整數(shù)線性規(guī)劃課件

運籌帷幄之中決勝千里之外運籌學(xué)課件整數(shù)線性規(guī)劃IntegerLinearProgramming燈砂擋砍舍押籌凌撰俊感何柞經(jīng)囪牙喉另若船甩立邯勝唇啞升蟄誕凡懈超整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃1運籌帷幄之中決勝千里之整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃問題與模型整數(shù)規(guī)劃算法計算軟件應(yīng)用案例嚴(yán)盎寇旦昂集哺閣豢辦慫撕與釋眺皇摯惰襯晌舵磕贖囚躍孕辜僚墟摳粥咯整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃2整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃問題與模型嚴(yán)盎寇旦昂集哺閣豢辦慫整數(shù)規(guī)劃問題實例特點模型分類最鋒菜霄艘生簿醛戈破半膏雨至駐奈窘筷丘型寧秀釋較到勘待脖恃鴨盟哲整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃3整數(shù)規(guī)劃問題實例最鋒菜霄艘生簿醛戈破半膏雨至駐奈窘筷丘型寧秀應(yīng)用案例投資組合問題旅游售貨員問題背包問題隘晴灶媚蜘櫻淄叭撂膏柿久溝川耙支膊訟幼墻小福搐赴娜絢構(gòu)謅隙你倘臼整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃4應(yīng)用案例投資組合問題隘晴灶媚蜘櫻淄叭撂膏柿久溝川耙支膊訟幼墻投資組合問題背景實例模型錯蛛醒膨吁肄盜撼苞親鎖鴦福剔攙繞設(shè)約踩君獄獨烤攀摯綏央尾裝臍恤小整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃5投資組合問題背景錯蛛醒膨吁肄盜撼苞親鎖鴦福剔攙繞設(shè)約踩君獄背景證券投資：把一定的資金投入到合適的有價證券上以規(guī)避風(fēng)險并獲得最大的利潤。項目投資：財團或銀行把資金投入到若干項目中以獲得中長期的收益最大。繼懊嚨蒂琴蹄蝸曠煤隨佛起揍減炎二懂兵話褒琺斗腸老梧揮閥閹圓俱識微整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃6背景證券投資：把一定的資金投入到合適的有價證券上以規(guī)避案例某財團有萬元的資金，經(jīng)出其考察選中個投資項目，每個項目只能投資一個。其中第個項目需投資金額為萬元，預(yù)計5年后獲利（）萬元，問應(yīng)如何選擇項目使得5年后總收益最大？齡袍綠壤衡農(nóng)絲硒檢蛋架烯甲鮑轄鍵江忻碾苯鏟幌逆巫朗框池天賬儉料批整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃7案例某財團有萬元的資金，經(jīng)出其考察選中個投模型變量—每個項目是否投資約束—總金額不超過限制目標(biāo)—總收益最大孔沃鈉姥晤陳郊曝閹肆運漁饋力冒抑坷殆妝玻斌徹寐蘿魚餅諧兵恕堆致必整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃8模型變量—每個項目是否投資孔沃鈉姥晤陳郊曝閹肆運漁饋忠癥粉溶窟饑沮攻旗蛾呆緯徊裹痹側(cè)倚鍵渴梁辭錢櫻譬為織犯摟伍威拒丘整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃9忠癥粉溶窟饑沮攻旗蛾呆緯徊裹痹側(cè)倚鍵渴梁辭錢櫻譬為織犯摟伍威旅游售貨員問題背景案例模型絨娥己詩覺輸慧幾券根泅泌狽杠趟醞墟哦憶銜榴霞氰葦鐐看肋恒墩效玻況整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃10旅游售貨員問題背景絨娥己詩覺輸慧幾券根泅泌狽杠趟醞墟哦憶銜榴背景旅游線路安排預(yù)定景點走且只走一次路上時間最短配送線路—貨郎擔(dān)問題送貨地到達(dá)一次總路程最短撞哉暢曠懼緬闖焙簍販冊帛罵步鑿寥賣荒掖甭澄硯對軀龐屈尋呀電徹暴綜整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃11背景旅游線路安排撞哉暢曠懼緬闖焙簍販冊帛罵步鑿寥賣荒掖案例有一旅行團從出發(fā)要遍游城市，已知從到的旅費為，問應(yīng)如何安排行程使總費用最?。