動(dòng)力學(xué)全套課件

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程9.1

動(dòng)力學(xué)的任務(wù)9.2

動(dòng)力學(xué)的基本定律9.3

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

9.1動(dòng)力學(xué)的任務(wù)動(dòng)力學(xué)研究作用于物體上的力和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化之間的關(guān)系。

在動(dòng)力學(xué)中經(jīng)常用到的兩種力學(xué)模型是質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系。所謂質(zhì)點(diǎn)是指具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計(jì)的物體。動(dòng)力學(xué)可分為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)，前者是后者的基礎(chǔ)。動(dòng)力學(xué)的內(nèi)容極為豐富，并且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展在不斷發(fā)展。

動(dòng)力學(xué)在工程技術(shù)中的應(yīng)用也極為廣泛,例如各種機(jī)器、機(jī)構(gòu)等的設(shè)計(jì)、航空航天技術(shù)等，都要用到動(dòng)力學(xué)的知識(shí)。9.2動(dòng)力學(xué)的基本定律

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)是三個(gè)基本定律，這些定律是牛頓(1642—1727)在總結(jié)前人，特別是伽利略研究成果的基礎(chǔ)上提出來(lái)的,稱為牛頓三定律。

牛頓第一定律:質(zhì)點(diǎn)如不受力作用,則保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變,即保持靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

慣性:不受力作用（包括受平衡力系作用）的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持不變的性質(zhì)稱為慣性。勻速直線運(yùn)動(dòng)稱為慣性運(yùn)動(dòng)。

第二定律(力與加速度之間的關(guān)系的定律)：質(zhì)點(diǎn)因受力作用而產(chǎn)生加速度，其大小與作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小成正比而與質(zhì)量成反比?；蛘哔|(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。即

第二定律建立了質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量、作用于質(zhì)點(diǎn)的力和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度三者之間的關(guān)系，并由此可直接導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，它是解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題最根本的依據(jù)。上式表明，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量越大，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)越不容易發(fā)生改變，也就是質(zhì)點(diǎn)的慣性越大。因此，質(zhì)量是物體慣性的度量。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到幾個(gè)力的作用時(shí)，式中的應(yīng)為此匯交力系的合力，此時(shí)，第二定律可表示為：

在國(guó)際單位制(SI)中，力的單位是牛頓。質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)，獲得1m/s2的加速度時(shí)，作用于該質(zhì)點(diǎn)的力為1N(牛頓)，即

牛頓和達(dá)因的換算單位是

第三定律(作用與反作用定律)：兩個(gè)物體間的作用力與反作用力總是大小相等、方向相反、沿著同一直線，且同時(shí)分別作用在兩個(gè)物體上。第三定律說(shuō)明了力的產(chǎn)生是由于兩個(gè)物體相互作用而引起的。在精密儀器工業(yè)中，也用厘米克秒制(CGS)。力的單位是dyn(達(dá)因)，即9.3

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程9.3.1

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程三種表示法

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，在諸力F1,F2,…,Fn的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，如圖所示。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程為而故有

上式稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量式。將上式投影到直角坐標(biāo)軸上，有

稱為直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。將矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程投影到自然坐標(biāo)軸上，有稱為自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。9.3.2

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類(lèi)基本問(wèn)題1．第一類(lèi)問(wèn)題已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力。求解這類(lèi)問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。求解這類(lèi)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的步驟可大致歸納如下：(1)選取研究對(duì)象，畫(huà)受力圖；(2)分析運(yùn)動(dòng)，根據(jù)給定的條件，分析某瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況；(3)根據(jù)研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)情況，列質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程；(4)求解未知量

2．第二類(lèi)問(wèn)題已知作用于質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。求解這類(lèi)問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)求積分的運(yùn)算，積分時(shí)出現(xiàn)的積分常數(shù)必須由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件(質(zhì)點(diǎn)的初位置和初速度)來(lái)確定求解第二類(lèi)問(wèn)題時(shí)，求解的步驟和第一類(lèi)問(wèn)題求解的步驟基本相同。【例9-1】質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)M在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知其運(yùn)動(dòng)方程為x=acosωt，y=bsinωt，其中a、b和ω均為常數(shù)，求質(zhì)點(diǎn)M所受到的力。

解：應(yīng)用直角坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，可得質(zhì)點(diǎn)所受的力在x、y

軸上的投影的代數(shù)和分別為【例9-2】質(zhì)量為1kg的重物M，系于長(zhǎng)度為l=0.3m的線上，線的另一端固定于天花板上的D點(diǎn)，重物在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)而使懸線成為一圓錐面的母線，且懸線與鉛直線間的夾角恒為60o，如圖所示，試求重物的速度和線上的張力。

解：選擇重物M為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。M的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周，選用自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

由第一式可知，v=常數(shù)

，聯(lián)立求解，可得【例9-3】如圖所示的單擺，擺長(zhǎng)為l，擺錘的質(zhì)量為m，初始時(shí)將擺錘拉到最大偏角，然后無(wú)初速度釋放，試求單擺的運(yùn)動(dòng)方程。

解：選擇擺錘為研究對(duì)象，分析受力如圖所示。擺錘的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周，選用自然坐標(biāo)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

而，，代入上式，可得，

又因?yàn)?，上式可表示為，上面的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫(xiě)為由于引入，則上式可表寫(xiě)為它的通解為由初始條件：，，可得，

，

這樣單擺的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

這是一個(gè)周期函數(shù)，周期為

【例9-4】試求脫離地球引力場(chǎng)的宇宙飛船所需的最小初速度。

解：取地球中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸x垂直向上。不妨設(shè)地球的半徑為R，地球的質(zhì)量為M，飛船的質(zhì)量為m。取飛船A為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。F是地球?qū)︼w船的引力，可表示為在地球的表面，F(xiàn)為飛船的重力，即有

可得飛船的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

即由于，代入上式，可得兩邊同時(shí)積分，可得

欲使飛船脫離地球引力范圍，則當(dāng)x→∞

時(shí)，v≥0。取v=0，R=6370km，g=9.8m/s2，可得

動(dòng)能定理12.1

力的功12.2

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能12.3

動(dòng)能定理12.4

功率、功率方程及機(jī)械效率12.5

勢(shì)力場(chǎng)、位能及機(jī)械能守恒定律12.6

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用12.1

力的功12.1.1

常力的功

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在常力F作用下沿直線從點(diǎn)M1運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M2有一位移s，如圖所示，則力F所做的功為

式中，α為力F與力的作用點(diǎn)的位移s之間的夾角。上式可寫(xiě)成

當(dāng)α<90o時(shí)，W>0，力做正功；當(dāng)α>90o時(shí)，W<0，力做負(fù)功；當(dāng)α=90o時(shí)，W=0,力不做功或做功為零。功是代數(shù)量，功的單位是J(焦耳)，1J=1N?m。

