數(shù)理統(tǒng)計(jì)-4.2誤差分析和檢驗(yàn)

6.4模型誤差分析

一．模型誤差的客觀存在性希望建立的模型盡善盡美：

能“逼真”地模擬現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)；

能“精確”地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的未來情況；

能“準(zhǔn)確”地控制系統(tǒng)；

得到問題的“最優(yōu)”解；…逼真、精確、準(zhǔn)確、最優(yōu)、…良好愿望

數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的理想化，不可能是真實(shí)世界的再現(xiàn)

任何數(shù)學(xué)模型在建立和使用的過程中，不可避免的產(chǎn)生模型誤差。

如：附加進(jìn)數(shù)據(jù)的測(cè)量誤差、舍入誤差和截?cái)嗾`差等。

因此，有必要對(duì)模型誤差進(jìn)行分析，并給出估計(jì)。常用“絕對(duì)誤差”和“相對(duì)誤差”來衡量誤差的大小程度：

絕對(duì)誤差=測(cè)量值－近似值相對(duì)誤差=絕對(duì)誤差/測(cè)量值與數(shù)量級(jí)有關(guān)

例6.6.1用經(jīng)驗(yàn)公式

x≥0

作為土豆產(chǎn)量的近似估計(jì)公式，其誤差數(shù)值列表如下（參見p157表6.8）施肥量02498196估計(jì)值31.534.538.4841.20絕對(duì)誤差1.96－2.032.560.06相對(duì)誤差0.06－0.060.0620.001問題：如何評(píng)價(jià)誤差數(shù)據(jù)？二．誤差分析各類誤差

數(shù)據(jù)測(cè)量誤差

截?cái)嗾`差

模型假設(shè)誤差

1．?dāng)?shù)據(jù)測(cè)量誤差*在建立模型之前應(yīng)該盡量控制實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的質(zhì)量，使之測(cè)量準(zhǔn)確可靠。

*數(shù)據(jù)帶有無法消除的測(cè)量誤差時(shí)，應(yīng)分析它對(duì)模型造成的影響，并對(duì)模型誤差進(jìn)行估計(jì)。

例6.6.2有高為100厘米的半球形容器中裝滿了水。從某一時(shí)刻開始，水從底部一個(gè)橫截面積為1平方厘米的小孔流出，可以隨時(shí)測(cè)出水面高度h。由水力學(xué)知，水從孔口流出的流量（即通過孔口橫截面的水的體積V對(duì)時(shí)間t的變化率）Q，有關(guān)系式

其中0.62為流量系數(shù)，S是小孔口橫截面積，g為重力加速度。

由測(cè)出的水面高度h，可算得水流量。由于儀器所限，測(cè)出的高度值有土0.1厘米的誤差，這會(huì)引起水流量Q的多大誤差？

100h水面高度h有誤差Δh

分析水面高度誤差為Δh

，水流量誤差則為在

h=50厘米處，代入Δh=0.1厘米，可算得絕對(duì)誤差為（注意此時(shí)重力加速度的單位?。┱`差大嗎？水流量Q的相對(duì)誤差為在h=50厘米處的相對(duì)誤差為約為1‰

。誤差大嗎？2.截?cái)嗾`差

截?cái)嗾`差的來源：

1.用數(shù)值方法近似求解會(huì)產(chǎn)生截?cái)嗾`差；

2.函數(shù)近似產(chǎn)生截?cái)嗾`差；3.計(jì)算機(jī)運(yùn)算的精度誤差；

應(yīng)分析截?cái)嗾`差對(duì)模型的影響

例6.6.3廣義生日問題

一個(gè)班有30名學(xué)生，他們中至少有兩名同一天生日的概率p=?他們生日均不同日的概率為q則

p=1－q。一般化后，考慮下問題：求最小的整數(shù)n，使

f(n)≤q（給定）。

思考：如何求n的精確解？

對(duì)于給定的

x，f(n)是單調(diào)下降函數(shù)(序列)解：可采用求根方法—對(duì)分法

當(dāng)q=0.5時(shí)，對(duì)不同的x，可以算出n

的最小值n*，見P159表6.9的前兩列。q

用不同方法建立：滿足f(n)≤q的最小值n*和x

之間的近似關(guān)系式.

