經(jīng)濟應用數(shù)學課件4-2-

§4.1

定積分的概念與性質(zhì)

§4.3

積分的基本公式

第四章積分及其應用

§4.4

換元積分法

§4.2

不定積分的概念與性質(zhì)

§4.5

分部積分法

§4.6

無限區(qū)間上的反常積分

§4.7

積分學的應用

學習目標

教學建議§4.1定積分的概念與性質(zhì)§4.3積分1

一.不定積分的概念

二.不定積分的性質(zhì)§4.2不定積分的概念與性質(zhì)

一.不定積分的概念二.不定積分的性質(zhì)2

乘法

一.不定積分的概念1.原函數(shù)定義

微分法

逆運算

積分法

在微分學中,我們所研究的問題是尋求已知函數(shù)的導數(shù).

但在許多實際問題中,常常需要研究相反問題,就是已知函數(shù)的導數(shù),求原來的函數(shù).

除法

逆運算乘法一.不定積分的概念1.原函數(shù)定3案例已知曲線在橫坐標為處的切線斜率為且曲線過點,求該曲線的方程.

分析

這是已知曲線的切線斜率,求曲線方程的問題.

又由導數(shù)的幾何意義,切線斜率我們已經(jīng)知道,也有等式

若是任意常數(shù),于是我們所求的曲線方程為依題設,切線斜率

案例已知曲線在橫坐標為4案例已知曲線在橫坐標為處的切線斜率為且曲線過點,求該曲線的方程.

我們所求的曲線方程為

這是一族拋物線

而我們要求的是在這一族拋物線中,過點的那一條,即當時,

我們可以用這個條件來確定任意常數(shù),即

從而,所求的曲線方程為案例已知曲線在橫坐標為5

積分法逆運算

微分法

微分法是研究如何從已知函數(shù)求出其導函數(shù).如已知函數(shù)要求它的導函數(shù):而案例中的問題則是:已知函數(shù),要求一個函數(shù),使其導函數(shù)恰是:已知函數(shù),要求它的導函數(shù)

已知導函數(shù),要還原函數(shù)逆問題積分法逆運算微分法微分法是研究如何從已知函數(shù)求出其導6稱是函數(shù)的一個原函數(shù)

是任意常數(shù)

是函數(shù)的無窮多個原函數(shù)

由此可知,一個函數(shù)若有原函數(shù),則它必有無窮多個原函數(shù).稱是函數(shù)的一個原函數(shù)是71.原函數(shù)定義定義4.2(原函數(shù)定義)在某區(qū)間上,若有

或

則稱函數(shù)是函數(shù)在該區(qū)間上的一個原函數(shù).

例如,在區(qū)間上,有所以是在該區(qū)間上的一個原函數(shù).

原函數(shù)的特性

若函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù),即,

則對任意的常數(shù),函數(shù)族也是函數(shù)的原函數(shù),且包括了函數(shù)的所有原函數(shù).1.原函數(shù)定義定義4.2(原函數(shù)定義)在某區(qū)間上82.不定積分定義定義4.3(不定積分定義)

函數(shù)的所有原函數(shù),稱為的不定積分,記作

被積表達式

被積函數(shù)

積分變量

積分號由不定積分的定義知

求被積函數(shù)的不定積分,關鍵是求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)然后再加上任意常數(shù)其中

2.不定積分定義定義4.3(不定積分定義)函數(shù)9練習1前述

解

因

有

因

有

求下列不定積分:

(1)

(2)

().(1)被積函數(shù)

因為

故

于是

特別地

練習1前述解因有因有求下列不定積分:(1)(10練習1解

求下列不定積分:

(2)

().(2)被積函數(shù)

由于

故

如

練習1解求下列不定積分:(2)(11如

如12練習2解

求不定積分被積函數(shù)

當時無意義.

當時,因為

所以當時,因為

所以將上面兩式合并在一起寫,當時,就有練習2解求不定積分被積函數(shù)當時無13

二.不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1求不定積分與求導數(shù)或求微分互為逆運算

性質(zhì)2不定積分運算性質(zhì)

或

或

這些性質(zhì)均可由不定積分的定義得到.

