第六章-自相關(guān)-《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》課件

第六章自相關(guān)§6.1什么是自相關(guān)？

一、自相關(guān)的定義則稱隨機(jī)干擾項(xiàng)之間存在自相關(guān)（autocorrelation）自相關(guān)也稱為序列相關(guān)（serialcorrelation），習(xí)慣上，把兩者看成同義語，但也有人把兩者區(qū)別開來。例如，廷特納（GerhardTintner）定義自相關(guān)為“一給定序列同它自身滯后若干期的序列的滯后相關(guān)”，而把序列相關(guān)定義為“兩個(gè)不同序列的滯后相關(guān)”[1]。

第六章自相關(guān)§6.1什么是自相關(guān)？自相關(guān)可以按照時(shí)間序列數(shù)據(jù)或截面數(shù)據(jù)排列的序列來定義隨機(jī)干擾項(xiàng)之間的相關(guān)性，但是，通常情況下，自相關(guān)主要存在于時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，而存在于截面數(shù)據(jù)中的自相關(guān)稱為空間自相關(guān)（spatialautocorrelation）。自相關(guān)可以按照時(shí)間序列數(shù)據(jù)或截面數(shù)據(jù)排列的序列來定義隨機(jī)干擾二、自相關(guān)的表示方式我們用隨機(jī)干擾項(xiàng)與其滯后項(xiàng)或滯后值（laggedvalues）或滯后變量（laggedvariable）之間的相關(guān)關(guān)系來體現(xiàn)自相關(guān)。自相關(guān)形式可分為以下兩種情況：（1）一階自回歸形式，記作AR(1)

當(dāng)隨機(jī)干擾項(xiàng)只與其滯后一期值有關(guān)時(shí)，即

（6.1.3）是的滯后一期值，式子（6.1.3）稱為的一階自回歸形式二、自相關(guān)的表示方式（2）高階自回歸形式，記作AR(m)

（6.1.4）為的滯后一期及其滯后若干期至m期值，式子（6.1.4）稱為的m階自回歸形式。由于自相關(guān)體現(xiàn)的是隨機(jī)干擾項(xiàng)與其滯后值之間的關(guān)系，并且一般情況下，自相關(guān)問題主要是基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的樣本模型中，因此，隨機(jī)干擾項(xiàng)的下標(biāo)不使用符號(hào)，而用替代。（2）高階自回歸形式，記作AR(m)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，自相關(guān)問題最常見的形式是線性自回歸形式，因此，式子（6.1.3）可以轉(zhuǎn)化為下列形式

（6.1.5）由經(jīng)典假定，因此，式子（6.1.5）中沒有截距項(xiàng)。并假定隨機(jī)項(xiàng)滿足下列條件在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，自相關(guān)問題最常見的形式是線性自回歸形式，根據(jù)OLS方法，參數(shù)的估計(jì)值為

（6.1.6）若把，看成兩個(gè)隨機(jī)變量，則它們之間的相關(guān)系數(shù)為根據(jù)OLS方法，參數(shù)的估計(jì)值為在大樣本條件下，因此有所以，式子（6.1.5）可以寫成（6.1.7）在大樣本條件下，

稱為一階自相關(guān)系數(shù)（first-ordercoefficientofautocorrelation）或滯后一期的自相關(guān)系數(shù)（coefficientofautocorrelationatlag1）或自協(xié)方差系數(shù)（coefficientofautocovariance）。隨機(jī)誤差項(xiàng)也被稱為白噪音誤差項(xiàng)（whitenoiseerrorterm）。類似地，可以得出二階自回歸形式，AR(2)為（6.1.8）

稱為一階自相關(guān)系數(shù)，稱為二階自相關(guān)系數(shù)稱為一階自相關(guān)系數(shù)（first-orderco一般地，

（6.1.9）稱為m階自回歸形式，記作AR(m)。一般地，一階自回歸形式的相關(guān)性質(zhì)方差公式：（6.1.10）一階自回歸形式的相關(guān)性質(zhì)類似地，可以得出協(xié)方差公式：（6.1.11）類似地，可以得出協(xié)方差公式：同理可得從而有（6.1.12）同理可得實(shí)際上，可以證明隨機(jī)誤差項(xiàng)在AR(1)條件下滿足零均值和同方差假定的。

（6.1.13）式子（6.1.13）表明隨機(jī)干擾項(xiàng)可以表示成隨機(jī)誤差項(xiàng)序列的加權(quán)和，其中權(quán)數(shù)分別為，當(dāng)，序列呈衰減趨勢(shì)；當(dāng)，序列呈交錯(cuò)震蕩衰減趨勢(shì)。

實(shí)際上，可以證明隨機(jī)誤差項(xiàng)在AR(1)條件下滿足零均值和同方同時(shí)，可以推出下列結(jié)論

（6.1.14）（6.1.15）同時(shí)，可以推出下列結(jié)論三、自相關(guān)產(chǎn)生的原因（1）慣性（inertia）。大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都一個(gè)明顯的特點(diǎn)，就是它的慣性或黏滯。例如，GDP、價(jià)格指數(shù)、就業(yè)等時(shí)間序列都呈現(xiàn)出一定的周期性。這種“內(nèi)在的動(dòng)力”慣性往往產(chǎn)生序列自相關(guān)。（2）滯后效應(yīng)（lageffect）。慣性，有些情況下，體現(xiàn)的是一種滯后效應(yīng)。例如，居民的可支配收入可能對(duì)本期影響不大，但會(huì)在后期逐漸產(chǎn)生影響。這也可以解釋為人的消費(fèi)觀念的慣性影響。

