北師大九年級圓講義教師版帶答案

北師大九年級圓講義教

師而帶答案Documentnumber：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998知識點(diǎn)一、圓的定義及有關(guān)概念1、圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。2、有關(guān)概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。連接圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的弦。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。例P為。O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm,。。半徑為5cm,則經(jīng)過P點(diǎn)的最短弦長為；?最長弦長為.解題思路：圓內(nèi)最長的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10cm,8cm.知識點(diǎn)二、平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)當(dāng)點(diǎn)在圓外時，d>r；反過來，當(dāng)d>r時，點(diǎn)在圓外。當(dāng)點(diǎn)在圓上時，d二r；反過來，當(dāng)d二r時，點(diǎn)在圓上。當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時，d<r；反過來，當(dāng)d<r時，點(diǎn)在圓內(nèi)。例如圖，在RtAABC中，直角邊A8=3BC=4點(diǎn)E,尸分別是BC,AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，A8的長為半徑畫圓,則點(diǎn)后在圓A的，點(diǎn)/在圓A的.解題思路：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，答案：外部，內(nèi)部練習(xí)：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，圓。的半徑為5,圓心。的坐標(biāo)為（-1，-4）.試判斷點(diǎn)尸（3,-1）與圓。的位置關(guān)系.答案：點(diǎn)尸在圓。上.知識點(diǎn)三、圓的基本性質(zhì)1圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對的弧。3、圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性，特別的圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。圓周角定理推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。圓周 角定理推論2：直徑所對的 圓周角是直角；90°的圓周/L角所對的弦是直役。/J例1如圖，在半徑為5cm的。O中，/圓心O到弦AB的距離為3cm,則弦AB的長是()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm解題思路：在一個圓中，若知圓的半徑為R,弦長為a,圓心到此弦的距離為d,?根據(jù)垂徑定理，有R2=d2+(^)2,所以三個量知道兩個，就可求出第三個.答案C例2、如圖，A、B、C、D是OO上的三點(diǎn)，ZBAC=30°,則NBOC的大小是()A、60°B、45°C、30°D、15°解題思路：運(yùn)用圓周角與圓心角的關(guān)系定理，答案：A例3、如圖1和圖2,MN是。O的直徑，弦AB、CD?相交于MN?上的一點(diǎn)P,?ZAPM=ZCPM.(1)由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請說明理由.(2)若交點(diǎn)P在。。的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由.(1) (2)解題思路：(1)要說明AB二CD,只要證明AB、CD所對的圓心角相等，?只要說明它們的一半相等.上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的.解：⑴AB=CD理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD,垂足分別為E、F連結(jié)OD、OB且OB=ODRtAOFD=RtAOEB，DF=BE根據(jù)「垂徑定理可得：AB=CD(2)作OEJ_AB,OF±CD,垂足為E、F?:ZAPM=ZCPN且OP=OP,ZPEO=ZPFO=90°.,.RtAOPE^RtAOPFZ.OE=OF連接OA、OB、OC、OD易證RtAOBEARSODF,,^RtAOAE^RtAOCF(oAZ1+Z2=Z3+Z4ab=cd例 —4.如圖，AB是。O的直徑，BD是。O的弦，延長BD到C,使AC=AB,BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？解題思路：BD=CD,因?yàn)锳B=AC,所以這個^ABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，?只要連結(jié)AD證明AD是高或是NBAC的平分線即可.解：BD=CD理由是：如圖24-30,連接AD「AB是。O的直徑???NADB=90。