12.1.2

變力的功

設(shè)有質(zhì)點(diǎn)M在變力F的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，如圖所示。由于F是變力，因而把M1M2分成無(wú)數(shù)微小的位移，于是力在微小位移dr中所做的功稱為力的元功,即

作用于物體的力使物體從點(diǎn)M1移動(dòng)到M2，在此位移過(guò)程中做的功為，

由于，，故有12.1.3

常見(jiàn)力的功1．重力的功

設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的重力為mg，沿曲線由M1運(yùn)動(dòng)到M2，如圖所示。因?yàn)橹亓υ谌齻€(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功為式中，h為質(zhì)點(diǎn)始點(diǎn)位置M1與終點(diǎn)位置M2的高度差。

重力的功等于質(zhì)點(diǎn)的重量與質(zhì)點(diǎn)始末位置高度差的乘積，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。若質(zhì)點(diǎn)下降，重力的功為正；若質(zhì)點(diǎn)上升，重力的功為負(fù)。

對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，重力的功等于各質(zhì)點(diǎn)的重力功的和，即

上式也可寫(xiě)為2．彈力的功，

設(shè)有一根剛度系數(shù)為k，自由長(zhǎng)為l0的彈簧,

一端固定于點(diǎn)O,

另一端與物體相連接，如圖所示。求物體由M1移動(dòng)到M2過(guò)程中，彈力F所做的功。

彈性力為彈性力的元功為物體由M1移動(dòng)到M2過(guò)程中，彈力F所做的功，

引入，分別為兩位置M1和M2彈簧的變形，則3．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功

設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上一點(diǎn)處作用有一個(gè)力F，如圖所示。剛體轉(zhuǎn)過(guò)，作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的元功可表示為

而Mz(F)=FRcosθ，故元功又可表示為

剛體由初始位置轉(zhuǎn)到時(shí)，作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力所做的功可表示為當(dāng)Mz為常數(shù)時(shí)，上式可表示為【例12-1】質(zhì)量為m=10kg的物體，放在傾角為α=30o的斜面上，用剛度系數(shù)為k=100N/m的彈簧系住，如圖所示。斜面與物體間的動(dòng)摩擦系數(shù)f=0.2，試求物體由彈簧原長(zhǎng)位置M0沿斜面運(yùn)動(dòng)到M1時(shí)，作用于物體上的各力在路程s=0.5m上的功及合力的功。

解：取物體M為研究對(duì)象，作用于M上的有重力mg，斜面的法向反力FN，摩擦力F'以及彈簧力F，各力所做的功及合力的功為

12.2

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能12.2.1

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能12.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，某瞬時(shí)的速度為v，則質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量與其速度平方乘積的一半，稱為質(zhì)點(diǎn)在該瞬時(shí)的動(dòng)能，以T表示，即

動(dòng)能是一個(gè)永為正值的標(biāo)量，其單位是J(焦耳)，與功的單位相同。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的總和為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，記作1．剛體平動(dòng)的動(dòng)能

剛體是由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系。剛體做不同的運(yùn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的速度分布不同，剛體的動(dòng)能應(yīng)按照剛體的運(yùn)動(dòng)形式來(lái)計(jì)算。剛體平動(dòng)時(shí)，其內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度都相同，其動(dòng)能為

式中，m=Σmi為剛體的質(zhì)量，即做平動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心速度平方乘積的一半。2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，某瞬時(shí)的角速度為ω，如圖所示。剛體內(nèi)任一點(diǎn)的質(zhì)量為mi，離轉(zhuǎn)軸的距離為ri，速度為vi=ωri，可得即

式中，為剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角速度平方乘積的一半。

3．平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

剛體做平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量為m，某瞬時(shí)的速度瞬心為P，質(zhì)心為C，角速度為ω，如圖所示。此時(shí)可視剛體繞瞬心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)能為

上式中的JP是剛體對(duì)于瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如點(diǎn)C為剛體的質(zhì)心，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理，有

式中，JC為剛體對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，vC為質(zhì)心的速度，即做平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能，等于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能的和。

解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，其中重物做平動(dòng)，滑輪做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滾子做平面運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的動(dòng)能為【例12-2】滾子A的質(zhì)量為m，沿傾角為α的斜面做純滾動(dòng)，滾子借繩子跨過(guò)滑輪B連接質(zhì)量為m1的物體，如圖所示。滾子與滑輪質(zhì)量相等，半徑相同，皆為均質(zhì)圓盤(pán)，此瞬時(shí)物體的速度為v，繩不可伸長(zhǎng)，質(zhì)量不計(jì)，求系統(tǒng)的動(dòng)能。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，且有，代入上式有12.3

動(dòng)能定理12.3.1

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理牛頓第二定律可表示為上式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘dr，可得即mv?dv=F?

dr上式也可表示為

上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力的元功。兩邊同時(shí)積分，可得

即

上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式，即質(zhì)點(diǎn)由初始位置運(yùn)動(dòng)到終了位置質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力在這段位移上所做的功。12.3.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

對(duì)于由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，對(duì)第每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都應(yīng)用動(dòng)能定理，然后將n個(gè)方程兩邊相加，可得即

上式稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系全部力所做的元功的和。

兩邊同時(shí)積分，可得即

上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式，即質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這段過(guò)程中所做功的和。

12.3.2

動(dòng)能定理的實(shí)例12.3.3

理想約束及內(nèi)力的功1．理想約束2．內(nèi)力的功

作用于質(zhì)點(diǎn)系的力既有外力，也有內(nèi)力，一般情況下，內(nèi)力做功的和不為零。如汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的汽缸內(nèi)氣體對(duì)活塞和汽缸的作用力都是內(nèi)力，內(nèi)力功的和不等于零，內(nèi)力的功使汽車(chē)的動(dòng)能增加。

約束反力做功等于零的約束稱為理想約束。光滑面約束、光滑鉸鏈、固定端約束及不可伸長(zhǎng)的繩索約束都是理想約束。

解：選擇重物A和鼓輪組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，分析受力和運(yùn)動(dòng)如圖所示。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理有【例12-3】在鉸車(chē)的鼓輪上作用一個(gè)常力偶，其矩為M，鼓輪半徑為r，重量為P，如圖所示。繞在鼓輪上的鋼繩的一端A系一重量為Q的重物，沿著與水平傾角為α的斜面上升。試求鉸車(chē)的鼓輪轉(zhuǎn)過(guò)

角時(shí)重物上升的速度與加速度。重物與斜面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f，鋼繩重量不計(jì)，鼓輪可視為均質(zhì)圓柱體，系統(tǒng)初始靜止。由于系統(tǒng)初始靜止，故有

鉸車(chē)的鼓輪轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為

鉸車(chē)的鼓輪轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)，系統(tǒng)所受的全部力做功為