三、自相關(guān)產(chǎn)生的原因也可以說，當(dāng)前的消費(fèi)支出除了受到收入影響以外，還受到上一期的消費(fèi)支出的影響，即可以建立如下的模型：由于解釋變量之一是被解釋變量的滯后值，稱為自回歸模型。人們的消費(fèi)習(xí)慣不會(huì)輕易改變，從而對(duì)模型產(chǎn)生自相關(guān)性。（3）模型設(shè)定偏誤（specificationerror）。一是應(yīng)含而未含變量（excludedvariable）設(shè)定偏誤；二是不正確的函數(shù)形式。例也可以說，當(dāng)前的消費(fèi)支出除了受到收入影響以外，還受到上一期的（4）蛛網(wǎng)現(xiàn)象（cobwebphenomenon）例如，當(dāng)年年初農(nóng)作物種植受上一年價(jià)格的影響，供給函數(shù)為：（5）數(shù)據(jù)的“編造”。即原始數(shù)據(jù)往往是經(jīng)過“編造的”。例如，季度數(shù)據(jù)的使用是通過月度數(shù)據(jù)的簡單平均獲得，這種勻滑本身就能使隨機(jī)干擾項(xiàng)中出現(xiàn)系統(tǒng)性模式，從而導(dǎo)致自相關(guān)。另外，數(shù)據(jù)處理的內(nèi)插（interpolation）或外推（extrapolation）技術(shù)也會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)干擾項(xiàng)的自相關(guān)。（4）蛛網(wǎng)現(xiàn)象（cobwebphenomenon）產(chǎn)生序列自相關(guān)的原因還有模型差分形式變換、時(shí)間序列非平穩(wěn)性等等。總之，有很多原因?qū)е乱粋€(gè)回歸模型中的隨機(jī)誤差項(xiàng)自相關(guān)。產(chǎn)生序列自相關(guān)的原因還有模型差分形式變換、時(shí)間序列非平穩(wěn)性等§6.2自相關(guān)的后果1．對(duì)OLS估計(jì)量的影響。

仍然具有線性性和無偏性，但不再具有有效性。線性性和無偏性證明只用到了均值為零的假定條件，即在有效性的證明中，我們利用了同方差和無自相關(guān)假定，即§6.2自相關(guān)的后果現(xiàn)在以簡單線性回歸模型為例來證明上述結(jié)論。設(shè)簡單線性回歸模型為：

(6.2.1)且隨機(jī)干擾項(xiàng)存在一階自回歸形式：

(6.2.2)當(dāng)滿足經(jīng)典假定時(shí)，OLS估計(jì)量的方差為

(6.2.3)現(xiàn)在以簡單線性回歸模型為例來證明上述結(jié)論。OLS估計(jì)量為

（6.2.4）從而（6.2.5）即參數(shù)的OLS估計(jì)量為無偏估計(jì)量。OLS估計(jì)量為在隨機(jī)干擾項(xiàng)不滿足無自相關(guān)條件時(shí)，得到OLS估計(jì)量的方差為：（6.2.6）在隨機(jī)干擾項(xiàng)不滿足無自相關(guān)條件時(shí)，得到OLS估計(jì)量的方差為：當(dāng)時(shí)，參數(shù)的OLS估計(jì)量的方差等于（6.2.3），即此時(shí)隨機(jī)干擾項(xiàng)滿足無自相關(guān)假定。否則，參數(shù)估計(jì)量的方差便會(huì)出現(xiàn)偏差，即不再滿足有效性。當(dāng)時(shí)，即隨機(jī)誤差項(xiàng)之間存在正相關(guān)，一般情況下，經(jīng)濟(jì)變量也是正相關(guān)，式子（6.2.6）括號(hào)內(nèi)的數(shù)值是大于0的。也就是說，仍使用式子（6.2.3）作為參數(shù)估計(jì)量的方差將會(huì)低估真實(shí)的方差。當(dāng)隨機(jī)干擾項(xiàng)不存在自相關(guān)時(shí)，的無偏估計(jì)為：

但是，如果隨機(jī)干擾項(xiàng)存在一階自回歸形式時(shí)，仍使用這個(gè)估計(jì)量將會(huì)出現(xiàn)偏誤。一般情況下，當(dāng)隨機(jī)干擾項(xiàng)和解釋變量都存在正相關(guān)的時(shí)，仍用去估計(jì)會(huì)導(dǎo)致低估真實(shí)的方差。當(dāng)時(shí)，參數(shù)的OLS估計(jì)量的方差等于2．對(duì)模型檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)的影響。當(dāng)存在自相關(guān)時(shí)，仍然使用經(jīng)典假定下OLS估計(jì)量去估計(jì)參數(shù)及其方差會(huì)低估真實(shí)的，低估真實(shí)的參數(shù)估計(jì)量的方差。因此，會(huì)過高估計(jì)統(tǒng)計(jì)量，夸大參數(shù)檢驗(yàn)的顯著性，從而把不重要的解釋變量保留在模型里，使模型顯著性-檢驗(yàn)失去意義。區(qū)間預(yù)測(cè)與參數(shù)估計(jì)量的方差相關(guān)，在方差出現(xiàn)偏誤的情況下，預(yù)測(cè)就不準(zhǔn)確，置信區(qū)間不可靠，從而降低預(yù)測(cè)精度。因此，當(dāng)模型存在自相關(guān)時(shí)，仍用普通最小二乘法得到的回歸方程去預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)功能將失效。2．對(duì)模型檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)的影響?！?.3自相關(guān)的檢驗(yàn)自相關(guān)的檢驗(yàn)方法很多，其共同思想是：用OLS方法求出樣本回歸方程，以殘差作為隨機(jī)干擾項(xiàng)的估計(jì)量，然后分析估計(jì)量之間的相關(guān)性并由此判斷隨機(jī)干擾項(xiàng)是否存在自相關(guān)性?！?.3自相關(guān)的檢驗(yàn)1．圖示法0000（a）正自相關(guān)（b）負(fù)自相關(guān)1．圖示法0000（a）正自相關(guān)（b）負(fù)自相關(guān)2．回歸檢驗(yàn)法用OLS方法得樣本回歸方程，以殘差為被解釋變量建立下列回歸方程：對(duì)上述各種形式進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，若某形式的模型檢驗(yàn)顯著，則說明隨機(jī)干擾項(xiàng)存在該形式的自相關(guān)，否則，不存在該形式的自相關(guān)。2．回歸檢驗(yàn)法3．DW檢驗(yàn)法DW檢驗(yàn)法是杜賓（J.Durbin）和瓦森（G.S.Watson）于1951年提出的一種自相關(guān)檢驗(yàn)方法，該方法的前提條件是：（1）解釋變量是非隨機(jī)的；（2）隨機(jī)干擾項(xiàng)為一階自回歸形式：（3）回歸模型中不含有滯后被解釋變量作為解釋變量，即不應(yīng)有下列形式：（6.3.2）（4）回歸模型含有截距系數(shù)；（5）數(shù)據(jù)無缺失項(xiàng)。3．DW檢驗(yàn)法DW檢驗(yàn)步驟如下：給定原假設(shè)：（不存在一階自相關(guān)）；備擇假設(shè)：（存在一階自相關(guān)）用殘差值構(gòu)造DW統(tǒng)計(jì)量：

