高考最后30天搶分必備數(shù)學(xué)專題三-數(shù)列（文理合卷）

2021高考最后30天搶分必備數(shù)學(xué)專題三數(shù)列【押題1】公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：〔1〕求通項(xiàng)；〔2〕假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù).【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕設(shè)數(shù)列的公差為,由題意得：解得或〔舍去〕所以：.〔2〕,由于是一等差數(shù)列故對(duì)一切自然數(shù)都成立即：解得或〔舍去〕所以.【方法與技巧】此題考查了等差數(shù)列的根本知識(shí)，第二問，判斷數(shù)列是等差數(shù)列的條件，要抓住它的特征，充分應(yīng)用等差數(shù)列的判斷條件，轉(zhuǎn)化為恒成立問題。解答數(shù)列問題,必須首先熟記等差與等比數(shù)列的相關(guān)公式.【押題2】數(shù)列的前項(xiàng)和，且．〔I〕求；〔II〕求證：數(shù)列是等差數(shù)列；〔III〕試比擬與的大小，并說明理由．13分∵當(dāng)時(shí)，，即，∴．即．14分【方法與技巧】本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，主要考查等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、不等式的性質(zhì)及證明等根底知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力【押題3】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于一切的正整數(shù)n，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，且過點(diǎn)的切線的斜率為．〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕假設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；〔Ⅲ〕設(shè)集合，，等差數(shù)列的任何一項(xiàng)，其中是中的最小數(shù)，且，求的通項(xiàng)公式【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔Ⅰ〕由題意，得．∴當(dāng)時(shí)，，１分當(dāng)時(shí)，，２分∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．３分〔Ⅱ〕∵，∴，即∴．５分∴，，∴，7分∴．8分〔Ⅲ〕由題意，，．易知中的數(shù)是正偶數(shù)，且最小數(shù)是，即．11分又是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，那么必為偶數(shù)．由題意，得．∴．13分∴．即的通項(xiàng)公式為．14分【方法與技巧】數(shù)列是一特殊的函數(shù)，其定義域?yàn)檎麛?shù)集，且是自變量從小到大變化時(shí)函數(shù)值的序列。注意深刻理解函數(shù)性質(zhì)對(duì)數(shù)列的影響，分析題目特征，探尋解題切入點(diǎn).【押題4】直線過點(diǎn)P〔斜率為，與直線：交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，記.〔Ⅰ〕求的解析式；〔Ⅱ〕設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的條件下，當(dāng)時(shí)，證明不等式.【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔Ⅰ〕直線的方程為，令，得由，得，因此，的解析式為：〔Ⅱ〕時(shí)，,,即①當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是以0為首項(xiàng)的常數(shù)數(shù)列，那么②當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，解得綜合①、②得【方法與技巧】數(shù)列與解析幾何綜合題，是今后高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，求解時(shí)要充分利用數(shù)列、解析幾何的概念、性質(zhì)，并結(jié)合圖形求解【押題5】函數(shù)f〔x〕＝2x＋1，g〔x〕＝x，x∈R，數(shù)列{}，{}滿足條件：a1＝1，＝f〔〕＝g〔〕，n∈N﹡．〔Ⅰ〕求證：數(shù)列{＋1}為等比數(shù)列；〔Ⅱ〕令＝，是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，求使>成立的最小的n值.【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔Ⅰ〕由題意得，，……3分又，4分所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(Ⅱ)解：由⑴知，，，…7分故．……9分．…10分由，且，解得滿足條件的最小的值為．…………12分【方法與技巧】遞推公式為〔其中p，q均為常數(shù)，〕，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。在數(shù)列求和中常見的方法有公式法、分組法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法等，方法的選擇由數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)來決定.【押題6】數(shù)列滿足〔1〕求證：數(shù)列〔〕是等比數(shù)列；〔2〕設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：對(duì)任意的，【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕，，又，所以數(shù)列〔〕是以3為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列……〔6分〕〔2〕由〔1〕知，當(dāng)，那么=又對(duì)任意的，…〔12分〕【方法與技巧】此題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒〞再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對(duì)數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。遞推式為〔p、q為常數(shù)〕時(shí)，可同除，得，令從而化歸為〔p、q為常數(shù)〕型．【押題7】函數(shù)?！?