斷裂與損傷-·應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解講課教案課件

第三講·應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解

與Westergaard方法

第三講·應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解

與Westergaard方法尋求滿足邊界條件下的，由此二函數(shù)求解KI、KII和應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)。坐標(biāo)平移預(yù)備知識(shí):復(fù)應(yīng)力函數(shù)尋求滿足邊界條件下的，由此二函數(shù)求解KI、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)角的情形坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)角的情形斷裂與損傷——·應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解講課教案課件由應(yīng)力函數(shù)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，由應(yīng)力函數(shù)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，不必先求得應(yīng)力場(chǎng),而只要復(fù)應(yīng)力函數(shù)微商不必先求得應(yīng)力場(chǎng),而只要復(fù)應(yīng)力函數(shù)微商求得，可以求得應(yīng)力強(qiáng)度因子，故求得，可以求得應(yīng)力強(qiáng)度因子，故由復(fù)應(yīng)力函數(shù)求K的例子由復(fù)應(yīng)力函數(shù)求K的例子情況I情況II情況III情況I情況II情況III疊加添加了與剛體位移有關(guān)的無(wú)應(yīng)力項(xiàng)疊加添加了與剛體位移有關(guān)的無(wú)應(yīng)力項(xiàng)記記

平移到移軸公式按作展開(kāi)之后平移到移軸公式按作展開(kāi)之后展開(kāi)得注意到展開(kāi)得注意到應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)的求解方法概述人們已經(jīng)發(fā)展了多種方法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子SIF(StressIntensityFactor)，解析方法、數(shù)值方法和實(shí)驗(yàn)方法。在解析方法中，Westergaard方法、權(quán)函數(shù)法、積分變換法，這些方法一般只能求解某些簡(jiǎn)單構(gòu)形的問(wèn)題。數(shù)值方法有有限元法、邊界元法、邊界配位法等。實(shí)驗(yàn)方法有光彈性法、能量釋放率法等。本節(jié)只簡(jiǎn)單介紹幾種解析方法。

應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)的求解方法概述人們已經(jīng)發(fā)展了多種方法求Westergaard方法

對(duì)于一般的二維平面問(wèn)題，需要求解兩個(gè)Kolosov－Muakhelishvili解析函數(shù)和。而對(duì)于純Ⅰ型和純Ⅱ型問(wèn)題，Westergaard發(fā)現(xiàn)只需要求解一個(gè)解析函數(shù)，稱為Westergaard函數(shù)。Westergaard方法對(duì)于一般的二維平面問(wèn)題，需要求解Westergaard方法的裂紋解Westergaard方法的裂紋解容易證明，雙調(diào)和函數(shù)可以用三個(gè)調(diào)和函數(shù)，與表示對(duì)稱的裂紋，westergaard假設(shè),對(duì)于對(duì)稱或反對(duì)稱受載情況,可取為一解析函數(shù)稱為westergaard復(fù)應(yīng)力函數(shù)，容易證明，雙調(diào)和函數(shù)可以用三個(gè)調(diào)和函數(shù)，I型裂紋――平面應(yīng)變不難發(fā)現(xiàn)I型裂紋――平面應(yīng)變不難發(fā)現(xiàn)反對(duì)稱（剪切）載荷――平面應(yīng)變

取反對(duì)稱（剪切）載荷――平面應(yīng)變?nèi)?/p>

縱向剪切作用的裂紋這里作為的解析函數(shù)

