安徽省名校聯(lián)考2022屆高三下學期教育教學質(zhì)量監(jiān)控理科數(shù)學試題（含答案與解析）

2022屆安徽省高三名校聯(lián)考教育教學質(zhì)量監(jiān)控試卷

數(shù)學(理科)(時間：120分鐘分值：150分)注意事項：.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上..回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答窠標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效..考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)設(shè)集合A={(x,y)k+y=6},B={(x,y)|y=x2},則從口3=()A.{(2,4)} B.{(-3,9)} C.{(2,4),(-3,9)} D.02.復數(shù)z=——(i為虛數(shù)單位)的虛部是z+1A.-1 B.1 C.-i D.i.為促進精準扶貧，某縣計劃引進一批果樹樹苗免費提供給貧困戶種植.為了解果樹樹苗的生長情況，現(xiàn)從甲、乙兩個品種中各隨機抽取了100株，進行高度測量，并將高度數(shù)據(jù)制作成了如圖所示的頻率分布直方圖.由頻率分布直方圖求得甲、乙兩個品種高度的平均值都是66.5,用樣本估計總體，則下列描述正確的4甲品種的平均高度高于乙品種，且乙品種比甲品種長的整齊B.乙品種的平均高度高于甲品種，且甲品種比乙品種長的整齊C.甲、乙品種的平均高度差不多，且甲品種比乙品種長的整齊D.甲、乙品種的平均高度差不多，且乙品種比甲品種長的整齊.與橢圓C:看+會=1共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（）.已知。=log27,b=log38,c=O,302.則a,b,c的大小關(guān)系為A.c<b<a B.a<b<cC.h<c<a D.c<a<b.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說，你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則（）A.乙可以知道其他兩人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績.函數(shù)/（乃=』+"一/一2》一2的圖象可能是（）TOC\o"1-5"\h\z.（1-2力5的展開式中，/的系數(shù)為（ ）A.40 B.-40 C.80 D.-80.已知直三棱柱A8C- 的頂點都在球。上，且AB=4，M=6，ZACS=30°,則此直三棱柱的外接球。的表面積是（ ）_ 500兀A.257r B.50兀 C.100n D. 3.希波克拉底是古希臘醫(yī)學家，他被西方尊為“醫(yī)學之父”，除了醫(yī)學，他也研究數(shù)學.特別是與“月牙形”有關(guān)問題.如圖所示.陰影部分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是aABC的外接圓和以AB為直2兀徑的圓的一部分，若=AC=BC=1,則該月牙形的面積為（ ）BTOC\o"1-5"\h\z百兀 兀 1兀 1兀4 24 4 24 424 424.等差數(shù)列｛q｝中，％=-9,a5=-l.記7；=a?！??！ǎā?1，2,…），則數(shù)列｛[,｝（ ）.A.有最大項，有最小項 B.有最大項，無最小項C無最大項，有最小項 D,無最大項，無最小項.已知定義在R上的偶函數(shù)/（x）=JM-cosx（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），記。二/④了），b=/（20-3）,c=f（k+\og32）,則a,b.c的大小關(guān)系是A.a<c<b B.c<a<h C.b<c<a D.h<a<c二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）.給出下列命題：①若同向，則有忸+4=忖+忖；②Z+B與同+|母表示的意義相同；③若不共線，則有歸+坂卜同+慟；④同〈同+時恒成立；⑤對任意兩個向量2九總有卜+目（卜|+|可；⑥若三向量a,瓦c滿足￡+B+￡=6,則此三向量圍成一個三角形.其中正確的命題是（填序號）.若tan[二一2）=:，則tana= .4；6.。為坐標原點，尸為拋物線C：y2=40x的焦點，尸為。上一點，若|PF|=4j5,則aPOF的面積.