（6.3.3）把上式展開（6.3.4）DW檢驗(yàn)步驟如下：在大樣本條件下，

（6.3.5）在大樣本條件下，由一階自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值為：（6.3.6）所以有，（6.3.7）由一階自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值為：因?yàn)榈娜≈捣秶荹-1,1]，DW的取值范圍是[0,4]，并且兩者呈反向關(guān)系；取值越大，DW取值越小，反之，DW取值越大，取值越小。見表6.1。

因?yàn)榈娜≈捣秶荹-1,1]，杜賓和瓦森根據(jù)樣本容量和解釋變量數(shù)，在給定顯著性水平條件下，給出檢驗(yàn)的上、下兩個(gè)臨界值和，并構(gòu)成DW分布表。按照DW取值分成5部分，判定規(guī)則如下：（1）DW取值在（0,）之間，拒絕原假設(shè)：，認(rèn)為存在一階正自相關(guān)。（2）DW取值在（,）之間，檢驗(yàn)沒有結(jié)論，即無法判斷是否存在一階正自相關(guān)。（3）DW取值在（,4-）之間，不拒絕原假設(shè)：，認(rèn)為不存在一階自相關(guān)。杜賓和瓦森根據(jù)樣本容量和解釋變量數(shù)（4）DW取值在（4-,4-）之間，檢驗(yàn)沒有結(jié)論，即無法判斷是否存在一階負(fù)自相關(guān)。（5））DW取值在（4-,4）之間，拒絕原假設(shè)：，認(rèn)為存在一階負(fù)自相關(guān)。見圖6.2。無自相關(guān)負(fù)相關(guān)正相關(guān)不確定不確定DWdLdU4-dL4-dU40（4）DW取值在（4-,4-）之間，檢驗(yàn)需要說明的是：（1）當(dāng)DW值落在“不確定”區(qū)域時(shí)，有兩種處理方法。①加大樣本容量或重新選取樣本，重做DW檢驗(yàn)。②選用其他檢驗(yàn)方法。（2）DW臨界值與三個(gè)參數(shù)有關(guān)。①顯著性水平；②樣本容量；③回歸模型中的解釋變量的個(gè)數(shù)（不含截距項(xiàng)）。（3）另外，再次強(qiáng)調(diào)DW檢驗(yàn)不適宜的情況：①不適宜高階自回歸形式；②不適宜樣本容量太小，因此，一般要求樣本容量；③不適宜回歸模型中有被解釋變量的滯后值作為解釋變量的情況。（4）利用EViews軟件可以直接得出DW值。需要說明的是：4．LM(或BG)檢驗(yàn)法

LM（拉格朗日乘數(shù)）檢驗(yàn)法克服了DW檢驗(yàn)法的缺陷，適用于高階自回歸形式及模型中存在滯后被解釋變量的情形。它是由布羅施（Breusch）與戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也稱為BG檢驗(yàn)。設(shè)多元線性回歸模型為（6.3.8）考慮隨機(jī)干擾項(xiàng)為階自回歸形式（6.3.9）4．LM(或BG)檢驗(yàn)法BG檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)下列回歸方程：

（6.3.10）具體步驟如下：（1）用OLS方法估計(jì)原方程（6.3.8），并得到殘差項(xiàng)及其階滯后值。（2）做如下輔助回歸：

（6.3.11）BG檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)下列回歸方程：用OLS方法估計(jì)上式，并計(jì)算可決系數(shù)。構(gòu)造LM統(tǒng)計(jì)量

（6.3.12）（3）設(shè)原假設(shè)：（或不存在自相關(guān)），且在樣本容量很大的條件下，布羅施和戈弗雷證明了統(tǒng)計(jì)量LM漸近服從自由度為m的卡方分布，即～（6.3.13）用OLS方法估計(jì)上式，并計(jì)算可決系數(shù)。構(gòu)造LM統(tǒng)計(jì)量在給定顯著性水平條件下，若,則拒絕原假設(shè)，此時(shí)原方程存在自相關(guān)；若，則不拒絕原假設(shè)，此時(shí)原方程不存在自相關(guān)。在給定顯著性水平條件下，§6.4自相關(guān)的補(bǔ)救方法1．廣義最小二乘法（GeneralizedLeastSquares，GLS）若隨機(jī)干擾項(xiàng)存在自相關(guān)性和異方差性，則有（6.4.3）§6.4自相關(guān)的補(bǔ)救方法

是一個(gè)實(shí)正定對(duì)稱矩陣，因此，存在可逆矩陣D，使得

（6.4.4）用矩陣左乘方程兩邊得

（6.4.5）設(shè)，，，則有

（6.4.6）是一個(gè)實(shí)正定對(duì)稱矩陣，因此，存在可逆矩陣D，使得因?yàn)?/p>

（6.4.7）所以，模型（6.4.6）滿足無自相關(guān)和同方差假定。因?yàn)槔肙LS方法得到參數(shù)估計(jì)量，即

（6.4.8）這就是廣義最小二乘估計(jì)量，是線性、無偏、有效估計(jì)量。利用OLS方法得到參數(shù)估計(jì)量，即2．廣義差分法（Generalizeddifferencemethod）設(shè)多元線性回歸模型為