代入動(dòng)能定理，有(a)即可求得重物上升的速度

對(duì)式(a)兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得

求出重物上升的加速度為

【例12-4】鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱沿斜坡上拉，已知鼓輪的半徑為R1，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為θ，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心C經(jīng)過(guò)路程s時(shí)的速度。

解：由于系統(tǒng)初始靜止，故有

T1=0

圓柱中心C經(jīng)過(guò)路程s時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為

圓柱中心C經(jīng)過(guò)路程s時(shí)，系統(tǒng)所受全部力做功為

代入動(dòng)能定理，有即可求得圓柱中心C上升的速度【例12-6】質(zhì)量為m1、m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩子又分別繞在半徑為r1、r2并裝在同一軸的兩鼓輪上。已知兩鼓輪對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO,系統(tǒng)在重力作用下產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，求鼓輪的角加速度。

解：取整體為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩為系統(tǒng)所受全部外力對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理為鼓輪的角加速度為

本題也可采用動(dòng)能定理求解未知量。由于系統(tǒng)初始靜止，故初始時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為鼓輪繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)角度時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為

鼓輪繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)角度時(shí)，只有兩重力m1g和m2g做功，它們做功的和為由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理T2-T1=ΣWi，有兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得鼓輪的角加速度

12.4

功率、功率方程及機(jī)械效率12.4.1

功率

設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)上的力為F，在dt時(shí)間內(nèi)力F的元功為δW，質(zhì)點(diǎn)速度為v，則功率P可表示為

上式表明：作用于質(zhì)點(diǎn)上力的功率，等于力在速度方向上的投影與速度的乘積。功率的單位是W(瓦特)，1W=1J/s。

如果功是用力矩(或力偶矩)計(jì)算的，由元功表達(dá)式的關(guān)系式有

上式表明：作用于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力(或力偶)的功率，等于力對(duì)軸的矩(或力偶矩)與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。

12.4.2

功率方程取質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式，兩端除以dt，得

上式稱為功率方程，即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。上式也可改寫(xiě)為

在工程中，把有效功率與輸入功率的比值稱為機(jī)器的機(jī)械效率，用η表示，即

式中，有效功率。可見(jiàn)，機(jī)械效率表明機(jī)器對(duì)輸入功率的有效利用程度，它是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量好壞的指標(biāo)之一。12.5

勢(shì)力場(chǎng)、位能及機(jī)械能守恒定律12.5.1

勢(shì)力場(chǎng)

若質(zhì)點(diǎn)在空間所受力的大小和方向完全由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置所決定,則此空間稱為力場(chǎng)，質(zhì)點(diǎn)所受的力稱為場(chǎng)力。若場(chǎng)力所做的功只與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始和終止位置有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程無(wú)關(guān)，則此力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)或保守力場(chǎng),質(zhì)點(diǎn)所受的力稱為有勢(shì)力或保守力。12.5.2

位能

在勢(shì)力場(chǎng)中，物體從位置M運(yùn)動(dòng)到任選的位置M0，有勢(shì)力所做的功稱為物體在點(diǎn)M相對(duì)于點(diǎn)M0的位能。用V表示。

點(diǎn)M0的位能稱為零位能，M0稱為零位能點(diǎn)。幾種常見(jiàn)的位能如下。

1．重力位能

在重力場(chǎng)中，設(shè)坐標(biāo)軸如圖所示。取M0為零位能點(diǎn)，則點(diǎn)M的位能為

2．彈性力位能

設(shè)彈簧的一端固定，另一端與物體連接，如圖所示。彈簧的剛度系數(shù)為k，取M0為零位能點(diǎn)，則點(diǎn)M的位能為若以自然位置為零位能點(diǎn)，即δ0=0，則有

12.5.3

機(jī)械能守恒定律

質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時(shí)的動(dòng)能和位能的代數(shù)和稱為機(jī)械能。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的初始和終止瞬時(shí)的動(dòng)能分別為T(mén)1、T2，所受力在這過(guò)程中所做的功為W12，根據(jù)動(dòng)能定理有如系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)中，只有有勢(shì)力做功，而有勢(shì)力的功可用位能計(jì)算，即

故有移項(xiàng)后得

上式就是機(jī)械能守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即質(zhì)點(diǎn)系僅在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)，其機(jī)械能保持不變。

【例12-7】重量為W，半徑為R的均質(zhì)圓柱形滾子可沿與水平成傾角α的斜面做作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，如圖所示。在滾子中心C連接一剛度系數(shù)為k的彈簧，設(shè)初始時(shí)滾子處于靜止，此時(shí)彈簧無(wú)變形。試求滾子中心C沿斜面經(jīng)過(guò)路程s

時(shí)的速度。

解：取滾子為研究對(duì)象。作用于滾子上做功的力有重力和彈簧力，它們都是有勢(shì)力，因而屬于機(jī)械能守恒問(wèn)題。因?yàn)槌跏己徒K止瞬時(shí)的動(dòng)能分別為

選定滾子靜止時(shí)的位置為重力和彈簧位能的零位能位置，于是初始和終止的位能為根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有

解得滾子中心C沿斜面經(jīng)過(guò)路程s時(shí)的速度大小為

12.6

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用

(2)動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)和動(dòng)量矩定理聯(lián)合應(yīng)用。先用動(dòng)量矩定理求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，后用動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)求系統(tǒng)的約束反力。

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理。若遇到已知主動(dòng)力而欲求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)及約束反力，則需要綜合應(yīng)用這些定理。一般常用方法如下：

(1)

動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)和動(dòng)能定理聯(lián)合應(yīng)用。先用動(dòng)能定理求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，后用動(dòng)量定理(質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理)求系統(tǒng)的約束反力。【例12-8】如圖所示為高爐上料卷?yè)P(yáng)機(jī)，卷筒繞O1軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，半徑為R，在其上作用一力偶矩M。已知料斗重量為P，運(yùn)動(dòng)時(shí)受到阻力作用，阻力系數(shù)為f。滑輪和鋼繩的質(zhì)量以及軸承摩擦均不計(jì)，系統(tǒng)初始靜止。求：(1)當(dāng)料斗走過(guò)距離s時(shí)的速度和加速度；(2)鋼繩的拉力；(3)軸承O1的動(dòng)反力。

解：(1)根據(jù)動(dòng)能定理求料斗走過(guò)距離s時(shí)的速度和加速度。取整體為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。由于系統(tǒng)初始狀態(tài)為靜止，故系統(tǒng)的動(dòng)能為

設(shè)當(dāng)料斗經(jīng)過(guò)s距離時(shí)的速度為v，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為

系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有力偶M、重力P及阻力Fs做功，料斗走過(guò)距離s時(shí)各力的總功為

由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：，代入質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理，有（a)解得料斗走過(guò)距離s時(shí)的速度為

