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第21章一元二次方程章末測試卷(培優(yōu)卷)選擇題(共10小題,滿分30分,每小題3分)(3分)(2021春?九龍坡區(qū)期末)下列關于x的方程中,是一元二次方程的為( )A. B.f+|=-1C.x2-4=2y D.-2^+3=0【解題思路】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可.【解答過程】解:A.當a=l時,不是一元二次方程,故本選項不符合題意;B.是分式方程,不是整式方程,不是一元二次方程,故本選項不符合題意:C.是二元二次方程,不是一元二次方程,故本選項不符合題意;D.是一元二次方程,故本選項符合題意:故選:D.(3分)(2021春?亳州期末)把方程/+2(x-1)=3x化成一般形式,正確的是( )A.x1-x-2=0B./+5x-2=0C.x1-x-1=0D.x2-2x-1=0【解題思路】根據(jù)一元二次方程的一般形式是:a^+hx+c^(a,h,c是常數(shù)且aWO),可得出答案.【解答過程】解:將一元二次方程)+2(x-1)=3x化成一般形式有:?-x-2=0,故選:A.(3分)(2021春?麗水期末)用配方法將方程/-6x=l轉(zhuǎn)化為(x+a)2=/,的形式,則°,6的值分別為( )A.〃=3,b=lB.a=-3,b=1C.。=3,b=10D.a=-3,b=10【解題思路】已知方程利用完全平方公式配方后,確定出。與人的值即可.【解答過程】解:方程/-6x=l,配方得:x2-6;r+9=10,即(x-3)2=10,則a,6的值分別為-3,10.故選:D.(3分)(2021春?岳西縣期末)已知關于x的方程/-3x+m=0的一個根是2.則此方程的另一個根為()A.0 B.1 C.2 D.3【解題思路】設方程另一個根為劉,根據(jù)根與系數(shù)的關系得到2+川=3,從而得到方程的另?個根.
【解答過程】解:設方程另一個根為XI,根據(jù)題意得2+xi=3,解得XI=1,即此方程的另一個根為1.故選:B.(3分)(2021春?潛山市期末)若關于x的方程h2+(k+2)x+4=0有實數(shù)根,則實數(shù)&的取值范圍是( )A.左2-1 B.左2-1且上云0C.左>-1且左#0D.左W-1【解題思路】討論:當女=0時,方程化為2x=0,方程有一個實數(shù)解;當時,A=(*+2)2-4jI?->0,4然后求出兩種情況下的k的公共部分即可.【解答過程】解:當&=0時,方程化為2x=0,解得x=0;k當Jl#o時,A=a+2)2-4k->0,解得出2-1,4所以實數(shù)A的取值范圍是無力-1.故選:A.(3分)(2021春?懷寧縣期末)關于x的一元二次方程/-(2/n-1)x-m-2=0實數(shù)根的情況最確切的是( )A.有實數(shù)根 B.無實根C.有兩個相等實根 D.有兩個不相等的實根【解題思路】根據(jù)A=[-(2/n-1)]2-4X1X(-m-2)=4"尸-4/w+l+4/"+8=4,”2+9>0可得答案.【解答過程】解:VA=[-(.2m-1)]2-4X|X(-/n-2)=4/n2-4m+1+4m+8=4m2+9>0>方程有兩個不相等的實根,故選:D.(3分)(2021春?靖江市期末)某廠一月份生產(chǎn)某大型機器20臺,計劃二、三月份共生產(chǎn)90臺,設二、三月份每月的平均增長率為X,根據(jù)題意列出的方程是( )20(1+x)2=9020(1-x)2=90C.20(1+x)+20(1+x)2=90D.20+20(1+x)+20(1+x)2=90【解題思路】設二、三月份每月的平均增長率為x,則二月份生產(chǎn)某大型機器20(1+x)臺,三月份生產(chǎn)某大型機器20(1+x)2臺,根據(jù)二、三月份共生產(chǎn)90臺,即可得出關于x的一元二次方程,此題得解.【解答過程】解:設二、三月份每月的平均增長率為X,則二月份生產(chǎn)某大型機器2(1+x)臺,三月份生產(chǎn)某大型機器2(1+x)2臺,依題意,得:20(1+x)+20(1+x)2=90.故選:C.(3分)(2021?畢節(jié)市)某校八年級組織一次籃球賽,各班均組隊參賽,賽制為單循環(huán)形式(每兩班之間都賽一場),共需安排15場比賽,則八年級班級的個數(shù)為( )A.5 B.6 C.7 D.8【解題思路】設八年級有x個班,根據(jù)“各班均組隊參賽,賽制為單循環(huán)形式,且共需安排15場比賽”,即可得出關于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論.【解答過程】解:設八年級有x個班,1依題意得:-x(x-1)=15,2整理得:?