（6.3.8）考慮隨機(jī)干擾項(xiàng)為階自回歸形式

（6.3.9）2．廣義差分法（Generalizeddifference模型（6.3.8）滯后項(xiàng)為

（6.4.9）模型（6.3.8）滯后項(xiàng)為則有（6.4.10）其中，滿足無自相關(guān)和同方差假定，對(duì)模型（6.4.10）采用OLS方法得到的參數(shù)估計(jì)量為線性、無偏、有效估計(jì)量。則有例如，在一階序列自相關(guān)情況下，廣義差分法回歸模型為

（6.4.11）或

（6.4.12）例如，在一階序列自相關(guān)情況下，廣義差分法回歸模型為

可以證明，在大樣本情況下，廣義差分法與廣義最小二乘法的估計(jì)結(jié)果相近，但在小樣本情況下，廣義差分法得到的回歸模型的樣本容量為，即丟失了第一個(gè)觀測(cè)值，從而對(duì)估計(jì)結(jié)果有影響。因此，在廣義差分法中，需要彌補(bǔ)這個(gè)觀測(cè)值。對(duì)模型（6.4.12）采用普萊斯-溫斯滕變換（Prais-Winstentransformation）：這樣，廣義差分法的估計(jì)結(jié)果完全等同于廣義最小二乘法估計(jì)量。可以證明，在大樣本情況下，廣義差分法與廣義最小二乘法的估計(jì)3.科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法無論是使用廣義最小二乘法還是使用廣義差分法，都必須先要知道自相關(guān)系數(shù)?？瓶藗?奧科特迭代法就是通過逐次迭代的辦法來求得自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。具體步驟如下：（1）使用OLS方法估計(jì)原模型（6.3.8），并計(jì)算出殘差項(xiàng)。（2）考慮為階自回歸形式（6.3.9），用估計(jì)，建立如下回歸模型：（6.4.13）3.科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法利用OLS方法對(duì)上式（6.4.13）估計(jì)，得到自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值為：。（3）將參數(shù)估計(jì)值代入廣義差分方程（6.4.10），其中，設(shè)利用OLS方法對(duì)上式（6.4.13）估計(jì)，得到自相關(guān)系數(shù)估計(jì)則得回歸方程：（6.4.14）利用OLS方法得參數(shù)估計(jì)值為：。（4）利用得到原模型的參數(shù)估計(jì)值為：則得回歸方程：并代入原模型（6.3.8）的樣本回歸方程，求得新的殘差項(xiàng)：

（6.4.15）

（5）利用殘差項(xiàng)及其滯后項(xiàng)建立如下回歸模型：

（6.4.16）用OLS方法得到自相關(guān)系數(shù)的第二輪估計(jì)值為：

并代入原模型（6.3.8）的樣本回歸方程，求得新的殘差項(xiàng)：如果得到的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值不是最佳的，那么繼續(xù)迭代得出第三輪估計(jì)值，依次下去，直到估計(jì)值相差很小，收斂并滿足要求；或者，對(duì)回歸結(jié)果進(jìn)行DW檢驗(yàn)，直到不存在自相關(guān)為止。需要指出的是：如果各序列相關(guān)系數(shù)都是被估計(jì)出來的，那么模型參數(shù)的估計(jì)結(jié)果不再是廣義最小二乘估計(jì)量，而是可行的廣義最小二乘估計(jì)量?？尚械膹V義最小二乘估計(jì)量不再是無偏的，但卻是一致的，且在科克倫-奧科特迭代法下，估計(jì)量具有漸近有效性。如果得到的自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值不是最佳的，那么繼續(xù)迭代得出第三輪4.用DW值估計(jì)這只是一個(gè)粗略的估計(jì)，精度不高。5.德賓（Durbin）兩步法德賓兩步法就是利用廣義差分方程求出的估計(jì)值，然后利用進(jìn)行廣義差分變換求出原模型的廣義最小二乘估計(jì)值。4.用DW值估計(jì)具體步驟如下：（1）設(shè)模型為簡單線性回歸模型存在一階自回歸形式，即，利用廣義差分法得（6.4.18）

（6.4.19）或（6.4.20）具體步驟如下：其中利用OLS方法得出的估計(jì)值，它是一個(gè)有偏、一致估計(jì)量。其中（2）利用估計(jì)值進(jìn)行廣義差分，求得然后用OLS方法對(duì)廣義差分方程（6.4.18）進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，求得最佳線性無偏估計(jì)量。（2）利用估計(jì)值進(jìn)行廣義差分，求得§6.5案例，計(jì)算步驟1.建立OLS原回歸模型；2.DW檢驗(yàn)(不通過)；3.用殘差e估計(jì)相關(guān)系數(shù)(OLS);EViews下，Quick→SeriesGenerateE=(resid),鍵入命令：EE(-1)（沒有截距項(xiàng)C）4.利用相關(guān)系數(shù)估計(jì)值建立差分方程，即GLS;鍵入命令：Y-*Y(-1)CX-*X(-1);5.DW檢驗(yàn)，通過。β1=β1*/（1-)得回歸模型。如果還存在自相關(guān)，繼續(xù)迭代直到檢驗(yàn)合格為止?！?.5案例，計(jì)算步驟1.建立OLS原回歸模型；思路：為解決自相關(guān)問題，求出相關(guān)系數(shù)估計(jì)值，最終調(diào)整的是原模型中的截距項(xiàng)項(xiàng)β1。注意:差分以后，樣本容量n少一個(gè)?？梢孕拚谝豁?xiàng)。思路：為解決自相關(guān)問題，求出相關(guān)系數(shù)估計(jì)值，最終調(diào)整的是原表6.2給出1985～2011年中國農(nóng)村居民人均收入與消費(fèi)支出數(shù)據(jù)。為了消除價(jià)格因素的影響，我采用1985年不變價(jià)格重新?lián)Q算了表中的數(shù)據(jù)?，F(xiàn)在來建立中國農(nóng)村居民消費(fèi)函數(shù)模型，并對(duì)模型的自相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)。表6.2給出1985～2011年中國農(nóng)村居民人均收入與消費(fèi)支第六章--自相關(guān)--《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》課件1.序列自相關(guān)性檢驗(yàn)設(shè)X代表農(nóng)村居民人均純收入，Y代表農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出，則模型為

