圖像信號的分析與變換

關(guān)于圖像信號的分析與變換第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容2.1圖像信號的數(shù)字化

2.2離散傅立葉變換DFT2.3離散余弦變換DCT2.6圖像的統(tǒng)計特性第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.1

圖像信號的數(shù)字化數(shù)字圖像處理的前提：連續(xù)圖像離散化數(shù)字圖像。圖像的數(shù)字化的過程：①采樣；②量化。

所謂圖象的數(shù)字化指將代表圖像的連續(xù)模擬信號轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散數(shù)字信號的變換過程。包括圖像像素空間坐標(x,y)的網(wǎng)格化(即離散化采樣)和光強度(即灰度)I的量化。第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日

采樣：即取樣或抽樣，對連續(xù)變化的圖像在空間坐標上作離散化的過程，選取的采樣點為像素；在采樣點上的函數(shù)值(或亮度值)為采樣值或樣值。采樣為圖像信號的定義域離散化。

量化：原圖像經(jīng)采樣后離散化為像素陣形,但每個像素的亮度值仍為連續(xù)量，將這些連續(xù)的無窮多個像素值離散化為有限個整數(shù)值(常用2n表示)的近似表示的操作稱為量化。量化為圖像信號的值域離散化。第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日

注意：由于f(i,j)代表該點圖像的光強度，而光是能量的一種形式，故f(i,j)必須大于零，且為有限值，即：0＜f(i,j)＜∞。數(shù)字化采樣一般是按正方形點陣取樣的，除此之外還有三角形點陣、正六角形點陣取樣。正方形網(wǎng)格正六邊形網(wǎng)格第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.1.1圖像的掃描與采樣圖像在空間上的離散化稱為采樣。圖像是一種二維分布的信息，采樣是在x軸(垂直方向)和y軸（水平方向）兩個方向上進行。采樣過程：先沿垂直方向按一定間隔從上到下順序地沿水平方向直線掃描，取出各水平線上灰度值的一維掃描。而后再對一維掃描線信號按一定間隔采樣得到離散信號，即先沿垂直方向采樣，再沿水平方向采樣這兩個步驟完成采樣操作。第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日采樣點間隔的選取：依據(jù)原圖像中包含的細微濃淡變化來決定。一般,圖像中細節(jié)越多,采樣間隔應(yīng)越小。對一幅圖像采樣時，若每行（即橫向）像素為M個，每列（即縱向）像素為N個，則圖像大小為M×N個像素。采樣間隔第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.1.2二維取樣定理第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日圖像的空間采樣間隔為圖像頻譜截止頻率為圖像的采樣頻率為

二維采樣定理為（Nyguist準則）

選擇適當,使大于或等于原圖像覆蓋頻率間隔兩倍時，則采樣不出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。圖像滿足二維采樣定理則采樣不會出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日

亞取樣和混疊效應(yīng)

亞采樣：

混疊效應(yīng)：指取樣圖像頻譜的各次諧波發(fā)生重疊亞采樣易造成圖像信號的頻譜的混疊效應(yīng)。第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日采樣時的注意點：采樣間隔的選取。采樣間隔取得不合適除了畫面出現(xiàn)馬賽克之外，還會發(fā)生頻率的混疊現(xiàn)象。采樣間隔效果示意圖第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日

取樣圖像的數(shù)學(xué)表示：設(shè)fi(x,y)為原圖像信號，fp(x,y)為采樣圖像信號，二維圖像信號用沖激函數(shù)陣列采樣則有采樣圖像信號為第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日構(gòu)造一個理想的低通濾波器為低通濾波器的沖激響應(yīng)為問題：如何從取樣圖像恢復(fù)原圖像？第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日則從取樣圖像恢復(fù)原圖像恢復(fù)圖象應(yīng)該等于取樣圖象和低通濾波器h(x,y)的卷積.第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.1.3圖像的量化采樣后所得各像素的連續(xù)灰度值的離散化稱為量化。量化誤差：若連續(xù)濃淡（灰度）值用z表示，則對于滿足zi≤z≤zi+1的z值都量化為整數(shù)值qi。qi稱為像素的灰度值。而z與qi的差稱為量化誤差。