二.不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1求不定積14練習3求下列不定積分:

解(1)(1)

(2)

由不定積分的運算性質(zhì)解(2)由不定積分的運算性質(zhì)練習3求下列不定積分:解(1)(1)(2)由不定積分的15

§4.1

定積分的概念與性質(zhì)

§4.3

積分的基本公式

第四章積分及其應用

§4.4

換元積分法

§4.2

不定積分的概念與性質(zhì)

§4.5

分部積分法

§4.6

無限區(qū)間上的反常積分

§4.7

積分學的應用

學習目標

教學建議§4.1定積分的概念與性質(zhì)§4.3積分16

一.不定積分的概念

二.不定積分的性質(zhì)§4.2不定積分的概念與性質(zhì)

一.不定積分的概念二.不定積分的性質(zhì)17

乘法

一.不定積分的概念1.原函數(shù)定義

微分法

逆運算

積分法

在微分學中,我們所研究的問題是尋求已知函數(shù)的導數(shù).

但在許多實際問題中,常常需要研究相反問題,就是已知函數(shù)的導數(shù),求原來的函數(shù).

除法

逆運算乘法一.不定積分的概念1.原函數(shù)定18案例已知曲線在橫坐標為處的切線斜率為且曲線過點,求該曲線的方程.

分析

這是已知曲線的切線斜率,求曲線方程的問題.

又由導數(shù)的幾何意義,切線斜率我們已經(jīng)知道,也有等式

若是任意常數(shù),于是我們所求的曲線方程為依題設,切線斜率

案例已知曲線在橫坐標為19案例已知曲線在橫坐標為處的切線斜率為且曲線過點,求該曲線的方程.

我們所求的曲線方程為

這是一族拋物線

而我們要求的是在這一族拋物線中,過點的那一條,即當時,

我們可以用這個條件來確定任意常數(shù),即

從而,所求的曲線方程為案例已知曲線在橫坐標為20

積分法逆運算

微分法

微分法是研究如何從已知函數(shù)求出其導函數(shù).如已知函數(shù)要求它的導函數(shù):而案例中的問題則是:已知函數(shù),要求一個函數(shù),使其導函數(shù)恰是:已知函數(shù),要求它的導函數(shù)

已知導函數(shù),要還原函數(shù)逆問題積分法逆運算微分法微分法是研究如何從已知函數(shù)求出其導21稱是函數(shù)的一個原函數(shù)

是任意常數(shù)

是函數(shù)的無窮多個原函數(shù)

由此可知,一個函數(shù)若有原函數(shù),則它必有無窮多個原函數(shù).稱是函數(shù)的一個原函數(shù)是221.原函數(shù)定義定義4.2(原函數(shù)定義)在某區(qū)間上,若有

或

則稱函數(shù)是函數(shù)在該區(qū)間上的一個原函數(shù).

例如,在區(qū)間上,有所以是在該區(qū)間上的一個原函數(shù).

原函數(shù)的特性

若函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù),即,

則對任意的常數(shù),函數(shù)族也是函數(shù)的原函數(shù),且包括了函數(shù)的所有原函數(shù).1.原函數(shù)定義定義4.2(原函數(shù)定義)在某區(qū)間上232.不定積分定義定義4.3(不定積分定義)

函數(shù)的所有原函數(shù),稱為的不定積分,記作

被積表達式

被積函數(shù)

積分變量

積分號由不定積分的定義知

求被積函數(shù)的不定積分,關鍵是求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)然后再加上任意常數(shù)其中

2.不定積分定義定義4.3(不定積分定義)函數(shù)24練習1前述

解

因

有

因

有

求下列不定積分:

(1)

(2)

().(1)被積函數(shù)

因為

故

于是

特別地

練習1前述解因有因有求下列不定積分:(1)(25練習1解

求下列不定積分:

(2)

().(2)被積函數(shù)

由于

故

如

練習1解求下列不定積分:(2)(26如

如27練習2解

求不定積分被積函數(shù)

當時無意義.

當時,因為

所以當時,因為

所以將上面兩式合并在一起寫,當時,就有練習2解求不定積分被積函數(shù)當