(6.5.1)根據(jù)表6.2中的數(shù)據(jù)，利用EViews軟件得到OLS回歸方程為（見表6.3）：

(6.5.2)1.序列自相關(guān)性檢驗(yàn)第六章--自相關(guān)--《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》課件表6.3的回歸結(jié)果表明，在5%顯著性水平下，n=27，，查DW表得，dL=1.316，dU=1.469。而DW=0.5186<dL=1.316，因此，存在正自相關(guān)從殘差et與時(shí)間t以及et與et-1的關(guān)系圖（見圖6.3）看，隨機(jī)干擾項(xiàng)也呈現(xiàn)正自相關(guān)。表6.3的回歸結(jié)果表明，在5%顯著性水平下，n=27，，查D圖6.3et與時(shí)間t以及et與et-1的關(guān)系圖圖6.3et與時(shí)間t以及et與et-1的關(guān)系圖2.

模型修正（廣義差分法）首先對(duì)殘差et做1階滯后自回歸。操作順序：Quick→GenerateSeries，在彈出窗口中輸入E=RESID，點(diǎn)擊確定得到殘差序列et。選擇Quick→EstimateEquation，輸入

EE(-1)可得到殘差項(xiàng)的1階滯后自回歸方程（沒有截距項(xiàng)）：2.模型修正（廣義差分法）

（6.5.3）由式(6.5.3)知模型（6.5.1）的廣義差分方程為：

(6.5.4)對(duì)廣義差分方程（6.5.4）進(jìn)行回歸。選擇Quick→EstimateEquation，輸入

Y-0.7348*Y(-1)CX-0.7348*X(-1)可得到回歸結(jié)果，見表6.4。

第六章--自相關(guān)--《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》課件表6.4得到的方程也可以寫成下列形式（6.5.5）其中，表6.4得到的方程也可以寫成下列形式給定5%顯著性水平，由于n=26（樣本減少了一個(gè)），，查DW表得，dL=1.302，dU=1.461。而

dU<DW=1.7747<4-dU，表明廣義差分模型已經(jīng)不存在自相關(guān)。而廣義差分方程截距項(xiàng)為可得調(diào)整后原模型的截距項(xiàng)估計(jì)值為：最終，我們得到中國農(nóng)村居民消費(fèi)函數(shù)為：（6.5.6）給定5%顯著性水平，由于n=26（樣本減少了一個(gè)），第六章自相關(guān)§6.1什么是自相關(guān)？

一、自相關(guān)的定義則稱隨機(jī)干擾項(xiàng)之間存在自相關(guān)（autocorrelation）自相關(guān)也稱為序列相關(guān)（serialcorrelation），習(xí)慣上，把兩者看成同義語，但也有人把兩者區(qū)別開來。例如，廷特納（GerhardTintner）定義自相關(guān)為“一給定序列同它自身滯后若干期的序列的滯后相關(guān)”，而把序列相關(guān)定義為“兩個(gè)不同序列的滯后相關(guān)”[1]。

第六章自相關(guān)§6.1什么是自相關(guān)？自相關(guān)可以按照時(shí)間序列數(shù)據(jù)或截面數(shù)據(jù)排列的序列來定義隨機(jī)干擾項(xiàng)之間的相關(guān)性，但是，通常情況下，自相關(guān)主要存在于時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，而存在于截面數(shù)據(jù)中的自相關(guān)稱為空間自相關(guān)（spatialautocorrelation）。自相關(guān)可以按照時(shí)間序列數(shù)據(jù)或截面數(shù)據(jù)排列的序列來定義隨機(jī)干擾二、自相關(guān)的表示方式我們用隨機(jī)干擾項(xiàng)與其滯后項(xiàng)或滯后值（laggedvalues）或滯后變量（laggedvariable）之間的相關(guān)關(guān)系來體現(xiàn)自相關(guān)。自相關(guān)形式可分為以下兩種情況：（1）一階自回歸形式，記作AR(1)

當(dāng)隨機(jī)干擾項(xiàng)只與其滯后一期值有關(guān)時(shí)，即

（6.1.3）是的滯后一期值，式子（6.1.3）稱為的一階自回歸形式二、自相關(guān)的表示方式（2）高階自回歸形式，記作AR(m)

（6.1.4）為的滯后一期及其滯后若干期至m期值，式子（6.1.4）稱為的m階自回歸形式。由于自相關(guān)體現(xiàn)的是隨機(jī)干擾項(xiàng)與其滯后值之間的關(guān)系，并且一般情況下，自相關(guān)問題主要是基于時(shí)間序列數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的樣本模型中，因此，隨機(jī)干擾項(xiàng)的下標(biāo)不使用符號(hào)，而用替代。（2）高階自回歸形式，記作AR(m)在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，自相關(guān)問題最常見的形式是線性自回歸形式，因此，式子（6.1.3）可以轉(zhuǎn)化為下列形式

（6.1.5）由經(jīng)典假定，因此，式子（6.1.5）中沒有截距項(xiàng)。并假定隨機(jī)項(xiàng)滿足下列條件在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，自相關(guān)問題最常見的形式是線性自回歸形式，根據(jù)OLS方法，參數(shù)的估計(jì)值為

（6.1.6）若把，看成兩個(gè)隨機(jī)變量，則它們之間的相關(guān)系數(shù)為根據(jù)OLS方法，參數(shù)的估計(jì)值為在大樣本條件下，因此有所以，式子（6.1.5）可以寫成（6.1.7）在大樣本條件下，