.如圖，正方體A8CO—AgGA的棱長為1，E，P分別是棱A4,CG的中點，過直線￡尸的平面分別與棱54，DB交于M,N.設(shè)BM=x,xe[O,l],給出以下四個結(jié)論：①平面MENF_L平面BDRB]；②當且僅當x=,時，四邊形MENF的面積最小；③四邊形MEN尸的周長L=f(x),xe[O,l]是單調(diào)函數(shù)；④四棱錐。|一知硒尸的體積^=〃(可在工€[04]上先減后增.其中正確命題的序號是.三、解答題(本大題共7小題，共82.0分).已知數(shù)列｛《,｝的前n項和為S“，且S”=2"+〃，〃￡”,數(shù)列也｝滿足％=4log?或+3,〃eN*.(1)求凡和2的通項公式;(2)求數(shù)列｛4?〃｝的前n項和7“..如圖，在正四棱錐P—ABC。中，AB=2,ZAPC=~,M為依上的四等分點，即3BM=-BP.4(1)證明：平面平面P8C；(2)求平面PDC與平面40c所成銳二面角的余弦值.19.已知雙曲線E：=-與=1(。>0,6>0)的右焦點為F,離心率e=2,直線/：x=0-與E的一條a/r c漸近線交于Q,與x軸交于19.已知雙曲線E：(1)求E的方程；(2)過F的直線交E的右支于A,B兩點,求證：PF平分NAP8.20.已知火龍果的甜度一般在11~20度之間，現(xiàn)某火龍果種植基地對在新、舊施肥方法下種植的火龍果的甜度作對比，從新、舊施肥方法下種植的火龍果中各隨機抽取了100個火龍果，根據(jù)水果甜度(單位：度)進行分組，^[11,12),[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18),[18,19),[19,20]分組，舊施肥方法下的火龍果的甜度的頻率分布直方圖與新施肥方法下的火龍果的甜度的頻數(shù)分布表如下所示，若規(guī)定甜度不低于15度為“超甜果”，其他為“非超甜果”.舊施肥方法下的火龍果的甜度的頻率分布直方圖甜度111,12)[12,13)[13,14)[14,15)[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)[19,20]頻數(shù)581210161418125新施肥方法下的火龍果的甜度的頻數(shù)分布表(1)設(shè)兩種施肥方法下的火龍果的甜度相互獨立，記M表示事件：“舊施肥方法下的火龍果的甜度低于15度，新施肥方法下的火龍果的甜度不低于15度”，以樣本估計總體，求事件M的概率.(2)根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，列出2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為是否為“超甜果”與施肥方法有關(guān)？(3)以樣本估計總體，若從舊施肥方法下的100個火龍果中按“超甜果”與“非超甜果”的標準劃分，采用分層抽樣的方法抽取5個，再從這5個火龍果中隨機抽取2個，設(shè)“超甜果”的個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.附：

P(K2“J0.0250.0100.005k。5.0246.6357.879其中〃=a+h+c+d.2_其中〃=a+h+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.設(shè)函數(shù)/(》)=丫3-加+1.(1)若f(x)在x=3處取得極值，求。的值;⑵若/(力在[-2,-1]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.22.在平面直角坐標系xOy中,22.在平面直角坐標系xOy中,X=曲線。的參數(shù)方程為，y=1—+cosa2凡? Fsina2(。為參數(shù)).以原點。為極點,軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系.(1)求曲線。的極坐標方程；7F(2)在極坐標系中，是曲線。上的兩點，若/MON",求IOM|+|ON|的最大值.23.已知函數(shù)/(x)=2|x+4|-znx.(1)若m=一1,求不等式/(x)>0的解集；(2)若關(guān)于x的不等式-f在0,+8)上恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.參考答案一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)1.設(shè)集合A={(x,y)k+y=6},8={(x,y)?=x2}力!]Ar|B=()A.{(2,4)} B.{(-3,9)} C.{(2,4),(-3,9)} D.0【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立方程組求解，用列舉法表示即可得4nBx+y=6fx=2fx=—3 / 、【詳解】\_2,：.