2023課標(biāo)版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)-4

2023課標(biāo)版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)4.4解三角形五年高考考點(diǎn)一正弦定理與余弦定理TOC\o"1-5"\h\z(2020課標(biāo)田，7,5分,基礎(chǔ)性)在aABC中,cosC=1,AC=4,BC=3,則cosB=( )ill?A.§ B,- C,- D.-答案A(2018課標(biāo)n,6,5分,基礎(chǔ)性)在AABC中,cosg=y,BC=1,AC=5,則AB=()A.4V2 B,V30 C.V29 D,2V5答案A(2021全國乙,15,5分，綜合性)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為V3,B=60。,a2+c2=3ac,貝！Jb=.答案2V2(2022北京,16,13分,鄲出性)在△ABC中,sin2C-V3sinC.⑴求NC;(2)若b=6,且4ABC的面積為6V3,求4ABC的周長.解析(l)'.'sin2C=V3sinC,a2sinCeosC=V3sinC,又sinCHO,.".cosC=-y.VZCG(0,TT),.-.ZC=2.0(2),.*SAABc=4absinC=^ax6xsin7=^3=6a/3,2 2 6 2/.a=4V3.由余弦定理得c2=(4V3)2+62-2x4a/3x6xy=12,.,.c=2V3,ABC的周長為a+b+c=6+65/3.（2022新高考n,18,12分,基礎(chǔ)性）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為Si,S2,S3.已知Si-S2+S3=y,sinB=⑴求AABC的面積；（2）若sinAsinC=^,求b.解析 ⑴由題意得sgaZan,bLSBug?,4 4 4.,.Si-S2+S3=Y（a2-b2+c2）=y,即a2-b2+c2=2,由cos 得a"+c"-b2：z2accosB,故2accosB=2,/.accosB=l,又「sin/.cosB=孚或cos8=一手（舍）,--3V2caad.1 .o1?3迎..3c——,??S△ABC——dcsinB=5x-4一TOC\o"1-5"\h\z?a_o_c _acsin71sinBsinfsin2BsinAsinC又知ac=乎,sinAsinC=4 o.b2_9._b__3**sin2B_4*"sinB~2f.L3.n3-1 1??%smB=-x-=-.6.（2020天津,16,14分,綜合性）在4ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=2V2,b=5,c=V13.⑴求角C的大?。唬?）求sinA的值；⑶求sin（2A+的值解析 ⑴在AABC中,由余弦定理的推論及a=2Mb=5,c=g^cosC=*丁=今又因?yàn)閏e（o,TT）,所以c=*（2）在4ABC中,由正弦定理及Cga=2ec=舊,可得sinA=—=4 c13（3）由a<c及sinA二^可得cosA=V1—sin2A=^進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=y|,cos2A=2cos2A-1=尚.所以,sin（24+；）=sin2Acos；+cos2Asin,=x1+於x年=巧獸.13 \ 4/ 4 4 13 2 13ZZo考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用（2021全國甲,8,5分,應(yīng)用性）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位:m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足BA'CB'=45°,NA'B'C'=60。.由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°,BB1與CC'的差為100;B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C的高度差A(yù)A'-CC'約為（8七1.732）（）A.346B.373C.446D.473答案B（2021全國乙,9,5分,應(yīng)用性）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測量海島的高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度,稱為"表高"，EG稱為"表距"，GC和EH都稱為"表目距"，GC與EH的差稱為"表目距的差"，則海島的懸）AB=（）EH

EH「表高X「表高X表距主始1-表if巨表目距的差C表高X表距-表II巨表目距的差答案(2019浙江,14,6分,綜合性)在4ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上.若NBDC=45。,則BD二BD二,cosNABD二(2022全國甲，16,5分,綜合性)已知4ABC中,點(diǎn)D在邊BC±,ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)*取得最A(yù)d小值時(shí),BD=答案V3-1（2020課標(biāo)I,16,5分,綜合性）如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=V3,AB±AC,AB±AD,ZCAE=30°,則cosNFCB=〃仍)〃仍)（2022全國乙，17,12分，綜合性）記aABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin（A-B）=sinBsin(C-A).