高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 2.3.2 平面與平面垂直的判定 新人教A必修2

2.3.2平面與平面垂直的判定編輯ppt1.了解二面角及其平面角的概念.2.掌握兩個(gè)平面互相垂直的定義和畫法.3.理解并掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理,并能解決有關(guān)面面垂直的問題.編輯ppt121.二面角

編輯ppt12編輯ppt12名師點(diǎn)撥

1.二面角的平面角的大小是由二面角的兩個(gè)面的位置唯一確定的,與選擇棱上的點(diǎn)的位置無關(guān).2.構(gòu)成二面角的平面角的三要素:“棱上”“面內(nèi)”“垂直”.即二面角的頂點(diǎn)必須在棱上,角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi),角的兩邊必須都與棱垂直,這三個(gè)缺一不可.前兩個(gè)要素決定了二面角的平面角在同一個(gè)平面內(nèi),第三個(gè)要素決定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面與棱垂直.編輯ppt12【做一做1-1】

在二面角α-l-β的棱l上任選一點(diǎn)O,若∠AOB是二面角α-l-β的平面角,則必須具有的條件是

(

)A.AO⊥BO,AO?α,BO?βB.AO⊥l,BO⊥lC.AB⊥l,AO?α,BO?βD.AO⊥l,BO⊥l,且AO?α,BO?β解析:根據(jù)二面角的平面角的定義可知選D項(xiàng).答案:D編輯ppt12【做一做1-2】

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,不作輔助線,寫出二面角A1-AB-D的一個(gè)平面角為

.

解析:因?yàn)锳D?平面ABD,A1A?平面A1AB,AD⊥AB,AA1⊥AB,所以∠A1AD是二面角A1-AB-D的一個(gè)平面角,同理∠B1BC也是它的一個(gè)平面角.答案:∠A1AD(或∠B1BC)編輯ppt122.平面與平面垂直(1)定義:兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面α與平面β垂直,記作α⊥β.(2)畫法:兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖所示.編輯ppt12(3)判定定理

編輯ppt12名師點(diǎn)撥

平面與平面垂直的判定定理告訴我們,可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直.通常我們將其記為:線面垂直,則面面垂直.因此處理面面垂直問題(即空間問題)轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題,并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題(即平面問題)來解決.編輯ppt12【做一做2-1】

在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)面中,與平面ABCD垂直的面的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析:與平面ABCD垂直的平面有:平面ABB1A1,平面ADD1A1,平面BCC1B1,平面CDD1C1.答案:D編輯ppt12【做一做2-2】

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:平面ABCD⊥平面BDD1B1.證明:因?yàn)锽B1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,所以BB1⊥平面ABCD.又BB1?平面BDD1B1,所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.編輯ppt121.理解二面角及其平面角剖析:(1)二面角是一個(gè)空間圖形,而二面角的平面角是平面圖形,二面角的大小通過其平面角的大小來刻畫,體現(xiàn)了由空間圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的思想.(2)二面角的平面角的定義是兩條射線的夾角,不是兩條直線的夾角,因此,二面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.(3)兩個(gè)平面相交,可以構(gòu)成四個(gè)二面角,其中相對的兩個(gè)二面角相等,相鄰的兩個(gè)二面角互補(bǔ).編輯ppt122.處理翻折問題的關(guān)鍵剖析:處理翻折問題的關(guān)鍵是對翻折前的平面圖形與翻折后的立體圖形進(jìn)行對比,有哪些位置關(guān)系和相關(guān)量發(fā)生了變化;如果發(fā)生變化,那么發(fā)生了怎樣的變化,還有哪些沒有發(fā)生變化,切不可混淆不清.例如:在正三角形ABC中,E,F,P分別是AB,AC,BC邊上的點(diǎn),滿足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2,如圖①.將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,連接A1B,A1P,EP,如圖②.下面探討平面BA1E是否與平面BEP垂直.編輯ppt12根據(jù)圖①,由平面幾何的知識,可得EF⊥AE,EF⊥BE.在圖②中,這兩個(gè)位置關(guān)系沒有變化,而點(diǎn)A,B,E的相對位置關(guān)系發(fā)生了變化,翻折前這三點(diǎn)共線,但是翻折后不共線.不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3,則在圖③中,取BE的中點(diǎn)D,連接DF.編輯ppt12因?yàn)锳E∶EB=CF∶FA=1∶2,所以AF=AD=2.而∠A=60°,所以△ADF為正三角形.又AE=DE=1,所以EF⊥AD.則在圖②中,A1E⊥EF,BE⊥EF,所以∠A1EB為二面角A1-EF-B的一個(gè)平面角.所以∠A1EB=90°.所以A1E⊥BE.又BE∩EF=E,所以A1E⊥平面BEP.因?yàn)锳1E?平面BA1E,所以平面BA1E⊥平面BEP.編輯ppt題型一題型二【例1】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1-BC-D的平面角.解:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,所以BC⊥平面D1C.又D1C?平面D1C,所以BC⊥D1C,所以∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.編輯ppt題型一題型二【變式訓(xùn)練1】

如圖,在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是正方形,其他四個(gè)側(cè)面都是等腰三角形,找出二面角V-AB-C的平面角.編輯ppt題型一題型二解:如圖,作VO⊥平面ABCD,垂足為O,則VO⊥AB,取AB的中點(diǎn)H,連接VH,OH,則VH⊥AB.因?yàn)閂H∩VO=V,所以AB⊥平面VHO,所以AB⊥OH.所以∠VHO為二面角V-AB-C的平面角.編輯ppt題型一題型二【例2】

如圖,把等腰直角三角形ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置,使CD=AC,求證:平面ABD⊥平面ABC.編輯ppt題型一題型二證明(方法一)如圖,取AB的中點(diǎn)O,連接OD,OC.因?yàn)锳D=DB,所以DO⊥AB.又△ABD≌△ABC,所以O(shè)D2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.又AB?平面ABC,OC?平面ABC,AB∩OC=O,所以DO⊥平面ABC.又DO?平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABC.編輯ppt題型一題型二(方法二)如圖,取AB的中點(diǎn)O,連接OD,OC.則有OD⊥AB,OC⊥AB,即∠COD是二面角C-AB-D的平面角.因?yàn)镃D=AD=AC,所以CD=a,所以CD2=OC2+OD2.所以△COD是直角三角形,即∠COD=90°.所以二面角C-AB-D是直二面角,即平面ABD⊥平面ABC.編輯ppt題型一題型二

反思1.證明平面與平面垂直的方法有兩個(gè):(1)利用定義:證明二面角的平面角為直角;(2)利用面面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直.2.根據(jù)面面垂直的定義判定兩個(gè)平面垂直,實(shí)質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角.通常情況下利用判定定理要比定義簡單些,這也是證明面面垂直的常用方法,即要證明面面垂直,只需要證明線面垂直.其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一平面垂直.編輯ppt題型一題型二【變式訓(xùn)練2】

如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中點(diǎn).求證:平面ABM⊥平面A1B1M.編輯ppt題型一題型二證明:由長方體的性質(zhì)可知A1B1⊥平面BCC1B1,又BM?平面BCC1B1,