〕數(shù)列滿足，假設(shè)對(duì)任意恒成立，求的取值范圍；〔2〕數(shù)列滿足，記，為數(shù)列前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)積，求證：?！狙侯}指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕為等比數(shù)列從而＜故………6分〔2〕，又由得＜＜?！?3分【方法與技巧】此題考查等比數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等根底知識(shí)和根本的運(yùn)算技能，考查分析問題的能力和推理能力?？疾閿?shù)列的相關(guān)知識(shí)，具有一定難度，與不等式的證明相結(jié)合，帶有一定的技巧性【押題8】各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，首項(xiàng)，且對(duì)于任意均有〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕由得， 那么 所以是以3為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列4分〔2〕當(dāng)時(shí)， 令 那么 所以……13分【方法與技巧】這個(gè)題目通過代換轉(zhuǎn)化為形如a=pa+q〔p≠1，pq≠0〕型的遞推式，通過待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p〔a+k〕與原式比擬系數(shù)可得pk－k=q，即k=，從而得等比數(shù)列{a+k}到達(dá)解決問題的目的?！狙侯}9】函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)〔1,1〕成中心對(duì)稱．〔1〕求函數(shù)的解析式；〔2〕假設(shè)數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)；〔3〕假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,判斷與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過原點(diǎn)，所以c=0，即．又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)〔-1，1〕成中心對(duì)稱，所以。5分〔2〕由題意，開方取正得：，即．∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．∴，即。…9分〔3〕當(dāng)n≥2時(shí)，．所以故?！?3分【方法與技巧】形如:遞推式，考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有令那么可歸為型。(取倒數(shù)法)——探索性問題也出現(xiàn)在近年高考的數(shù)列解答題中.【押題10】函數(shù)=ln(1+x)-ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0平行．〔Ⅰ〕求實(shí)數(shù)a的值；〔Ⅱ〕假設(shè)方程=在[2，4]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；〔參考數(shù)據(jù)：e=2.71828…〕〔Ⅲ〕設(shè)常數(shù)p≥1，數(shù)列{an}滿足〔n∈N*〕，a1=lnp，求證：≥．【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔I〕∵，∴．由題知，解得a=1．…3分〔II〕由〔I〕有f(x)=ln(1+x)-x，∴原方程可整理為4ln(1+x)-x=m．令g(x)=4ln(1+x)-x，得，∴當(dāng)3<x≤4時(shí)，當(dāng)2≤x<3時(shí)，，即g(x)在[2，3]上是增函數(shù)，在[3，4]上是減函數(shù)，∴在x=3時(shí)g(x)有最大值4ln4-3．…6分∵g(2)=4ln3-2，g(4)=4ln5-4，∴g(2)-g(4)==2．由9e≈24.46<25，于是．∴g(2)<g(4)．∴a的取值范圍為．9分〔III〕由

=ln(1+x)-x〔x>-1〕有，顯然0，當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，，當(dāng)x∈(-1，0)時(shí)，，∴在(-1，0)上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．∴在(-1，+∞)上有最大值，而=0，∴當(dāng)x∈(-1，+∞)時(shí)，≤0，因此ln(1+x)≤x．(*)11分由有p>an，即p-an>0，所以p-an-1>-1．∵an+1-an=ln(p-an)=ln(1+p-1-an)，∴由〔*〕中結(jié)論可得an+1-an≤p-1-an，即an+1≤p-1(n∈N*)．∴當(dāng)n≥2時(shí)，-an=ln(p-an)≥ln[p-(p-1)]=0，即≥an．當(dāng)n=1，a2=a1+ln(p-lnp)，∵lnp=ln(1+p-1)≤p-1，∴a2≥a1+ln[p-(p-1)]=a1，結(jié)論成立．∴對(duì)n∈N*，an+1≥an．【方法與技巧】此類題目除了考查根底知識(shí)之外，還考查了我們對(duì)教材中各知識(shí)間的聯(lián)系的理解與綜合運(yùn)用，難度較大.但題目一般以簡(jiǎn)單的設(shè)問開始，因此考生還是可以拿到該題的局部分?jǐn)?shù)的.解這種題目的能力不是短期能培養(yǎng)出來的，要順其自然，相信功到自然成.【押題11】設(shè)函數(shù)是定義域在上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)于任意正數(shù)有.〔1〕求的值；〔2〕一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔3〕在〔2〕的條件下，是否存在正數(shù)，使對(duì)一切成立？假設(shè)存在，求出M的取值范圍；假設(shè)不存在，說明理由.【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕∵，令，有，∴.再令，有，∴，∴…4分【押題12】〕函數(shù)時(shí)，的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，…，依次類推，一般地，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，其中k、m為常數(shù)，且〔1〕假設(shè)k=1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)m=2，問是否存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足假設(shè)存在，求k的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；〔3〕假設(shè)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，求?！