式(a)兩邊對(duì)時(shí)間

t求導(dǎo)、并注意到，可得料斗走過(guò)距離s時(shí)的加速度為

(2)根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程求鋼繩的拉力。取料斗為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。列料斗的運(yùn)動(dòng)微分方程并且有Fs=fFN，聯(lián)立求解可得鋼繩的拉力

(3)根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求軸承O1的動(dòng)反力。取卷筒為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。列質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程：

其中，F(xiàn)T'=FT，解得軸承O1的動(dòng)反力

達(dá)朗貝爾原理13.1

慣性力·質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理13.2

質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理13.3

剛體慣性力系的簡(jiǎn)化13.1

慣性力·質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理13.1.1

慣性力的概念

即小車(chē)的慣性力大小等于小車(chē)的質(zhì)量與加速度的乘積，方向和加速度的方向相反。

一工人在水平光滑直線軌道上推質(zhì)量為m的小車(chē)，如圖所示。由牛頓第二定律可知F=ma。由于小車(chē)具有慣性，這個(gè)慣性力圖使小車(chē)保持其原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而給手一個(gè)反作用力F，由作用和反作用定律，可知

質(zhì)量為m的小球，在光滑的水平面內(nèi)通過(guò)繩子繞中心軸O作勻速圓周運(yùn)動(dòng),圓周的半徑為R，小球的速度為v，加速度為an，如圖所示。由于小球的慣性，小球?qū)⒔o予繩子一個(gè)反作用力F'。

即小球的慣性力大小等于小球的質(zhì)量與加速度的乘積，方向和加速度的方向相反。

質(zhì)點(diǎn)慣性力的大小等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其加速度的乘積，方向與質(zhì)點(diǎn)加速度的方向相反。

13.1.2

質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，在主動(dòng)力F和約束外力FN的共同作用下，產(chǎn)生的加速度為a，如圖所示。根據(jù)牛頓第二定律，有

即上式

–ma即為質(zhì)點(diǎn)的慣性力，用FI來(lái)表示，于是上式可寫(xiě)為

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束反力以及假想加在質(zhì)點(diǎn)上的慣性力，在形式上組成一平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理。

【例13-1】一圓錐擺如圖所示。質(zhì)量為m的小球系于長(zhǎng)為l的繩上，繩的另一端系在固定點(diǎn)O。當(dāng)小球在水平面內(nèi)以速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子與鉛垂線成θ角。用達(dá)朗貝爾原理求速度v與θ角之間的關(guān)系。

解：選小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力分析如圖所示。由達(dá)朗貝爾原理，列“靜力”平衡方程解得由于解得【例13-2】如圖所示的列車(chē)在水平軌道上行駛，車(chē)廂內(nèi)懸掛一單擺，擺錘的質(zhì)量為m。當(dāng)車(chē)廂向右做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺向左偏轉(zhuǎn)的角度為，求車(chē)廂的加速度a。

解：選擺錘為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。由達(dá)朗貝爾原理，列x方向的平衡方程

由于解得

當(dāng)加速度固定時(shí)，單擺偏角也固定不變。因此，只要測(cè)得偏轉(zhuǎn)角，就能知道列車(chē)的加速度。這就是擺式加速計(jì)的原理。

13.2

質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理

設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其中任一個(gè)質(zhì)點(diǎn)i的質(zhì)量為mi，加速度為ai，此質(zhì)點(diǎn)上除了作用有真實(shí)的主動(dòng)力Fi和約束反力FNi外，還假想地在這個(gè)質(zhì)點(diǎn)上增加它的慣性力FIi，由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理，有Fi+FNi+FIi=0

(i=1，2，…，n)

上式表明，質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的每一瞬時(shí)，作用于系內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力、約束反力和該質(zhì)點(diǎn)的慣性力組成一個(gè)平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。

如果把真實(shí)作用于第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的所有力分成外力Fie和內(nèi)力Fii，則上式可改寫(xiě)為Fie+Fii

+FIi=0

(i=1，2，…，n)

這表明，質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用真實(shí)的外力、內(nèi)力和虛假的慣性力在形式上組成一平衡力系。

對(duì)于由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，由于每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)處于平衡，整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系也就處于平衡。對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的平衡，由靜力學(xué)中的平衡條件可知，空間任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩等于零，即

由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，且等值反向共線，它們相互抵消，這樣，上面兩式可簡(jiǎn)化為

上式表明，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理的又一表述形式?！纠?3-3】如圖所示的定滑輪半徑為r，質(zhì)量為m3均勻分布在輪緣上,可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)?？邕^(guò)滑輪的無(wú)重繩的兩端掛有質(zhì)量分別為m1和m2的兩重物(m1>m2),繩和輪之間不打滑，軸承摩擦忽略不計(jì)，求重物的加速度。

解：以滑輪和兩重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。

滑輪可視為由許多質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系。記輪緣上任一點(diǎn)i的質(zhì)量為mi，該質(zhì)點(diǎn)的慣性力的大小為

列平衡方程

解得13.3

剛體慣性力系的簡(jiǎn)化

對(duì)于作任意運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系，把實(shí)際所受的力系和虛加慣性力系向任意點(diǎn)O簡(jiǎn)化，所得的主矢和主矩分別記為FR，MO，F(xiàn)IR，MIO，由力系的平衡條件，可得由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理FR=maC，有

即質(zhì)點(diǎn)系慣性力系的主矢恒等于質(zhì)點(diǎn)系總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反。

慣性力系的主矩，一般說(shuō)來(lái)也與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。下面對(duì)剛體平移，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系簡(jiǎn)化的主矩進(jìn)行討論。

13.3.1

剛體做平動(dòng)

剛體做平動(dòng)時(shí)，剛體的慣性力系構(gòu)成一組相互平行的力系。任選一點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心，主矩用MIO表示，有

如果取質(zhì)心C為力系的簡(jiǎn)化中心，即rC=0，則慣性力系的主矩恒等于零。因而，剛體平動(dòng)時(shí)慣性力系可以簡(jiǎn)化為作用在質(zhì)心上的一個(gè)合力FIR。13.3.2剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體繞定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度分別為ω和ε。在剛體內(nèi)任取一質(zhì)點(diǎn)Mi,質(zhì)量為mi，其到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為ri。質(zhì)點(diǎn)Mi的切向慣性力FIiτ和法向慣性力FIin，它們的大小分別為很容易求得慣性力對(duì)x軸的矩

，

引入稱為剛體對(duì)于z軸的兩個(gè)慣性積，它們?nèi)Q于剛體質(zhì)量對(duì)于坐標(biāo)的分布情況。于是，慣性力系對(duì)于z軸的矩為同理，可得慣性力系對(duì)于y、z軸的矩分別為

式中，Jz為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。可見(jiàn)，當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O簡(jiǎn)化的主矩為

如果剛體有質(zhì)量對(duì)稱平面且該平面與轉(zhuǎn)軸z垂直，簡(jiǎn)化中心O取為此平面與z軸的交點(diǎn)，則有此時(shí)慣性力對(duì)點(diǎn)O的主矩為