-x-30=0,解得:xi=6,X2=-5(不合題意,舍去).故選:B.(3分)(2021?遵義)在解一元二次方程7+px+g=0時,小紅看錯了常數(shù)項g,得到方程的兩個根是-1.小明看錯了一次項系數(shù)p,得到方程的兩個根是5,-4,則原來的方程是( )A.^+2x-3=0B.x2+2x-20=0C.x2-2x-20=0D.x2-2x-3=0【解題思路】先設這個方程的兩根是a、p,根據(jù)兩個根是-3,1和兩個根是5,-4,得出a+B=-p=-2,ap=9=-20,從而得出符合題意的方程.【解答過程】解:設此方程的兩個根是a、p.根據(jù)題意得:a+P=-p=-2,a°=g=-20,則以a、0為根的一元二次方程是20=0.故選:B.(3分)(2021春?太湖縣期末)定義:如果一元二次方程0^+云+。=0(aWO)“滿足a+b+c=O",那我們稱這個方程為“蜻蜓”方程,已知關于x的方程a?+法+c=0(aKO)是“蜻蜓”方程,且有兩個相等的實數(shù)根,下列結(jié)論正確的是( )
A.a=cWbB.a=b^cA.a=cWbB.a=b^cC.b=c#aD.a=b=c【解題思路】根據(jù)已知得出方程蘇+加葉。=。(4*0)有X=-1,再判斷即可.【解答過程】解:把x=l代入方程o^+fer+cnO得出a+b+c=O,:'b=-a-c,???方程有兩個相等的實數(shù)根,??△=//-4ac=(-a-c)2-4ac=(a-c)2=0,?U=C9?a=cW。,故選:A.二.填空題(共6小題,滿分18分,每小題3分)(3分)(2021春?龍口市期中)若關于x的一元二次方程(山+2)9闌+2r-1=0是一元二次方程,則m=2?【解題思路】一元二次方程的一般形式是:ar2+bx+c=O(a,b,c是常數(shù)且aH0)特別要注意aHO的條件.【解答過程】解:因為是關于x的一元二次方程,這個方程一定有一個二次項,則(m+2)一定是此二次項.所以得到忙解得,"=2.(3分)(2021春?岳西縣期末)已知某個一元二次方程的兩根分別是1和-2,則這個方程可以是(填一般形式)/+x-2=0(答案不唯一).【解題思路】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系,觀察各式即可得出結(jié)論.【解答過程】解:???一元二次方程的兩根分別是1和-2,.".;n+x2=-1X\X2=-2..??這個方程為:/+x-2=0(答案不唯一).故答案為:?+x-2=0(答案不唯一).(3分)(2021春?高郵市期末)若a是方程/+x-1=0的根,則代數(shù)式2022-3/-3a的值是2019.【解題思路】把x=a代入已知方程,并求得J+4=i,然后將其整體代入所求的代數(shù)式進行求值即可.【解答過程】解:把x=a代入1=0,得cr+a-1=0,解得c^+a=1,所以2022-3a2-3a=2022-3(a2+a)=2022-3=2019.故答案是:2019.(3分)(2021?南崗區(qū)模擬)已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程/-5x+6=0的兩根,則該等腰三角形的周長為7或8.【解題思路】先利用因式分解法解方程得到x\=2,X2=3,利用等腰三角形的性質(zhì)討論:等腰三角形的腰為2,底邊為3;等腰三角形的腰為3,底邊為2,然后分別計算對應的三角形的周長.【解答過程】解:???/-5x+6=0,(x-2)(x-3)=0,BPx-2=0或x-3=0,Xi=2>X2=3,當?shù)妊切蔚难鼮?,底邊為3時,2+2>3,該等腰三角形的周長為2+2+3=7;當?shù)妊切蔚难鼮?,底邊為2時,3+2>3,該等腰三角形的周長為2+3+3=8:綜上所述,該等腰三角形的周長為7或8.故答案為7或8.(3分)(2021春?蚌埠月考)關于x的一元二次方程(a+l)/-2%+3=0有實數(shù)根,則整數(shù)a的最大值是-2.【解題思路】根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根,得到根的判別式大于等于0,求出a的范圍,確定出所求即可.【解答過程】解:???關于x的一元二次方程(a+1)/-2r+3=0有實數(shù)根,.?.△=4-12(a+1)>0,且a+IWO,解得:a<一可且?1,則整數(shù)a的最大值為-2.故答案為:_2.(3分)(2020秋?萬榮縣期末)如圖,將一張長方形紙板的四個角上分別剪掉2個小正方形和2個小長方形(陰影部分即為剪掉的部分),剩余的部分可以折成一個有蓋的長方體盒子(紙板的厚度忽略不計).若長方形紙板邊長分別為40cm和30cm,且折成的長方體盒子表面積是888c〃P,則剪掉的小正方形的邊長為6cm.
