2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二部分考點(diǎn)培優(yōu)訓(xùn)練考點(diǎn)三十一余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

三十一余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例“基礎(chǔ)落實(shí)練? 3（）分鐘60分一、單選題（每小題5分，共20分）.如圖，兩座燈塔4和6與海岸觀察站。的距離相等，燈塔力在觀察站南偏西40°,燈塔6在觀察站南偏東60°,則燈塔力在燈塔8的（）A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東80° D.南偏西80°【解析】選D.由條件及題干圖知，NCAB=/煙=40°,又N6徵=60°,所以/物=30°所以/的=10°,因此燈塔月在燈塔3的南偏西80°..已知力船在燈塔。的北偏東85°方向且力到。的距離為2km,6船在燈塔。的西偏北25°方向且6到。的距離為小km,則46兩船的距離為（ ）A.y[13km B.y[15kmC.2y/3km D.3y/2km【解析】選A.畫出圖形如圖所示，北I北I由題意可得/道方=（90°-25°）+85°=150°,又47=2,BC=y[i.在△/B。中，由余弦定理可得力#=月初一247?cos150°=13,所以,即A,6兩船的距離為415km.3.一船以每小時(shí)15mkm的速度向東行駛，船在力處看到一燈塔6在北偏東60°,行駛4小時(shí)后，船到達(dá)。處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°,這時(shí)船與燈塔的距離為（）A.60km B.60\y2km3O\/2km30km3O\/2km30km【解析】選A.畫出圖形如圖所示，在△力應(yīng)1中,/力。=30°,40=4X15【解析】選A.畫出圖形如圖所示，在△力應(yīng)1中,/力。=30°,40=4X15*=64，AB=45。，由正弦定理得二BC

sinABAC所以仁sinS6Mxsin30°

sin45°=60,所以船與燈塔的距離為60km.4.某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°6Mxsin30°

sin45°=60,所以船與燈塔的距離為60km.15°第一排距離為5m米（如圖所示），旗桿底部與第一排在同一水平面上.則旗桿的高度為（）15°第一排A.1叭履米B.15米C.20米D.2073米【解析】選B.如圖所示，由題意得，N4￡C=45°,ZJ6F=180°-60°-15°=105°,所以NE4占180°-105°-45°=30°,由正弦定理可知.‘sinZ.EACsinZ.AECCE l所以47=一~~777?sinN4EC=g3（米），sinN.EAC v所以在Rt△力比'中，AB=AC-sinN4CB=10y[iX坐=15（米），即旗桿的高度為15米.最后卜桿?排砂"」15’。痂二排B二、多選題（每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）5.（2022?福州模擬）如圖，A,6兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且4月兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測出4B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C,D,若測得當(dāng)km,4ADB=/CDB=30°,N4W=60°,NACB=45°,則下列計(jì)算結(jié)果正確的有（）DTOC\o"1-5"\h\zA.AC=^~kmB.BC=~~km2 4omC./DBC=45°D. km【解析】選CD.在△靦中，/DBC=180°-ZCDB-ZACD-ZACB=45°,坐 r由正弦定理得6。==~,sinZ.BDC——~：匚。?sin30°=幸（km）.sinZz/oC sin45 4在切中，因?yàn)?ADC=/ADB+/CDB=60°,N477=60°,、巧所以/的a60°,所以弓-（km）,在△力比'中，由余弦定理得：AE>=AC+BC-2AC*BCcos45°=7 —2X坐X幸X坐4o ， 4 /_3=8?所以擊中（km）..（2022?重慶模擬）重慶是一座網(wǎng)紅城市，外地游客來重慶必到洪崖洞、千廝門大橋打卡.如圖，我校測繪興趣小組為測量河對岸千廝門大橋橋墩底部到頂端的高度力氏選取與點(diǎn)6在同一水平面內(nèi)的兩點(diǎn)。與。（8,C,〃不在同一直線上），畫一條基線，測得Q=s,測繪興趣小組利用經(jīng)緯儀可測得的角有：/ACB,/ACD,4BCD,/ADB,NADC,4BDC,則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計(jì)算出45的高度的是（）

'DA./ACB,/BCD,4BDCB.￡，/ACB,/BCD,N.ACDc./ACB,/ACD,/ADCD./ACB,/BCD,乙'DA./ACB,/BCD,4BDCB.￡，/ACB,/BCD,N.ACDc./ACB,/ACD,/ADCD./ACB,/BCD,乙ADC【解析】選ACD.A：根據(jù)s,/BCD,ABDC,由正弦定理求比；再結(jié)合N/=可求45的高度,正確;B：茬MACD, 徵中都已知一邊一角，不能求出其他角或邊，無法求力6的高度，錯(cuò)誤;C：根據(jù)s,Z.ACD,Z.ADC,由正弦定理求47,再結(jié)合N4%可求44的高度，正確;D：由N力笫，N靦可得：cosZJfl9=cos/ACB?cos/BCD,結(jié)合N4T由正弦定理求47,再由N4=可求46的高度，正確.三、填空題(每小題5分，共10分).某同學(xué)騎電動(dòng)車以24km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點(diǎn)4處測得電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)6處，測得電視塔S在電動(dòng)車的北偏東75°方向上,則點(diǎn)8與電視塔的距離是則點(diǎn)8與電視塔的距離是km.15【解析】如題圖'由題意知48=24X而=6(km),在△45S中，N劭S=30°,46=6km,N48S=180°-75°=105°,所以N4M=45°,由正弦定理知BSABsin由正弦定理知BSABsin30°sin45°cri,八AB'sin30° 「八、所以BS=sin45°—=3^(km)-答案：3^2.如圖所示，一艘海輪從A處出發(fā)，測得燈塔在海輪的北偏東15°方向，與海輪相距20nmile的8處,海輪按北偏西60°的方向航行了30min后到達(dá)。處,又測得燈塔在海輪的北偏東75°的方向上，則海輪的速度為nmile/min.【解析】由已知得/〃?=45°,Z5=60°,由正弦定理得ACABsinBsinZ.ACB所以由正弦定理得ACABsinBsinZ.ACB所以AC=AB*sinBsin/ACB20Xsin600