建立經(jīng)驗(yàn)公式為建立泰勒近似公式為方法二泰勒近似方法一

最小二乘法泰勒近似式的誤差控制函數(shù)

練習(xí)：對(duì)兩種近似求解方法，計(jì)算各個(gè)近似值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。3.模型假設(shè)誤差通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可以判斷假設(shè)是否合理。

續(xù)例6.6.4施肥效果分析

有人做了如下兩條假設(shè)：

*1在實(shí)驗(yàn)中除施肥量，其他影響因子：如環(huán)境條件、種植密度、土壤肥力等，均處于同等水平；*2各次實(shí)驗(yàn)獨(dú)立,誤差項(xiàng)ε均服從N(0,σ2),σ>0分析：從數(shù)據(jù)可見在實(shí)驗(yàn)點(diǎn)（n0，p0，k0）=（259，196，372）實(shí)際重復(fù)了三次試驗(yàn)。

問題：三次試驗(yàn)的土豆產(chǎn)量分別為43.15，41.26，38.43（單位：t/ha）怎樣解釋這3個(gè)數(shù)據(jù)的波動(dòng)？

按照假設(shè)，這3次重復(fù)試驗(yàn)產(chǎn)生的產(chǎn)量波動(dòng)完全因隨機(jī)誤差所致。Y=μ(n,p,k)＋ε～N（μ,σ2）

并且土豆產(chǎn)量滿足回歸方程合理嗎？分析：由3個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算得

==40.95（t／ha），=2.38(樣本標(biāo)準(zhǔn)差)

有概率式P{}≥0.9530個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)有較多數(shù)落在區(qū)間(33.82,48.07)之外

由施肥水平變化所引起的土豆產(chǎn)量的變動(dòng)不及隨機(jī)誤差產(chǎn)生的波動(dòng)。不合理不合理的原因：實(shí)際上三次重復(fù)試驗(yàn)帶有系統(tǒng)誤差

主要來源于土壤肥力，生長期的管理措施等多種試驗(yàn)時(shí)的外界條件變化。

試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，把在試驗(yàn)實(shí)施過程中外界環(huán)境條件的差異所造的系統(tǒng)偏差稱為區(qū)組效應(yīng)。

施肥問題中，對(duì)應(yīng)于每種營養(yǎng)素的10個(gè)施肥試驗(yàn)點(diǎn)，應(yīng)并為一個(gè)區(qū)組?？烧J(rèn)為區(qū)組內(nèi)10次試驗(yàn)的試驗(yàn)條件較為一致，而不同區(qū)組間的試驗(yàn)條件差別較大。

根據(jù)有區(qū)組效應(yīng)的數(shù)據(jù)不可能分析出各個(gè)肥素對(duì)土豆產(chǎn)量的交互作用。

利用數(shù)據(jù)建立模型應(yīng)盡量消除區(qū)組效應(yīng)

通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)，保證數(shù)據(jù)質(zhì)量模型檢驗(yàn)

基于數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)方法建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停隽艘韵鹿ぷ鳎阂?模型檢驗(yàn)的必要性1）借助于數(shù)據(jù)散布圖的直觀形象，選擇一個(gè)函數(shù)來近似變量之間的相關(guān)關(guān)系；

2）用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ椭袇?shù)的最佳估計(jì)。

問題：如何評(píng)價(jià)這個(gè)模型？

分析：若兩個(gè)變量X、Y間存在相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸函數(shù)為

y=μ(x)。

選擇一個(gè)函數(shù)f(x)

作為y=μ(x)的估計(jì)函數(shù)。

客觀存在主觀設(shè)定相當(dāng)于做假設(shè)：

這種假設(shè)主觀性太強(qiáng)，是否真實(shí)合理必須經(jīng)過檢驗(yàn)。

一元線性回歸問題需做兩方面的檢驗(yàn)工作：

1.評(píng)價(jià)方程對(duì)樣本數(shù)據(jù)的代表程度；

2.檢驗(yàn)變量之間的線性關(guān)系是否顯著。

二.評(píng)價(jià)回歸方程的擬合優(yōu)度兩種方法：考察數(shù)據(jù)殘差圖和計(jì)算測(cè)定系數(shù)

1）考察數(shù)據(jù)殘差圖

是檢驗(yàn)回歸方程擬合優(yōu)度的一個(gè)簡單有效的方法.數(shù)據(jù)殘差圖分析原理

分析數(shù)據(jù)殘差圖，若數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，e*），i=1，2，…，n在（一2，2）區(qū)間內(nèi)隨機(jī)散布，說明回歸方程的擬合是良好的。