以有限個離散值近似表示無窮多個連續(xù)量，一定會產(chǎn)生量化誤差。由此產(chǎn)生量化失真。第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.（等間隔量化）均勻量化設(shè)原圖像灰度變化范圍從r0到rk,r0最暗,rk最亮。把這灰度動態(tài)范圍均勻分為k等份,每一層賦予一個固定碼字:q0到qk-1。量化過程就是把圖像像素樣本灰度值與各層灰度判決值相比較,凡落在相鄰兩層之間像素賦予該層的值。等間隔量化：采樣值灰度范圍等間隔分割非等間隔量化：采樣值灰度范圍不等間隔分割第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日一幅圖像及其直方圖第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日等間隔量化效果示意圖第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.

非等間隔量化依據(jù)一幅圖像具體的灰度值分布的概率密度函數(shù)，對于像素灰度值頻繁出現(xiàn)的灰度值范圍，量化間隔小一些。而對像素灰度值極少出現(xiàn)的灰度范圍，則量化間隔大一些。討論：

a．對亮度值急劇變化部分粗量化，對亮度值變化平緩部分細量化。

b．估計所有可能亮度值出現(xiàn)概率大的亮度值細量化，概率小的量度值粗量化。

c．采樣點固定，自適應(yīng)改變采樣密度。

第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日非等間隔量化效果示意圖第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日充分考慮到人眼的識別能力之后，目前非特殊用途的圖像均為8bit量化，即用0～255描述“黑～白”。低bit量化的偽輪廓現(xiàn)象示意圖在3bit以下的量化，會出現(xiàn)偽輪廓現(xiàn)象。

第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日

圖像信號的正交變換

主要有DFT、DCT、DWT、

DHT等。

圖像信號正交變換的優(yōu)點：

圖像數(shù)據(jù)量大，如果直接在空間域處理，則計算量大，且隨著圖像樣點數(shù)目增加而計算量急劇增加，難以實時處理。采用圖像信號正交變換，將輸入圖像信號從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，可以把空間域中卷積或相關(guān)運算簡化為頻率域相乘處理，大大減少計算量，提高處理速度，可改變難以實時處理局面。第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.2

離散傅立葉變換DFT

DFT的優(yōu)勢：①建立了離散時域（或空間域）與離散頻域間關(guān)系。②DFT大大減少計算量，提高處理速度。提供的FFT算法，徹底改變難以實時處理的局面。時域（或空間域）卷積或相關(guān)運算頻率域相乘運算第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日一維Fourier變換定義設(shè)為x的函數(shù)，若滿足，那么，下列二式成立：

x為時域變量，u為頻率變量，以上公式稱為Fourier變換對。Fourier變換第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日另一種形式令則是一個復(fù)數(shù)，稱為的Fourier譜，稱為相位譜。一維Fourier變換Fourier變換第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日二維函數(shù)若滿足絕對可積條件，那么二維Fourier變換對存在。Fourier譜：相位譜：二維Fourier變換第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.2.1一維離散傅立葉變換設(shè)對1個連續(xù)信號f(x)等間隔采樣得1個離散序列，設(shè)共采了N個樣，則這個離散序列可表示為{f(n)|n=0,1,…,N-1}，令x為離散實變量，u為離散頻率變量，則其離散傅立葉變換對定義

式中x,u=0,1,…,N-1第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式，即式子中R(u)和I(u)分別為F(u)的實部和虛部。通常傅立葉變換也可為指數(shù)形式，即其中：

通常稱|F(u)|為f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜，(u)為f(x)的相位譜。第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.2.2二維離散傅立葉變換定義二維離散信號{f(x,y)|x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}的離散傅立葉變換對為：式中x,u=0,1,…,M-1；y,v=0,1,…,N-1。

