2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸題押題含答案解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題1.如圖①，在銳角△48C中，AB=5,tanC=3. 于點(diǎn)D,BD=3,點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿48向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PE〃4C,交BC于點(diǎn)、E,以PE為邊作RtZXPE尸，使NE/N=90°,點(diǎn)尸在點(diǎn)尸的下方，S.EF//AB,設(shè)/\PEF與△4BD重疊部分圖形的面積為S（平方單位）（S>0）,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“秒）（f>0）.（1）求線段1C的長(zhǎng).（2）當(dāng)APE尸與△480重疊部分圖形為四邊形時(shí)，求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式.（3）若邊EF與邊AC交于點(diǎn)、Q,連接尸。，如圖②.①當(dāng)尸。將尸的面積分成1：2兩部分時(shí)，求力尸的長(zhǎng).②直接寫出PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)△XBC的頂點(diǎn)時(shí)/的值.解：(1)在RtZXBZJC中，tanNC=^=3,,:BD=3,：.CD=\,在RtZ\48O中，由勾股定理得：AD=>JAB2-BD2=V52-3Z=4,.'.AC=AD+CD=4+l=5；(2)由題意得：AP=t,當(dāng)E尸經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，如圖2,\'PE//AC,EF//AP,四邊形PADE是平行四邊形，：.DE=AP=t,"：AB=AC=5,：.Z.C=Z.ABC,?：EF//AB,NABC=4DEC,

???ZD￡C=ZC,:.DE=DC,t=1；①當(dāng)0?1時(shí)，如圖3,△尸￡尸與△N8O重置部分圖形的面積為四邊形尸GO”的面積,VZ￡P(guān)F=90°,PE//AC,：.ZPGC=90°,■:BDLAC,：.ZADB=90°,:./ADB=NPGC=/EPF=9G,???四邊形PG?！ㄊ蔷匦?，pnpr在RtZX/PG中，&11/4=器=常，e3_P￡.?二=?5t：.PG=y,，/G=y,4t:?GD=AD~AG=4—:，:?S=S矩形尸go〃=0G?GO=笄（4—,）=—黃乎+等亡；②當(dāng)尸在/C邊上時(shí)，如圖4,4 4AF=gZ,CF=5—百/由￡F=C/得：（=5—*25'=T；25當(dāng)§士《5時(shí)，如圖5,△「￡尸與△力5。重疊部分圖形的面積為四邊形尸戶HG的面積，?：PE〃AC,:.△BPGs^BAD,.P￡P(guān)G?.=,ABAD.PG5-t?.—>4 5

4?PG=g(5-t),:PE=PB=5-t,：.GE=5-t-^(5-t)=|(5-Z),:EF〃AB,:?/EHG=NABD,：.tanZABD=tanZEHG=粽=*.4虧―GH'3：.GH=^(5-/),4 5—r同理得：T=3PFPF=3(：力,T,:.S=S標(biāo)%pfhg=3(GH+PF)?尸G=/扁(5-/)+1(5-z)]-1(5-r)=￡(5-f)18180 Of-(3)①PE=BP=5-t,尸產(chǎn)=式5—亡)，PG=y,當(dāng)當(dāng)S&PQF：S^PQE=1：1 3*5T)* 2即i 3 =：，2(5T)N(5T)3當(dāng)S^pqf：S〉pqe=2：什Sapqe22時(shí)'百=『解得：=棄4P4,Sapqe_1'S^PEF3'TOC\o"1-5"\h\z1 71即1 3 =；，E(5T>w(5T)3L *r則AP的長(zhǎng)是蔣或意:②分兩種情況：/）當(dāng)尸0的中垂線過(guò)點(diǎn)4時(shí)，如圖7,即4E是尸。的中垂線,???四邊形PAQE是平行四邊形,AELPQ,...口以便是菱形,

:?PE=PA,?\/=5-t,ii)當(dāng)PQ的中垂線過(guò)B時(shí)，如圖8,連接￡0,貝I尸8=8。=5-人?:CQ=EQ=t、：.QD=CQ-CD=t-1,在RtZk800中,32+(r-1)2=(5-/)2,解得：仁竽，515綜上所述，夕。的垂直平分線經(jīng)過(guò)△ABC的頂點(diǎn)時(shí)f的值是［或LO

B圖5圖4

BSi2.等腰△8CD中，NDC8=120°,點(diǎn)￡j^^￡NDEC=60°.(1)如圖1,點(diǎn)E在邊80上時(shí)，求證：ED=2BE；(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)5作。E的垂線交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，試探究QE和EF的數(shù)量關(guān)系,并證明；(3)若NDEB=15O：直接寫出8￡,DE和EC的關(guān)系.(1)證明：如圖1中,圖1??,等腰△BCO中，NOC8=120°,:?BC=CD,???NB=ND=30°,?：NDEC=60°=NB+/ECB,:?/ECB=30°,:,BE=CE,△OEC中，ZDC￡=180°-30°-60°=90°,VZD=30°,：?ED=2EC,:?ED=2BE；(2)解：結(jié)論：DE=2EF.理由：如圖2中，作OHJ_EC交EC的延長(zhǎng)線于“，連接VZ￡)//￡=90°,NDEH=60°,：.ZEDH=30°,■:CD=CB,ZBC￡>=120°,:?/CBD=/BDC=30°,:?NBDC=/EDH,:?/BDF=/CDH,?；BFtDF,:?/BFD=NH=90°,：?4DFBsRDHC,.DBDF??=,DCDH.DBDC?—，DFDH：/BDC=NFDH,：?ABDCs/\FDH,；?/DBC=NDFH=30°,:NDEH=NEFH+NEHF=60°,:?/EFH=NEHF=3G,:.EF=EH,在RtADEH中,?:/EDH=30°,:?DE=2EH,：.DE=2EF.(3)解：結(jié)論：B#=ED,EC.理由：如圖3中，圖3ZBED=\50°,ZDEC=60°,：.ZBEC=3600NBED-NDEC=360°-150°-60°=150°,:?/BED=/BEC,：?/EBD+NEDB=3G0,?:/EBD+/EBC=3G0,???/BDE=/EBC,:.XDEBsRBEC,?DEBE

