數(shù)學-課程導學第六章第五節(jié)

第五節(jié)

合情推理與演繹推理1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用．2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理．3．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．要點梳理·基礎落實考綱點擊一、合情推理知識掃描歸納推理類比推理定義由某類事物的________具有某些特征，推出該類事物的_________都具有這些特征的推理，或者由___________概括出______原理的推理由兩類對象具有_______________和其中一類對象的____________，推出另一類對象也具有這些特征的推理部分對象全部對象個別事實一般某些類似特征某些已知特征特點由______到_____，由______到______的推理由____到_____的推理一般步驟(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)部分整體個別一般特殊特殊二、演繹推理定義從______________出發(fā)，推出_______________的結(jié)論特點由_______到_______的推理模式三段論：①大前提——已知的__________；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對________做出的判斷.一般性的原理某個特殊情況下一般特殊一般原理特殊情況[辨析]在演繹推理中，只要符合三段論的推理形式，得到的結(jié)論都是正確的嗎？提示如果大前提、小前提與推理形式是正確的，結(jié)論就是正確的，如果大前提或小前提錯誤，盡管推理形式是正確的，所得的結(jié)論也是錯誤的．1．命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的原因是A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段論”，但推理形式錯誤D．使用了“三段論”，但小前提錯誤解析由條件知使用了三段論，但推理形式是錯誤的．答案C小題熱身2．給出下列三個類比結(jié)論．①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中結(jié)論正確的個數(shù)是A．0

B．1

C．2

D．3解析只有③正確．答案B3．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．5．觀察下列等式：1＝1

13＝11＋2＝313＋23＝91＋2＋3＝613＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝1013＋23＋33＋43＝1001＋2＋3＋4＋5＝1513＋23＋33＋43＋53＝225……可以推測：13＋23＋33＋…＋n3＝________．(n∈N＋，用含有n的代數(shù)式表示)(1)(2014·陜西)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________．考點突破·規(guī)律總結(jié)考點一歸納推理多面體面數(shù)(F)頂點數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812例1【解析】

由題中所給的三組數(shù)據(jù)，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面體的頂點數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E所滿足的等式是

F＋V－E＝2.【答案】

F＋V－E＝2[規(guī)律方法]

歸納推理的步驟與技巧(1)歸納推理的一般步驟①通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；②從相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題．(2)歸納推理是一種重要的思維方法，但結(jié)果的正確性還需進一步證明，一般地，考察的個體越多，歸納的結(jié)論可靠性越大．因此在進行歸納推理時，當規(guī)律不明顯時，要盡可能多地分析特殊情況，由此發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，從而獲得一般結(jié)論．◎變式訓練考點二類比推理例2【答案】

ch(x－y)＝chxchy＋shxshy[規(guī)律方法]

類比推理的特點與技巧(1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其命題有其特點和求解規(guī)律，可以從以下幾個方面考慮類比：類比定義、類比性質(zhì)、類比方法、類比結(jié)構．(2)類比推理的一般步驟①找出兩類事物之間的相似性或一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)．解析因為(2πr4)′＝8πr3，所以猜想W＝2πr4.答案2πr4◎變式訓練考點三演繹推理例3[規(guī)律方法]

演繹推理的推證規(guī)則(1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略，本題中，等比數(shù)列的定義在解題中是大前提，由于它是顯然的，因此省略不寫．(2)在推理論證過程中，一些稍復雜一點的證明題常常要由幾個三段論才能完成．◎變式訓練(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，∴f(x)＋f(1－x)＝－1，∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.創(chuàng)新設計·素能培優(yōu)[解題模型構建]

6.歸納推理的解題步驟及模板

給出由整數(shù)排列的數(shù)表，觀察其規(guī)律，則第8行第3列處的數(shù)是________.典例12345－55－5－4－125666671217222369207621…………【審題】

①信息搜集：表中的第1行，第3行，第5行分別成等差數(shù)列；第2行，第4行，第6行分別成等比數(shù)列，并且每一行的末位數(shù)比下一行的首位數(shù)小1.②信息處理：利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式求解．【解析】

數(shù)表的奇數(shù)行是公差分別為1，3，5…的等差數(shù)列，偶數(shù)行分別是公比分別為－1，1，3…的等比數(shù)列，下一行首位比上一行末位數(shù)大1，通過歸納，第7行公差為7，第8行公比為5，由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，計算得第7行末位數(shù)是622＋3×7＝643，第8行首位數(shù)為644，所以第8行第3列處的數(shù)是644×52＝16100.【答案】

16100已知函數(shù)f1(x)＝x2e－x，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f51(x)＝________．解析f1(x)＝x2e－x，f2(x)＝f1′(x)＝2xe－x－x2e－x，f3(x)＝f2′(x)＝2e－x－4xe－x＋x2e－x，f4(x)＝f3′(x)＝－2e－x－4(e－x－xe－x)＋2xe－x－x2e－x＝－6e－x＋6xe－x－x2e－x，f5(x)＝f4′(x)＝6e－x＋6(e－x－xe－x)－2xe－x＋x2e－x＝12e－x－8xe－x＋x2e－x，…，綜上，fn＋1(x)的函數(shù)式含有3項．由上述計算過程與函數(shù)解析式結(jié)果，歸納fn＋1(x)＝(－1)nan＋1e－x＋(－1)n＋1bn＋1xe－x＋(－1)nx2e－x(n∈N*)，模板應用a1＝0，b1＝0；a2＝0，b2＝2；a3＝2，b3＝4；a4＝6，b4＝6；a5＝12，b5＝8；….所以bn＝2(n－1)，an＋1＝an＋bn.于是an＋1－an＝2n－2，an－an－1＝2n－4，…，a3－a2＝2，a2－a1＝0，a1＝0，將上式累加得an＋1＝(2n－2)＋(2n－4)＋…＋2＋0＋0＝n(n－1)．所以fn＋1(x