例子一，單向均勻拉伸的Griffith裂紋二，雙向均勻拉伸三，均勻內(nèi)壓例子一，單向均勻拉伸的Griffith裂紋二，雙向均勻拉伸四，半無(wú)線裂紋在其一部分表面上受力五，遠(yuǎn)處均勻剪切的Griffith裂紋六，反平面裂紋問(wèn)題這些是怎樣確定的，Westergaard方法中并沒(méi)有給出一定的步驟，不如Muskhelishvili方法系統(tǒng)和直接四，半無(wú)線裂紋在其一部分表面上受力五，遠(yuǎn)處均勻剪切的GrifWestergaard應(yīng)力函數(shù)I型尋求滿足所有邊界條件的應(yīng)力函數(shù)Westergaard應(yīng)力函數(shù)I型尋求滿足所有邊界條件的應(yīng)力（1）（2）（3）軸上（一）典型的張開(kāi)型問(wèn)題（1）（2）（3）軸上（一）典型的張開(kāi)型問(wèn)題選取應(yīng)力函數(shù)坐標(biāo)原點(diǎn)移到裂紋右尖端處，取選取應(yīng)力函數(shù)坐標(biāo)原點(diǎn)移到裂紋右尖端處，?。ǘ┰?a1內(nèi)均勻分布的壓力利用疊加原理（二）在2a1內(nèi)均勻分布的壓力利用疊加原理（三）(i)

當(dāng)

,

它滿足問(wèn)題的全部邊界條件(ii)在裂紋面上全x軸上(iii)(vi)附近，有奇異性（三）它滿足問(wèn)題的全部右端A左端B右端A左端B集中力作用在裂紋中點(diǎn)，取本例相當(dāng)于裂紋面任一點(diǎn)作用單位載荷的基本解集中力作用在裂紋中點(diǎn)，取本例相當(dāng)于裂紋面任一點(diǎn)作用單位表面上有任意的分布載荷作用表面上有任意的分布載荷作用Westergaard方法考慮如圖所示的Ⅰ型對(duì)稱平面問(wèn)題。沿軸上有若干個(gè)直裂紋，且外載關(guān)于軸對(duì)稱。再對(duì)稱軸上的對(duì)稱條件表示為：利用了在實(shí)軸上的關(guān)系式

Westergaard方法考慮如圖所示的Ⅰ型對(duì)稱平面問(wèn)題。沿Westergaard方法由于上式在整個(gè)實(shí)軸上都成立，根據(jù)柯西-黎曼關(guān)系，有：因?yàn)樵诔鸭y以外的整個(gè)平面上解析，而且在整個(gè)實(shí)軸上等于實(shí)常數(shù)A。由解析延拓可得：若記為Ⅰ型問(wèn)題的Westergaard函數(shù)，則應(yīng)力和位移分量由Westergaard函數(shù)表示為

建立了在對(duì)稱問(wèn)題中兩個(gè)解析函數(shù)和之間的關(guān)系

Westergaard方法由于上式在整個(gè)實(shí)軸上都成立，根據(jù)柯Westergaard方法·例子在雙軸拉伸下含中心裂紋的無(wú)限大板情況。自由裂紋表面的邊界條件可表述為：可得：在無(wú)窮遠(yuǎn)處得邊界條件：

從而得到該問(wèn)題的Westergaard函數(shù)為：為裂紋半長(zhǎng)通解為：和分別為無(wú)窮遠(yuǎn)處沿和方向上的均勻拉力當(dāng)時(shí)，為等軸拉伸情況Westergaard方法·例子在雙軸拉伸下含中心裂紋的無(wú)限Westergaard方法·例子應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)由此都可以得到。裂紋上下表面的張開(kāi)位移為：在裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為：得到：即為前文求能量釋放率時(shí)的表達(dá)式

說(shuō)明橫向應(yīng)力并不影響裂紋張開(kāi)位移和應(yīng)力強(qiáng)度因子。

(表達(dá)式中沒(méi)有橫向應(yīng)力項(xiàng))Westergaard方法·例子應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)由此都可以得到Westergaard方法·例子對(duì)于Ⅱ型問(wèn)題，Westergaard函數(shù)定義為：對(duì)應(yīng)的應(yīng)力、位移和SIF表示為：對(duì)于含中心穿透裂紋無(wú)限大板受遠(yuǎn)場(chǎng)均勻剪應(yīng)力的情況，利用類似于Ⅰ型問(wèn)題的求解步驟，可求出：為待定的實(shí)常數(shù)

