彈性力學(xué)-本構(gòu)關(guān)系課件

§4-1物體的彈性性質(zhì)和§4-2線(xiàn)彈性材料的本構(gòu)關(guān)系第四章本構(gòu)關(guān)系§4-3各向同性線(xiàn)彈性材料的物理方程一般情況下，物體的應(yīng)力與應(yīng)變呈某一函數(shù)關(guān)系，可表示為：應(yīng)力與應(yīng)變張量均為六個(gè)獨(dú)立分量。則§4-1物體的彈性性質(zhì)·廣義Hooke定律一.彈性的概念

如果材料呈單值連續(xù)關(guān)系（不一定線(xiàn)性），則稱(chēng)為柯西（Cauchy）彈性材料（一般意義上的彈性）。

受材料在單向拉伸試驗(yàn)時(shí)彈性階段的應(yīng)力與應(yīng)變呈線(xiàn)性關(guān)系（胡克定律）的啟發(fā)，

線(xiàn)彈性材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下其應(yīng)力張量與應(yīng)變張量亦呈線(xiàn)性關(guān)系。稱(chēng)為廣義胡克定律的一般形式

呈線(xiàn)性單值連續(xù)關(guān)系的材料性質(zhì)稱(chēng)為線(xiàn)彈性。

在柯西彈性的基礎(chǔ)上附加等溫絕熱的外部環(huán)境條件，使有勢(shì)函數(shù)存在，則這種彈性性質(zhì)又稱(chēng)為超彈性?？梢宰C明線(xiàn)彈性一定是超彈性。二.廣義胡克（Hooke）定律即§4-2線(xiàn)彈性體的本構(gòu)關(guān)系如果材料在變形過(guò)程中處于等溫絕熱過(guò)程。根據(jù)熱力學(xué)第一定律和相應(yīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，有勢(shì)，其勢(shì)函數(shù)U0(ij)為物體單位體積的變形能（應(yīng)變能）?！狦reen公式由同理即

彈性矩陣為對(duì)稱(chēng)矩陣，共有21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)對(duì)

稱(chēng)廣義胡克定律的上述形式表征的是各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系。

如果材料具有彈性對(duì)稱(chēng)面，則本構(gòu)關(guān)系還可簡(jiǎn)化，使彈性常數(shù)進(jìn)一步縮減。

彈性體中每一點(diǎn)均有一個(gè)對(duì)稱(chēng)方向，在這些對(duì)稱(chēng)方向上彈性性質(zhì)相同，即應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變。稱(chēng)為彈性對(duì)稱(chēng)。彈性對(duì)稱(chēng)

彈性對(duì)稱(chēng)方向

彈性對(duì)稱(chēng)方向

彈性對(duì)稱(chēng)面

彈性主軸

彈性主軸一.橫觀各向異性材料

相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)方向和對(duì)稱(chēng)面稱(chēng)為彈性對(duì)稱(chēng)方向和彈性對(duì)稱(chēng)面。垂直于彈性對(duì)稱(chēng)面的方向稱(chēng)為彈性主軸。xyz

彈性對(duì)稱(chēng)面OP

(x,y,z)P

(x,y,-z)y

設(shè)Oxy平面為材料的彈性對(duì)稱(chēng)面，z軸為彈性主軸。其中[C]為各向異性的彈性矩陣

現(xiàn)將z軸反向，考察其本構(gòu)關(guān)系xz

僅具有一個(gè)彈性對(duì)稱(chēng)面的材料稱(chēng)為橫觀各向異性材料。

體內(nèi)一點(diǎn)P(x,y,z)的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)閧

}

和{

}。則在新坐標(biāo)下，由于彈性對(duì)稱(chēng)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系保持不變但P點(diǎn)坐標(biāo)和應(yīng)力應(yīng)變分量發(fā)生變化由坐標(biāo)變換兩坐標(biāo)系三軸的方向余弦為xyzx100y010x00-1代入上式由比較得

將y軸反向，不產(chǎn)生新的結(jié)果。

將x軸反向，仿前分析步驟可得二.正交各向異性材料x(chóng)yzP

(x,y,z)O

設(shè)三個(gè)彈性對(duì)稱(chēng)面分別為Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿x、

y、

z三方向彈性性質(zhì)各異。

具有三個(gè)相互垂直彈性對(duì)稱(chēng)面的材料稱(chēng)為正交各向異性材料。三.橫觀各向同性材料

具有各向同性面，且各各向同性面相互平行（或具有彈性對(duì)稱(chēng)軸）的物體，稱(chēng)為橫觀各向同性材料。yzxxyzO

設(shè)體內(nèi)每一點(diǎn)存在一軸（z軸），在與此軸垂直的平面（Oxy）內(nèi)，所有射線(xiàn)方向的彈性性質(zhì)均相同。

稱(chēng)該平面為各向同性面。

在正交各向異性的基礎(chǔ)上，按相似分析步驟，

設(shè)xy平面繞z軸旋轉(zhuǎn)任意角度，

旋轉(zhuǎn)前后應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不變，比較其彈性常數(shù)可得四.各向同性材料

在橫觀各向同性的基礎(chǔ)上，將z軸反向，考察其反向前后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可得對(duì)

稱(chēng)

所以，各向同性材料的廣義胡克定律可表示為各向同性材料獨(dú)立的彈性常數(shù)只有2個(gè)§4-3各向同性線(xiàn)彈性材料的物理方程一.廣義胡克定律的基本形式

對(duì)于各向同性材料的廣義胡克定律表達(dá)式，展開(kāi)令則其中張量形式（注：

Lamé原文所用符號(hào)為和而非G，也不是泊松比。在工程形式中，Lamé常數(shù)實(shí)際上被定義為切變模量G）

、G稱(chēng)為拉梅（Lamé）常數(shù)

此即廣義胡克定律的基本形式，該形式數(shù)學(xué)表述簡(jiǎn)練，便于理論推導(dǎo)應(yīng)用，但力學(xué)意義不能一目了然，不便于工程運(yùn)用。二.廣義胡克定律的工程形式

將前六式反解，并令

則

此即廣義胡克定律的工程形式，其中常數(shù)E、G和是廣為熟知的彈性模量、切變模量和泊松比。僅兩個(gè)獨(dú)立。張量形式其中由得若用應(yīng)變表示，反解或由基本形式代入即得或三.體積胡克定律由即描述了體積應(yīng)力和體積應(yīng)變的關(guān)系令稱(chēng)為體積彈性模量故稱(chēng)為體積胡克定律張量形式或五.彈性常數(shù)的關(guān)系

前述廣義胡克定律的各種形式，涉及的彈性常數(shù)有五個(gè)（E