即AD1BCXAC=ABABD=CD知識點(diǎn)四、圓與三角形的關(guān)系1、不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓。2、三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個頂VZAPM=ZCPMAZ1=Z2OE=OF 點(diǎn)的圓二3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內(nèi)切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形內(nèi)切圓的圓心。例1如圖,通過防治“非典”,人們增強(qiáng)了衛(wèi)生意識，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24-49所示，A、B、C?為市內(nèi)的三個住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見，?要使得回收站建在三個小區(qū)都相等的某處，請問如果你是工程師，你將如何選址.解題思路：連結(jié)AB、BC,作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點(diǎn)即為垃圾回收站所在的位置.例2如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若NBAC=80。，則NBOC二()A.130°B.100°C.50°D.65°解題思路：此題解題的關(guān)鍵是弄清三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，答案A例3如圖，RtAABC,ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,則它的外心與頂點(diǎn)C的距離為().A.5cmB.C.3cmD.4cm解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊知識點(diǎn)五、直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離當(dāng)直線和圓相交時,<r時，直線和圓相交。當(dāng)直線和圓相切時,二r時，直線和圓相切。當(dāng)直線和圓相離時,>r時，直線和圓相離。d<r；反過來，當(dāng)dd=r；反過來，當(dāng)dd>r；反過來，當(dāng)d切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等,圓心和圓外這點(diǎn)的連角。平分兩條切線的夾中，BC=6cm!NB=30。，ZC=45°f以A為圓心，當(dāng)半徑r多長時所作的。A與直線BC相切？相交？相離？解題思路：作ADJ_BC于D在及ZL4Ao中ZB=^0°??=fgAD在於AA7。C肝 cVBC=6cm??’的中點(diǎn)，答案的中點(diǎn)，答案B=島3+ =V)AD=6的半徑是的半徑是10.?'?』。=3（右一1）9羽）?e?當(dāng)/:3（J5—l）c刑時，0A與BC相切；當(dāng)尸>3（力-l）c?刑時，0A與BC相交；當(dāng)r《3（萬-l）c加時,0A與BC相離，例2.如圖，AB為。O的直徑，C是。O上一點(diǎn)，D在AB的延長線上，旦ZDCB=*ZA.（1）CD與。。相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由.（2）若CD與。O相切，且ND=30。，BD=10,求。O的半徑.解題思路：（1）要說明CD是否是0O的切線，只要說明OC是否垂直于CD.垂足為C,?因?yàn)镃點(diǎn)已在圓上.由已知易得：ZA=30°,又由NDCB=NA=30。得：BC=BD=10解：（1）CD與。O相切理由：①C點(diǎn)在。O上（已知）②;AB是直徑/.ZACB=90°,§PZACO+ZOCB=90°;ZA=ZOCAE.ZDCB=ZA.*.ZOCA=ZDCBAZOCD=90°綜上：CD是0O的切線.（2）在RsOCD中，ZD=30°AZCOD=60°AZA=30°.\ZBCD=30o.?.BC=BD=10AAB=20,.\r=10答：（1）CD是。。的切線，（2）0O知識點(diǎn)六、圓與圓的位置關(guān)系重點(diǎn)：兩個圓的五種位置關(guān)系中的等價(jià)條件及它們的運(yùn)用.難點(diǎn)：探索兩個圓之間的五種關(guān)系的等價(jià)條件及應(yīng)用它們解題.外離：兩圓沒有公共點(diǎn)，一個圓上所有的點(diǎn)都在另一個圓的外部相離：內(nèi)含：兩圓沒有公共點(diǎn)，一個圓上所有的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部相切：外切：兩圓只有一個公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個圓上所有的點(diǎn)都在另一個圓的外部內(nèi)切：兩圓只有一個公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個圓上所有的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部相交：兩圓只有兩個公共點(diǎn)。設(shè)兩圓的半徑分別為4、r:,圓心距（兩圓圓心的距離）為d,則有兩圓的位置關(guān)系，d與4和。之間的關(guān)系.著交￡少/門|<d<n+r2內(nèi)切Od=|n-F2|內(nèi)含=0久<|門-門|（其中d=0,兩圓同心）例1.