x,y為時域變量，u,v為頻域變量。1.二維DFT的定義第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日二維傅立葉變換的復(fù)數(shù)形式，即式子中R(u,v)和I(u,v)分別為F(u,v)的實部和虛部。二維傅立葉變換的傅立葉頻譜，即二維傅立葉變換的相位譜，即第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.二維DFT的性質(zhì)①可分離性---二維離散傅立葉變換的實現(xiàn)：即二維離散傅立葉變換正反變換運算可分別分解成兩次一維離散傅立葉變換運算：第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日那么對于正變換式子可分成下面兩個式子：在上式中，每個式子都為一個一維離散傅立葉變換，所以二維離散傅立葉變換F(u,v)可由f(x,y)先按行進行一維離散傅立葉變換，再按列進行一維離散傅立葉變換得到。第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日用兩次一維DFT計算二維DFT圖示：第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日②平移性質(zhì)表明只要將f(x,y)乘以因子，再進行離散傅立葉變換，則可將圖像的頻譜原點(0,0)移動到圖像中心(M/2,N/2)處。第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日③旋轉(zhuǎn)不變性表明如果時域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣角度。第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日下面為傅立葉頻譜旋轉(zhuǎn)不變性示意圖(a)圖表示原圖像；(b)圖表示原圖像傅立葉頻譜；(c)圖表示旋轉(zhuǎn)45度角后圖像；(d)圖表示旋轉(zhuǎn)后圖像傅立葉頻譜第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日④線性⑤共軛對稱性是Fourier變換的共軛函數(shù)，則第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日⑥縮放性說明函數(shù)在空間比例尺度上的展寬相當在頻域比例尺度上的壓縮，且幅值減少為原來的1/|ab|⑦卷積定理第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日DFT頻譜圖分析：傅立葉變換后的圖像,中間部分為低頻部分－頻譜能量集中部分,越靠外邊頻率越高。第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日二維DFT頻譜圖第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日3.快速Fourier變換(FFT)DFT的計算量大，運算時間長，所以提出FFT，不是一種新的變換，只是DFT的一種算法。原理：W因子的周期性，DFT中的乘法運算中有許多重復(fù)內(nèi)容。第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日將原函數(shù)分為奇、偶項，通過不斷的一個奇數(shù)一個偶數(shù)的相加（減），最終得到需要的結(jié)果。二維FFT由可分性知：2維DFT可看成是兩次的1維DFT變換，即：所以，可以分別對圖像的每一列進行FFT，然后再對每一行進行FFT。第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日例：已知圖像為求2維FFT變換F(u,v)第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日列變換經(jīng)過列變換后為：第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日行變換第四十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日DFT在圖像處理中的應(yīng)用DFT在圖像濾波中的應(yīng)用DFT變換后的圖像，中間為低頻部分，越靠外頻率越高，因此，可選擇所需的高頻或低頻濾波。DFT在圖像壓縮中的應(yīng)用變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個頻率點上的幅值。在小波變換沒有提出時，用來進行壓縮編碼。考慮到高頻反映細節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。DFT在卷積中的應(yīng)用第五十頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.3

離散余弦變換DCT

問題的提出：

Fourier變換的一個最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當于實數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。第五十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.3.1一維離散余弦變換：設(shè){f(x)|x=0,1,…,N-1}為信號序列集合，其離散余弦的正反變換定義為：其中第五十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.3.2二維離散余弦變換：正變換反變換其中第五十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日DCT的頻譜圖分析左上角對應(yīng)低頻分量第五十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日注意：二維DCT的頻譜分布與DFT相差一倍。二維DCT將能量集中與頻譜的左上角。原圖像原圖像的DFT頻譜原圖像的DCT頻譜第五十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日正交變換的性質(zhì)能量守恒性能量集中性?？臻g域亮度均勻分布，頻率大部分能量集中在低頻系數(shù)上去相關(guān)性?？臻g域相關(guān)像素，通過正交變換在頻域大大降低變換系數(shù)之間相關(guān)性。熵保持性。變換系數(shù)F(u,v)的熵值和原圖像信號f(x,y)熵值相等。第五十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.4

圖像的統(tǒng)計特性

圖像的統(tǒng)計特性是指圖像信號(亮度、色度或其抽樣值等)本身，或?qū)λ鼈冞M行某種方式的處理以后的輸出值的隨機統(tǒng)計特性。

例如圖像的同一行相鄰像素之間，相鄰行對應(yīng)像素之間，以及活動圖像相鄰幀的對應(yīng)像素之間往往存在很強相關(guān)性。

對圖像信息進行壓縮編碼就是通過去除圖像信號的這種固有的統(tǒng)計特性的。第五十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.4.1圖像空間域統(tǒng)計特性圖像空間域統(tǒng)計特性是用來反映任意兩個像素之間的相關(guān)性