\或,_Q,則An8={(24),(-3,9)}y=x [y=4Iy=9故選：c【點睛】本題考查集合元素，集合交集，理解集合的含義是關(guān)鍵，為簡單題.22.復數(shù)z=^—（i為虛數(shù)單位）的虛部是i+1A.-1 B.1 C.-f D.i【答案】A【解析】【分析】先對復數(shù)化簡可求得結(jié)果.【詳解】解：因為z=「二：/=z+10+1）（1-1） 2所以復數(shù)Z的虛部為-1,故選:A【點睛】此題考查的是復數(shù)的運算和概念，屬于基礎(chǔ)題..為促進精準扶貧，某縣計劃引進一批果樹樹苗免費提供給貧困戶種植.為了解果樹樹苗的生長情況，現(xiàn)從甲、乙兩個品種中各隨機抽取了100株，進行高度測量，并將高度數(shù)據(jù)制作成了如圖所示的頻率分布直方圖.由頻率分布直方圖求得甲、乙兩個品種高度的平均值都是66.5,用樣本估計總體，則下列描述正確的是（）A.甲品種的平均高度高于乙品種，且乙品種比甲品種長的整齊B,乙品種的平均高度高于甲品種，且甲品種比乙品種長的整齊C.甲、乙品種的平均高度差不多，且甲品種比乙品種長的整齊D,甲、乙品種的平均高度差不多，且乙品種比甲品種長的整齊【答案】D【解析】【分析】由平均值相同可知甲、乙品種的平均高度差不多，從頻率分布直方圖可知乙品種比甲品種高度更集中，長的整齊.【詳解】由題知，甲、乙兩個品種高度的平均值相同均為66.5,即甲、乙品種的平均高度差不多，從頻率分布直方圖可以看出乙品種比甲品種高度更集中，長的整齊.故選：D.與橢圓C:卷■+[■=1共焦點且過點（1,石）的雙曲線的標準方程為（）2A.X2--=1 B.y2-2x2=13 ）【答案】C【解析】【分析】求出橢圓的焦點坐標，利用雙曲線的定義可求得。的值，再由產(chǎn)下■可求得b的值，結(jié)合雙曲線的焦點位置可求得雙曲線的標準方程.TOC\o"1-5"\h\z2 2【詳解】橢圓C的焦點坐標為（0,±2）,設(shè)雙曲線的標準方程為4一今=1（4>03〉0）,由雙曲線的定義可得2a=J『+(6+2)2—,『+(6—2丫=(#+&)-(#—及)=2&,a=>/2?,/c=2,；.b=\Jc2—a2=正,2 2因此，雙曲線的方程為匕一上=1.2 2故選：C.5.已知a=log27,b=log,8,c=O,302,則a,b,c的大小關(guān)系為A.c<b<a B.a<b<cC.h<c<a D.c<a<b【答案】A【解析】【分析】利用利用0,1,2等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小.【詳解】c=0.3°2<0.3°=1;log27>log24=251<log38<log39=2.故.故選A.【點睛】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時要根據(jù)底數(shù)與1的大小區(qū)別對待..甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說，你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，則（）A.乙可以知道其他兩人成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給信息進行推理.【詳解】甲、乙、丙、丁四位同學中有2位優(yōu)秀，2位良好，因為甲看乙、丙的成績后仍不知道自己的成績，可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲、丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，J看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，故選：D..函數(shù)/（司=『+1-/一2方一2的圖象可能是（）【答案】B【解析】【分析】根據(jù)〃x）= （x+l）2—l,得到/（X）的圖象關(guān)于x=—l對稱，再利用特殊值判斷.【詳解】因為/(x)=^+i|-x2-2x-2=^-(x+1)2-1,所以/（X）的圖象關(guān)于x=—l對稱,又〃0）=e-2>0,故選：B.（l—2x）s的展開式中,B.-40DB.-40D.-80【答案】D【解析】【分析】求出（>2x）5的展開式為卻|=C；?（一2yV,在令r=3,即可求出結(jié)果.【詳解】因為（1—2x）5的展開式為=Cr,15-.（_2x）r=C；-（-2）rxr令r=3,所以/的系數(shù)為。:（一2）3=-80.故選：D..已知直三棱柱ABC—4與G的頂點都在球。上，且AB=4,AA=6,ZACB=3（T,則此直三棱柱的外接球。的表面積是（ ）_ 500兀A.257r B.50兀 C.100n D. 3【答案】C【解析】【分析】設(shè)點。'