結(jié)論：當(dāng)剛體有質(zhì)量對(duì)稱面且繞垂直于該對(duì)稱平面的軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣性力系向轉(zhuǎn)軸與對(duì)稱平面的交點(diǎn)O簡(jiǎn)化，最后就得到一個(gè)力FIR和矩為MIO的力偶。這個(gè)力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度的方向相反。這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。13.3.3

剛體做平面運(yùn)動(dòng)

只討論剛體有質(zhì)量對(duì)稱平面，且平行于此平面運(yùn)動(dòng)的情形。由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知，平面運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。

慣性力系向質(zhì)心Ｃ簡(jiǎn)化，最后就得到一個(gè)力FIR和矩為MIC分別為式中，JC是剛體對(duì)于質(zhì)心C且垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

由以上討論可知，有質(zhì)量對(duì)稱平面的剛體，當(dāng)平行于此平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體的慣性力系簡(jiǎn)化為在此平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力通過(guò)質(zhì)心C，大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向與質(zhì)心加速度的方向相反。這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對(duì)稱面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。由以上分析可知，剛體的運(yùn)動(dòng)形式不同，慣性力系簡(jiǎn)化結(jié)果也不同。因此，應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理求解剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先分析剛體的運(yùn)動(dòng)形式，在簡(jiǎn)化中心上正確地加上慣性力和慣性力偶，然后再寫(xiě)出平衡方程求解?！纠?3-4】渦輪機(jī)的轉(zhuǎn)輪具有對(duì)稱面，并有偏心距e=0.5mm。已知轉(zhuǎn)輪重量為W=20kN，并以n=6000r/min速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)AB=h=1m，BD=h/2=0.5m，轉(zhuǎn)動(dòng)軸垂直于對(duì)稱面，如圖所示。試求當(dāng)質(zhì)心C處于轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)中心D的正右方時(shí)，止推軸承A及環(huán)軸承B處的反力。

解：選整體為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理,整體在A、B所受的約束反力和重力以及慣性力FIR的作用下處于平衡狀態(tài)。

慣性力的大小為列平衡方程

解得

【例13-5】均質(zhì)滾子質(zhì)量m=20kg，被水平繩拉著在水平面上做純滾動(dòng)。繩子跨過(guò)滑輪B而在另一端系有質(zhì)量m1=10kg的重物A，如圖所示。求滾子中心O的加速度?；喓屠K的質(zhì)量都忽略不計(jì)。

解：分別取滾子和重物為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。按照達(dá)朗貝爾原理列平衡方程。

滾子O的平衡方程

重物A的平衡方程

聯(lián)立求解，可得這樣，滾子中心O的加速度為

【例13-6】均質(zhì)圓盤(pán)O，質(zhì)量m=20kg，半徑r=0.45m，有一長(zhǎng)l=1.2m，質(zhì)量為m1=10kg的均質(zhì)直桿AB鉸接在圓盤(pán)邊緣的A點(diǎn)，如圖所示。設(shè)圓盤(pán)上有一力偶矩M=20NM的力偶作用。求在開(kāi)始運(yùn)動(dòng)(ω=0)時(shí)：(1)圓盤(pán)和桿的角加速度；(2)軸承O點(diǎn)的約束反力。解：取桿為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。按照達(dá)朗貝爾原理列平衡方程

取整體為研究對(duì)象，受力分析如圖所示，按照達(dá)朗貝爾原理列平衡方程

聯(lián)立求解，可得由ΣFx=0解得軸承O水平方向的約束反力由ΣFy=0解得軸承O鉛垂方向的約束反力

動(dòng)量矩定理11.1

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩11.2

動(dòng)量矩定理11.3

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程11.4

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理11.5

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程11.1.1

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩設(shè)有質(zhì)點(diǎn)M，其質(zhì)量為m，速度為v，動(dòng)量為mv，點(diǎn)M的矢徑為r，如圖所示。把質(zhì)點(diǎn)M的動(dòng)量mv對(duì)O點(diǎn)的矩，即定義為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩。由式可以看出，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩是矢量。

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量mv在Oxy平面上的投影

mvxy對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩，定義為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)z軸的矩。即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于

z軸的動(dòng)量矩是代數(shù)量。

由投影關(guān)系可知

即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于某點(diǎn)

O

的動(dòng)量矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的

z軸上的投影時(shí)等于該質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于該軸的動(dòng)量矩。動(dòng)量矩的單位為kg?m2/s。11.1.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和，或稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O的主矩，即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某軸z的動(dòng)量矩等于各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一軸的動(dòng)量矩的代數(shù)和，即11.1.3

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩工程中，常需計(jì)算作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)固定軸的動(dòng)量矩。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩可表示為

引入，稱為剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，它表明了剛繞定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性大小。則上式可寫(xiě)為飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)制動(dòng)

從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的公式可見(jiàn)，影響其大小的有兩個(gè)因素，一是它的質(zhì)量大小，另一個(gè)因素具體反映在剛體的形狀及其與轉(zhuǎn)軸的相對(duì)位置。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位為kg?m2。

結(jié)論：繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)其轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的乘積。11.1.4

常見(jiàn)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式又可改寫(xiě)成如下形式利用上式可將幾種常見(jiàn)的形狀規(guī)則、質(zhì)量均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算出來(lái)。(1)長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿均質(zhì)直桿對(duì)過(guò)端點(diǎn)O的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

均質(zhì)直桿對(duì)過(guò)中點(diǎn)O的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(2)

半徑為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)薄圓環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(3)

半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓板對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

11.1.5

回轉(zhuǎn)半徑

在工程實(shí)際中有時(shí)也把轉(zhuǎn)動(dòng)慣量寫(xiě)成剛體的總質(zhì)量m與當(dāng)量長(zhǎng)度ρz的平方的乘積形式，即上式中，ρz為剛體對(duì)于z軸的回轉(zhuǎn)半徑，又稱慣性半徑。于是

11.1.6

平行移軸公式

剛體對(duì)于任一軸z1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)與此軸平行的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JzC，加上剛體的質(zhì)量與z1軸到質(zhì)心軸zC的距離d平方的乘積。表1簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量工程中幾種常用簡(jiǎn)單形狀均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算可查下表?！纠?1-1】鐘擺簡(jiǎn)化如圖所示。已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤(pán)的質(zhì)量分別為m1和m2，桿長(zhǎng)為l，圓盤(pán)直徑為d。求鐘擺對(duì)于通過(guò)懸掛點(diǎn)O的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

解：分別計(jì)算桿和圓盤(pán)對(duì)于水平軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

鐘擺對(duì)于通過(guò)懸掛點(diǎn)O的水平軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為11.2

動(dòng)量矩定理11.2.1

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理如圖所示的質(zhì)點(diǎn)M，其動(dòng)量為mv，則質(zhì)點(diǎn)M對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩用矢積可表示為上式兩邊分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可得

