北京市第五十六中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．“角小于”是“角是第一象限角”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件2．已知角的終邊過點(diǎn)，則（）A. B.C. D.3．下列各角中與角終邊相同的角是()A.－300° B.－60°C.600° D.1380°4．下列命題正確的是A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B.若一個平面內(nèi)有三個點(diǎn)到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D.若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行5．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是A. B.C. D.6．已知是定義在上的減函數(shù)，若對于任意，均有，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．下列關(guān)系中，正確的是（）A. B.C. D.8．設(shè)，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.9．把正方形沿對角線折起，當(dāng)以，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時，直線和平面所成角的大小為（）A. B.C. D.10．如圖，在中，已知為上一點(diǎn)，且滿足，則實(shí)數(shù)值為A. B.C. D.11．下列函數(shù)值為的是（）A.sin390° B.cos750°C.tan30° D.cos30°12．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為_________14．已知集合，集合，則________15．已知函數(shù)f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)單調(diào)遞減，則a的取值范圍為________16．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）方程有三個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍18．計算下列各式的值（1）；（2）已知，求19．已知函數(shù)，且的解集為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若對于任意的、都有，求的最小值.20．某網(wǎng)站為調(diào)查某項(xiàng)業(yè)務(wù)的受眾年齡，從訂購該項(xiàng)業(yè)務(wù)的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人的年齡按照，，，，分成5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示：（1）求的值和樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中恰有1人年齡在中的概率21．如圖，在四棱錐中，，是以為斜邊的等腰直角三角形，且.（1）證明：平面平面.（2）若四棱錐的體積為4，求四面體的表面積.22．已知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）畫出在上的圖象

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】利用特殊值法結(jié)合充分、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若角小于，取，此時，角不是第一象限角，即“角小于”“角是第一象限角”；若角是第一象限角，取，此時，，即“角小于”“角是第一象限角”.因此，“角小于”是“角是第一象限角”的既不充分也不必要條件.故選：D.2、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計算可得；【詳解】解：因?yàn)榻墙K邊過點(diǎn)，所以；故選：A3、A【解析】與角終邊相同的角為：.當(dāng)時，即為－300°.故選A4、C【解析】若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以A錯；一個平面不在同一條直線的三點(diǎn)到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故B錯；若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故D錯；故選項(xiàng)C正確.[點(diǎn)評]本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì)，需要熟練掌握課本基礎(chǔ)知識的定義、定理及公式.5、A【解析】設(shè)對稱點(diǎn)為，則，則，故選A.6、D【解析】根據(jù)已知等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】令時，，由，因?yàn)槭嵌x在上的減函數(shù)，所以有，故選：D7、C【解析】根據(jù)自然數(shù)集、正整數(shù)集、整數(shù)集以及有理數(shù)集的含義判斷數(shù)與集合的關(guān)系.【詳解】對于A，，所以A錯誤；對于B，不是整數(shù)，所以，所以B錯誤；對于C，，所以C正確；對于D，因?yàn)椴缓魏卧?，則，所以D錯誤.故選：C.8、C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍，即可求解.【詳解】由對數(shù)的性質(zhì)，可得，又由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，且，所以.故選：C.9、C【解析】當(dāng)平面平面時，三棱錐體積最大，由此能求出結(jié)果【詳解】解：如圖，當(dāng)平面平面時，三棱錐體積最大取的中點(diǎn)，則平面，故直線和平面所成的角為，故選：【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題10、B【解析】所以，所以。故選B。11、A【解析】由誘導(dǎo)公式計算出函數(shù)值后判斷詳解】，，，故選：A12、C【解析】可分析單調(diào)遞減,即將題目轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增,分別討論與的情況,進(jìn)而求解【詳解】由題可知單調(diào)遞減,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,則在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,不符合題意,舍去；當(dāng)時,,解得,即故選C【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題,考查解不等式二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、8【解析】將等式轉(zhuǎn)化為，再解不等式即可求解【詳解】由題意，正實(shí)數(shù)，由（時等號成立），所以，所以，即，解得（舍），，（取最小值）所以的最小值為.故答案為：14、【解析】由交集定義計算【詳解】由題意故答案為：15、(－4，4]【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合真數(shù)大于零，列出不等式求解即可.【詳解】令g(x)＝x2－ax＋3a，因?yàn)閒(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)單調(diào)遞減，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且恒大于0，所以a≤2且g（2）＞0，所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，注意定義域即可，屬基礎(chǔ)題.16、（0，1]【解析】先作出函數(shù)f（x）圖象，根據(jù)函數(shù)有3個零點(diǎn)，得到函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝a有三個交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果【詳解】由題意，作出函數(shù)的圖象如下：因?yàn)楹瘮?shù)有3個零點(diǎn)，所以關(guān)于x的方程f（x）﹣a＝0有三個不等實(shí)根；即函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝a有三個交點(diǎn)，由圖象可得：0＜a≤1故答案為：（0，1]【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是求解的關(guān)鍵三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出方程組，即可求解；（2）由題意得到，根據(jù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）化簡得到，令，得到，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程有兩個根且，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得對稱軸為，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，可得，即，解得；當(dāng)時，在上為減函數(shù)，可得，即，解得，因?yàn)?，所?（2）由（1）可得，所以，方程化為，所以，令，則，因?yàn)椋傻?，令，?dāng)時，可得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）方程，可化為，可得且，令，則方程化為，方程有三個不同的實(shí)數(shù)解，所以由的圖象知，方程有兩個根且，記，則或，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18、（1）（2）1【解析】（1）根據(jù)對數(shù)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計算即可得出答案.（2）利用誘導(dǎo)公式化簡目標(biāo)式，然后分子分母同時除以，代入即可得出答案.【小問1詳解】原式=；【小問2詳解】原式=.19、（1）；（2）的最小值為.【解析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得、的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值，由已知可得出，由此可求得實(shí)數(shù)的最小值.【小問1詳解】解：因?yàn)榈慕饧癁?，所以的根為、，由韋達(dá)定理可得，即，，所以.【小問2詳解】解：由（1）可得，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，因?yàn)閷τ谌我獾?、都有，即求，轉(zhuǎn)化為，而，，所以，.所以的最小值為.20、（1），平均數(shù)為歲（2）【解析】（1）根據(jù)頻率之和等于得出的值，再由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)計算平均數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣確定第1，2組中抽取的人數(shù)，再由列舉法結(jié)合古典概型的概率公式得出概率.【小問1詳解】由，得平均數(shù)為歲.【小問2詳解】第1，2組的人數(shù)分別為人，人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，分別記為，，，，從5人中隨機(jī)抽取2人，樣本空間可記為，，，，，，，，，，用表示“2人中恰有1人年齡在”，則，，，，，，包含的樣本點(diǎn)個數(shù)是6.所以2人中恰有1人年齡在中的概率21、（1）見解析（2）9【解析】（1）由已知可得，根據(jù)線面垂直的判定得平面，進(jìn)而可得平面，由面面垂直的判定可得證.（2）根據(jù)四棱錐的體積可得.過作于，連接，可證得平面，.可求得，可求得四面體的表面積.【詳解】（1）證明：∵是以為斜邊的等腰直角三角形，∴，又，∴平面，則.又，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）解：∵,且，∴.∴.過作于，連接，∵.∴平面，則.∵.∴.∴.故四面體的表面積為