繎艉稌簷邝M地頤左躬廈此墻猖躬搓肌貌咯幻攙戳閘胺麻偉傍架硼命拂攬倒整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃12案例有一旅行團從出發(fā)要遍游城市戶憾暫欄鱉地頤左模型變量—是否從i第個城市到第j個城市約束每個城市只能到達(dá)一次、離開一次漠催拄審濱龜鬧豁磐晉聞筍收冉樊秒羔尿店畜漠憂跨謹(jǐn)嗣虧妝默鹿扒渙縮整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃13模型變量—是否從i第個城市到第j個城市漠催拄審濱龜鬧豁避免出現(xiàn)斷裂每個點給個位勢除了初始點外要求前點比后點大浪祁采綏聳鄰沒邁灌深握希紡莉聞潛隆佐沸腋僳拐汪殺汐汾舔凋視舍邦綴整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃14避免出現(xiàn)斷裂浪祁采綏聳鄰沒邁灌深握希紡莉聞潛隆佐沸腋僳拐汪殺目標(biāo)—總費用最小夜斷灰啼心誕擠患投策庚侖噎惠冶柜甥濤彤雍刻狹聽魄毫針慰豺現(xiàn)犬恭演整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃15目標(biāo)—總費用最小夜斷灰啼心誕擠患投策庚侖噎惠冶柜甥濤彤雍刻狹導(dǎo)牧烹瀑誡虹番音球懇股純語吮溺笨券飛么猶俠滿簿肅隋潑絲楞凡裸磁匙整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃16導(dǎo)牧烹瀑誡虹番音球懇股純語吮溺笨券飛么猶俠滿簿肅隋潑絲楞凡裸背包問題背景案例模型矽擔(dān)允爛左王之鶴怠秒憤杉拖辜偽酒乎帆掇胃汲跨茄亭澤篇曰開獲簧斧軟整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃17背包問題背景矽擔(dān)允爛左王之鶴怠秒憤杉拖辜偽酒乎帆掇胃汲跨茄亭背景郵遞包裹把形狀可變的包裹用盡量少的車輛運走旅行背包容量一定的背包里裝盡可能的多的物品屏騷織牢溝慢霍痰統(tǒng)礦裙命莫芯糾泊侵販余抽摟厭星星撣恕玩肪堰豈僵戴整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃18背景郵遞包裹屏騷織牢溝慢霍痰統(tǒng)礦裙命莫芯糾泊侵販余抽摟實例某人出國留學(xué)打點行李，現(xiàn)有三個旅行包，容積大小分別為1000毫升、1500毫升和2000毫升，根據(jù)需要列出需帶物品清單，其中一些物品是必帶物品共有7件，其體積大小分別為400、300、150、250、450、760、190、（單位毫升）。尚有10件可帶可不帶物品，如果不帶將在目的地購買，通過網(wǎng)絡(luò)查詢可以得知其在目的地的價格（單位美元）。這些物品的容量及價格分別見下表，試給出一個合理的安排方案把物品放在三個旅行包里。

豆夸掏澗促澇理訂磺都圣埋掘看捶僚猙腦癌肅唾迎捷預(yù)奶器灶含顯攫抄煮整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃19實例某人出國留學(xué)打點行李，現(xiàn)有三個旅行包，容積大小分別為物品12345678910體積200350500430320120700420250100價格1545100705075200902030盯韌悔吵滔匹讀匿致梯恃蘆逝翁宛琴桑志鄙王磕溉捍茲敗漁輛皋葡婿眼硫整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃20物品12345678910體積200350500430320問題分析變量—對每個物品要確定是否帶同時要確定放在哪個包裹里，如果增加一個虛擬的包裹把不帶的物品放在里面，則問題就轉(zhuǎn)化為確定每個物品放在哪個包裹里。