⑴證明：2aM）2+c2;(2)若a=5,cosA卷,求AABC的周長.解析(1)證明：由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),得sinC,sinAcosB-sinCsinBcosA=sinBsinCeosA-sinBsinAcosC,即sinCsinAcosB+sinBsinAcosC=2sinBsinCeosA,由正弦定理可得,accosB+abcosC=2bccosA,由余弦定理的推論可得，i(a2+c2-b2)+i(a2+b2-c2)=b2+c2-a2,即2a2=b2+c2.(2)由題意及余弦定理可得,b'+c2-a'=2bccosA磋bc=25,即2bc=31,又由(1)知^+c~=2a~,所以(b+c)J2bc+2a2=81,所以b+c=9,所以a+b+c=14,故AABC的周長為14.一題多解(1)證明：由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),得sinCsinAcosB-sinCeosAsinB=sinBsinCeosA-sinB?cosCsinA,即2sinBsinCeosA=sinA(sinCeosB+cosC,sinB)=sinAsin(B+C)=sin2A,由正弦定理得2bccosA=a2,由余弦定理的推論得2bc-含產(chǎn)一,.?.2￡=1?+/2bc(2022浙江,18,14分,綜合性)在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知4a-V5c,cosC=(1)求sinA的值；⑵若b=l1,求4ABC的面積.解析⑴由于cosC=1,sinC>0,則sinC=^.由已知及正弦定理得4sinA=V5sinC,則sinA=y.⑵解;J—：由sinC=^>sinA=y,cosC=|>0,得A<C<級(jí)cosA=^..'.sinB=sin(A+C)-sinAcosC+cosAsin由心-=’-得a=蛆"=5出sinBsinV尋③ sinBSftAABC的面積S=1absinC=|x5xllx《=22.解法二:由cosC=1=粵了，得償a=a2+121-c2,5Zab5將C炭a代入上式整理得a2+6a-55=0,解得a=5或a=-11(舍),ABC的面積S=114-absinC=-x5xllx-=22.2 2 5(2019課標(biāo)I,17,12分，綜合性)Z\ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(shè)(sinB-sinO^si/A-sinBsinC.⑴求A;⑵若&a+b=2c,求sinC.解析⑴由已知得sin-B+sin-C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理的推論得cosA=Q孝二尤=因?yàn)?°<A<180°,所以A=60°.2bc2(2)由⑴知B=120。-C,由題設(shè)及正弦定理得&sinA4-sin(120°-C)=2sinC,即乎+*osC+|sinC=2sinC,可得cos(C+60°)=-日.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=當(dāng)，故sinC=sin[(C+60°)-60°]=sin(C+60°)cos600-cos(C+60°)sin60。*：).4(2021新高考n,18,12分,綜合性)在4ABC中,角A,B,C所對的邊為a,b,c,且滿足b=a+l,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求AABC的面積；(2)是否存在正整數(shù)a,使得AABC為鈍角三角形?若存在,求a;若不存在,說明理由.解析(l)2sinC=3sinAn2c=3a,：c=a+2,「.2(a+2)=3a,；.a=4,J.b=a+1=5,c=a+2=6,；.cosA=h+c,a=2bc5比？=???sinA=V1-cos2A=g2x5x6 4 4.。_li?A1vr_V715夕?.Saabc~~bcsinA=~x5x6x---=—--.2 2 4 4(2)由于c>b>a,故要使aABC為鈍角三角形,只能是C為鈍角.cosC=a+b—c<0^aJ+bJ<c'=>a"+(a+1)"<(a+2) a2-2a-3<0^-Ka<3,又a>0,.,.aS(0,3).2ab考慮構(gòu)成aABC的條件,可得a+b>cna+(a+l)>a+2na>l.綜上,a￡(1,3).又a為正整數(shù),，a=2,.,存在a=2,使得aABC為鈍角三角形.(2021新高考1,19,12分,綜合性)記4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC±,BD?sinZABC=asinC.⑴證明：BD=b;(2)若AD=2DC,求cosZABC.解析 (1)證明:在△ABC中，由BDsinZABC=asinC及正弦定理可得BD+)=a。又b‘二ac,所以BD+)=bJ,故BD二b.⑵由AD-2DC得AD=b,DC=匕在△ABD中,cosA=緲*.'8〃=甘=學(xué)_,在△ABC中3 3 2ADAB2x^bc^bcAAC2+AB2-BC2b2+c2-a2gc2-/ /+c2.q2 j°八v7c,cosA= =———.故^—=———，化簡行3c2-llb2+6a2=0,又b2=ac,2ACAB2bc|bc2bc所以3c2—llac+6a2=0,即(c—3a)(3c—2a)=0,所以c=3a或c=|a.當(dāng)c=3a時(shí),b2=ac=3a2,所以b=8a,此時(shí)a+b<c,故a,b,c構(gòu)不成三角形;當(dāng)c=ga時(shí),b2=ac=|a2,所以b=ya,此時(shí)a,b,c可以構(gòu)成三角形，故c=(a,b=^a,所以在△ABC中,cosZABC=。：'山=。+吟3。