即

上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理，即質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)同一點(diǎn)的矩。11.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理

設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分成內(nèi)力和外力，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理有

對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，共有n個(gè)這樣的方程，將這n個(gè)方程相加，可得由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，故，上式可寫(xiě)為即

上式就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理?？杀硎鰹椋嘿|(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某定點(diǎn)O的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的矢量和(外力對(duì)點(diǎn)O的主矩)。上式寫(xiě)成投影形式為

11.2.3

動(dòng)量矩守恒定律

若作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力對(duì)某點(diǎn)之矩的矢量和(即外力偶系的主矩)為零，則質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量矩保持不變。即如果，則LO=常矢量。若作用在質(zhì)點(diǎn)系上的外力對(duì)某固定軸之矩的代數(shù)和等于零，如果，則Lz=常數(shù)。這個(gè)結(jié)論稱為動(dòng)量矩守恒定律。

【例11-2】如圖所示提升裝置中，已知滾筒直徑d，它對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。求重物上升的加速度。

解：取滾筒和重物組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。設(shè)某瞬時(shí)滾筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，則重物上升的速度為v=dω/2。整個(gè)系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的動(dòng)量矩為由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理，有

于是滾筒角加速度為

重物上升的加速度等于滾筒邊緣上任意一點(diǎn)的切向加速度，可表示為【例11-3】均質(zhì)滑輪半徑分別為r1和r2，兩輪固連在一起并安裝在同一轉(zhuǎn)軸O上，兩輪共重為mg，對(duì)輪心O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，如圖所示。重物A、B的質(zhì)量分別為m1、m2。求重物A向下運(yùn)動(dòng)的加速度。

解：取整體為研究對(duì)象，其受力分析和運(yùn)動(dòng)分析如圖所示。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理，有

而質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩為

質(zhì)點(diǎn)系所有外力對(duì)O點(diǎn)的矩的代數(shù)和為

由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理，有這樣，重物A向下運(yùn)動(dòng)的加速度為11.3

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程

設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用有主動(dòng)力F1、F2、…、Fn和軸承的約束反力FN1和FN2，如圖所示。剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz，角速度為ω，剛體繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體的動(dòng)量矩為

如果不計(jì)軸承中摩擦，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z

軸的動(dòng)量矩定理，有即上式也可以寫(xiě)為

上式稱為剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。即剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積，等于作用于剛體上的主動(dòng)力對(duì)該軸的矩的代數(shù)和。

【例11-5】均質(zhì)直桿AB和OD,長(zhǎng)度都是l，質(zhì)量均為m，垂直地固接成丁字形,且D為AB的中點(diǎn)，如圖所示。此丁字桿可繞過(guò)點(diǎn)O的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)OD段靜止于水平位置。求桿轉(zhuǎn)過(guò)

角時(shí)的角速度和角加速度。

解：選丁字桿為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析。當(dāng)桿OD與水平直線的夾角為時(shí),丁字桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，如圖所示。應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，有

由平行移軸定理，有

通過(guò)計(jì)算，可知質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸O的距離為OC=3l/4。故有將以上兩式代入剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得

解得桿的角加速度為由于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程可寫(xiě)為兩邊積分，并利用初始條件，可得

解得桿的角速度ω為

11.4

質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

如果質(zhì)點(diǎn)系(如做平面運(yùn)動(dòng)的剛體)的運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，前者可用動(dòng)量定理或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理描述，后者能否用動(dòng)量矩定理來(lái)描述呢？以質(zhì)心C為原點(diǎn)，取一平動(dòng)坐標(biāo)系Cx'y'z'，如圖所示。在此平動(dòng)坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)mi相對(duì)矢徑為，相對(duì)速度為vir。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心C的動(dòng)量矩為

又根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理計(jì)算公式有

根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理，有

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于C點(diǎn)的動(dòng)量矩可表示為

由質(zhì)心坐標(biāo)公式，有由于rC'=0，故有故質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心點(diǎn)C的動(dòng)量矩為

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩為于是

這樣，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩可表示為

上式表明，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于集中于系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)量mvC對(duì)于點(diǎn)O的動(dòng)量矩與此系統(tǒng)對(duì)于質(zhì)心C的動(dòng)量矩LC的矢量和。

由質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理

可得即上式右端是外力對(duì)于質(zhì)心的主矩，于是得上式可寫(xiě)為

即質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于質(zhì)心的主矩。這個(gè)結(jié)論稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。該定理在形式上與質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理完全相同。11.5

剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程如圖所示的剛做作平面運(yùn)動(dòng)，結(jié)合質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程可寫(xiě)為寫(xiě)成投影形式為【例11-6】試證明質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于某定點(diǎn)O的動(dòng)量矩等于總質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)的動(dòng)量矩，加上各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)于質(zhì)心矩的矢量和。即

證明：設(shè)質(zhì)點(diǎn)

Mi的質(zhì)量為mi，該質(zhì)點(diǎn)的速度為vi。質(zhì)點(diǎn)Mi的矢徑為ri，質(zhì)點(diǎn)Mi相對(duì)質(zhì)心C的矢徑為ri'，質(zhì)心C矢徑為rC，質(zhì)心C的速度為vC。原點(diǎn)O為定點(diǎn),如圖所示。故有【例11-7】半徑為r，質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平直線做純滾動(dòng)，如圖所示。設(shè)圓輪的慣性半徑為ρC,

作用在圓輪上的力偶矩為M。求輪心的加速度。如果圓輪對(duì)地面的靜摩擦系數(shù)為fs，問(wèn)力偶矩M必須符合什么條件才能不致使圓輪滑動(dòng)。

解：取圓輪為研究對(duì)象。作用在圓輪上的外力有重物的重量mg，地面對(duì)圓輪的正壓力FN，滑動(dòng)摩擦力F，以及作用在圓輪上的力偶矩M，如圖所示。根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程可列出如下三個(gè)方程

因?yàn)椋鶕?jù)圓輪滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件，有聯(lián)立求解，可得欲使圓輪滾而不滑，必須有

于是圓輪滾而不滑的條件為【例11-9】均質(zhì)圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱體A上，繩的另一端繞在圓柱體B上，如圖所示。不計(jì)摩擦及繩子自重。求：(1)圓柱體B下降時(shí)質(zhì)心的加速度；(2)若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問(wèn)在什么條件下圓柱體B的質(zhì)心將上升。

解：分別取輪A和B為研究對(duì)象，受力如圖所示。輪A做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，輪B做平面運(yùn)動(dòng)。對(duì)輪A應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，有對(duì)輪B應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有

由輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知

代入后求解可得到圓柱體B下降時(shí)質(zhì)心的加速度

若在A輪上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)矩M，取輪A和B為研究對(duì)象，受力如圖所示。同上面的分析相似，分別列兩輪的動(dòng)力學(xué)微分方程。