狙侯}指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕因?yàn)樗云渲涤驗(yàn)橛谑?又〔2〕因?yàn)樗苑ㄒ唬杭僭O(shè)存在常數(shù)，使得數(shù)列，得符合。法二：假設(shè)存在常數(shù)k＞0，使得數(shù)列滿足當(dāng)k=1不符合。當(dāng)，那么當(dāng) 〔3〕因?yàn)樗缘闹涤驗(yàn)橛谑?那么又那么有進(jìn)而有【方法與技巧】探索性問題在數(shù)列中考查較多，試題沒有給出結(jié)論，需要考生猜出或自己找出結(jié)論，然后給以證明.探索性問題對(duì)分析問題解決問題的能力有較高的要求。總結(jié)方法比做題更重要!方法產(chǎn)生于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中.備選題【押題1】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，且q>0，q≠1.〔1〕假設(shè)a1=qm，m∈Z，且m≥－1，求證：數(shù)列中任意不同的兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列中的項(xiàng)；〔2〕假設(shè)數(shù)列中任意不同的兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列中的項(xiàng)，求證：存在整數(shù)m，且m≥－1，使得a1=qm.【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕設(shè)為等比數(shù)列中不同的兩項(xiàng)，由，得．…2分又，且，所以．所以是數(shù)列的第項(xiàng)．…6分〔2〕等比數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之積仍為數(shù)列中的項(xiàng)，令，由，，，得，．令整數(shù)，那么．…9分下證整數(shù)．假設(shè)設(shè)整數(shù)，那么．令，由題設(shè)，取，使，即，所以，即．………12分所以q>0，q≠1，，與矛盾!所以．…15分【押題2】是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足,.〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)數(shù)列和數(shù)列滿足等式：，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【押題3】曲線在點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔Ⅰ〕∵∴直線的方程為,令,得.〔Ⅱ〕∵,∴∴∴∴【押題4】數(shù)列中，a1=1，且滿足遞推關(guān)系[來源:]〔1〕當(dāng)m=1時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)〔2〕當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足不等式恒成立，求m的取值范圍；〔3〕在時(shí)，證明【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕m=1，由，得：是以2為首項(xiàng)，公比也是2的等比例數(shù)列。于是 …3分由依題意，有恒成立。，即滿足題意的m的取值范圍是〔3〕時(shí)，由〔2〕知設(shè)數(shù)列故 ……9分即在成立……12分【押題5】各項(xiàng)全不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕求證：對(duì)任意的不小于2的正整數(shù)，不等式＞都成立?！狙侯}指數(shù)】★★★★★【解析】由〔1〕S1==a1,知a1=11分當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=即〔n-2〕an-(n-1)an-1+1=03分以〔n+1〕代替n,得〔n-1〕an+1-nan+1=0兩式相減得an+1-2an+an-1=0∴｛an｝為等差數(shù)列…5分∵a1=1,a2=2,∴an=n……6分〔2〕由〔1〕知不等式lnan+1＞+lnanln(n+1)-lnn＞ln(1+)＞…8分設(shè)x=只需證ln(1+x)＞x2-x3即x3-x2+ln(1+x)＞0令h〔x〕=x3-x2+ln(1+x)那么h′(x)=3x2-2x+在[0，+∞)上恒正∴h(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，恒有h(x)＞h(0)=0，即得證.…13分【押題6】數(shù)列中,在處取得極值.(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記,數(shù)列的前項(xiàng)和為,求使的的最小值;【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕由題知，得所以，即是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；〔2〕所以疊加得，，即，n-1+所以，即n的最小值為1006.【押題7】數(shù)列的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為，其中p為正常數(shù)，且，〔I〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔II〕設(shè)數(shù)列項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)于恒成立，假設(shè)存在，求出m的最小值，假設(shè)不存在，說明理由；〔III〕試證明：當(dāng)【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔1〕由題設(shè)知………………1分即，…3分可見，數(shù)列的等比數(shù)列，〔2〕…6分依題意要使恒成立，只需解得所以m的最小值為1…8分〔3〕………………9分由柯西不等式有：所以…11分又…………13分〔其它解法仿照給分〕【押題8】數(shù)列的首項(xiàng)前n項(xiàng)和為且〔I〕設(shè)證明數(shù)列是等比數(shù)列；〔II〕設(shè)【押題指數(shù)】★★★★★【解析】〔I〕當(dāng)兩式相減得…………3分從而即故是公比為3，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列………6分〔II〕由〔I〕知得那么……10分…12分【押題9】某商店投入38萬元經(jīng)銷某種紀(jì)念品，經(jīng)銷時(shí)間共60天，為了獲得更多的利潤(rùn)，商店將每天獲得的利潤(rùn)投入到次日的經(jīng)營(yíng)中，市場(chǎng)調(diào)研說明，該商店在經(jīng)銷這一產(chǎn)品期