2022年中考數(shù)學壓軸題押題附答案

2022年中考數(shù)學壓軸題1.如圖，邊長為5的正方形。48c的頂點。在坐標原點處，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點E是04邊上的點(不與點Z重合)，EFVCE,且與正方形外角平分線4G交于點P.(1)求證：CE=EP；(2)若點E的坐標為(3,0),在y軸上是否存在點使得四邊形8MEP是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標：若不存在，說明理由.冰圖1"：OC^OA,NCOA=NBA0=90",4OEK=NOKE=45°,：AP為正方形OCB4的外角平分線，；.NB/P=45°,：.ZEKC=ZPAE=\?>5°,:.CK=EA,:ECLEP,:.NCEF=NCOE=90°,:.NCEO+NKCE=9G°,NCEO+NPEA=90°,；.NKCE=NCEA,在△CKE和△E4尸中(Z.KCE=Z.PEAlCK=EAliCKE=LEAP:?△CKEQAEAP,:?EC=EP；(2)解：y軸上存在點M,使得四邊形尸是平行四邊形.如圖，過點8作8M〃尸E交y軸于點M,連接8P,EM,圖2則NCQB=NCEP=90。,所以NOCE=NC80,(lCBM=zOCE??在△8CM和△(%>￡t中，\BC=OCUBCM=乙COE:ABCM9ACOE,；.BM=CE,:CE=EP,:?BM=EP.,:BM〃EP、??四邊形BMEP是平行四邊形，VA^CM^ACOE,:?CM=OE=3,：.OM=CO-CM=2.故點M的坐標為(0,2).

.如圖1, 是。。的直徑，點/、C是直徑DE上方半圓上的兩點，且4OLCO.連接圖2AE,CQ相交于點F,點8是直徑DE下方半圓上的任意一點，連接力B交CD于點G,連接CB交AE于點H.圖2AOLCO,則AOLCO,則Nl+N2=90°,N4BC=45° ；(2)證明：△CFHs/XCBG；(3)若弧DB為半圓的三分之一，把/月0c繞著點O旋轉，使點C、。、E在一直線上FH時，如圖2,求下的值.DU解：⑴'：ZAOC^90°,二乙18c=45°,故答案為45°(2)如圖1,ZCFH^ZCDE+ZAED=j(180°-ZAOC)=45°=NABC,ZFCH=ZGCB,:.△CFHs^CBG；(3)設乙40。為/I,/COE為N2,NOEA=NOAE=a,圓的半徑為??,Zl—2a,弧08為半圓的三分之一，則NOE/=NO/E=30°

則N2=60°,a=30°,在△OE4中，Z2=60°,a=15°,OE=R,在OE上取一點K,使HK=EK,則N〃KO=2a=30°,設HK=EK=x,則x+e=R，F(xiàn)5WlJx=OH=xtanNHKO=（2—遮）R,v3+2則C〃=CO-OH=（V3-1）R,在△F//C中，NDCB=3Q°,NHFC=45°,CH=（V3-1）R,同理可得：FC=R,,:ACFtisACBG,FHFCR1BGBC2R2.如圖，在RtZXZBC中，NZC8=90°,以斜邊48上的中線CD為直徑作。0,與8c交于點與48的另一個交點為E,過M作“垂足為N.(1)求證：MN是。。的切線；(2)若的直徑為5,sin3=*求EZ)的長.：?4OCM=4OMC,在Rt△48c中，是斜邊上的中線,：.CD=^AB=BD,：.NDCB=NDBC,：.乙OMC=ZDBC,：.OM//BD,'：MN1BD,C.OMLMN,；OA/過O,是OO的切線:(2)解：連接。M,CE, 圉2：CO是OO的直徑，；.NCED=90°,ZDMC=90°,BPDMIBC,CELAB,由(1)知：BD=CD=5,.,.A/為5c的中點，3Vsin^=引4cos^=耳,在RtZSBA/Q中，BM=BD?cosB=4,：.BC=2BM=S,Q9在RtAC￡5中，BE=BC?cosB=考，32 7：.ED=BE-BD=W-5=g4.已知NMPN的兩邊分別與。。相切于點Z,B,。。的半徑為r.(1)如圖1,點C在點A,8之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求/4C8的度數(shù)：(2)如圖2,點C在圓上運動，當尸C最大時，要使四邊形4P8C為菱形，NZPB的度