兩個同樣大小的肥皂r泡黏在一起，其剖面如圖1所示（點(diǎn)O,O,是圓心），分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求NTPN的大小.（1）⑵0 X0 X解題思路：要求ntpn,其實(shí)就是求NOPO,的角度，很明顯，NPOO,是正三角形，如圖2所示.解：???po=oct=po'?,?刈0,0是一個等邊三角形???NOPO'=60°又VTP與NP分別為兩圓的切線，AZTPO=90°,ZNPOZ=90°JZTPN=360°-2x90°-60°=120°例2.如圖1所示，0O的半徑為7cm,點(diǎn)A為。O外一點(diǎn)，OA=15cm,求：(1)作。A與。O外切，并求。A的半徑是多少？(1) (2)(2)作。A與。O相內(nèi)切，并求出此時OA的半徑.解題思路：(1)作0A和。O外切，就是作以A為圓心的圓與。O的圓心距d=ro+rA；(?2)?作OA與。O相內(nèi)切，就是作以A為圓心的圓與。。的圓心距d=iA-ro.解：如圖2所示，(1)作法：以A為圓心，S=15-7=8為半徑作圓，則。A?的半徑為8cm(2)作法：以A點(diǎn)為圓心，放=15+7=22為半徑作圓，則。A的半徑為22cm例3.如圖所示，點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3),OA半徑為1,點(diǎn)B在x軸上.(D若點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),0B半徑為3,試判斷。A與OB位置關(guān)系；(2)若。B過M(-2,0)且與。A相切，求B點(diǎn)坐標(biāo).(1)AB=5>l+3,外離.⑵設(shè)B(X,0)*-2、則AB二的十9,0B半徑為|x+2|,①設(shè)。B與。A外切，則歷7=|x+2|+1,當(dāng)x>-2時，+f=x+3,平方化簡得：x=0符題意，???B(0.0),當(dāng)xv—2時，>/9+x2=-x-1,化簡得x=4>-2(舍),②設(shè)。B與。A內(nèi)切，則歷7=|x+2|-1,當(dāng)x>-2時，，9+父=x+1,得x=4>-2,???B(4,0),當(dāng)xv-2時，，9+f=-x-3,得x=0,知識點(diǎn)七、正多邊形和圓重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、?邊長之間的關(guān)系.難點(diǎn)：使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、?弦心距、邊長之間的關(guān)系.正多邊形的中心：所有對稱軸的交點(diǎn)；正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內(nèi)切圓的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角,正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，每個等腰三角形又被相應(yīng)的邊心距分成兩個全嶂的直角三角形。例1.如圖，已知正六邊形ABCDEF,其外接圓的半徑是a,?求正六邊形的周長和面積.解題思路：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)連接OA,過O點(diǎn)作OM_LAB垂于M,在RSAOM?中便可求得AM,又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長.正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的.解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊360°形，所以它的中心角等于、匕=60。，?△OBC6是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑因此，所求的正六邊形的周長為6a在RSOAM中，OA=a,AM=—AB=—aTOC\o"1-5"\h\z2 2利用勾股定理.可得邊心距OM=^2-(1?)2 >/3a???所求正六邊形的面積=6x—xABxOM=6x—xax—a=—6a?2 2 2 2例2.在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB,頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8,現(xiàn)要建造一個內(nèi)接于△ABC.的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上，如圖24-94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8,BC=6.(2)設(shè)DN=x,且生？?=注，當(dāng)x取hAB何值時，水池DEFN的面積最大？(3)實(shí)際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1.85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹，請?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹.解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識，應(yīng)用配方法求最值.(3)的設(shè)計(jì)要有新意，?應(yīng)用圓的對稱性就能圓滿解決此題.解：⑴由ABCG二ACBC得TOC\o"1-5"\h\zAC^BC 8x6h= = =AB 10?.1h-DNNF 口 nz(2) ?h= =——且 DN=xh AB貝IJS四邊形defn=x?