對(duì)于A輪有對(duì)輪B應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有由輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知

代入后求解可得到圓柱體B下降時(shí)質(zhì)心的加速度當(dāng)aB≤0時(shí)，即M≥2Pr時(shí)，圓柱體B的質(zhì)心將上升。【例11-10】一均質(zhì)滾子質(zhì)量為m，半徑為r，放在粗糙的水平地面上，如圖所示。在滾子的鼓輪上繞以繩子，其上作用有常力T，方向與水平線成α角。鼓輪的半徑為a，滾子對(duì)軸C的回轉(zhuǎn)半徑為ρ，做只滾不滑的運(yùn)動(dòng)，試求滾子C的加速度。

解：滾子做平面運(yùn)動(dòng)?？蓱?yīng)用平面運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解。選滾子為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)微分方程，可得

輪子只滾不滑，其角速度和輪心的加速度的關(guān)系為

聯(lián)立求解以上方程，可得滾子C的加速度

10.1

動(dòng)量與沖量10.2

動(dòng)量定理10.3

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律

動(dòng)量定理10.1.1

動(dòng)量1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量10.1

動(dòng)量與沖量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m與速度v的乘積稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量p。即動(dòng)量是矢量，它與速度v的方向相同。寫(xiě)成分量形式為

動(dòng)量的量綱為[動(dòng)量]=[質(zhì)量]?[速度]=MLT-1

在國(guó)際單位制中，動(dòng)量的單位是千克?米/秒（kg?m/s）

2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量

設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為mivi，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可表示為即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量P等于質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和。上式寫(xiě)成分量形式為

式中，Px、Py、Pz分別表示質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量P在軸x、y、z軸上的投影。

質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心(簡(jiǎn)稱質(zhì)心)C的矢徑為

即兩端同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。上式可寫(xiě)成分量形式為分別計(jì)算圖所示幾種運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)量。

細(xì)長(zhǎng)桿的動(dòng)量為P=mlω/2，方向與vC

方向相同

在水平地面上作純滾動(dòng)的均質(zhì)滾輪，的動(dòng)量為P=mrω，方向與vC方向相同

繞輪心轉(zhuǎn)動(dòng)的均質(zhì)輪，則不論輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度有多大，也不論輪子的質(zhì)量多大，由于其質(zhì)心不動(dòng)，其動(dòng)量總是等于零。

10.1.2

力的沖量力F在微小的時(shí)間間隔dt內(nèi)累積的沖量F?dt稱為元沖量。用dI表示，即對(duì)上式積分，可得力F在時(shí)間間隔0-t內(nèi)累積的沖量

當(dāng)F=常矢量時(shí)，上式可表示為沖量是矢量，當(dāng)作用力是常矢量時(shí)，其方向與力的方向相同。上式可寫(xiě)成分量形式?jīng)_量的量綱為

沖量的量綱和動(dòng)量的量綱相同，在國(guó)際單位制中，沖量的單位是牛頓·秒(N·S)

沖量的一些實(shí)例10.2

動(dòng)量定理10.2.1

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為v，作用于質(zhì)點(diǎn)的力為F。由牛頓第二定律有即上式也可以寫(xiě)成為

上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式，即質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上力的元沖量。對(duì)上式進(jìn)行積分，積分上、下限時(shí)間取0到t

，速度取v0到v，可得

上式稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式，即在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在此時(shí)間間段內(nèi)的沖量。10.2.2

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，第i

個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為vi。外界物體對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的作用力為，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)其他質(zhì)點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的作用力為，則有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理

對(duì)由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，則以上的方程共有n個(gè)。將n個(gè)方程兩端分別相加，即交換等式左邊求和符號(hào)和微分符號(hào)的順序，并考慮到內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，可相互抵消，則得上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式。即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力元沖量的矢量和。上式也可寫(xiě)成為即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和。

將上式寫(xiě)成直角坐標(biāo)投影形式為

對(duì)上式積分，積分上、下限時(shí)間取0到

t，動(dòng)量取P0到P，得

即

上式稱為質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式。即在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力沖量的矢量和。寫(xiě)成投影形式為10.2.3

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律

10.2.3

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律

如果外力主矢FRe=ΣFie=0，則P=P0=恒矢量。如果外力主矢在某軸例如

x

軸上的投影FRxe=ΣFxe=0

，則有Px=P0x=常量

若作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力矢量和等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變；若作用于質(zhì)點(diǎn)系所有外力在某一軸上的投影代數(shù)和等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該軸上的投影保持不變。這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律的現(xiàn)象很多，例如在靜水上有一只不動(dòng)的小船，人和船組成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系。當(dāng)人從船頭向船尾走去的同時(shí)，船身一定向船頭方向移動(dòng)。

【例10-1】電動(dòng)機(jī)的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子質(zhì)量為m1，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2，如圖所示。設(shè)定子的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸的中心O1，但由于制造誤差，轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。已知轉(zhuǎn)子勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω。設(shè)初始時(shí)O1O2位于鉛垂位置，求基礎(chǔ)的支座反力。

解：以電動(dòng)機(jī)外殼和轉(zhuǎn)子組成的質(zhì)點(diǎn)系為研究對(duì)象，受力分析如圖所示

由于機(jī)殼不動(dòng)，只有轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)，所以系統(tǒng)的動(dòng)量大小為P=m2eω，方向如圖所示。由動(dòng)量定理的投影式

，有

而

，，代入上式，有

當(dāng)電動(dòng)機(jī)不轉(zhuǎn)時(shí)，即ω=0時(shí)，有

稱為靜約束反力

電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的約束反力稱為動(dòng)約束反力。動(dòng)約束反力與靜約束反力的差值是由于系統(tǒng)而產(chǎn)生的，可稱為附加的動(dòng)反力。

此例中，由于轉(zhuǎn)子偏心而引起的

x方向的附加動(dòng)反力為由于轉(zhuǎn)子偏心而引起的

y方向的附加動(dòng)反力為

它們都是諧變量，將會(huì)引起電機(jī)和基礎(chǔ)的振動(dòng)?；A(chǔ)動(dòng)反力的最大和最小值分別是：

【例10-2】如圖表示水流流經(jīng)變截面彎管的示意圖。設(shè)流量(每秒流過(guò)的體積)qV=常量，流體的密度ρ=常量，流體在截面aa、bb處的平均流速分別是va和vb，求流體流動(dòng)對(duì)管道壁的附加動(dòng)壓力。

解：取兩個(gè)截面aa和bb之間的管內(nèi)流體作為研究對(duì)象。受力分析如圖所示。

假設(shè)經(jīng)過(guò)一個(gè)無(wú)限小的時(shí)間間隔dt，原處于截面aa和bb之間的流體動(dòng)量的改變等于即應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，有

