金融證券市場中最優(yōu)投資組合與模型選擇問題探討

金融證券市場中最優(yōu)投資組合與模型選擇問題探討投資組合理論是證券投資學(xué)中最主要、最復(fù)雜和最有應(yīng)用價(jià)值的部分。它研究而且回答在面臨各種互相關(guān)聯(lián)、確定的十分是不確定結(jié)果的條件下，理性投資者應(yīng)該如何做出最佳投資選擇，把一定數(shù)量的資金按適宜的比例，分散投放在多種不同資產(chǎn)上，以實(shí)現(xiàn)投資者效用極大化的目的。隨著概率論和隨機(jī)經(jīng)過等近代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展和應(yīng)用，利用隨機(jī)分析投資與消費(fèi)問題已成為金融學(xué)中定量研究的熱門領(lǐng)域之一。投資組合理論[1]的產(chǎn)生使得數(shù)理金融學(xué)作為金融學(xué)的一個(gè)獨(dú)立的分支迅速發(fā)展起來。但圍繞投資組合理論，過去的一系列研究存在很多不足，如：均值—方差投資組合理論單純地考慮一個(gè)確定的投資時(shí)域，而且考慮的市場環(huán)境比較簡單；投資消費(fèi)理論考慮的是一類單一的消費(fèi)品，投資對(duì)象僅限于無風(fēng)險(xiǎn)證券和風(fēng)險(xiǎn)證券。而當(dāng)前市場上消費(fèi)品與投資對(duì)象日益豐富，原來的投資理論的一些結(jié)論不能知足實(shí)際的需求。因而，怎樣建立更為完善的投資組合模型，一些算法不能夠很簡便地使計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算和模仿，且導(dǎo)致結(jié)果不夠精確，尋找簡便且精確的算法，需要不斷地去研究。本項(xiàng)目基于模型選擇，根據(jù)投資組合理論與投資消費(fèi)理論，在均值—方差模型的框架下，首先研究確定時(shí)域的M-V最優(yōu)投資組合選擇，然后研究隨機(jī)時(shí)域的M-V最優(yōu)投資組合選擇[2]次拓展研究特殊消費(fèi)的最優(yōu)投資消費(fèi)及含期權(quán)的最優(yōu)投資消費(fèi)模型，最后應(yīng)用于分析實(shí)際數(shù)據(jù)并尋求最優(yōu)的證券組合。一、重要模型〔一〕單階段M-V投資組合模型在金融市場，風(fēng)險(xiǎn)投資有兩個(gè)決策目的，一個(gè)是收益率高低，另一個(gè)是風(fēng)險(xiǎn)大小，二者互相矛盾和制約。在理論上，最大風(fēng)險(xiǎn)最小的投資方案是不存在的，只能在收益和風(fēng)險(xiǎn)之間做出理性的權(quán)衡然后構(gòu)造最優(yōu)組合模型，確定最優(yōu)投資比例，如理性投資者希望在風(fēng)險(xiǎn)最小的前提下實(shí)現(xiàn)較為滿意的收益水平。此時(shí)建立馬科維茨〔Markowitz〕模型，根據(jù)馬科維茨〔Markowitz〕的假設(shè)，多數(shù)投資者均為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，在風(fēng)險(xiǎn)投資決策中，首先考慮最小風(fēng)險(xiǎn)這一目的，其次考慮收益水平。由此，以組合投資的方差最小為決策目的，構(gòu)造最小風(fēng)險(xiǎn)組合投資模型[3]。minσ2〔r〕=WT∑=1這是一個(gè)二次規(guī)劃間題，構(gòu)造Lagrange函數(shù)L〔W〕=WT∑W+λ〔ETW-1〕，令=0，=0，有：2∑W+λE=0ETW-1=0經(jīng)過簡單運(yùn)算，解得λ=，最優(yōu)投資比例系數(shù)向量為W=，組合投資風(fēng)險(xiǎn)值為：σ2〔r〕=能夠證明，最小風(fēng)險(xiǎn)組合投資的風(fēng)險(xiǎn)值知足條件σ2〔r〕≤σn，i=1，2，…，m。這表示清楚，組合投資風(fēng)險(xiǎn)小于單項(xiàng)投資風(fēng)險(xiǎn)，通過適當(dāng)?shù)慕M合，到達(dá)了投資風(fēng)險(xiǎn)之間的互相吸收。而且，組合投資的收益率知足條件μ〔rt〕≤μ〔r〕≤μ〔rt〕，最小風(fēng)險(xiǎn)組合投資模型在最小風(fēng)險(xiǎn)條件下實(shí)現(xiàn)了比較滿意的收益水平。〔二〕多階段M-V投資組合模型多階段模型是單階段模型的推廣，可以以說是由每個(gè)階段的投資組合構(gòu)成的投資組合組。設(shè)第n個(gè)資產(chǎn)在這里階段的隨即收益率為ω，即是投資者在這里階段的第一個(gè)資產(chǎn)到第n個(gè)資產(chǎn)的投資比例，也即是投資者在這里階段投資結(jié)束時(shí)的財(cái)富量，則多階段的模型如下：minVar〔Wt〕s.t.E〔WT〕μtWT=Wt-1[∑ni=1xitrit+〔1-∑ni=1xit〕r0t]t=1，2，…，T其中，μ為給定的期終期望收益?！