Westergaard方法·例子對(duì)于Ⅱ型問(wèn)題，WestergWestergaard方法·小結(jié)對(duì)于一般的二維裂紋問(wèn)題，可以用Kolosov－Muakhelishvili的方法程序性地求解應(yīng)力和位移場(chǎng)以及應(yīng)力強(qiáng)度因子，但這種方法求解過(guò)程需要數(shù)學(xué)的技巧。對(duì)于某些特殊情況，可以采用Westergaard函數(shù),即由需要求解兩個(gè)復(fù)變解析函數(shù)和簡(jiǎn)化為確定一個(gè)復(fù)變函數(shù)，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。當(dāng)然，Westergaard函數(shù)方法也是在少數(shù)情況下才能得出解析解。Westergaard方法·小結(jié)對(duì)于一般的二維裂紋問(wèn)題，可以

第三講·應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解

與Westergaard方法

第三講·應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解

與Westergaard方法尋求滿足邊界條件下的，由此二函數(shù)求解KI、KII和應(yīng)力場(chǎng)、位移場(chǎng)。坐標(biāo)平移預(yù)備知識(shí):復(fù)應(yīng)力函數(shù)尋求滿足邊界條件下的，由此二函數(shù)求解KI、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)角的情形坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)角的情形斷裂與損傷——·應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解講課教案課件由應(yīng)力函數(shù)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，由應(yīng)力函數(shù)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，不必先求得應(yīng)力場(chǎng),而只要復(fù)應(yīng)力函數(shù)微商不必先求得應(yīng)力場(chǎng),而只要復(fù)應(yīng)力函數(shù)微商求得，可以求得應(yīng)力強(qiáng)度因子，故求得，可以求得應(yīng)力強(qiáng)度因子，故由復(fù)應(yīng)力函數(shù)求K的例子由復(fù)應(yīng)力函數(shù)求K的例子情況I情況II情況III情況I情況II情況III疊加添加了與剛體位移有關(guān)的無(wú)應(yīng)力項(xiàng)疊加添加了與剛體位移有關(guān)的無(wú)應(yīng)力項(xiàng)記記

平移到移軸公式按作展開(kāi)之后平移到移軸公式按作展開(kāi)之后展開(kāi)得注意到展開(kāi)得注意到應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)的求解方法概述人們已經(jīng)發(fā)展了多種方法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子SIF(StressIntensityFactor)，解析方法、數(shù)值方法和實(shí)驗(yàn)方法。在解析方法中，Westergaard方法、權(quán)函數(shù)法、積分變換法，這些方法一般只能求解某些簡(jiǎn)單構(gòu)形的問(wèn)題。數(shù)值方法有有限元法、邊界元法、邊界配位法等。實(shí)驗(yàn)方法有光彈性法、能量釋放率法等。本節(jié)只簡(jiǎn)單介紹幾種解析方法。

應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF)的求解方法概述人們已經(jīng)發(fā)展了多種方法求Westergaard方法

對(duì)于一般的二維平面問(wèn)題，需要求解兩個(gè)Kolosov－Muakhelishvili解析函數(shù)和。而對(duì)于純Ⅰ型和純Ⅱ型問(wèn)題，Westergaard發(fā)現(xiàn)只需要求解一個(gè)解析函數(shù)，稱為Westergaard函數(shù)。Westergaard方法對(duì)于一般的二維平面問(wèn)題，需要求解Westergaard方法的裂紋解Westergaard方法的裂紋解容易證明，雙調(diào)和函數(shù)可以用三個(gè)調(diào)和函數(shù)，與表示對(duì)稱的裂紋，westergaard假設(shè),對(duì)于對(duì)稱或反對(duì)稱受載情況,可取為一解析函數(shù)稱為westergaard復(fù)應(yīng)力函數(shù)，容易證明，雙調(diào)和函數(shù)可以用三個(gè)調(diào)和函數(shù)，I型裂紋――平面應(yīng)變不難發(fā)現(xiàn)I型裂紋――平面應(yīng)變不難發(fā)現(xiàn)反對(duì)稱（剪切）載荷――平面應(yīng)變