數(shù)應為多少？請說明理由；（3）若尸C交。。于點。，求第（2）問中對應的陰影部分的周長（用含r的式子表示）.PBNP BNP BN圖1 圖2 （備用圖）【解答】解：（1）如圖1,連接04OB,圖1;玄，P8為。。的切線，AZPAO=ZPBO=90°,，乙仍5+乙4。吐180°,，乙仍5+乙4。吐180°,VZAPB=SQ°,/.ZAOB=\00°,ZACB=50°；(2)如圖2,當乙4尸8=60°小連接CM,OB,P B N囪2由(1)可知，NAOB+NAPB=t,四邊形力P8C是菱形,180°,VZAPB=60°,AZAOB=120°，：.ZACB=60°=NAPB,?,點。運動到尸。距離最大，PC經(jīng)過圓心，??RL尸8為。。的切線，：.PA=PB./APC=NBPC=30°,又?：PC=PC,:AAPgABPC(S4S),AZACP=ZBCP=30°,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30°,：?AP=AC,：.AP=AC=PB=BC9??四邊形ZP8C是菱形；(3)???OO的半徑為?。?OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,ZJOP=90°-ZAPO=60°,工前的長度=黑黑=?r,loUJ...陰影部分的周長=A4+PO+麗=8什r+梟=(V3+l+^)r..如圖，均為。。的切線，P8C為。。的割線，尸于點O,△AOC的外接圓與8c的另一個交點為E.證明：NBAE=NACB.【解答】證明：連接ON,OB,OC,BD."JOA1.AP,ADYOP,

工由射影定理可得：PA?=PD*PO,%。2=尸。?。?！?分）又由切割線定理可得P42=PB?PC,:?PB?PC=PD?PO,:?D、B、C、。四點共圓，…（10分）:?/PDB=4PCO=NOBC=4ODC,NPBD=NCOD,:ZBUsRcOD,PDBD—=—,…（15分）CDOD:?bd*cd=pd?od=aN,.BDAD??布=CD,又NBDA=NBDP+90°=NOOC+90°=ZADC,:?叢BDAs叢ADC,：./BAD=NACD,：.AB是△ADC的外接圓的切線，:?/BAE=/ACB.7.如圖，點/為y軸正半軸上一點,48兩點關于x軸對稱，過點/任作直線交拋物線y=^x2于P,。兩點.(1)求證：NABP=NABQ；(2)若點4的坐標為(0,I),且NP8°=60°,試求所有滿足條件的直線尸0的函數(shù)解析式.【解答】（1）證明：如圖，分別過點尸，。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.設點4的坐標為（0,1）,則點8的坐標為（0,-/）.設直線尸0的函數(shù)解析式為》=京+3并設P,。的坐標分別為（xp,yp）f（X0，?0）.由（y=kx+t=27'3,27得石公—kx—t=0,于是XpX。=—13EPt=—^xpXq.十口BC于是 =yp+t=舞2+t2o-lXp2~lXpXQ—2 922, 、-Xp(Xp-XQ)-2=_生BD%+t3XQi+t3XQ^~XPXQ/q(xqF)XQ,PC又因為777；XpBC所以77_PCQDXQBDQD因為N8CP=N8O0=9O°,所以ABCPsABD。,故N48尸=N4B0；(2)解：設PC=a,DQ=b,不妨設a》b>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=V3b,所以4。=百。-2,AD=2-V36.因為PC〃DQ,所以△ZCPs/\4)0.PCACaV3a-2于征"而二而，即％=百正所以q+b=