幾何與代數(shù)：1- 方陣的行列式

第1章行列式和線性方程組的求解

§1.1二階、三階行列式(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2

當(dāng)a11a22a12a210時(shí),a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21§1.1二階、三階行列式

a11a12a21a22記D=,b1

a12b2a22D1=.a11b1a21

b2D2=,則當(dāng)D=a11a22a12a210時(shí),,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一確定的解:x2=a11a22a12a21a11b2b1a21第1章行列式和線性方程組的求解

§1.1二階、三階行列式a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33=a11a22a33

+

a12

a23

a31

+

a13

a21

a32

第1章行列式和線性方程組的求解

§1.1二階、三階行列式

對(duì)于三元方程組的解也有類似的結(jié)果：

a11

a23

a32

a12

a21

a33

a13a22a31.問題:

能用對(duì)角線法則定義四階行列式嗎?二階、三階行列式符合對(duì)角線法則!方程組x1+x2=3x1+2x2=5x3x4=0x3+2x4=3有唯一解x1=1x2=2x3=1x4=1175第1章行列式和線性方程組的求解

§1.1二階、三階行列式1

1001200001

10012仿照三階行列式的對(duì)角線法則可得=121211(1)1=4+1=5.3

1005200001

13012=3212

15(1)1=12+5=17.

n級(jí)排列

2.逆序數(shù),奇(偶)排列例1.求下列排列的逆序數(shù)

(1)3,2,5,1,4;(2)2n,2n2,…,4,2,1,3,…,2n3,2n1.第1章行列式和線性方程組的求解

§1.2n階行列式的概念§1.2n

階行列式的概念

3.對(duì)換,相鄰對(duì)換.注:①任一相鄰對(duì)換都改變排列的奇偶性.②任一對(duì)換都可通過奇數(shù)次相鄰對(duì)換來實(shí)現(xiàn).第1章行列式和線性方程組的求解

§1.2n階行列式的概念定理1.1.每一個(gè)對(duì)換都改變排列的奇偶性.1234567891234567推論.n2時(shí),n個(gè)元素的所有排列中,奇、偶排列各占一半,即各有n!/2個(gè).第1章行列式和線性方程組的求解

§1.2n階行列式的概念4.n階行列式的定義

三階行列式的特點(diǎn)每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積.a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33=a11

a22

a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.每一項(xiàng)的三個(gè)元素都位于不同的行和列.行列式的6項(xiàng)恰好對(duì)應(yīng)于1,2,3的6種排列.各項(xiàng)系數(shù)與對(duì)應(yīng)的列指標(biāo)的排列的奇偶性有關(guān).第1章行列式和線性方程組的求解

§1.2n階行列式的概念a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33i1,i2,i3的逆序數(shù)對(duì)所有不同的三級(jí)排列i1,i2,i3求和a11a12a21a22第1章行列式和線性方程組的求解

§1.2n階行列式的概念定義:

a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann注:當(dāng)n=1時(shí),一階行列式|a11|=a11,這與絕對(duì)值符號(hào)的意義是不一樣的.第1章行列式和線性方程組的求解

§1.2n階行列式的概念5.幾個(gè)特殊的行列式10…00

2…0…………00…n0…010

…2

0…………n…00=12…n

,12…n

.(1)對(duì)角行列式第1章行列式和線性方程組的求解

§1.2n階行列式的概念(2)上(下)三角形行列式

a11a12…a1n

0

a22…a2n…………

0

0

…anna110…0

a21

a22…0…………an1

an2…ann=

a11a22…ann

.=

a11a22…ann

.第1章行列式和線性方程組的求解

§1.2n階行列式的概念6.n階行列式的另外一種定義a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann第1章行列式和線性方程組的求解

§1.2n階行列式的概念性質(zhì)1.1

D’=D.記D=行列式D’稱為D的轉(zhuǎn)置.記bij=aji,則D’a11a12…a1n

a21a22…a2n……