二(-x)=一4.825),八25/) 120、—x2+10x="—(x2-——x)12 12 2525「, 60x?36001 25,="-[(x--)- ]=--(X12 25 625 x(1)求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn).一)2+12???300萬二\20ttR2360工弧長???300萬二\20ttR2360工弧長L=120x^x30180二20〃(cm)..?一一(x-)2<0/.--(x-)X X2+12312且當(dāng)x二時，取等號?二當(dāng)x二時，Sdefn最大.(3)當(dāng)Sdefn最大時，x=,此時，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，在RtAFEB中,EF=,BF=3.JBE=ylDE2-EF2=>/32-2.42=VBM=, 即大樹必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計(jì)方案.???當(dāng)x=時，DE=5AAD=,由圓的對稱性知滿足條件的另一設(shè)計(jì)方案，如圖所示：此時，?AC=6,BC=8,AD=,BE=,這樣設(shè)計(jì)既滿足條件，又避開大樹.知識點(diǎn)八、弧長和扇形、圓錐側(cè)面積面積重點(diǎn)：n。的圓心角所對的弧長卜簪1X0扇形面積s扇圓錐側(cè)面積面積及其它360們的應(yīng)用.難點(diǎn)：公式的應(yīng)用..n。的圓心角所對的弧長蜂會180.圓心角為n。的扇形面積是S扇形_nrrR-~360.全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的，所以全面積二〃rL+r2.例1.操作與證明：如圖所示，O是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O處，并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a.解題思路：如圖所示，不妨設(shè)扇形紙板的兩邊與正方形的邊AB、AD?分別交于點(diǎn)M、N,連結(jié)OA、OD.???四邊形ABCD是正方形r.OA=OD,ZAOD=90°,ZMAO=ZNDO,又NMON=90。，ZAOM=ZDON.,.△AMO^ADNOAM=DNAM+AN=DN+AN=AD=a特別地，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A(點(diǎn)B)重合時，點(diǎn)N必與點(diǎn)D(點(diǎn)A)重合，此時AM+AN仍為定值a.故總有正方形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a.例2.已知扇形的圓心角為120°,面積為300/rem2.(1)求扇形的弧長；(2)若將此扇形卷成一個圓錐，則這個圓錐的軸截面面積為多少？解題思路：(1)由S島形二吟求出R,再代入上/求得-&)若將此扇形卷成一1oU個圓錐，?扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長，就可求圓的半徑，其截面是一個以底是直徑，?圓錐母線為腰的等腰三角形.解：(1)如圖所示：(2)如圖所示:

V20^=20^rAr=10fR=30AD=,900-100=20>/2r??S里數(shù)面二—xBCxAD2=-x2x10x20^=20072(cm2)2因此，扇形的弧長是20〃cm卷成圓錐的軸截面是20072cm2.1、理解圓的基本概念與性質(zhì)。2、求線段與角和弧的度數(shù)。3、圓與相似三角形、全等三角形、三角函數(shù)的綜合題。4、直線和圓的位置關(guān)系。5、圓的切線的性質(zhì)和判定。6、三角形內(nèi)切圓以及三角形內(nèi)心的概念。7、圓和圓的五種位置關(guān)系。8、兩圓的位置關(guān)系與兩個圓半徑的和或差與圓心距之間的關(guān)系式。兩圓相切、相交的性質(zhì)。9、掌握弧長、扇形面積計(jì)算公式。10、理解圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖。11、掌握圓柱、圓錐的側(cè)面積和全面積計(jì)算?？疾槟繕?biāo)一、主要是指圓的基礎(chǔ)知識，包括圓的對稱性，圓心角與弧、弦之間的相等關(guān)系，圓周角與圓心角之間的關(guān)系，直徑所對的圓周角是直角，以及垂徑定理等內(nèi)容。這部分內(nèi)容是圓的基礎(chǔ)知識，學(xué)生要學(xué)會利用相關(guān)知識進(jìn)行簡單的幾何推理和幾何計(jì)算例1、如圖，AB是00的直徑，BC是、C弦，OO_L8C±E,交BC于D.(1)請訓(xùn)Xg不同類型的正確結(jié)論；(2) =2,求。O的半徑.解題思路：運(yùn)用圓的垂徑定理等內(nèi)容解：(1)不同類型的正確結(jié)論有：①BE=CE;?弧BD=弧CD?ZBED=90Q?ZBOD=ZA\?AC//OD,?AC±BC;?OE2+BE2=OB2;?Saabc =BCOE;⑨/\BOD是等腰三角形，(2)VODA.BC, ：.BE=CE=-BC=4.2設(shè)。O的半徑為R,則OE=OD~DE=R—2.在RMOEB中，由勾股定理得OE2+BE?=OB2,即(R-2)2+42=R2.解得R=5. /.O。的半徑為5例2.已知：如圖等邊6c內(nèi)接于。O,點(diǎn)夕是劣弧PC上的一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，延長BP至D,使3D=AP,連結(jié)