=3 3 2ac2aja712,三年模擬A組基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一正弦定理與余弦定理(2021南昌NCS20210607項(xiàng)目模擬(一)，5)4ABC中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足a=2A/3,B=45°,C=75°,則b=( )A.2B.V6C.2V2 D.3V2答案C(2021山西康杰中學(xué)等四校4月聯(lián)考,8)我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)"，即在AABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則4ABC的面積J(ab)2-(七誓根據(jù)此公式,若acosB+(b-2c)cosA-0,且b°+cJa'4,則AABC的面積為()A.V6B.2V3C,V3D.3V2答案C(2022江西金太陽3月聯(lián)考,6)設(shè)a,b,c分別是4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,已知a=5bsinB,A^,則6cosB=( ).5/10 d.710 廠3710 ”.3710A?而 B.士而 C.— D.±—答案C(2022陜西榆林二模，14QABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知《sinSsi/A,cosB=-［則IdC_市 ,答案I□(2022新疆3月適應(yīng)性測試,15)在4ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=l,b=MsinB+cosB=V2,則角A的大小為.u耒 6(2022湘豫名校4月聯(lián)考,18)在4ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且VIa+c=2b.(1)求cosB的最小值；(2)若2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,求角C.解析 (D因?yàn)橐筧+c=2b,所以Da2+c2-b2a2+c2-(^2+C) 2a2+3c2-2V2accos =一宏一=一嬴一>2>/6ac-2>/2ac_瓜8ac 4'當(dāng)且僅當(dāng)&a=V3c時(shí),等號(hào)成立.所以cosB的最小值為竽.(2)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC及正弦定理,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即b2+c2-a2=bc.所以cosA=b:因?yàn)?<A〈tt,所以A=^.由&a+c=2b及正弦定理，得近sinA+sinC=2sinB.因?yàn)锳=,所以B=g-C.所以苧+sinC=2sin管?.所以苧+sinC=2（ycosC4-|sinC）.所以cosC=y.因?yàn)?〈C今，所以C=*考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用（2021全國名校聯(lián)盟4月聯(lián)考,9）已知4ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sB=60。，絲粵竺2 則C=（）2 b-cA.30°B.45°C.60°D.120°答案A（2022廣西桂林、崇左、賀州3月聯(lián)考,6）在4ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,b=asinC,c=acosB,則AABC一定是（）A.等腰三角形但不是直角三角形B.直角三角形但不是等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形答案D（2020云南畢業(yè)班4月統(tǒng)一檢測，16）在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2+b（b-V3a）=l,c=1,則ga-b的取值范圍為.答案（1,V3）（2022廣西3月適應(yīng)性測試,15）2021年9月17日,搭載著3名英雄航天員的神舟十二號(hào)載人飛船返回艙成功著陸于東風(fēng)著陸場,標(biāo)志著神舟十二號(hào)返回任務(wù)取得圓滿成功.假設(shè)返回艙D是垂直下落于點(diǎn)C的,某時(shí)刻地面上A、B觀測點(diǎn)觀測到點(diǎn)D的仰角分別為45。、75。,若A、B間的距離為10千米（其中

千米（結(jié)果保留整數(shù),向量比?與而同向），則估算該時(shí)刻返回艙距離地面的高度|CD|約為千米（結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):遍-1.732）.答案14（2022安徽安慶二模，16）如圖,在4ABC中，點(diǎn)D在邊AB上,CD垂直于BC,NA=30°,BD=2AD,AC=5V3,則4ABC的面積為.75V5口木（2022寧夏吳忠二模，17）在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且cos2C-cos2B=sin2A-V3sinAsinB.⑴求角c；⑵若NAgaABC的面積為4V3,M為AB的中點(diǎn)求CM的長解析 ⑴由已知及正弦定理，得c2-b2=a2-V3ab,即c2=a2+b2-6ab.又由余弦定理的推論，得cosC=Q*=f.因?yàn)椋╔C<TT,所以cq.o（2）因?yàn)锳=cg所以△ABC為等腰三角形，且頂角B=勺.故S△ABC=1a2sinB=fa2=46，6 3 2 4所以a=4.在△MBC中,由余弦定理,得CM2=MB2+BC2-2MBxBCcosB=4+16+2x2x4x28,解得CM=2V7.B組綜合應(yīng)用題組時(shí)間：60分鐘分值：70分一、選擇題（每小題5分，共20分）