?? - 1BEEC：.BE2=DE'EC.3.如圖，在RtA48C中，N/C8=90°,以斜邊上的中線CD為直徑作O。，與8c交于點(diǎn)M,與48的另一個(gè)交點(diǎn)為E,過(guò)M作A/N_L/8,垂足為M(I)求證：A/N是。。的切線；(2)若OO的直徑為5,sin8=工，求￡7)的長(zhǎng).3?：OC=OM,：.ZOCM=ZOMCf在RtZ^ZBC中，CD是斜邊45上的中線,:?CD=3AB=BD,：./DCB=/DBC,：,/OMC=/DBC,：.OM//BD,:MN上BD,：?OMLMN,OM過(guò)。，??A/N是OO的切線；（2）解：連接。M,CE, 圖2??。。是OO的直徑，；?NCED=90°,ZZ）A/C=90°,BPDMVBC,CELAB,由（1）知：BD=CD=5,??〃為BC的中點(diǎn)，3VsinB=引4/.cos8=耳,在 中，BM=BD?cosB=4,???8C=28M=8,Q9在RtAC￡5中，BE=BC'cosB=考，32 7：.ED=BE-BD=考-5=g.4.已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點(diǎn)/,B,。。的半徑為八（1）如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)48之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求N4C8的度數(shù)；（2）如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸C最大時(shí)，要使四邊形4P8C為菱形，NNP8的度數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由：（3）若尸C交。。于點(diǎn)。，求第（2）問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含r的式子表示）.M圖1 圖2 （備用圖）【解答】解：（1）如圖1,連接04OB,M圖1'：PA,尸8為。。的切線，:.NPAO=NPBO=90°,?.?N4P8+NHONP80+408=360°,尸8+408=180°,VZJP5=80",，NZ08=100°,AZACB=50°:(2)如圖2,當(dāng)4P8=60°時(shí)，四邊形/P8c是菱形,連接04OB,由(1)可知，ZAOB+ZAPB=\SO°,VZJP5=60°,.?.408=120°,：.ZJCB=60°=NAPB,?.?點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)到尸c距離最大，...PC經(jīng)過(guò)圓心，'：PA,尸8為。。的切線，：.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,又,：PC=PC,:.△APgdBPC(SAS),

AZACP=ZBCP=30°,AC=BC,：.ZJPC=ZJCP=30°,：.AP=AC,:?AP=AC=PB=BC,???四邊形ZP8C是菱形；(3)???。。的半徑為八：,OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZAOP=90°-N力尸0=60°,而的長(zhǎng)度=6：M=^r,low3...陰影部分的周長(zhǎng)=%+PO+麗=百出+梟=(V3+l+^)r.5.如圖，均為。。的切線，PBC為。。的割線，尸于點(diǎn)O,△4OC的外接圓與8c的另一個(gè)交點(diǎn)為E.證明：NBAE=NACB.【解答】證明：連接CM,OB,OC,BD."：OALAP,AD^OP,由射影定理可得：PA2=PD'PO,AD2=PD'OD.…（5分）又由切割線定理可得PA2=PB'PC,:.PB*PC=PD,PO,:.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…（10分）NPDB=NPCO=NOBC=ZODC,NPBD=Z.COD,:.△PBDsRcOD,PDBDCDPDBDCD-OD…(15分)：.BD'CD=PD-OD=AD1,.BDAD??布=擊又NBDA=NBDP+%°=NODC+90。=/ADC,:ABDAs△ADC,:?/BAD=NACD,：.AB是△4OC的外接圓的切線，:?NBAE=/ACB.6.如圖，點(diǎn)/為y軸正半軸上一點(diǎn),4,8兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)/任作直線交拋物線y=1x2于尸，0兩點(diǎn).（1）求證：NABP=NABQ；（2）若點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,1）,且N尸8。=60°,試求所有滿足條件的直線尸0的函數(shù)解析式.【解答】（1）證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.設(shè)點(diǎn)力的坐標(biāo)為（0,/）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-/）.設(shè)直線P。的函數(shù)解析式為夕=6+3并設(shè)尸，。的坐標(biāo)分別為（.xp,yp）,Cxq,yo）.由僅=々X+tx—kx—t=0,于是Xp%q=-2 即t=-^xpXq.TOC\o"1-5"\h\z2 2r2 2日BC yP+t /jXp2—xPXQ -Xp(xp-XQ) XpJ7-ti- =2 =2 2 =2 =-*'BD %+t -%Q24-t ^XQ2--XpXQ -xq(xq-xp) xqPC孫BCPC又因?yàn)?=——?所以 = .QDxQBDQD因?yàn)镹BCP=NBDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故N4BP=N4BQ；（2）解：設(shè)尸C=a,DQ=b,不妨設(shè)a2b>0,由（1）可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4C=8q-2,AD=2-y[3b.因?yàn)槭??！ā?,所以△4CPs44O0..口PCACn