例6.5.1生產(chǎn)費(fèi)用與產(chǎn)量擬合優(yōu)度分析

例6.6.5試分析講義P162圖6.13的四副標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖。1.圖（a）全部數(shù)據(jù)都在（一2，2）區(qū)間內(nèi)，且隨機(jī)散布，說明方程對(duì)數(shù)據(jù)的擬合是良好的。2.圖（b）中有較多數(shù)據(jù)落在（－2，2）區(qū)間的外面，這說明方程對(duì)數(shù)據(jù)的擬合不充分。

可能是由于方程的形式選擇不恰當(dāng)。

通過分析標(biāo)準(zhǔn)化殘差圖可以得到更多信息，可以分析出回歸方程的回歸假定的滿足情況。

對(duì)殘差圖做進(jìn)一步分析：*1圖（c）中殘差出現(xiàn)系統(tǒng)變動(dòng)的趨勢(shì)；

表明關(guān)于,i=1，2，…，n的等方差假定不滿足；

*2圖(d)中殘差值e*,i=1，2，…，n有相依關(guān)系；說明關(guān)于,i=1，2，…，n的獨(dú)立性不滿足。

2）計(jì)算測(cè)定系數(shù)（確定系數(shù)、判定系數(shù)）

是評(píng)價(jià)回歸方程擬合優(yōu)度的一個(gè)指標(biāo)。

可證明

0≤r2≤1且

r2的值越大說明方程對(duì)數(shù)據(jù)的擬合度越高。續(xù)例6.5.1生產(chǎn)費(fèi)用與產(chǎn)量擬合優(yōu)度分析給定擬合回歸方程測(cè)定系數(shù)為=0.6524。

結(jié)果分析：好不好？

圖6.14中標(biāo)準(zhǔn)化殘差e*在橫軸上下隨機(jī)散布，且位于（一2，2）區(qū)間內(nèi)，初步判斷擬合是良好的。

結(jié)論：1）方程對(duì)這批數(shù)據(jù)的擬合是良好的，說明在生產(chǎn)費(fèi)用的變動(dòng)中，有65.24%是由于產(chǎn)量變動(dòng)引起。2）測(cè)定系數(shù)r2的值不是很高，這說明僅用“產(chǎn)量”這一種因素來解釋生產(chǎn)費(fèi)用的變動(dòng)并不充分，還應(yīng)考慮其他因素。三.線性關(guān)系檢驗(yàn)

測(cè)定系數(shù)r2僅是反映回歸方程對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度的一個(gè)衡量指標(biāo)。

r2值較高方程對(duì)樣本（數(shù)據(jù)）呈現(xiàn)的線性關(guān)系的代表性較好.X和Y的相關(guān)關(guān)系是線性關(guān)系。由于抽樣的隨機(jī)性使樣本的關(guān)系與變量X與Y之間的相關(guān)關(guān)系有一定差異，還不能肯定X和Y的線性關(guān)系顯著。線性關(guān)系檢驗(yàn):

檢驗(yàn)變量X與Y的線性相關(guān)關(guān)系是否顯著。樣本相關(guān)系數(shù)=的大小反映了X和Y之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。當(dāng)r=1,說明變量之間存在完全正相關(guān)關(guān)系；

當(dāng)r=0,說明變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)r=－1,說明變量之間存在完全負(fù)相關(guān)關(guān)系。樣本相關(guān)系數(shù)r的變動(dòng)范圍是－1≤r≤1，

當(dāng)0<r<1，說明變量之間存在一定程度的正相關(guān)關(guān)系；

當(dāng)－1<r<0,說明變量之間存在一定程度的負(fù)相關(guān)關(guān)系；

︱r︱的值有多大時(shí)，才能認(rèn)為變量X與Y之間的線性相關(guān)關(guān)系顯著？

對(duì)給定顯著性水平α(0<α<1)，可計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)臨界值rα(n－1)：

判別準(zhǔn)則：

若，則在顯著性水平α下，認(rèn)為變量X與Y之間的線性關(guān)系顯著；

否則認(rèn)為它們的線性關(guān)系不顯著。

續(xù)例6.5.1生產(chǎn)費(fèi)用與產(chǎn)量線性相關(guān)關(guān)系檢驗(yàn)