2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題及解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題1.問題：如圖（1）,點、E、尸分別在正方形48co的邊8C、C。上，NEAF=45°,試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.【發(fā)現(xiàn)證明】小聰把△48E繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ZOG,從而發(fā)現(xiàn)E/=8E+尸。，請你利用圖（1）證明上述結(jié)論.【類比引申】如圖（2）,四邊形X8CZ）中，/歷1。片90°,AB=AD,N8+NO=180°,點￡、尸分別在邊BC、CD上,則當(dāng)NEAF與NB4D滿足NBAD=2NEAF關(guān)系時,仍有EF=BE+FD.【探究應(yīng)用】如圖（3）,在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形48CD已知48=/10=80米，NB=60°,ZJDC=120",ZBAD=\50°,道路8C、CC上分別有景點E、F,且。尸=40（V3-1）米，現(xiàn)要在E、尸之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V2=1.41,V3=1.73）圖（1） 圖（2） 圖⑶【發(fā)現(xiàn)證明】證明：如圖（1）,〈△ADGq4ABE,：.AG=AE,NDAG=NBAE,DG=BE,又?.?N￡4/=45°,BPZDAF^ZBEA=ZEAF=45°,：?/GAF=NFAE,在AGAF和△刈￡1中，(AG=AEMF=AF；?/\AFG@4AFE(SAS).:?GF=EF.又?：DG=BE,:.GF=BE+DF,：.BE+DF=EF.【類比引申】NBAD=2/EAF.理由如下：如圖(2),延長C5至使8M=0￡連接ZA/,VZJ5C+ZD=180°,ZJ5C+ZJ5A/=180°,???/D=N4BM,在2BM和△/￡＞尸中，(AB=AD\z-ABM=ZD,(BM=DF???△ABMWAADF(SZS),：.AF=AM9/DAF=/BAM,■:NBAD=2NEAF,：./DAF+NBAE=/EAF,：./EAB+NBAM=ZEAM=NEAF,在△61E和△A7/E中，(AE=AE\z.FAE=Z.MAE,{AF=AM:.△FAEqAMAE(SAS),：.EF=EM=BE+BM=BE+DF,即EF=BE+DF.故答案是：NBAD=2NEAF.【探究應(yīng)用】如圖3,把△力8E繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)150°至△力。G,連接力R過/作彳〃±GD,垂足為〃.圖(3)VZ^J￡>=150°,ZDAE=9Q°,：.ZBAE=60°.又???N5=60°,△/8E是等邊三角形，.?.8E=48=80米.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：ZJDG=Z5=60°,又?.?//￡>尸=120°,?,.ZGDF=180°,即點G在C。的延長線上.易得，△ADG9AABE,：.AG=AE,NDAG=NBAE,DG=BE,又?.1H=80x孚=40g，HF=HD+DF=40+40(V3-1)=40V3故NH/1尸=45°,；.NDAF=NH4F-NHAD=45°-30°=15°從而/￡'4尸=/￡'4。-/。4尸=90°-15°=75°又助。=150°=2X75°=2NEAF,'：AE=AG,NE4G=NFAE,AF=AF,:.XFAGmXFAE(SAS),...EF=FG=DG+DF=BE+DF,.,.￡,F=BE+DF=80+40(V3-1)-109(米)，即這條道路所的長約為109米.

.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，有不重合的兩個點。（xi，“）與尸（X2,二）.若Q,P為某個直角三角形的兩個銳角頂點，且該直角三角形的直角邊均與x軸或y軸平行（或重合），則我們將該直角三角形的兩條直角邊的邊長之和稱為點0與點尸之間的“折距”，記做Dpq.特別地，當(dāng)尸0與某條坐標(biāo)軸平行（或重合）時，線段尸。的長即點。與點P之間的“折距”.例如，在圖1中，點尸（1,7）,點。（3,-2）,此時點0與點尸之間的“折距"DPq=3.（1）①已知O為坐標(biāo)原點，點4（3,-2）,8（-1,0）,則Dao=5,Dbo=j__.②點C在直線y=-x+4上，請你求出。co的最小值.（2）點E是以原點。為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，點尸是直線y=3x+6上以動點.請你直接寫出點E與點尸之間“折距”O(jiān)ef的最小值.解：（1）0Djo=|3-0|+|-2-0|=5,同理。80=1,故答案為：5,1：②設(shè)點C(.m,4-m),則。(7。=網(wǎng)+加-4|,當(dāng)0Wzn<4時，0co最小，最小值為4；(2)如圖2,過點E分別作X、夕軸的平行線交直線y=-x+4于乃、Fi，則EFi是“折距”O(jiān)ef的最小值，即求EQ的最小值即可,當(dāng)點E在y軸左側(cè)于平行于直線y=-x+4的直線相切時，最小,如圖3,將直線y=-x+4向右平移與圓相切于點E,平移后的直線與x軸交于點G,連接OE,設(shè)原直線與x、y軸交于點A/、N,則點M、N的坐標(biāo)分別為(-2,0)、點N(0,6),則MN=2尺,則△MONs/\GEO,MNON?2V10 6則 = ,即 =一,GOOEGO1則GO=皚EFs=MG=2-孚=^52.如圖，在RtZUBC中，NACB=90°,以斜邊48上的中線C。為直徑作。0,與BC交于點M,與48的另一個交點為E,過M作垂足為M(1)求證：MN是。。的切線；(2)若。。的直徑為5,sinB=*求的長?