為aABC外接圓的圓心，根據(jù)NACB=30°,得到△AOB是等邊三角形，求得外接圓的半徑r,再根據(jù)直三棱柱ABC-A瓦百的頂點都在球。上，由/?='/+（必［=5求得，直三棱柱的外接球的半徑即可.【詳解】如圖所示:設(shè)點O'為aABC外接圓的圓心，因為NACB=30°,所以ZAO'8=60'，又。A=(7B=r,所以△AOB是等邊三角形，所以r=(Z4=(78=A8=4,又直三棱柱ABC-A8IG的頂點都在球。上,所以直三棱柱的外接球0的表面積是S=4萬正=loo%,故選：C.希波克拉底是古希臘醫(yī)學家，他被西方尊為“醫(yī)學之父”，除了醫(yī)學，他也研究數(shù)學.特別是與“月牙形”有關(guān)的問題.如圖所示.陰影部分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是aABC的外接圓和以AB為直2兀徑的圓的一部分，若NACB==AC=BC=l,則該月牙形的面積為( )3A,昱+三 B,昱—三 C.-+— D,—4 24 424 424 424【答案】A【解析】【分析】求出aABC的外接圓半徑，得弓形面積，再求得大的半圓面積，相減可得結(jié)論.【詳解】解析由已知可得A5=&，aABC的外接圓半徑為R=，x「L=1.由題意，內(nèi)側(cè)圓弧為2sin30°2tt△ABC的外接圓的一部分，且其對應的圓心角為:則弓形A8C的面積為-xl2xf--sin—1=---,外側(cè)的圓弧以A3為直徑，所以半圓A5的面積為2I3 3J34Ixnxf正［=町，則月牙形的面積為四_佶一期邛+：2（2）8 8（34）424故選：A..在等差數(shù)列｛《,｝中，a,=-9,a5=-l.記7；=a。…《＜（”=12…），則數(shù)列｛*｝（ ）.A.有最大項，有最小項 B.有最大項，無最小項C.無最大項，有最小項 D.無最大項，無最小項【答案】B【解析】【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項和最小項.【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差1=今二幺=±2=2,則其通項公式為：q?=q+（〃—l）d=—9+（〃—1）x2=2n—11,注意到q<%v?</%<0<%=1<%<???，且由4＜。可知（＜0（，之6,，￡77）,由h="＞l（iN7,ieN）可知數(shù)列｛乙｝不存在最小項,由于q=-9,%=—7,%=—5,%=—3,%=—I，4=1?故數(shù)列｛1｝中的正項只有有限項：4=63,7；=63xl5=945.故數(shù)列｛1｝中存在最大項，且最大項為故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學思想等知識，屬于中等題..已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)=/T-cosx(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，記。=/(0.32),b=/(20-3),c=f(k+log32),則a,b,c的大小關(guān)系是A.a<c<b B.c<a<b C.h<c<a D.h<a<c【答案】A【解析】【分析】先由偶函數(shù)求出Z=0,然后分析出函數(shù)在［0,可上單調(diào)遞增，判斷出以lb于2：女妻3<03>且都屬于［0,乃］,然后可比較大小.【詳解】解：由定義在R上的偶函數(shù)"X)=Ji1—COaX,可得〃_X)=〃X)即 -COS(—X)=』盟-COSX,解得&=0所以f(x)=J*-COSX當xe［o,句時，*="單調(diào)遞增，COSX單調(diào)遞減，所以/(工)=陰-cosx在［0,可上單調(diào)遞增因為0.32=0.09，1<2°3<2，0.5<*+log32=log32<l所以(b手生女23<03>且都屬于［0,司所以7(0.32)<c=〃Z+log32)<n03),即a<c<b故選A.【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運用，考查了學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.二、單空題(本大題共4小題，共20.0分).給出下列命題：①若同向，則有忸+。|=慟+,卜

