圖像信號(hào)的分析與變換

關(guān)于圖像信號(hào)的分析與變換第一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日主要內(nèi)容2.1圖像信號(hào)的數(shù)字化

2.2離散傅立葉變換DFT2.3離散余弦變換DCT2.6圖像的統(tǒng)計(jì)特性第二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.1

圖像信號(hào)的數(shù)字化數(shù)字圖像處理的前提：連續(xù)圖像離散化數(shù)字圖像。圖像的數(shù)字化的過(guò)程：①采樣；②量化。

所謂圖象的數(shù)字化指將代表圖像的連續(xù)模擬信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散數(shù)字信號(hào)的變換過(guò)程。包括圖像像素空間坐標(biāo)(x,y)的網(wǎng)格化(即離散化采樣)和光強(qiáng)度(即灰度)I的量化。第三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

采樣：即取樣或抽樣，對(duì)連續(xù)變化的圖像在空間坐標(biāo)上作離散化的過(guò)程，選取的采樣點(diǎn)為像素；在采樣點(diǎn)上的函數(shù)值(或亮度值)為采樣值或樣值。采樣為圖像信號(hào)的定義域離散化。

量化：原圖像經(jīng)采樣后離散化為像素陣形,但每個(gè)像素的亮度值仍為連續(xù)量，將這些連續(xù)的無(wú)窮多個(gè)像素值離散化為有限個(gè)整數(shù)值(常用2n表示)的近似表示的操作稱為量化。量化為圖像信號(hào)的值域離散化。第四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

注意：由于f(i,j)代表該點(diǎn)圖像的光強(qiáng)度，而光是能量的一種形式，故f(i,j)必須大于零，且為有限值，即：0＜f(i,j)＜∞。數(shù)字化采樣一般是按正方形點(diǎn)陣取樣的，除此之外還有三角形點(diǎn)陣、正六角形點(diǎn)陣取樣。正方形網(wǎng)格正六邊形網(wǎng)格第七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.1.1圖像的掃描與采樣圖像在空間上的離散化稱為采樣。圖像是一種二維分布的信息，采樣是在x軸(垂直方向)和y軸（水平方向）兩個(gè)方向上進(jìn)行。采樣過(guò)程：先沿垂直方向按一定間隔從上到下順序地沿水平方向直線掃描，取出各水平線上灰度值的一維掃描。而后再對(duì)一維掃描線信號(hào)按一定間隔采樣得到離散信號(hào)，即先沿垂直方向采樣，再沿水平方向采樣這兩個(gè)步驟完成采樣操作。第八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日采樣點(diǎn)間隔的選?。阂罁?jù)原圖像中包含的細(xì)微濃淡變化來(lái)決定。一般,圖像中細(xì)節(jié)越多,采樣間隔應(yīng)越小。對(duì)一幅圖像采樣時(shí)，若每行（即橫向）像素為M個(gè)，每列（即縱向）像素為N個(gè)，則圖像大小為M×N個(gè)像素。采樣間隔第九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.1.2二維取樣定理第十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D像的空間采樣間隔為圖像頻譜截止頻率為圖像的采樣頻率為

二維采樣定理為（Nyguist準(zhǔn)則）

選擇適當(dāng),使大于或等于原圖像覆蓋頻率間隔兩倍時(shí)，則采樣不出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。圖像滿足二維采樣定理則采樣不會(huì)出現(xiàn)重疊現(xiàn)象。第十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

亞取樣和混疊效應(yīng)

亞采樣：

混疊效應(yīng)：指取樣圖像頻譜的各次諧波發(fā)生重疊亞采樣易造成圖像信號(hào)的頻譜的混疊效應(yīng)。第十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日采樣時(shí)的注意點(diǎn)：采樣間隔的選取。采樣間隔取得不合適除了畫面出現(xiàn)馬賽克之外，還會(huì)發(fā)生頻率的混疊現(xiàn)象。采樣間隔效果示意圖第十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

取樣圖像的數(shù)學(xué)表示：設(shè)fi(x,y)為原圖像信號(hào)，fp(x,y)為采樣圖像信號(hào)，二維圖像信號(hào)用沖激函數(shù)陣列采樣則有采樣圖像信號(hào)為第十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日構(gòu)造一個(gè)理想的低通濾波器為低通濾波器的沖激響應(yīng)為問(wèn)題：如何從取樣圖像恢復(fù)原圖像？第十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日則從取樣圖像恢復(fù)原圖像恢復(fù)圖象應(yīng)該等于取樣圖象和低通濾波器h(x,y)的卷積.第十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日第十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.1.3圖像的量化采樣后所得各像素的連續(xù)灰度值的離散化稱為量化。量化誤差：若連續(xù)濃淡（灰度）值用z表示，則對(duì)于滿足zi≤z≤zi+1的z值都量化為整數(shù)值qi。qi稱為像素的灰度值。而z與qi的差稱為量化誤差。