稱為一階自相關(guān)系數(shù)（first-ordercoefficientofautocorrelation）或滯后一期的自相關(guān)系數(shù)（coefficientofautocorrelationatlag1）或自協(xié)方差系數(shù)（coefficientofautocovariance）。隨機(jī)誤差項(xiàng)也被稱為白噪音誤差項(xiàng)（whitenoiseerrorterm）。類似地，可以得出二階自回歸形式，AR(2)為（6.1.8）

稱為一階自相關(guān)系數(shù)，稱為二階自相關(guān)系數(shù)稱為一階自相關(guān)系數(shù)（first-orderco一般地，

（6.1.9）稱為m階自回歸形式，記作AR(m)。一般地，一階自回歸形式的相關(guān)性質(zhì)方差公式：（6.1.10）一階自回歸形式的相關(guān)性質(zhì)類似地，可以得出協(xié)方差公式：（6.1.11）類似地，可以得出協(xié)方差公式：同理可得從而有（6.1.12）同理可得實(shí)際上，可以證明隨機(jī)誤差項(xiàng)在AR(1)條件下滿足零均值和同方差假定的。

（6.1.13）式子（6.1.13）表明隨機(jī)干擾項(xiàng)可以表示成隨機(jī)誤差項(xiàng)序列的加權(quán)和，其中權(quán)數(shù)分別為，當(dāng)，序列呈衰減趨勢(shì)；當(dāng)，序列呈交錯(cuò)震蕩衰減趨勢(shì)。

實(shí)際上，可以證明隨機(jī)誤差項(xiàng)在AR(1)條件下滿足零均值和同方同時(shí)，可以推出下列結(jié)論

（6.1.14）（6.1.15）同時(shí)，可以推出下列結(jié)論三、自相關(guān)產(chǎn)生的原因（1）慣性（inertia）。大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列都一個(gè)明顯的特點(diǎn)，就是它的慣性或黏滯。例如，GDP、價(jià)格指數(shù)、就業(yè)等時(shí)間序列都呈現(xiàn)出一定的周期性。這種“內(nèi)在的動(dòng)力”慣性往往產(chǎn)生序列自相關(guān)。（2）滯后效應(yīng)（lageffect）。慣性，有些情況下，體現(xiàn)的是一種滯后效應(yīng)。例如，居民的可支配收入可能對(duì)本期影響不大，但會(huì)在后期逐漸產(chǎn)生影響。這也可以解釋為人的消費(fèi)觀念的慣性影響。

三、自相關(guān)產(chǎn)生的原因也可以說，當(dāng)前的消費(fèi)支出除了受到收入影響以外，還受到上一期的消費(fèi)支出的影響，即可以建立如下的模型：由于解釋變量之一是被解釋變量的滯后值，稱為自回歸模型。人們的消費(fèi)習(xí)慣不會(huì)輕易改變，從而對(duì)模型產(chǎn)生自相關(guān)性。（3）模型設(shè)定偏誤（specificationerror）。一是應(yīng)含而未含變量（excludedvariable）設(shè)定偏誤；二是不正確的函數(shù)形式。例也可以說，當(dāng)前的消費(fèi)支出除了受到收入影響以外，還受到上一期的（4）蛛網(wǎng)現(xiàn)象（cobwebphenomenon）例如，當(dāng)年年初農(nóng)作物種植受上一年價(jià)格的影響，供給函數(shù)為：（5）數(shù)據(jù)的“編造”。即原始數(shù)據(jù)往往是經(jīng)過“編造的”。例如，季度數(shù)據(jù)的使用是通過月度數(shù)據(jù)的簡單平均獲得，這種勻滑本身就能使隨機(jī)干擾項(xiàng)中出現(xiàn)系統(tǒng)性模式，從而導(dǎo)致自相關(guān)。另外，數(shù)據(jù)處理的內(nèi)插（interpolation）或外推（extrapolation）技術(shù)也會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)干擾項(xiàng)的自相關(guān)。（4）蛛網(wǎng)現(xiàn)象（cobwebphenomenon）產(chǎn)生序列自相關(guān)的原因還有模型差分形式變換、時(shí)間序列非平穩(wěn)性等等?？傊?，有很多原因?qū)е乱粋€(gè)回歸模型中的隨機(jī)誤差項(xiàng)自相關(guān)。產(chǎn)生序列自相關(guān)的原因還有模型差分形式變換、時(shí)間序列非平穩(wěn)性等§6.2自相關(guān)的后果1．對(duì)OLS估計(jì)量的影響。

仍然具有線性性和無偏性，但不再具有有效性。線性性和無偏性證明只用到了均值為零的假定條件，即在有效性的證明中，我們利用了同方差和無自相關(guān)假定，即§6.2自相關(guān)的后果現(xiàn)在以簡單線性回歸模型為例來證明上述結(jié)論。設(shè)簡單線性回歸模型為：

(6.2.1)且隨機(jī)干擾項(xiàng)存在一階自回歸形式：

(6.2.2)當(dāng)滿足經(jīng)典假定時(shí)，OLS估計(jì)量的方差為

(6.2.3)現(xiàn)在以簡單線性回歸模型為例來證明上述結(jié)論。OLS估計(jì)量為

（6.2.4）從而（6.2.5）即參數(shù)的OLS估計(jì)量為無偏估計(jì)量。OLS估計(jì)量為在隨機(jī)干擾項(xiàng)不滿足無自相關(guān)條件時(shí)，得到OLS估計(jì)量的方差為：（6.2.6）在隨機(jī)干擾項(xiàng)不滿足無自相關(guān)條件時(shí)，得到OLS估計(jì)量的方差為：當(dāng)時(shí)，參數(shù)的OLS估計(jì)量的方差等于（6.2.3），即此時(shí)隨機(jī)干擾項(xiàng)滿足無自相關(guān)假定。否則，參數(shù)估計(jì)量的方差便會(huì)出現(xiàn)偏差，即不再滿足有效性。當(dāng)時(shí)，即隨機(jī)誤差項(xiàng)之間存在正相關(guān)，一般情況下，經(jīng)濟(jì)變量也是正相關(guān)，式子（6.2.6）括號(hào)內(nèi)的數(shù)值是大于0的。也就是說，仍使用式子（6.2.3）作為參數(shù)估計(jì)量的方差將會(huì)低估真實(shí)的方差。當(dāng)隨機(jī)干擾項(xiàng)不存在自相關(guān)時(shí)，的無偏估計(jì)為：