②與問+忖表示的意義相同；③若工坂不共線，則有,+?＞問+問；④問＜問+慟恒成立；⑤對任意兩個向量點九總有p+目4同+%；⑥若三向量Z,瓦工滿足￡+B+"=6，則此三向量圍成一個三角形.其中正確的命題是（填序號）【答案】①⑤【解析】【分析】根據(jù)向量的模、共線向量的基本概念以及向量加法的法則，逐一分析即可.【詳解】對于①，若同向，則B+G與同向，所以@+4=慟+同，故①正確；對于②，與同+慟前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意義不相同，故②不正確；對于③，若￡花不共線，則有%+.〈同+忖，故③不正確；對于④，若5=6,則同=同+忖，故④不正確：對于⑤，對任意兩個向量￡花，總有歸+可福+陣故⑤正確；對于⑥，若三向量ac滿足a+B+c=。，若a,B,c中有零向量，則此三向量不能圍成一個三角形，故⑥不正確.故答案為：①⑤..若tan|。 |=一，則tan6z=I4J67【答案】一5【解析】【詳解】（兀、?！驹斀狻浚ㄘ?、兀tana=tana |+一I4）47故答案為一.5.。為坐標原點，尸為拋物線C：y2=4&x的焦點，尸為。上一點，若|PF|=4j5,則aPOF的面積.【答案】2G【解析】【分析】先由拋物線方程得到焦點坐標F(0,0)，設(shè)P(m,n),根據(jù)|PF|=40,求出P點坐標，再由△POF的面積為S=；|OF|x|n|,即可求出結(jié)果.【詳解】???拋物線C的方程為y2=4jlx, /.2p=4x/2,可得g=亞,得焦點F(72,0)設(shè)P(m,n),根據(jù)拋物線的定義，得|PF|=m+]=4&,即m+&=4&，解得m=30，???點P在拋物線。上，得M=4/X3&=24n=±2-76,.-.△POF的面積為S=1|OF|x|n|=2>/3.故答案為2道.【點睛】本題主要考查拋物線中三角形的面積問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于常考題型.16.如圖，正方體ABC。—481G2的棱長為1，E，/分別是棱AA-CG的中點，過直線E廠的平面分別與棱8與，DD1交于M,N.設(shè)8M=x,xe[0,l],給出以下四個結(jié)論：①平面MEN/J_平面BDDtBt.②當且僅當x=；時，四邊形MENr的面積最?。孩鬯倪呅蜯EN/的周長L=/(x),xe[0,1]是單調(diào)函數(shù)；④四棱錐G-M&VF的體積V=〃(x)在xe[0,l]上先減后增.其中正確命題的序號是.【答案】①②【解析】【分析】①利用面面垂直的判定定理判斷：②求得|MN|=J(1-2x)2+2,又所是定值，結(jié)合S=gxEfxMN可作出判斷：③四邊形MEN尸是菱形，分析EM的變化可作出判斷；④將四棱錐則分割為兩個小三棱錐M-GEF，N-GEF,進而可作出判斷.【詳解】對于①：連接防，8￡>,孫則由正方體的性質(zhì)可知，EF_L平面80。耳，又跳'u平面MENF,所以平面MEAT_L平面8。￡)石，故①正確；對于②：連接MN，因為EF_L平面8。。石，所以EFLMN,所以四邊形MEN/是菱形.四邊形MENF的面積S=gxEFxMN,四邊形MEM7的對角線所是固定的，|MN|=J(l-2x)2+2，所以當且僅當x=，時，四邊形MEM的面積最小，故②正確；2對于③：因為EFLMN,所以四邊形MENR是菱形.當xe0,；時，的長度由大變小；當xe1時，的長度由小變大.所以函數(shù)L=/(x),xg[0,1]不單調(diào).故③錯誤；對于④：四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以&E產(chǎn)為底，以M,N分別為頂點的兩個小棱錐M-CEF,N-GEF.因為三角形GE/的面積是個常數(shù).M,N到平面QE尸的距離是個常數(shù)，所以四棱錐G-MENb的體積V=〃(x)為常值函數(shù)，故④錯誤.故答案為：①②.%B三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)17.已知數(shù)列｛%｝的前n項和為S“，且5“=2/+〃，〃wN*,數(shù)列也｝滿足勺=4log2bn+3,neN*.(1)求。“和"的通項公式；⑵求數(shù)列｛4,/“｝的前n項和7；.【答案】⑴a?=4n-l,neN*5bn=2n-x；(2)7；=(4〃一5)2"+5【解析】【詳解】試題分析：(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式主要利用4=｛。](/0求解，分情況求解后要驗證〃=1是否滿足〃22的通項公式,將求得的｛4｝代入an=4log,bn+3,整理即可得到bn的通項公式；(2)整理數(shù)列也,｝的通項公式得《也=(4〃-1四”7,依據(jù)特點采用錯位相減法求和試題解析：(1)S“=2〃？+〃,〃eN*,當〃=1時，4=S]=3.當〃N2時，4= S._]=2n2+n-[2(m—I)2+(n—1)]=4n—1.?；〃=1時，4=3滿足上式，；.％=4〃—1,〃eN.又；?！?410822+3,〃€/7*,二4"-1=410822+3,解得：bn=2,,-,.故a“=4〃-l,,b?=2n-',nwN".(2)???a“=4〃T,,bn=2"-',〃6N*：.Tn=afy+a2^4-.+a/n=3x2°+7x21+-..+(4n-5)x2"-2+(4n-l)x2"_1027；=3x2'+7x22+...+(4n-5)x2"-1+(4〃-1)x2"②由①-②得：-7；=3+4x21+4x2?+…+4x2"T-(4〃-1)x2"