代入上式

若將管壁對(duì)于流體的反力FR分為兩部分：為與外力G、Fa和Fb相平衡的管壁靜反力，為由于流體的動(dòng)量發(fā)生變化而產(chǎn)生的附加動(dòng)反力，即

而附加動(dòng)反力為

由作用與反作用定律，流體對(duì)管壁的附加動(dòng)壓力的大小等于此附加動(dòng)反力，但方向相反，即

管內(nèi)流體流動(dòng)時(shí)給予管壁的附加動(dòng)壓力,等于單位時(shí)間內(nèi)流入該管的動(dòng)量與流出該管的動(dòng)量之差。設(shè)計(jì)高速管道時(shí)，應(yīng)考慮附加動(dòng)壓力的影響。

如圖所示一水平的等截面直角形彎管。當(dāng)流體被迫改變流動(dòng)方向時(shí)，對(duì)管壁施加有附加的動(dòng)反力

設(shè)進(jìn)口截面的截面面積為S1，出口截面的截面面積為S2。進(jìn)口平均流速為v1，出口平均流速度v2，流體的密度為ρ。應(yīng)用上面分析的結(jié)論，可知流體對(duì)管壁施加附加的動(dòng)壓力，它的大小等于管壁對(duì)流體作用的附加動(dòng)反力，即

由此可見(jiàn)，當(dāng)流速很高或管子截面面積很大時(shí)，附加動(dòng)壓力很大，在管子的彎頭處要安裝支座。【例10-3】如圖所示均質(zhì)滑輪半徑分別為r1和r2，兩輪固連在一起并安裝在同一轉(zhuǎn)軸O上，兩輪共重為Q，兩重物的重量分別為P1、P2。已知M1向下運(yùn)動(dòng)的加速度為a1，求滑輪對(duì)轉(zhuǎn)軸的壓力。

解：以整體為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。用動(dòng)量定理，可得而代入上式，可得

【例10-4】火炮(包括炮車(chē)和炮筒)的質(zhì)量為m，炮彈的質(zhì)量為m1，炮彈相對(duì)于火炮的發(fā)射速度為vr，炮筒對(duì)水平面的仰角為α，如圖所示。設(shè)火炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車(chē)固連，試求火炮的后座速度和炮彈的發(fā)射速度。

解：取火炮和炮彈組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象。受力分析如圖所示。

進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，選炮彈為動(dòng)點(diǎn)，火炮為動(dòng)系，由va=ve+vr作炮彈C的速度合成圖如圖所示。即進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，由于系統(tǒng)所受外力在水平軸x上的投影都是零，即有

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定理，可知系統(tǒng)的動(dòng)量在軸x上的投影守恒?？紤]到初始瞬時(shí)系統(tǒng)處于靜止，即聯(lián)立求解，可得應(yīng)用動(dòng)量定理解題步驟大致如下：(1)選取研究對(duì)象，分析研究對(duì)象上的外力(包括主動(dòng)力和約束反力)。

(2)如果外力主矢等于零或外力在某軸上的投影代數(shù)和等于零，則應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定理求解。(3)如果外力主矢不等于零，先計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在坐標(biāo)軸上的投影，然后應(yīng)用動(dòng)量定理求未知力(一般為約束反力)。計(jì)算動(dòng)量的速度必須是絕對(duì)速度，并要注意動(dòng)量和力在坐標(biāo)軸上的投影的正負(fù)號(hào)。

10.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律10.3.1

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

而質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。即

可得

這就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，即質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和(或稱外力主矢)。

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理也可以表述為：質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，設(shè)想此質(zhì)點(diǎn)集中了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，并在其上作用有質(zhì)點(diǎn)系的所有外力。上式為矢量方程，實(shí)際在應(yīng)用時(shí)應(yīng)寫(xiě)成投影形式，，

10.3.2

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定量可知，如果，則mvC=常矢量；即若作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力的矢量和(即外力系的主矢)為零，則質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)；若開(kāi)始靜止，則質(zhì)心位置始終保持不變。

如果，則mvcx=常量；即如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在某軸上的投影的代數(shù)和等于零，則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變，若開(kāi)始時(shí)速度投影等于零，則質(zhì)心在該軸上的坐標(biāo)保持不變。這個(gè)結(jié)論稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律例10-5】如圖所示滑塊A質(zhì)量為m，可在水平光滑槽中運(yùn)動(dòng)，具有剛性系數(shù)為k的彈簧一端與滑塊相連接，另一端固定。桿AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量不計(jì)，A端與滑塊A鉸接，B端裝有質(zhì)量為m1的小球，在鉛直平面內(nèi)可繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)在力矩作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω為常數(shù)，初始時(shí)，彈簧恰為原長(zhǎng)，求滑塊A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示，建立水平向右的坐標(biāo)軸Ox，點(diǎn)O取在運(yùn)動(dòng)初始時(shí)滑塊A質(zhì)心上，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有

解此微分方程，并注意到初始條件t=0時(shí)，，故可得A的穩(wěn)態(tài)解的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為解：取人和船組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。取坐標(biāo)軸如圖所示。設(shè)人在走動(dòng)前，人和船的質(zhì)心x坐標(biāo)分別為a和b。則系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為【例10-7】如圖所示的小船，船長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，船上有質(zhì)量為m1的人。設(shè)初始時(shí)小船和人靜止，人站立在船的最左端，后來(lái)沿甲板向右行走，如不計(jì)水的阻力，求當(dāng)人走到船的最右端時(shí)，船向左移動(dòng)的距離為多少？當(dāng)人走到船的右端時(shí)，設(shè)船移動(dòng)的距離為s，則系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為由于在x軸上的坐標(biāo)保持不變，即解得應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理解題的步驟如下：

(1)選取研究對(duì)象，分析受力(畫(huà)出質(zhì)點(diǎn)系所受全部外力，包括主動(dòng)力和約束反力)。(2)如果外力主矢等于零，或外力在某軸上的投影為零，則應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理求解。若初始靜止，則質(zhì)心的坐標(biāo)保持不變。分別計(jì)算兩個(gè)時(shí)刻質(zhì)心的坐標(biāo)(用各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示)，令其相等，即可求出所要求的某質(zhì)點(diǎn)位移。(3)如果外力主矢不等于零,若已知質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,先求出質(zhì)心加速度,然后應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求未知力(一般為約束反力)；若已知作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力，先計(jì)算質(zhì)心坐標(biāo)，然后應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

虛位移原理14.1

約束質(zhì)點(diǎn)系自由度和廣義坐標(biāo)14.2

虛位移、虛功及理想約束14.3

虛位移原理14.4

用虛位移原理求約束反力14.1

約束質(zhì)點(diǎn)系自由度和廣義坐標(biāo)14.1.1

約束及其分類(lèi)1．幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束

只限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。其約束方程一般可寫(xiě)為f(ri)=0或f

(ri，t)=0(i=1