以有限個(gè)離散值近似表示無(wú)窮多個(gè)連續(xù)量，一定會(huì)產(chǎn)生量化誤差。由此產(chǎn)生量化失真。第十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日1.（等間隔量化）均勻量化設(shè)原圖像灰度變化范圍從r0到rk,r0最暗,rk最亮。把這灰度動(dòng)態(tài)范圍均勻分為k等份,每一層賦予一個(gè)固定碼字:q0到qk-1。量化過(guò)程就是把圖像像素樣本灰度值與各層灰度判決值相比較,凡落在相鄰兩層之間像素賦予該層的值。等間隔量化：采樣值灰度范圍等間隔分割非等間隔量化：采樣值灰度范圍不等間隔分割第二十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日一幅圖像及其直方圖第二十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日等間隔量化效果示意圖第二十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.

非等間隔量化依據(jù)一幅圖像具體的灰度值分布的概率密度函數(shù)，對(duì)于像素灰度值頻繁出現(xiàn)的灰度值范圍，量化間隔小一些。而對(duì)像素灰度值極少出現(xiàn)的灰度范圍，則量化間隔大一些。討論：

a．對(duì)亮度值急劇變化部分粗量化，對(duì)亮度值變化平緩部分細(xì)量化。

b．估計(jì)所有可能亮度值出現(xiàn)概率大的亮度值細(xì)量化，概率小的量度值粗量化。

c．采樣點(diǎn)固定，自適應(yīng)改變采樣密度。

第二十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日非等間隔量化效果示意圖第二十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日充分考慮到人眼的識(shí)別能力之后，目前非特殊用途的圖像均為8bit量化，即用0～255描述“黑～白”。低bit量化的偽輪廓現(xiàn)象示意圖在3bit以下的量化，會(huì)出現(xiàn)偽輪廓現(xiàn)象。

第二十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

圖像信號(hào)的正交變換

主要有DFT、DCT、DWT、

DHT等。

圖像信號(hào)正交變換的優(yōu)點(diǎn)：

圖像數(shù)據(jù)量大，如果直接在空間域處理，則計(jì)算量大，且隨著圖像樣點(diǎn)數(shù)目增加而計(jì)算量急劇增加，難以實(shí)時(shí)處理。采用圖像信號(hào)正交變換，將輸入圖像信號(hào)從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，可以把空間域中卷積或相關(guān)運(yùn)算簡(jiǎn)化為頻率域相乘處理，大大減少計(jì)算量，提高處理速度，可改變難以實(shí)時(shí)處理局面。第二十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.2

離散傅立葉變換DFT

DFT的優(yōu)勢(shì)：①建立了離散時(shí)域（或空間域）與離散頻域間關(guān)系。②DFT大大減少計(jì)算量，提高處理速度。提供的FFT算法，徹底改變難以實(shí)時(shí)處理的局面。時(shí)域（或空間域）卷積或相關(guān)運(yùn)算頻率域相乘運(yùn)算第二十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日一維Fourier變換定義設(shè)為x的函數(shù)，若滿足，那么，下列二式成立：

x為時(shí)域變量，u為頻率變量，以上公式稱為Fourier變換對(duì)。Fourier變換第二十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日另一種形式令則是一個(gè)復(fù)數(shù)，稱為的Fourier譜，稱為相位譜。一維Fourier變換Fourier變換第二十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日二維函數(shù)若滿足絕對(duì)可積條件，那么二維Fourier變換對(duì)存在。Fourier譜：相位譜：二維Fourier變換第三十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.2.1一維離散傅立葉變換設(shè)對(duì)1個(gè)連續(xù)信號(hào)f(x)等間隔采樣得1個(gè)離散序列，設(shè)共采了N個(gè)樣，則這個(gè)離散序列可表示為{f(n)|n=0,1,…,N-1}，令x為離散實(shí)變量，u為離散頻率變量，則其離散傅立葉變換對(duì)定義

式中x,u=0,1,…,N-1第三十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日通常傅立葉變換為復(fù)數(shù)形式，即式子中R(u)和I(u)分別為F(u)的實(shí)部和虛部。通常傅立葉變換也可為指數(shù)形式，即其中：

通常稱|F(u)|為f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜，(u)為f(x)的相位譜。第三十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.2.2二維離散傅立葉變換定義二維離散信號(hào){f(x,y)|x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}的離散傅立葉變換對(duì)為：式中x,u=0,1,…,M-1；y,v=0,1,…,N-1。