=3=3+4x2(1-2n-')

1-2-(4n-l)x2n=(5-4n)x2n-5.?.7；=(4〃-5)x2"+5,nwN*.考點：1.數(shù)列通項公式求解；2.錯位相減法求和【方法點睛】求數(shù)列｛勺｝的通項公式主要利用4=￡,q,=5“一Si(〃22)分情況求解后，驗證q的值是否滿足勺=5“-51(〃之2)關(guān)系式，解決非等差等比數(shù)列求和問題，主要有兩種思路：其一，轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解(即分組求和)或錯位相減來完成，其二，不能轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列的，往往通過裂項相消法，倒序相加法來求和，本題中a也,,根據(jù)特點采用錯位相減法求和7718.如圖，在正四棱錐P—A6C。中，AB=2,N4PC=—,M為心上的四等分點，即3BM=-BP.4(1)證明：平面AMCJ?平面PBC：(2)求平面PDC與平面AMC所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)答案見解析.(2)叵7【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得=PO=PA=PC=20，在"W中，利用余弦定理可得然后同理可得CM1PB,利用面面垂直的判定定理即可求解.U UU(2)以。為原點建立直角坐標系，求出面尸OC的法向量為〃?,AMC的法向量為%,利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

【詳解】（1）由A5=2=AC=20由ZAPC=-^>PA=PC=AC=2V23因為是正四棱錐，散PB=PD=PA=PC=2叵B 3L于是bm=X￡,pm=±也2 2由余弦定理，在中，設(shè)NAPS=。COS。=COS。=PA2+PB2-AB232PA-PB再用余弦定理，在△再用余弦定理，在△/RW中，7AM2P^+PM2-2PA-PMcos0=~7 1 .AM2+MB2=-+-=4=AB222NAMB是直角，AM上PB同理CM_LP3,而PB在平面PBC上，二平面AMC_L平面PBC（2）以。為原點建立直角坐標系，如圖:則D(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),P(1,1,a/6),B(2,2,0)U LUI設(shè)面PDC的法向量為%,AMC的法向量為n2則"=而x比=(0,26，-2)晨〃而，取后=麗=（1』,一卡）于是，二面角。的余弦值為：cos6=【點睛】本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角，屬于基礎(chǔ)題.2 2 219.已知雙曲線E：^―-^―=1(a>0,h>0)的右焦點為尸，離心率e=2,直線/：》=幺與E的一條a2b2 c漸近線交于Q,與x軸交于尸，且尸。1=75.(1)求E的方程；(2)過尸的直線交E的右支于A,B兩點,求證：PF平分N4尸艮【答案】(1)f_E=i：(2)證明見解析.3【解析】【分析】(1)先將直線/的方程與漸近線方程聯(lián)立求出點。的坐標，求出尸尸的長，從而可求出尸。|,再由/。1=石，可求出b的值，再結(jié)合離心率可求出。的值，從而可求出E的方程；(2)設(shè)過點尸得直線方程為：x=my+2,設(shè)4(xi,yi),B(也，”)，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去工,再利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后表示出依4,kPB,相加化簡，若等于零，可得P尸平分NAPBTOC\o"1-5"\h\za2 h【詳解】解：(1)不妨設(shè)直線/： -與E的一條漸近線y=-x交于Q,則c a，a2x=— .+JC俎ab由4，得>。?b cy=x/a：.\FQ\2=(——)2+(_)2=從=3,ccb—5/3，2 12又離心率e=2, —=4,，a=l.2.?.E的方程為：x2——=1.3(2)設(shè)過點尸得直線方程為：x=my+2fA(xi,yi),B(X2>").x=my+22 2 ，可得(3M-1)y2+12wy+9=0,3廠一y=3. —. —12zn則…=罰，y仍3/w2-l,過手的直線交E的右支于AB兩點，.?.