但是，如果隨機(jī)干擾項(xiàng)存在一階自回歸形式時(shí)，仍使用這個(gè)估計(jì)量將會(huì)出現(xiàn)偏誤。一般情況下，當(dāng)隨機(jī)干擾項(xiàng)和解釋變量都存在正相關(guān)的時(shí)，仍用去估計(jì)會(huì)導(dǎo)致低估真實(shí)的方差。當(dāng)時(shí)，參數(shù)的OLS估計(jì)量的方差等于2．對(duì)模型檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)的影響。當(dāng)存在自相關(guān)時(shí)，仍然使用經(jīng)典假定下OLS估計(jì)量去估計(jì)參數(shù)及其方差會(huì)低估真實(shí)的，低估真實(shí)的參數(shù)估計(jì)量的方差。因此，會(huì)過高估計(jì)統(tǒng)計(jì)量，夸大參數(shù)檢驗(yàn)的顯著性，從而把不重要的解釋變量保留在模型里，使模型顯著性-檢驗(yàn)失去意義。區(qū)間預(yù)測(cè)與參數(shù)估計(jì)量的方差相關(guān)，在方差出現(xiàn)偏誤的情況下，預(yù)測(cè)就不準(zhǔn)確，置信區(qū)間不可靠，從而降低預(yù)測(cè)精度。因此，當(dāng)模型存在自相關(guān)時(shí)，仍用普通最小二乘法得到的回歸方程去預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)功能將失效。2．對(duì)模型檢驗(yàn)和預(yù)測(cè)的影響?！?.3自相關(guān)的檢驗(yàn)自相關(guān)的檢驗(yàn)方法很多，其共同思想是：用OLS方法求出樣本回歸方程，以殘差作為隨機(jī)干擾項(xiàng)的估計(jì)量，然后分析估計(jì)量之間的相關(guān)性并由此判斷隨機(jī)干擾項(xiàng)是否存在自相關(guān)性。§6.3自相關(guān)的檢驗(yàn)1．圖示法0000（a）正自相關(guān)（b）負(fù)自相關(guān)1．圖示法0000（a）正自相關(guān)（b）負(fù)自相關(guān)2．回歸檢驗(yàn)法用OLS方法得樣本回歸方程，以殘差為被解釋變量建立下列回歸方程：對(duì)上述各種形式進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，若某形式的模型檢驗(yàn)顯著，則說明隨機(jī)干擾項(xiàng)存在該形式的自相關(guān)，否則，不存在該形式的自相關(guān)。2．回歸檢驗(yàn)法3．DW檢驗(yàn)法DW檢驗(yàn)法是杜賓（J.Durbin）和瓦森（G.S.Watson）于1951年提出的一種自相關(guān)檢驗(yàn)方法，該方法的前提條件是：（1）解釋變量是非隨機(jī)的；（2）隨機(jī)干擾項(xiàng)為一階自回歸形式：（3）回歸模型中不含有滯后被解釋變量作為解釋變量，即不應(yīng)有下列形式：（6.3.2）（4）回歸模型含有截距系數(shù)；（5）數(shù)據(jù)無缺失項(xiàng)。3．DW檢驗(yàn)法DW檢驗(yàn)步驟如下：給定原假設(shè)：（不存在一階自相關(guān)）；備擇假設(shè)：（存在一階自相關(guān)）用殘差值構(gòu)造DW統(tǒng)計(jì)量：

（6.3.3）把上式展開（6.3.4）DW檢驗(yàn)步驟如下：在大樣本條件下，

（6.3.5）在大樣本條件下，由一階自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值為：（6.3.6）所以有，（6.3.7）由一階自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值為：因?yàn)榈娜≈捣秶荹-1,1]，DW的取值范圍是[0,4]，并且兩者呈反向關(guān)系；取值越大，DW取值越小，反之，DW取值越大，取值越小。見表6.1。

因?yàn)榈娜≈捣秶荹-1,1]，杜賓和瓦森根據(jù)樣本容量和解釋變量數(shù)，在給定顯著性水平條件下，給出檢驗(yàn)的上、下兩個(gè)臨界值和，并構(gòu)成DW分布表。按照DW取值分成5部分，判定規(guī)則如下：（1）DW取值在（0,）之間，拒絕原假設(shè)：，認(rèn)為存在一階正自相關(guān)。（2）DW取值在（,）之間，檢驗(yàn)沒有結(jié)論，即無法判斷是否存在一階正自相關(guān)。（3）DW取值在（,4-）之間，不拒絕原假設(shè)：，認(rèn)為不存在一階自相關(guān)。杜賓和瓦森根據(jù)樣本容量和解釋變量數(shù)（4）DW取值在（4-,4-）之間，檢驗(yàn)沒有結(jié)論，即無法判斷是否存在一階負(fù)自相關(guān)。（5））DW取值在（4-,4）之間，拒絕原假設(shè)：，認(rèn)為存在一階負(fù)自相關(guān)。見圖6.2。無自相關(guān)負(fù)相關(guān)正相關(guān)不確定不確定DWdLdU4-dL4-dU40（4）DW取值在（4-,4-）之間，檢驗(yàn)需要說明的是：（1）當(dāng)DW值落在“不確定”區(qū)域時(shí)，有兩種處理方法。①加大樣本容量或重新選取樣本，重做DW檢驗(yàn)。②選用其他檢驗(yàn)方法。（2）DW臨界值與三個(gè)參數(shù)有關(guān)。①顯著性水平；②樣本容量；③回歸模型中的解釋變量的個(gè)數(shù)（不含截距項(xiàng)）。（3）另外，再次強(qiáng)調(diào)DW檢驗(yàn)不適宜的情況：①不適宜高階自回歸形式；②不適宜樣本容量太小，因此，一般要求樣本容量；③不適宜回歸模型中有被解釋變量的滯后值作為解釋變量的情況。（4）利用EViews軟件可以直接得出DW值。需要說明的是：4．LM(或BG)檢驗(yàn)法