30cm40cm2X20x=888,故答案為(用因式分解法)【解題思路】根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案(了+弓X)(3x+x若方程有一個根為1的值(2021秋?灌南縣期中)用指定方法解下列方程解答題(共30cm40cm2X20x=888,故答案為(用因式分解法)【解題思路】根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案(了+弓X)(3x+x若方程有一個根為1的值(2021秋?灌南縣期中)用指定方法解下列方程解答題(共7小題,滿分52分)求證:方程總有兩個實數(shù)根(不合題意,舍去)2=0(用配方法)成的長方體盒子表面積是888?;欤纯傻贸鲫P于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論依題意得:40X30【解答過程】解:設剪掉的小正方形的邊長為xcm,則剪掉的小長方形的長為二~=20,小,(6分)(2021春?金安區(qū)校級期末)關于x的一元二次方程%2-mx+2/n-4=0.【解題思路】設剪掉的小正方形的邊長為xo",則剪掉的小長方形的長為二*=20cv?,寬為xcm,根據(jù)折【解題思路】(1)求出A=(/n-3)220,再根據(jù)根的判別式得出答案即可;(2)把x=l代入方程得出1-m+2m-4=0,再求出方程的解即可.【解答過程】(1)證明:?-mx+2m-4=0,A=(-m)2-4XlX(2/n-4)=m2-8?i+16=(/n-4)2,:不論m為何值,(〃?-4)2/0,A20,...方程總有兩個實數(shù)根;(2)把x=1代入關于x的一元二次方程/-znr+2"i-4=0,得1-m+2,”-4=0.解得m=3.(8分)(2021春?高郵市期末)已知關于x的一元二次方程(2a-1)x+/+l=0兩根為xi,(1)已知xi-M=0,求a的值;(2)化簡:J(a-1)2一|2-小【解題思路】(1)根據(jù)根與系數(shù)的關系,列出關于"的方程,解方程即可求解;(2)根據(jù)判別式可求a的取值范圍,再化簡即可求解.【解答過程】解:A=(2a-1)2-4(a2+l)=-4a-420,解得aW-1>(1)關于x的一元二次方程/-(2a-1)x+J+l=0兩根為xi,X2).?x\+x2=2a-1?x\xi=a+1>Vxi-X2=0f:.(XI+X2)2-4xiX2=0,即(2〃-1)2-4(J+i)=-公-4=0,解得a=-V(a-l)2-|2-^|=I-a-(2-a)=-1.(8分)(2020秋?洪洞縣期中)閱讀材料:為解方程(7-1)2-3(/-1)=0,我們可以將1視為一個整體,然后設將原方程化為y2-3y=0,①解得yi=0,”=3.當y=0時,x2-1=0,x2=l,/.x=±1當y=3時,x2-1=3,x2=4,.\x=±2,原方程的解為用=1,X2=-1,X3=2,X4=-2解答問題:(1)在由原方程得到方程①的過程中,利用換元法達到了降次的目的,體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想:(2)利用上述材料中的方法解方程:(/+x)2-(/+x)-2=0.【解題思路】(1)根據(jù)換元法及其體現(xiàn)的數(shù)學思想解答即可.(2)設/+x=/n,用/n代替方程中的f+x,然后解關于,”的一元二次方程,然后再來求關于x的一元二次方程.【解答過程】解:(1)在由原方程得到方程①的過程中,利用換元法達到了降次的目的,體現(xiàn)了化歸的數(shù)學思想;故答案為:換元,化歸;(2)令x^+x=m,則m2-w-2=0,(m-2)(w+1)=0,.,.m-2—0或m+1=0,解得m=2或m=-1,當zn=2時,x2+x=2,即/+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,則x+2=0或x-1=0,解得xi=-2,X2=l;當m=-1時,,+x=-1.即/+x+l=0,VA=12-4X1X1=-3<0.此方程無解;綜上,原方程的解為Xl=-2,X2=l.(8分)(2020秋?金臺區(qū)校級月考)設△ABC的三邊長為a,b,c,其中a,6是方程(c+2)x+2(ch-1)=0的兩個實數(shù)根.(1)判斷△ABC是否為直角三角形?是說明理由.(2)若△4BC是等腰三角形,求a,b,c的值.【解題思路】(1)根據(jù)根與系數(shù)的關系得到a+b=c+2,ab=2(c+1)=2c+2,把第一個等式兩邊平方,整理可得到/+〃=/,根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以c為斜邊的直角三角形;(2)由于△ABC是等腰直角三角形,則且。