x,y為時(shí)域變量，u,v為頻域變量。1.二維DFT的定義第三十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日二維傅立葉變換的復(fù)數(shù)形式，即式子中R(u,v)和I(u,v)分別為F(u,v)的實(shí)部和虛部。二維傅立葉變換的傅立葉頻譜，即二維傅立葉變換的相位譜，即第三十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.二維DFT的性質(zhì)①可分離性---二維離散傅立葉變換的實(shí)現(xiàn)：即二維離散傅立葉變換正反變換運(yùn)算可分別分解成兩次一維離散傅立葉變換運(yùn)算：第三十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日那么對(duì)于正變換式子可分成下面兩個(gè)式子：在上式中，每個(gè)式子都為一個(gè)一維離散傅立葉變換，所以二維離散傅立葉變換F(u,v)可由f(x,y)先按行進(jìn)行一維離散傅立葉變換，再按列進(jìn)行一維離散傅立葉變換得到。第三十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日用兩次一維DFT計(jì)算二維DFT圖示：第三十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日②平移性質(zhì)表明只要將f(x,y)乘以因子，再進(jìn)行離散傅立葉變換，則可將圖像的頻譜原點(diǎn)(0,0)移動(dòng)到圖像中心(M/2,N/2)處。第三十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日③旋轉(zhuǎn)不變性表明如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn)角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣角度。第三十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日下面為傅立葉頻譜旋轉(zhuǎn)不變性示意圖(a)圖表示原圖像；(b)圖表示原圖像傅立葉頻譜；(c)圖表示旋轉(zhuǎn)45度角后圖像；(d)圖表示旋轉(zhuǎn)后圖像傅立葉頻譜第四十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日④線性⑤共軛對(duì)稱性是Fourier變換的共軛函數(shù)，則第四十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日⑥縮放性說(shuō)明函數(shù)在空間比例尺度上的展寬相當(dāng)在頻域比例尺度上的壓縮，且幅值減少為原來(lái)的1/|ab|⑦卷積定理第四十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日DFT頻譜圖分析：傅立葉變換后的圖像,中間部分為低頻部分－頻譜能量集中部分,越靠外邊頻率越高。第四十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日二維DFT頻譜圖第四十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日3.快速Fourier變換(FFT)DFT的計(jì)算量大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，所以提出FFT，不是一種新的變換，只是DFT的一種算法。原理：W因子的周期性，DFT中的乘法運(yùn)算中有許多重復(fù)內(nèi)容。第四十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日將原函數(shù)分為奇、偶項(xiàng)，通過(guò)不斷的一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)的相加（減），最終得到需要的結(jié)果。二維FFT由可分性知：2維DFT可看成是兩次的1維DFT變換，即：所以，可以分別對(duì)圖像的每一列進(jìn)行FFT，然后再對(duì)每一行進(jìn)行FFT。第四十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例：已知圖像為求2維FFT變換F(u,v)第四十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日列變換經(jīng)過(guò)列變換后為：第四十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日行變換第四十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日DFT在圖像處理中的應(yīng)用DFT在圖像濾波中的應(yīng)用DFT變換后的圖像，中間為低頻部分，越靠外頻率越高，因此，可選擇所需的高頻或低頻濾波。DFT在圖像壓縮中的應(yīng)用變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個(gè)頻率點(diǎn)上的幅值。在小波變換沒(méi)有提出時(shí)，用來(lái)進(jìn)行壓縮編碼?？紤]到高頻反映細(xì)節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認(rèn)為可將高頻系數(shù)置為0，騙過(guò)人眼。DFT在卷積中的應(yīng)用第五十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.3

離散余弦變換DCT

問(wèn)題的提出：

Fourier變換的一個(gè)最大的問(wèn)題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實(shí)數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。第五十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.3.1一維離散余弦變換：設(shè){f(x)|x=0,1,…,N-1}為信號(hào)序列集合，其離散余弦的正反變換定義為：其中第五十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.3.2二維離散余弦變換：正變換反變換其中第五十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日DCT的頻譜圖分析左上角對(duì)應(yīng)低頻分量第五十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日注意：二維DCT的頻譜分布與DFT相差一倍。二維DCT將能量集中與頻譜的左上角。原圖像原圖像的DFT頻譜原圖像的DCT頻譜第五十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日正交變換的性質(zhì)能量守恒性能量集中性?？臻g域亮度均勻分布，頻率大部分能量集中在低頻系數(shù)上去相關(guān)性。空間域相關(guān)像素，通過(guò)正交變換在頻域大大降低變換系數(shù)之間相關(guān)性。熵保持性。變換系數(shù)F(u,v)的熵值和原圖像信號(hào)f(x,y)熵值相等。第五十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.4

圖像的統(tǒng)計(jì)特性

圖像的統(tǒng)計(jì)特性是指圖像信號(hào)(亮度、色度或其抽樣值等)本身，或?qū)λ鼈冞M(jìn)行某種方式的處理以后的輸出值的隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特性。

例如圖像的同一行相鄰像素之間，相鄰行對(duì)應(yīng)像素之間，以及活動(dòng)圖像相鄰幀的對(duì)應(yīng)像素之間往往存在很強(qiáng)相關(guān)性。

對(duì)圖像信息進(jìn)行壓縮編碼就是通過(guò)去除圖像信號(hào)的這種固有的統(tǒng)計(jì)特性的。第五十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2.4.1圖像空間域統(tǒng)計(jì)特性圖像空間域統(tǒng)計(jì)特性是用來(lái)反映任意兩個(gè)像素之間的相關(guān)性