sin45°=1076，所以海輪航行的速度為與?=半(nmile/min).JUO答案:幸四、解答題(每小題10分，共20分).在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45°+a方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角。的正弦值.【解析】如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在。處追上藍(lán)方的小艇,則力仁14x,BC=\Qx,/440=120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2=12?+(IO*)?一240xcos120°,解得x=2.故4C=28,比'=20.nr ac根據(jù)正弦定理得示二定所以sin20sin120°5所以sin20sin120°5小a= - =-—2814所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí),5、夜角。的正弦值為宣.如圖，當(dāng)甲船位于力處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20nmile的8處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救.甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30。，相距10nmile的。處的乙船.|北|北(1)求處于C處的乙船和遇險(xiǎn)漁船間的距離;(2)設(shè)乙船沿直線笫方向前往8處救援,其方向與萬成〃角，求f(x)=sin""sinx+乎cos2"cosx(x￡R)的值域.【解析】(1)如圖，連接3。,|北c|北c由余弦定理得BC=AE+AC-2ABXACcosZCAB=700.所以a1=10小，即所求距離為1麗nmile./、EdSin0sinNCABcri,.八百⑵因?yàn)?=~nc，所以sin0=a-,Ad dl \lI因?yàn)?。是銳角，所以cos0=\片，所以f（x）=sin2sinx+~-cos29cosx=,sinx+~~cos sin（x+豆）（xGR）.所以f（x）的值域?yàn)橐黄?，??素養(yǎng)提升練 2。分鐘3（）分.（多選題）（2022?濰坊模擬）甲，乙兩樓相距20m,從乙樓底仰望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°,則下列說法正確的有（）A.甲樓的高度為2MmB.甲樓的高度為1項(xiàng)mC.乙樓的高度為第mD.乙樓的高度為1琲m【解析】選AC.如圖所示，在RtZU朋中，/月初=60。，BD=20m,所以AD=BDtan60°=2073m,BD,、AB= ^Ao—=40(m)9cosbO在△力夕。中，設(shè)AC=BC=x,由余弦定理得：AE=AC+BC—2AC?BC?cos/ACB,即1600=^+^+^,

解得：*=呼，則乙樓的高度為呼m..（能力挑戰(zhàn)題）如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45°方向600km4處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為（）北碼頭o453'：'、、、'、、、「”4①熱帶應(yīng)意中心A.14hB.15hC.16hD.17h【解析】選B.記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A,th后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)點(diǎn)6位置，在4以6中，＜24=600km,AB=20tkm,ZOAB=45°,由余弦定理得C!6i=6002+400t2-2X20tX600X斗，令組W4502,g|J412-120^2t+1575^0,解得竺g二更 30^|+15,所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為"跳坦3M所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為"跳坦3M—15 ,、——=15(h)..如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到［處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂〃在西偏北30°的方向上，行駛600nl后到達(dá)月處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°,則此山的高度CD=m.【解析】由題意，在△力比'中，/胡片30°,N48C=180°-75°=105°,故N〃?=45又46=600m,故由正弦定理得.6)。=. ,sin45sin30解得為C=30S\pm.在口△M?中，CD=BC*tan30°=300^2Xg=10琲(m).答案：100^6.如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡”1的頂上有一高度為25m的建筑物切，為了測量該

山坡相對于水平地面的坡角夕，在山坡的［處測得/的C=15°,沿山坡前進(jìn)50m到達(dá)6處,又測得N〃%-45°,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos0=.【解析】由/%C=15°,NM7=45°,可得/物=135°,NADB=30°.在劭中，根據(jù)正弦定理可得BDsin15AB BDBDsin15sinAADB=sinABAD'即sin30°所以劭=100sin15°=100Xsin（45°-30°）CD bd 25=25（乖—木）.在■△BCD中'由正弦定理得sin4DBC=sin/BCD'即sin45°2525（加一弧

sin/BCD,解得sin -1.所以cos0=cos(NBCD-9G)=sin/BCD=小-1.答案：小-1.鄭州市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地，如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為△46G/XABD,經(jīng)測量49=〃=7米，BC=5米，］。=8米，ZC=ZD.(1)求的長度；(2)若不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用最低(請說明理由)