踩橱北硎径ɡ硪粋€(gè)平方可積鞅隨機(jī)微分方程為：dX〔t〕=B〔t，X〔t〕〕dt+σ〔t，X〔t〕〕dVX〔0〕=τ其中，V為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)。二、最優(yōu)投資組合理論〔一〕最優(yōu)投資組合的含義最優(yōu)投資組合，是指某投資者在能夠得到的各種可能的投資組合中，唯一可獲得最大效用期望值的投資組合，有效集的上凸性和無差別曲線的下凸性決定了最優(yōu)投資組合的唯一性。〔二〕確定時(shí)域的M-V最優(yōu)投資組合選擇股票價(jià)格服從跳躍擴(kuò)散經(jīng)過的均值—方差模型，股票價(jià)格在一個(gè)時(shí)域內(nèi)很有可能會(huì)發(fā)生很多突發(fā)狀態(tài)，因而在許多情況下人們用跳躍擴(kuò)散經(jīng)過來描繪敘述。因而，建立一個(gè)關(guān)于擴(kuò)散經(jīng)過的最優(yōu)模型：dpi=pi〔t〕[bi〔t〕dt+∑ij=1ωij〔t〕dwj〔t〕+∑mk=1pi〔0〕=pi在實(shí)際生活中，對(duì)于消費(fèi)者來說，一般情況下他們的固定消費(fèi)基本上是不變的，這與他們的收入有很大的關(guān)系。由此確定的函數(shù)關(guān)系數(shù)我們稱之為固定消費(fèi)形式，假定市場是一個(gè)隨時(shí)間連續(xù)變化的體系，一般用1個(gè)完備的概率濾波空間〔Ω，？祝，{？祝t}t≥0，P〕來描繪敘述，在這個(gè)空間上有1個(gè)n-1維的Brown運(yùn)動(dòng)w〔t〕=〔W1〔t〕，W2〔t〕…Wn〔t〕〕T，{？祝t}t≥0是W〔t〕的天然濾波，設(shè)市場上可提供的資產(chǎn)為n+1個(gè)，其中1個(gè)為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，價(jià)格P0〔t〕知足方程P0〔t〕=P0〔t〕r〔t〕dt，r〔t〕為無風(fēng)險(xiǎn)利率，其余n個(gè)為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i個(gè)資產(chǎn)的價(jià)格Pi〔t〕知足下面的隨機(jī)微分方程：dPi〔t〕=Pi〔t〕[bi〔t〕dt+σij〔t〕dWj〔t〕]，i=1，2，…n假定投資者進(jìn)入市場后在有限時(shí)域[0，T]內(nèi)連續(xù)進(jìn)行交易，那么由It？觝公式，他的財(cái)富經(jīng)過x〔t〕知足：dx〔t〕=r〔t〕x〔t〕+〔bi〔t〕-r〔t〕〕？仔i〔t〕dt+？滓ij〔t〕？仔i〔t〕dWj〔t〕x〔0〕=x其中，？仔it表示在t時(shí)刻在資產(chǎn)i上的投資量。令？仔〔t〕=〔？仔1〔t〕，？仔2〔t〕，…，？仔n〔t〕〕T，稱？仔〔·〕為一個(gè)投資組合。所有允許投資組合的集合記為？撰〔x〕。投資者的目的是在集？撰〔x〕中選擇最優(yōu)投資組合使得最終財(cái)富的期望最大與差最小之間實(shí)現(xiàn)合理的權(quán)衡，一般連續(xù)時(shí)間M-V模型可建立為：min〔-Ex〔T〕，Varx〔T〕〕，s.t？仔〔·〕∈？撰〔x〕假定投資者在時(shí)間段[0，t]內(nèi)的總消費(fèi)量為C〔t〕，記c〔t〕=為消費(fèi)率，1個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)證券和n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券，投資者的財(cái)富經(jīng)過需要知足如下方程：dx〔t〕=[x〔t〕r〔t〕+？仔〔t〕T〔b〔t〕-r〔t〕1n〕-c〔t〕dt+？仔tT？滓〔t〕dW〔t〕]x〔0〕=x0有效前沿解析式：股票價(jià)格服從市場系數(shù)經(jīng)過的均值—方差模型，對(duì)于市場系數(shù)需要考慮到許多問題，許多方法與實(shí)際都不太相符，由于市場系數(shù)是隨機(jī)變化的，導(dǎo)致許多為題的求解困難，尤其是把它推廣到隨機(jī)的情形，因而本文采取鞅方法來解決這個(gè)問題。設(shè)投資者在時(shí)的財(cái)富為，那么知足微分方程：d[β〔t〕x〔t〕]=β〔t〕π〔t〕〔b〔t〕-r〔t〕〕dt+β〔t〕π〔t〕σ〔t〕dtβ〔0〕x〔0〕=x〔三〕隨機(jī)時(shí)域的M-V最優(yōu)投資組合選擇關(guān)于離散時(shí)間市場狀況下隨機(jī)時(shí)域的均值—方差模型，設(shè)投資者從0時(shí)刻進(jìn)入市場進(jìn)行投資，其初始財(cái)富為，計(jì)劃進(jìn)行個(gè)階段的投資，市場上有中證券，其中1中無風(fēng)險(xiǎn)證券，中風(fēng)險(xiǎn)證券。