黑龍江省安達(dá)市七中2023屆高一上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.2．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a值的集合為（）A. B.C. D.3．已知，則x等于A. B.C. D.4．如圖，一根絕對(duì)剛性且長(zhǎng)度不變、質(zhì)量可忽略不計(jì)線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏讓沙漏在偏離平衡位置一定角度后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動(dòng)．設(shè)線長(zhǎng)為，沙漏擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移（單位：cm）與時(shí)間（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，．若，要使沙漏擺動(dòng)的最小正周期是，則線長(zhǎng)約為（）A.5m B.C. D.20m5．設(shè)全集，，，則A. B.C. D.6．已知集合，，則集合A. B.C. D.7．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（）A.， B.，C.， D.，8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式為（）A. B.C. D.9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.10．圓與圓有（）條公切線A.0 B.2C.3 D.411．已知，則的值為（）A.－4 B.4C.－8 D.812．圓的圓心到直線的距離是（）A. B.C.1 D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，那么下列函數(shù)：①；②；③；具有性質(zhì)的函數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________14．函數(shù)的最大值與最小值之和等于______15．設(shè)函數(shù)，若其定義域內(nèi)不存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍是______16．有下列四個(gè)說(shuō)法：①已知向量，，若與的夾角為鈍角，則；②若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則；③函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)其中正確的是___________（填上所有正確說(shuō)法的序號(hào)）三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求a，b的值；（2）用定義證明在上是增函數(shù)；（3）解不等式：.18．“綠水青山就是金山銀山”．某企業(yè)決定開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一款大型凈水設(shè)備，生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本為600萬(wàn)元，每生產(chǎn)臺(tái)需要另投入成本萬(wàn)元．當(dāng)年產(chǎn)量x不足100臺(tái)時(shí)，；當(dāng)年產(chǎn)量x不少于100臺(tái)時(shí)，．若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)為100萬(wàn)元時(shí)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的凈水設(shè)備能全部售完（1）求年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量x為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款凈水設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大，最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？19．已函數(shù).（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.20．已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.21．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且圖象相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.（1）求和的值；（2）若，求的值.22．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若直線與平行且點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的概念可得出，然后利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】因?yàn)榻且詾槭歼?，且終邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，則.故選：A.【點(diǎn)睛】當(dāng)以為始邊，已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，則，.2、D【解析】,可以得到，求出集合A的子集，這樣就可以求出實(shí)數(shù)值集合.【詳解】,的子集有，當(dāng)時(shí)，顯然有；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，不存在符合題意，實(shí)數(shù)值集合為，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了通過(guò)集合的運(yùn)算結(jié)果，得出集合之間的關(guān)系，求參數(shù)問(wèn)題.重點(diǎn)考查了一個(gè)集合的子集，本題容易忽略空集是任何集合的子集這一結(jié)論.3、A【解析】把已知等式變形，可得，進(jìn)一步得到，則x值可求【詳解】由題意，可知，可得，即，所以，解得故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理指數(shù)冪與根式的運(yùn)算，其中解答中熟記有理指數(shù)冪和根式的運(yùn)算性質(zhì)，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式計(jì)算，即可求得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)最小正周期是，故，即，解得（m）,故選：A5、B【解析】全集，，，.故選B.6、B【解析】利用一元二次方程的解法化簡(jiǎn)集合化簡(jiǎn)集合，利用并集的定義求解即可.【詳解】由一元二次方程的解法化簡(jiǎn)集合，或，，或，故選B.【點(diǎn)睛】研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合或?qū)儆诩系脑氐募?7、D【解析】利用三角函數(shù)圖象變換依次列式求解作答.【詳解】函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的解析式為，把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是，.故選：D【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：涉及三角函數(shù)圖象變換問(wèn)題，當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象沿x軸的伸縮量是不同的8、B【解析】根據(jù)圖像得到，，計(jì)算排除得到答案.【詳解】根據(jù)圖像知選項(xiàng)：，排除；D選項(xiàng)：，排除；根據(jù)圖像知選項(xiàng)：，排除；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的識(shí)別，計(jì)算特殊值可以快速排除選項(xiàng)，是解題的關(guān)鍵.9、B【解析】先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再將代入判斷奇偶性,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性即可【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,定義域?yàn)?,故是奇函數(shù),故A不符合條件；對(duì)于選項(xiàng)B,定義域?yàn)?,故是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,在上是增函數(shù),故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,定義域?yàn)?,故是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,在上是增函數(shù),則在上是減函數(shù),故C不符合條件；對(duì)于選項(xiàng)D,定義域?yàn)?,故是奇函數(shù),故D不符合條件,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵10、B【解析】由題意可知圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為半徑為∵兩圓的圓心距∴∴兩圓相交，則共有2條公切線故選B11、C【解析】由已知條件，結(jié)合同角正余弦的三角關(guān)系可得，再將目標(biāo)式由切化弦即可求值.