取反對(duì)稱（剪切）載荷――平面應(yīng)變?nèi)?/p>

縱向剪切作用的裂紋這里作為的解析函數(shù)

例子一，單向均勻拉伸的Griffith裂紋二，雙向均勻拉伸三，均勻內(nèi)壓例子一，單向均勻拉伸的Griffith裂紋二，雙向均勻拉伸四，半無(wú)線裂紋在其一部分表面上受力五，遠(yuǎn)處均勻剪切的Griffith裂紋六，反平面裂紋問(wèn)題這些是怎樣確定的，Westergaard方法中并沒(méi)有給出一定的步驟，不如Muskhelishvili方法系統(tǒng)和直接四，半無(wú)線裂紋在其一部分表面上受力五，遠(yuǎn)處均勻剪切的GrifWestergaard應(yīng)力函數(shù)I型尋求滿足所有邊界條件的應(yīng)力函數(shù)Westergaard應(yīng)力函數(shù)I型尋求滿足所有邊界條件的應(yīng)力（1）（2）（3）軸上（一）典型的張開(kāi)型問(wèn)題（1）（2）（3）軸上（一）典型的張開(kāi)型問(wèn)題選取應(yīng)力函數(shù)坐標(biāo)原點(diǎn)移到裂紋右尖端處，取選取應(yīng)力函數(shù)坐標(biāo)原點(diǎn)移到裂紋右尖端處，取（二）在2a1內(nèi)均勻分布的壓力利用疊加原理（二）在2a1內(nèi)均勻分布的壓力利用疊加原理（三）(i)

當(dāng)

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它滿足問(wèn)題的全部邊界條件(ii)在裂紋面上全x軸上(iii)(vi)附近，有奇異性（三）它滿足問(wèn)題的全部右端A左端B右端A左端B集中力作用在裂紋中點(diǎn)，取本例相當(dāng)于裂紋面任一點(diǎn)作用單位載荷的基本解集中力作用在裂紋中點(diǎn)，取本例相當(dāng)于裂紋面任一點(diǎn)作用單位表面上有任意的分布載荷作用表面上有任意的分布載荷作用Westergaard方法考慮如圖所示的Ⅰ型對(duì)稱平面問(wèn)題。沿軸上有若干個(gè)直裂紋，且外載關(guān)于軸對(duì)稱。再對(duì)稱軸上的對(duì)稱條件表示為：利用了在實(shí)軸上的關(guān)系式

Westergaard方法考慮如圖所示的Ⅰ型對(duì)稱平面問(wèn)題。沿Westergaard方法由于上式在整個(gè)實(shí)軸上都成立，根據(jù)柯西-黎曼關(guān)系，有：因?yàn)樵诔鸭y以外的整個(gè)平面上解析，而且在整個(gè)實(shí)軸上等于實(shí)常數(shù)A。由解析延拓可得：若記為Ⅰ型問(wèn)題的Westergaard函數(shù)，則應(yīng)力和位移分量由Westergaard函數(shù)表示為

建立了在對(duì)稱問(wèn)題中兩個(gè)解析函數(shù)和之間的關(guān)系

Westergaard方法由于上式在整個(gè)實(shí)軸上都成立，根據(jù)柯Westergaard方法·例子在雙軸拉伸下含中心裂紋的無(wú)限大板情況。自由裂紋表面的邊界條件可表述為：可得：在無(wú)窮遠(yuǎn)處得邊界條件：

從而得到該問(wèn)題的Westergaard函數(shù)為：為裂紋半長(zhǎng)通解為：和分別為無(wú)窮遠(yuǎn)處沿和