投資者在隨機(jī)時(shí)域[0，T]內(nèi)，使最終利益的期望最大，風(fēng)險(xiǎn)最小，根據(jù)這個(gè)建立如下模型：maxuE〔γυτ-wυ2T〕=υt-1〔r0t+R0tπt〕υ0=1其中，w0。關(guān)于連續(xù)時(shí)間市場狀況下隨機(jī)時(shí)域的均值—方差模型，在一個(gè)確定函數(shù)下，最優(yōu)投資策略模型為：minπE[wx〔T〕2-τx〔T〕]s.t.π∈x關(guān)于跳躍擴(kuò)散市場狀況下隨機(jī)時(shí)域的均值—方差模型，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)證券的價(jià)格知足方程，第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券的價(jià)格知足下面隨機(jī)微分方程：結(jié)束語本文是在確定時(shí)域下分別建立了股票價(jià)格服從跳躍擴(kuò)散經(jīng)過、固定消費(fèi)和市場系數(shù)為隨機(jī)經(jīng)過這三種情況下的均值—方差模型，得到這三種情況下的投資策略庫和有效前沿方程式；在隨機(jī)時(shí)域下建立了離散時(shí)間、連續(xù)時(shí)間與跳躍時(shí)間三種市場狀況下的均值—方差模型，得到其解析表達(dá)式。從這幾個(gè)模型中我們能夠看出，其在投資組合理論與投資消費(fèi)理論下的最優(yōu)解析式。另外，文中給出了模型評(píng)價(jià)的方式為投資者提供了選擇，即假如在類似度比較高的模型中進(jìn)行投資活動(dòng)時(shí)，投資者能夠采用偏好系數(shù)加權(quán)法，更多地考慮自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好，但類似水平低的模型則考慮最小風(fēng)險(xiǎn)模型來最小化損失，投資者能夠根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好的不同，在投資模型選擇時(shí)參考本文中的幾種方法。同時(shí)，我們能夠根據(jù)文中提到的模型的基天性質(zhì)來對(duì)這些模型做一個(gè)一般性的檢驗(yàn)，也即驗(yàn)證他們能否知足這些人們普遍贊成的性質(zhì)。結(jié)合模型所知足性質(zhì)的意義來考慮組合模型的實(shí)用性，以及對(duì)于自己的投資做出合理的決策。以下為參考文獻(xiàn)：[1]lioSelection[J].JournalofFinance，1952，〔1〕：77-91.[2]曹志廣，韓其恒.投資組合管理[M].上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2005.[3]張璞，李鑫，竇雯虹.最優(yōu)證券組合投資模型[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào)：天然科學(xué)版，2001，〔2〕：99-101.[4]蘇敬勤，陳東曉.Markowitz投資組合理論與實(shí)證研究[J].大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)：社會(huì)科學(xué)版，2002，〔2〕：30-35.[5]余后強(qiáng)，李玲.基于我們國家證券市場的馬科維茨模型與實(shí)證研究[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2013，〔3〕：146-149.[6]羅光明，劉永.Markowitz投資組合模型在深滬股市上的實(shí)證研究[J].新疆財(cái)經(jīng)，2001，〔4〕：41-43.[7]陳學(xué)榮，張銀旗，周維.投資組合理論及其在中國證券市場中的應(yīng)用研究[J].系統(tǒng)工程，2000，〔5〕：6-12.[8]趙，黃頓，包鋒，等.風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平的度量及投資組合理論——基于實(shí)證調(diào)查分析[J].湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)：人文社會(huì)科學(xué)版，2010，〔8〕：43-45.[9]玄海燕，包海明，楊娜娜.基于非正態(tài)穩(wěn)定分布的均值——標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)多期投資組合模型[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào)，2013，〔4〕：144-147.[10]劉超.現(xiàn)代證券投資組合理論在我們國家應(yīng)用的局限和考慮[J].經(jīng)濟(jì)經(jīng)緯，2006，〔2〕：139-142.[11]’