c?：OC=OM,：?4OCM=4OMC,在RtZ\X8C中，CQ是斜邊上的中線,：?CD=%B=BD,:"DCB=/DBC,：,/OMC=/DBC,：?OM〃BD,■:MN工BD,：?OM1MN,???OM過O,???A/N是。。的切線；(2)(2)解：連接OM,CE,???CQ是OO的直徑,：.ZCED=90°,ZDA/C=90°,

即QA/_L6C,CELAB.由（1）知：BD=CD=5,???”為8C的中點，Vsin5=J,4cos^=耳,在RtABMD中，BM=BD?cosB=4,:?BC=2BM=8,在RtZkCEB中，BE=BC?cgsB=*D32 7：.ED=BE-80=苔一5=春.□ □4.已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點4B,。。的半徑為八（1）如圖1,點C在點4,8之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求N4C8的度數(shù)；（2）如圖2,點C在圓上運動，當(dāng)尸C最大時，要使四邊形4P8C為菱形，N/1P8的度數(shù)應(yīng)為多少？請說明理由；（3）若尸C交。。于點。，求第（2）問中對應(yīng)的陰影部分的周長（用含r的式子表示）.M-fePBM-fePB NP B N1圖1 囪2【解答】解：（1）如圖1,連接04OB,MPB N圖1'：PA,尸8為。。的切線，:.NPA0=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360°,M上, B N（備用圖）/.ZJP5+ZJOB=180°,VZJP5=80°,.?.408=100°,.,.N/CB=50°；(2)如圖2,當(dāng)N4尸8=60°時，四邊形4PBe是菱形,連接。LOB,由(1)可知，N4O8+NZP8=180°,VZAPB=60°,.,.408=120°,/.ZJC5=60°=NAPB,?.?點c運動到尸c距離最大，...PC經(jīng)過圓心，'：PA,尸8為。。的切線，：.PA=PB,N4PC=NBPC=30°,又＜PC=PC,:.XAPgABPC(SAS),；.NACP=NBCP=30°,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30°,：.AP=AC,:.AP=AC=PB=BC,四邊形4PBe是菱形；(3);。。的半徑為r,.'.OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZJOP=90°-ZAPO=60°,前的長度=噌需=?r,loUJ,陰影部分的周長=以+尸。+而=舊什廠+宗=(V3+l+^)r.5.如圖，以為。。的切線，PBC為。。的割線，尸于點O,ZVIOC的外接圓與8c的另一個交點為E.證明：NBAE=NACB.【解答】證明：連接CM,OB,OC,BD.'JOALAP,ADYOP,由射影定理可得：PA1=PD^PO,AD1=PD'OD.…（5分）又由切割線定理可得PA2=PB?PC,:.PB*PC=PD,PO,:.D、B、C、。四點共圓，…（10分）NPDB=NPC0=NOBC=NODC,NPBD=4COD,:ZBDsXCOD,PDBD--（155?：.BD-CD=PD*OD=AD1,.BDAD??布=CD,又/BDA=NBDP+90°=NOOC+90°=ZJDC,：?4BDAsAADC,:?NBAD=NACD,：.AB是△4DC的外接圓的切線，:?/BAE=/ACB.

76.如圖，點4為y軸正半軸上一點,4,8兩點關(guān)于x軸對稱，過點力任作直線交拋物線y=^x2于尸，。兩點.(1)求證：NABP=N4BQ（2）若點4的坐標(biāo)為（0,1）,且NP8°=60°,試求所有滿足條件的直線尸°的函數(shù)。作y。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.設(shè)點力的坐標(biāo)為（0,1）,則點8的坐標(biāo)為（0,-Z）.設(shè)直線尸。的函數(shù)解析式為y=h+f,并設(shè)尸，。的坐標(biāo)分別為（xp,yp）,（X0,y0）.由y=kx+ty=1x2工曰 3,Hn,2JJ^XpXQ=—即t=-XpXq.29I4， 2n2 2, 、yp+t+t -Xpz-XpXQ -Xp(%p-Xq)yp+t-2 -2 2 —2%+, /q2+￡ -XQ2-XpXQ -XQ(XQ-Xp)— xp”…BCPC又因 ="-，所以，7；=右XqBDQD因為NBCP=/BDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故NABP=NABQ；(2)解：設(shè)尸C=a,DQ=b,不妨設(shè)。26>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4c=8q—2,AD=2一6b.因為尸?！ā?,所以.口PCACna