=或小利用a+b=c+2可計算出a,于是可得到6、c的值.【解答過程】解:(I)/XABC是直角三角形.理由如下:根據(jù)題意得〃+b=c+2,ab=2(c+1)=2c+2,(a+b)2=(c+2)2,即。2+2"+廬=(2+4。+4,/.〃2+4c+4+/>2=c2+4c-i-4,.\a2+/?2=c2,??.△ABC是以c為斜邊的直角三角形;(2):△ABC是等腰三角形,??〃=b,_H.c—\[*2.g?a+a=V2a+2,/?4Z=2+V2?.*./>=2+V2,c=2+2V2.(8分)(2020?玉田縣二模)在日歷上,我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律,如圖是2019年1月份的日歷.我們?nèi)我膺x擇其中所示的菱形框部分,將每個菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后,相對的兩對數(shù)分別相乘,再相減,例如:9X11-3X17=48,13X15-7X21=48.不難發(fā)現(xiàn),結(jié)果都是48.2019年1月星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六12-456一?-S10it--'12?>.<1314瓦”16---17---1819--21--232425262728293031(1)請證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律;(2)若用一個如圖所示菱形框,再框出5個數(shù)字,其中最小數(shù)與最大數(shù)的積為435,求出這5個數(shù)的最大數(shù);(3)小明說:他用一個如圖所示菱形框,框出5個數(shù)字,其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是120,直接判斷他的說法是否正確(不必敘述理由).【解題思路】(I)設中間的數(shù)為。,則另外4個數(shù)分別為(。-7),(a-1),(a+D,(a+7),利用(a-1)(a+1)-(a-7)(a+7)=48可證出結(jié)論:(2)設這5個數(shù)中最大數(shù)為x,則最小數(shù)為(x-14),根據(jù)兩數(shù)之積為435,可得出關于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論;(3)設這5個數(shù)中最大數(shù)為y,則最小數(shù)為(y-14),根據(jù)兩數(shù)之積為120,可得出關于y的一元二次方程,解之取其正值,由該值在第一列可得出小明的說法不正確.【解答過程】(1)證明:設中間的數(shù)為。,則另外4個數(shù)分別為(a-7),(a-1),(a+1),(a+7),(a-1)(a+1)-(a-7)(a+7),=a2-1-(a2-49),=48.(2)解:設這5個數(shù)中最大數(shù)為x,則最小數(shù)為(x-14),依題意,得:x(x-14)=435,解得:XI=29.xi=-15(不合題意,舍去).答:設這5個數(shù)中最大數(shù)為29.(3)解:設這5個數(shù)中最大數(shù)為y,則最小數(shù)為(y-14),依題意,得:y(y-14)=120,解得:yi=20,yn=-6(不合題意,舍去).;20在第一列,二不符合題意,.??小明的說法不正確.(8分)(2021春?南沼區(qū)期末)科學研究表明接種疫苗是戰(zhàn)勝新冠病毒的最有效途徑.當前居民接種疫苗迎來高峰期,導致相應醫(yī)療物資匱乏,某工廠及時引進了一條一次性注射器生產(chǎn)線生產(chǎn)一次性注射器.開工第一天生產(chǎn)200萬個,第三天生產(chǎn)288萬個.試回答下列問題:(1)求前三天生產(chǎn)量的日平均增長率;(2)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是600萬個/天,若每增加1條生產(chǎn)線,每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少20萬個/天.①現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)一次性注射2600萬個,在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下(生產(chǎn)線越多,投入越大)
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