（2020云南玉溪一中3月模擬,10）在4ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2+c2-V3bc=a2,be=Via1則角C的大小是（）an2tt cn _2n 八itA.n或h B.- C.— D.-6 3 3 5 o答案A（2021河南部分重點(diǎn)中學(xué)3月聯(lián)考，10）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ccosA=（3b-a）cosC.若AABC的面積為3/，則c的最小值是（）A.2B.2V3C.4D.12答案B（2022河南頂級(jí)名校4月聯(lián)考,9）勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石,相傳由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理.漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成,如圖D,證明了商高結(jié)論的正確性.現(xiàn)將弦圖中的四條股延長相同的長度（如將CA延長至D）得到圖2.在圖2中，若AD=5,BD=3V10,D,E兩點(diǎn)間的距離為則弦圖中小正方形的邊長為（）242C.1242C.1答案（2022成者B二診,12）已知ZXABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若c=l,4a2cos2B+4b2sin2A=3b2-3,貝（］tanA的最大值為（）C呼 D考答案C二、填空題（每小題5分，共10分）（2021銀川一模,15）已知AABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,sin—cos—=4—4cos22b+c=10,AABC的面積為4,貝lja=.答案6（2022河南開封二模,16）如圖,某直徑為5遮海里的圓形海域上有四個(gè)小島，已知小島B與小島C相距5海里,cosZBAD=-士則小島B與小島D之間的距離為 海里;小島□ B,C,D所形成的三角形海域BCD的面積為平方海里.答案3V5;15三、解答題(共40分)(2022中原名校聯(lián)盟4月聯(lián)考，19)已知AABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且sinC=V2sinC=2A,c=2.(1)求證:aABC是等腰直角三角形；⑵已知點(diǎn)P在4ABC的內(nèi)部,且PB=PC,PA=AC,求cosZPAB.解析(l)iiE0^:sinC=sin2A=2sinAcosA,BPc=2a,ffosinC=V2sinB,故c=又c=2,所以b=V2,故a3―2a/2=6a—6V2,即(a-V2)(a2+Via+2)=6(a-V2),化簡可得(a-\^)2(a+2V2)-0,因?yàn)閍>0,所以a=V^,所以a=b.又a2+b2=c2,故AABC是等腰直角三角形.(2)由⑴可知，NACBg,設(shè)NPAC=a,其中ae(0,2),因?yàn)镻A=AC,所以NPCAg-吠則NPCB=去取BC的中點(diǎn)D,連接PD,則PD1BC,故PC=-^.2cos2又AP=AC=V2,在4APC中，由正弦定理得，誓=熹.化簡可得,sina=lsmasinl^-x) 乙因?yàn)閍w(。，；)，所以a=/故cosNPAB=cos(jq)=\46/ 4(2022晉中南五校聯(lián)考，18)在4ABC中，已知D是邊BC上一點(diǎn),且BC=3,BD=1,NBAC=3NBAD,sinZBAD*.3⑴求黎的值；⑵求AC的長.解析 (1)在AABD中,由正弦定理,得鉆=衛(wèi)一=」一①.s\nZ.ADBsinZBA。s\nZ.BAD在4ADC中,由正弦定理,得"=一"一=」一②.sinZ.ADCs\nZ.CADs\nZ.CAD因?yàn)镹ADB+NADO180。,所以sinZADC=sinZADB.——yi-.ABs\nZ.CADsin2zF4D, I- I6J?①■②，得77= = =cosZBAD=1—sin2zBAD=11--=—.AC2sinZF4D2sinzF4D 、 79s(2)fi(l)可設(shè)AB-V3x,AC=3x,x>0.cosZBAC=cos3ZBAD-cos(Z.BAD+2ZBAD)=4cos3ZBAD-3cosZBAD=-^.在AABC中，由余弦定理,得BC2=AB2+AC-2ABxACcosZBAC,即9=3x2+9x2+2xV3x3x竽x2=22x2,解得x=等，所以AC=3x*.(2021太原一模,17)已知a,b,c分別是4ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊,3csinA=4b?sinC,再從下面條件①與②中任選一個(gè)作為已知條件,完成以下問題：(1)證明:△ABC為等腰三角形；(2)若4ABC的面積為2遍，點(diǎn)D在線段AB上,且BD=2DA,求CD的長.條件①:cosC卷?xiàng)l件②:cosA=g.(注：如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分)解析選擇條件①cosC=1.(1)證明:由3csinA=4bsinC和正弦定理得3a=4b,由cosC=,和余弦定理的推論得:=老穿=至粵，o oZQU 24b，b=c,??.△ABC為等腰三角形.⑵由(1)得3a=4b,b=c,?.,cosNACB=|,.?.sinZACB=y,.-.S△ABC=jabsinZACB=^c2=275,c=b=3,a=4,'/BD=2DA,/.BD=2,DA=1.SABCD中,由余弦定理得CD2=a2+BD-2a-BDcosB=a2+BD