LM（拉格朗日乘數(shù)）檢驗(yàn)法克服了DW檢驗(yàn)法的缺陷，適用于高階自回歸形式及模型中存在滯后被解釋變量的情形。它是由布羅施（Breusch）與戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也稱為BG檢驗(yàn)。設(shè)多元線性回歸模型為（6.3.8）考慮隨機(jī)干擾項(xiàng)為階自回歸形式（6.3.9）4．LM(或BG)檢驗(yàn)法BG檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)下列回歸方程：

（6.3.10）具體步驟如下：（1）用OLS方法估計(jì)原方程（6.3.8），并得到殘差項(xiàng)及其階滯后值。（2）做如下輔助回歸：

（6.3.11）BG檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)下列回歸方程：用OLS方法估計(jì)上式，并計(jì)算可決系數(shù)。構(gòu)造LM統(tǒng)計(jì)量

（6.3.12）（3）設(shè)原假設(shè)：（或不存在自相關(guān)），且在樣本容量很大的條件下，布羅施和戈弗雷證明了統(tǒng)計(jì)量LM漸近服從自由度為m的卡方分布，即～（6.3.13）用OLS方法估計(jì)上式，并計(jì)算可決系數(shù)。構(gòu)造LM統(tǒng)計(jì)量在給定顯著性水平條件下，若,則拒絕原假設(shè)，此時(shí)原方程存在自相關(guān)；若，則不拒絕原假設(shè)，此時(shí)原方程不存在自相關(guān)。在給定顯著性水平條件下，§6.4自相關(guān)的補(bǔ)救方法1．廣義最小二乘法（GeneralizedLeastSquares，GLS）若隨機(jī)干擾項(xiàng)存在自相關(guān)性和異方差性，則有（6.4.3）§6.4自相關(guān)的補(bǔ)救方法

是一個(gè)實(shí)正定對(duì)稱矩陣，因此，存在可逆矩陣D，使得

（6.4.4）用矩陣左乘方程兩邊得

（6.4.5）設(shè)，，，則有

（6.4.6）是一個(gè)實(shí)正定對(duì)稱矩陣，因此，存在可逆矩陣D，使得因?yàn)?/p>

（6.4.7）所以，模型（6.4.6）滿足無自相關(guān)和同方差假定。因?yàn)槔肙LS方法得到參數(shù)估計(jì)量，即

（6.4.8）這就是廣義最小二乘估計(jì)量，是線性、無偏、有效估計(jì)量。利用OLS方法得到參數(shù)估計(jì)量，即2．廣義差分法（Generalizeddifferencemethod）設(shè)多元線性回歸模型為

（6.3.8）考慮隨機(jī)干擾項(xiàng)為階自回歸形式

（6.3.9）2．廣義差分法（Generalizeddifference模型（6.3.8）滯后項(xiàng)為

（6.4.9）模型（6.3.8）滯后項(xiàng)為則有（6.4.10）其中，滿足無自相關(guān)和同方差假定，對(duì)模型（6.4.10）采用OLS方法得到的參數(shù)估計(jì)量為線性、無偏、有效估計(jì)量。則有例如，在一階序列自相關(guān)情況下，廣義差分法回歸模型為

（6.4.11）或

（6.4.12）例如，在一階序列自相關(guān)情況下，廣義差分法回歸模型為

可以證明，在大樣本情況下，廣義差分法與廣義最小二乘法的估計(jì)結(jié)果相近，但在小樣本情況下，廣義差分法得到的回歸模型的樣本容量為，即丟失了第一個(gè)觀測(cè)值，從而對(duì)估計(jì)結(jié)果有影響。因此，在廣義差分法中，需要彌補(bǔ)這個(gè)觀測(cè)值。對(duì)模型（6.4.12）采用普萊斯-溫斯滕變換（Prais-Winstentransformation）：這樣，廣義差分法的估計(jì)結(jié)果完全等同于廣義最小二乘法估計(jì)量。可以證明，在大樣本情況下，廣義差分法與廣義最小二乘法的估計(jì)3.科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法無論是使用廣義最小二乘法還是使用廣義差分法，都必須先要知道自相關(guān)系數(shù)?？瓶藗?奧科特迭代法就是通過逐次迭代的辦法來求得自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值。具體步驟如下：（1）使用OLS方法估計(jì)原模型（6.3.8），并計(jì)算出殘差項(xiàng)。（2）考慮為階自回歸形式（6.3.9），用估計(jì)，建立如下回歸模型：（6.4.13）3.科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法利用OLS方法對(duì)上式（6.4.13）估計(jì)，得到自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值為：。（3）將參數(shù)估計(jì)值代入廣義差分方程（6.4.10），其中，設(shè)利用OLS方法對(duì)上式（6.4.13）估計(jì)，得到自相關(guān)系數(shù)估計(jì)則得回歸方程：（6.4.14）利用OLS方法得參數(shù)估計(jì)值為：。（4）利用得到原模型的參數(shù)估計(jì)值為：則得回歸方程：并代入原模型（6.3.8）的樣本回歸方程，求得新的殘差項(xiàng)：

（6.4.15）

（5）利用殘差項(xiàng)及其滯后項(xiàng)建立如下回歸模型：

（6.4.16）用OLS方法得到自相關(guān)系數(shù)的第二輪估計(jì)值為：

并代入原模型（6.3.8）的樣本回歸方程，求得新的殘差項(xiàng)：如果得到的自相關(guān)系數(shù)