叫”<(),kpA+kpB—13 3I必kpA+kpB—13 3I必y(機%+彳)+%(沖|+不)1= 乙 =0xt~2“2-5二%(m％+])+%(沖|+2=2m-3/w2-123>nr-\'.kpA+kpB—0<...PF平分NAPS.20.已知火龍果的甜度一般在11?20度之間，現(xiàn)某火龍果種植基地對在新、舊施肥方法下種植的火龍果的甜度作對比，從新、I□施肥方法下種植的火龍果中各隨機抽取了100個火龍果，根據(jù)水果甜度(單位:度)進行分組，^fe[ll,12),[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18),[18,19),[19,201分組，舊施肥方法下的火龍果的甜度的頻率分布直方圖與新施肥方法下的火龍果的甜度的頻數(shù)分布表如下所示，若規(guī)定甜度不低于15度為“超甜果”，其他為“非超甜果”.舊施肥方法下的火龍果的甜度的頻率分布直方圖舊施肥方法下的火龍果的甜度的頻率分布直方圖甜度UL12)[12,13)[13,14)[14,15)115,16)[16,17)[17,18)[18,19)[19,20]頻數(shù)58121()161418125新施肥方法下的火龍果的甜度的頻數(shù)分布表(1)設(shè)兩種施肥方法下的火龍果的甜度相互獨立，記M表示事件：“舊施肥方法下的火龍果的甜度低于15度，新施肥方法下的火龍果的甜度不低于15度”，以樣本估計總體，求事件M的概率.(2)根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，列出2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認為是否為“超甜果”與施肥方法有關(guān)？(3)以樣本估計總體，若從舊施肥方法下的100個火龍果中按“超甜果”與“非超甜果”的標準劃分，采用分層抽樣的方法抽取5個，再從這5個火龍果中隨機抽取2個，設(shè)“超甜果”的個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望.附：尸①相)0.0250.0100.005k。5.0246.6357.879K— ，其中〃=a+/?+c+d?(a+Z>)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】(1)0.39(2)列聯(lián)表見解析；有99.5%的把握認為是否為“超甜果”與施肥方法有關(guān)4(3)分布列見解析：期望為不【解析】【分析】(1)首先根據(jù)頻率分布表，計算新，舊方法下的火龍果的甜度不低于15度的頻率，再利用獨立事件概率求P(M)；(2)由題意可得2x2列聯(lián)表，求計算K?，再根據(jù)臨界值，即可判斷;(3)由題意可得隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,再利用超幾何概率分布，求分布列和數(shù)學期望.【小問1詳解】記A表示事件：“舊施肥方法下的火龍果的甜度低于15度”，8表示事件：“新施肥方法下的火龍果的

甜度不低于15度”，則有P(M)=P(A8)=尸(A)P(8).由頻率分布直方圖可知舊施肥方法下的火龍果的甜度低于15度的頻率為(0.1+0.15x2+0.2)x1=0.6.由頻數(shù)分布表可知新施肥方法下火龍果的甜度不低于15度的頻率為由頻數(shù)分布表可知新施肥方法下火龍果的甜度不低于15度的頻率為16+14+18+12+5… =0.65.100故事件M的概率為0.65x0.6=0.39.【小問2詳解】依題意可得到列聯(lián)表非超甜果超甜果合計舊施肥方法6040100新施肥方法3565100合計951052005000—3995000—399?12.531>7.879,95x105x100x100故有99.5%的把握認為是否為“超甜果”與施肥方法有關(guān).【小問3詳解】舊施肥方法下的100個火龍果中，“非超甜果”為60個，“超甜果”為40個，按分層抽樣的方法隨機抽取5個，則抽取的''非超甜果”為3個，“超甜果”為2個，所以隨機變量X的所有可能取值為0，1，2,八 3尸―。)=『正P(X=2詈4C21尸(X=2)=W=—C510隨機變量X的分布列為X012P31035110

3 3 I 4數(shù)學期望E(X)=0x—+lx-+2x—=—.10 5 10521.設(shè)函數(shù).(1)若f(x)在x=3處取得極值，求。的值；(2)若f(x)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.【答案】(1)a=1(2)(-oo,-3]【解析】【分析】(1)對Ax)求導,再根據(jù)題意有了'(3)=0,據(jù)此列式求出a；(2)由題可知/'(%)<0對*6[―2,—1]恒成立，即aW]x對xe[—2,—1]恒成立，因此求出/X在區(qū)間[―2,—1]上的最小