【詳解】由題意知：，即，∴，而.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，應(yīng)用了以及切弦互化求值，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】根據(jù)圓的方程得出圓心坐標(biāo)（1，0），直接依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以得出答案.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為（1，0），∴圓心到直線的距離為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】根據(jù)題意，找出存在的點(diǎn)，如果找不出則需證明：不存在，，使得【詳解】①因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，可找關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，比如，存在；②假設(shè)存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；③函數(shù)為偶函數(shù)，，令，，則，存在故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明存在性命題，只需找到滿足條件的特殊值即可，反之需要證明不存在，一般考慮反證法，先假設(shè)存在，推出矛盾即可，屬于中檔題.14、0【解析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，則最大值與最小值互為相反數(shù)【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為N，又由，則函數(shù)為奇函數(shù)，則有，則有；故答案為0【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵15、【解析】按的取值范圍分類(lèi)討論.【詳解】當(dāng)時(shí)，定義域，，滿足要求；當(dāng)時(shí)，定義域，取，，時(shí)，，不滿足要求；當(dāng)時(shí)，定義域，，，滿足要求；當(dāng)時(shí)，定義域，取，，時(shí)，，不滿足要求；綜上：故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由參數(shù)變化引起的分類(lèi)討論，可根據(jù)題設(shè)按參數(shù)在不同區(qū)間，對(duì)應(yīng)函數(shù)的變化，找到參數(shù)的取值范圍.16、②③【解析】①：根據(jù)平面向量夾角的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷；②：利用函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合兩角和（差）的正余弦公式進(jìn)行求解判斷即可；③：利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性進(jìn)行求解判斷即可.④：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零點(diǎn)的定義進(jìn)行求解判斷即可【詳解】①：因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以有且與不能反向共線，因此有，當(dāng)與反向共線時(shí)，，所以有且，因此本說(shuō)法不正確；②：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以有，即，于是有：，化簡(jiǎn)，得，因?yàn)?，所以，因此本說(shuō)法正確；③：因?yàn)?，所以函?shù)偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又因?yàn)樵摵瘮?shù)是偶函數(shù)，所以該在上單調(diào)遞減，因此本說(shuō)法正確；④：，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，如圖所示：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是四個(gè)，因此本說(shuō)法不正確，故答案為：②③三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)定義及給定函數(shù)值列式計(jì)算作答.(2)用函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性的方法和步驟直接證明即可.(3)利用(1)，(2)的結(jié)論脫去法則“f”，解不等式作答.【小問(wèn)1詳解】因數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，解得，即有，，解得，所以，.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，，因，則，而，因此，，即，所以函數(shù)在上是增函數(shù).【小問(wèn)3詳解】由已知及(1)，(2)得：，解得，所以不等式的解集為：.18、（1）（2）年產(chǎn)量為102臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款凈水設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大，最大利潤(rùn)是2798萬(wàn)元【解析】（1）根據(jù)利潤(rùn)=銷(xiāo)售額?成本，通過(guò)分類(lèi)討論，即可求出年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（2）通過(guò)求分段函數(shù)的最大值即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由條件可得年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式：化簡(jiǎn)得：【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，,，當(dāng)時(shí)，取最大值（萬(wàn)元）當(dāng)時(shí)，,，（萬(wàn)元）當(dāng)時(shí)，即臺(tái)時(shí)，取最大值2798萬(wàn)元綜上：年產(chǎn)量為102臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款凈水設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大，最大利潤(rùn)是2798萬(wàn)元19、（1）；（2），k∈Z.【解析】（1）首先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)周期公式求函數(shù)周期；（2）代入單調(diào)遞增區(qū)間，求解函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】解：（1）.所以，f(x)的周期為.（2）由(k∈Z)，得(k∈Z).所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z.20、（1）（2）最大值為，最小值為【解析】（1）利用二倍角公式和兩角和正弦公式化簡(jiǎn)再由周期公式計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)當(dāng)?shù)姆秶傻?，再?jì)算出可得答案.【小問(wèn)1詳解】，所以的最小正周期.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以在區(qū)間上的最大值為和最小值.21、（1），；（2）【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸和周期可求和的值（2）由題設(shè)可得，利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得，利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦可求的值【詳解】（1）因?yàn)閳D象相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，故周期為，所以，故又圖象關(guān)于直線，故，所以，因?yàn)?，故?）由（1）得，因?yàn)?，故，因?yàn)椋?，故又【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)的中的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，我們往往從次數(shù)的差異、函數(shù)名的差異、結(jié)構(gòu)的差異和角的差異去分析，處理次數(shù)差異的方法是升冪降冪法，解決函數(shù)