高中數(shù)學(xué)新版必修一課時跟蹤檢測（八） 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

課時跟蹤檢測（八）等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)A級——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練1．李輝準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢買一臺學(xué)習(xí)機(jī)，他現(xiàn)在已存60元．計劃從現(xiàn)在起以后每個月節(jié)省30元，直到他至少有400元．設(shè)x個月后他至少有400元，則可以用于計算所需要的月數(shù)x的不等式是()A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400解析：選Bx個月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.2．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，則()A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0解析：選D由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.3．已知a，b，c，d∈R，則下列命題中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，則a＞cB．若a＞－b，則c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，則eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．若a2＞b2，則－a＜－b解析：選B選項A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立，選項C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a＞b＞0，c＜0＜d時，不成立；選項D只有a＞b＞0時才可以．否則如a＝－1，b＝0時不成立，故選B.4．已知0<a1<1，0<a2<1，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與NA．M<N B．M>NC．M＝N D．M≥N解析：選B∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2＝a1a2－a1－a2＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N.5．設(shè)0<α<eq\f(π,2)，0≤β≤eq\f(π,2)，則2α－eq\f(β,3)的范圍是()A．0<2α－eq\f(β,3)<eq\f(5π,6) B．－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<eq\f(5π,6)C．0<2α－eq\f(β,3)<π D．－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π解析：選D由已知，得0＜2α＜π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，由同向不等式相加得到－eq\f(π,6)＜2α－eq\f(β,3)＜π.6．給出四個條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的是________．解析：eq\f(1,a)<eq\f(1,b)?eq\f(b－a,ab)<0，所以①②④能使它成立．答案：①②④7．比較大?。篴2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.答案：＞8．已知三個不等式①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.若以其中的兩個作為條件，余下的一個作為結(jié)論，則可以組成________個正確命題．解析：①②?③，③①?②.(證明略)由②得eq\f(bc－ad,ab)>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0?①.所以可以組成3個正確命題．答案：39．已知a，b∈R，a＋b>0，試比較a3＋b3與ab2＋a2b的大?。猓阂?yàn)閍＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.10．設(shè)x≥1，y≥1，證明x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.證明：因?yàn)閤≥1，y≥1，所以xy≥1，所以x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy?xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.將上面不等式中的右端減左端，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因?yàn)閤≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，從而所要證明的不等式成立．B級——面向全國卷高考高分練1．某高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為120km/h.行駛過程中，同一車道上的車間距d不得小于10mA．v≤120(km/h)或d≥10(m)B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(v≤120（km/h）,d≥10（m）))C．v≤120(km/h)D．d≥10(m)解析：選B最大限速與車距是同時的，故選B.2．(2019·鄭州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？?若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結(jié)論中不正確的是()A．a(chǎn)2<b2 B．a(chǎn)b<b2C．a(chǎn)＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：選D因?yàn)閑q\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A、B、C均正確，因?yàn)閎<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D錯誤，故選D.3．若－1<α<β<1，則下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1解析：選A由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.4．已知a>b>0，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．a(chǎn)＋eq\f(1,a)≥b＋eq\f(1,b)C.eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) D．b－eq\f(1,b)>a－eq\f(1,a)解析：選A因?yàn)閍>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，所以a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故選A.5．已知|a|＜1，則eq\f(1,1＋a)與1－a的大小關(guān)系為________．解析：由|a|＜1，得－1＜a＜1.∴1＋a＞0，1－a＞0.即eq\f(\f(1,1＋a),1－a)＝eq\f(1,1－a2)∵0＜1－a2≤1，∴eq\f(1,1－a2)≥1，∴eq\f(1,1＋a)≥1－a.答案：eq\f(1,1＋a)≥1－a6．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是________．解析：∵z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，－2≤－eq\f(1,2)(x＋y)≤eq\f(1,2)，5≤eq\f(5,2)(x－y)≤eq\f(15,2)，∴3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，∴z的取值范圍是3≤z≤8.答案：3≤z≤87．已知0<a<b且a＋b＝1，試比較：(1)a2＋b2與b的大小；(2)2ab與eq\f(1,2)的大?。猓?1)因?yàn)?<a<b且a＋b＝1，所以0<a<eq\f(1,2)<b，則a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，所以a2＋b2<b.(2)因?yàn)?ab－eq\f(1,2)＝2a(1－a)－eq\f(1,2)＝－2a2＋2a－eq\f(1,2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－a＋\f(1,4)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)<0，所以2ab<eq\f(1,2).C級——拓展探索性題目應(yīng)用練某種商品計劃提價，現(xiàn)有四種方案：方案(Ⅰ)先提價m%，再提價n%；方案(Ⅱ)先提價n%，再提價m%；方案(Ⅲ)分兩次提價，每次提價eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))%；方案(Ⅳ)一次性提價(m＋n)%.已知m>n>0，那么四種提價方案中，提價最多的是哪種方案？并說明理由．解：依題意，設(shè)單價為1，那么方案(Ⅰ)提價后的價格是：1×(1＋m%)(1＋n%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%；方案(Ⅱ)提價后的價格是：(1＋n%)(1＋m%)＝1＋(eq\a\vs4\al(m＋n))%＋m%·n%；方案(Ⅲ)提價后的價格是：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))%))eq\s\up12(2)＝1＋(m＋n)%＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))%))eq\s\up12(2)；方案(Ⅳ)提價后的價格是：1＋(m＋n)%.易知方案(Ⅰ)與方案(Ⅱ)提價一樣多，方案(Ⅳ)提價最少．∴只要比較m%·n%與eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))%))eq\s\up12(2)的大小即可．∵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))%))eq\s\up12(2)－m%·n%＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－n,2)))%))eq\s\