量滿足回歸方程合理嗎？分析：由3個數(shù)據(jù)計算得

==40.95（t／ha），=2.38(樣本標(biāo)準(zhǔn)差)

有概率式P{}≥0.9530個試驗數(shù)據(jù)有較多數(shù)落在區(qū)間(33.82,48.07)之外

由施肥水平變化所引起的土豆產(chǎn)量的變動不及隨機誤差產(chǎn)生的波動。不合理不合理的原因：實際上三次重復(fù)試驗帶有系統(tǒng)誤差

主要來源于土壤肥力，生長期的管理措施等多種試驗時的外界條件變化。

試驗設(shè)計中，把在試驗實施過程中外界環(huán)境條件的差異所造的系統(tǒng)偏差稱為區(qū)組效應(yīng)。

施肥問題中，對應(yīng)于每種營養(yǎng)素的10個施肥試驗點，應(yīng)并為一個區(qū)組?？烧J(rèn)為區(qū)組內(nèi)10次試驗的試驗條件較為一致，而不同區(qū)組間的試驗條件差別較大。

根據(jù)有區(qū)組效應(yīng)的數(shù)據(jù)不可能分析出各個肥素對土豆產(chǎn)量的交互作用。

利用數(shù)據(jù)建立模型應(yīng)盡量消除區(qū)組效應(yīng)

通過試驗設(shè)計，保證數(shù)據(jù)質(zhì)量模型檢驗

基于數(shù)據(jù)用統(tǒng)計方法建立經(jīng)驗?zāi)Ｐ停隽艘韵鹿ぷ鳎阂?模型檢驗的必要性1）借助于數(shù)據(jù)散布圖的直觀形象，選擇一個函數(shù)來近似變量之間的相關(guān)關(guān)系；

2）用最小二乘法求經(jīng)驗?zāi)Ｐ椭袇?shù)的最佳估計。

問題：如何評價這個模型？

分析：若兩個變量X、Y間存在相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸函數(shù)為

y=μ(x)。

選擇一個函數(shù)f(x)

作為y=μ(x)的估計函數(shù)。

客觀存在主觀設(shè)定相當(dāng)于做假設(shè)：

這種假設(shè)主觀性太強，是否真實合理必須經(jīng)過檢驗。

一元線性回歸問題需做兩方面的檢驗工作：

1.評價方程對樣本數(shù)據(jù)的代表程度；

2.檢驗變量之間的線性關(guān)系是否顯著。

二.評價回歸方程的擬合優(yōu)度兩種方法：考察數(shù)據(jù)殘差圖和計算測定系數(shù)

1）考察數(shù)據(jù)殘差圖

是檢驗回歸方程擬合優(yōu)度的一個簡單有效的方法.數(shù)據(jù)殘差圖分析原理

分析數(shù)據(jù)殘差圖，若數(shù)據(jù)點（xi，e*），i=1，2，…，n在（一2，2）區(qū)間內(nèi)隨機散布，說明回歸方程的擬合是良好的。

例6.5.1生產(chǎn)費用與產(chǎn)量擬合優(yōu)度分析

例6.6.5試分析講義P162圖6.13的四副標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖。1.圖（a）全部數(shù)據(jù)都在（一2，2）區(qū)間內(nèi)，且隨機散布，說明方程對數(shù)據(jù)的擬合是良好的。2.圖（b）中有較多數(shù)據(jù)落在（－2，2）區(qū)間的外面，這說明方程對數(shù)據(jù)的擬合不充分。

可能是由于方程的形式選擇不恰當(dāng)。

通過分析標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖可以得到更多信息，可以分析出回歸方程的回歸假定的滿足情況。

對殘差圖做進一步分析：*1圖（c）中殘差出現(xiàn)系統(tǒng)變動的趨勢；

表明關(guān)于,i=1，2，…，n的等方差假定不滿足；

*2圖(d)中殘差值e*,i=1，2，…，n有相依關(guān)系；說明關(guān)于,i=1，2，…，n的獨立性不滿足。

2）計算測定系數(shù)（確定系數(shù)、判定系數(shù)）

是評價回歸方程擬合優(yōu)度的一個指標(biāo)。

可證明

0≤r2≤1且

r2的值越大說明方程對數(shù)據(jù)的擬合度越高。續(xù)例6.5.1生產(chǎn)費用與產(chǎn)量擬合優(yōu)度分析給定擬合回歸方程測定系數(shù)為=0.6524。

結(jié)果分析：好不好？

圖6.14中標(biāo)準(zhǔn)化殘差e*在橫軸上下隨機散布，且位于（一2，2）區(qū)間內(nèi)，初步判斷擬合是良好的。

結(jié)論：1）方程對這批數(shù)據(jù)的擬合是良好的，說明在生產(chǎn)費用的變動中，有65.24%是由于產(chǎn)量變動引起。2）測定系數(shù)r2的值不是很高，這說明僅用“產(chǎn)量”這一種因素來解釋生產(chǎn)費用的變動并不充分，還應(yīng)考慮其他因素。三.線性關(guān)系檢驗

測定系數(shù)r2僅是反映回歸方程對樣本數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度的一個衡量指標(biāo)。

r2值較高方程對樣本（數(shù)據(jù)）呈現(xiàn)的線性關(guān)系的代表性較好.X和Y的相關(guān)關(guān)系是線性關(guān)系。由于抽樣的隨機性使樣本的關(guān)系與變量X與Y之間的相關(guān)關(guān)系有一定差異，還不能肯定X和Y的線性關(guān)系顯著。線性關(guān)系檢驗:

檢驗變量X與Y的線性相關(guān)關(guān)系是否顯著。樣本相關(guān)系數(shù)=的大小反映了X和Y之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱。當(dāng)r=1,說明變量之間存在完全正相關(guān)關(guān)系；

當(dāng)r=0,說明變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)r=－1,說明變量之間存在完全負相關(guān)關(guān)系。樣本相關(guān)系數(shù)r的變動范圍是－1≤r≤1，

當(dāng)0<r<1，說明變量之間存在一定程度的正相關(guān)關(guān)系；

當(dāng)－1<r<0,說明變量之間存在一定程度的負相關(guān)關(guān)系；

︱r︱的值有多大時，才能認(rèn)為變量X與Y之間的線性相關(guān)關(guān)系顯著？

對給定顯著性水平α(0<α<1)，可計算樣本相關(guān)系數(shù)臨界值rα(n－1)：

判別準(zhǔn)則：

若，則在顯著性水平α下，認(rèn)為變量X與Y之間的線性關(guān)系顯著；

否則認(rèn)為它們的線性關(guān)系不顯著。

續(xù)例6.5.1生產(chǎn)費用與產(chǎn)量線性相關(guān)關(guān)系檢驗