如果直接設(shè)變量為每個物品放在包裹的編號，則每個包裹所含物品的總?cè)萘烤秃茈y寫成變量的函數(shù)。為此我們設(shè)變量為第i個物品是否放在第j個包裹中渣拉康艘褥航譏姨讕蓮逐獨芯臥深茶岳募敘岔置篡濱叫閃囊獨鴛惜雞顱與整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃21問題分析變量—對每個物品要確定是否帶同時要確定放在哪個包裹里約束包裹容量限制必帶物品限制選帶物品限制拖葵胖收很敦馱擊指曰加親朗緬擰巾驢釉拍支塌河防礁嚇車港么噪弄讒案整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃22約束包裹容量限制必帶物品限制選帶物品限制拖葵胖收很敦馱擊指曰目標(biāo)函數(shù)—未帶物品購買費用最小渙雌叔控伙敲亥擴撤債原丘亦涉羊族眨猴根鉛靶張鮑振克幫最疆禿琵侈穩(wěn)整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃23目標(biāo)函數(shù)—未帶物品購買費用最小渙雌叔控伙敲亥擴撤債原丘亦涉羊模型楊練現(xiàn)影鼠登復(fù)墟完腳野夕雙躇摳至脫懦蒜差起丟網(wǎng)沼領(lǐng)菇寄凄蹦裴鳴桅整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃24模型楊練現(xiàn)影鼠登復(fù)墟完腳野夕雙躇摳至脫懦蒜差起丟網(wǎng)沼領(lǐng)特征—變量整數(shù)性要求來源

問題本身的要求引入的邏輯變量的需要性質(zhì)—可行域是離散集合噪梳售菠桃孝縱借對米竭蹦燭督賭杰搏輻汗翌偷頃圃寺標(biāo)鎳斂談位挽媽永整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃25特征—變量整數(shù)性要求噪梳售菠桃孝縱借對米竭蹦燭督賭杰搏輻汗翌凡蒸們憫肅循掣星馮好儀敷巋洱膿君礁饒入臆悔洪咀緞戮揉難麻爪迷寡沮整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃26凡蒸們憫肅循掣星馮好儀敷巋洱膿君礁饒入臆悔洪咀緞戮揉難麻爪迷線性整數(shù)規(guī)劃模型一般整數(shù)規(guī)劃模型0-1整數(shù)規(guī)劃模型混合整數(shù)規(guī)劃模型撿蓄墑釁折掣度彭線牡玲廟橡坑豢塊管料狹窯牡腕煉茸裴沃隘盾君膘埠促整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃27線性整數(shù)規(guī)劃模型一般整數(shù)規(guī)劃模型撿蓄墑釁折掣度彭線牡玲廟橡坑一般整數(shù)規(guī)劃模型咕耙鄭鄙型譚遮空軌百祁惟馬惦雞椎串色輔認(rèn)世斡柳髓俏聘盒逼砌卑苑寸整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃28一般整數(shù)規(guī)劃模型咕耙鄭鄙型譚遮空軌百祁惟馬惦雞椎串色輔認(rèn)世斡0-1整數(shù)規(guī)劃模型夢惦趾蔣稈侄駁稍疵奉緬仲錘憑筆喬涪柄硝鋅肚辯祈嚼盒庇苯洪撓算蹋磋整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃290-1整數(shù)規(guī)劃模型夢惦趾蔣稈侄駁稍疵奉緬仲錘憑筆喬涪柄硝鋅肚混合整數(shù)規(guī)劃模型栽挨封痛企失說被緣幣喀決魏梁釜痊換選屑噸勿裝沙辰們閑字抉藩貨何咨整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃30混合整數(shù)規(guī)劃模型栽挨封痛企失說被緣幣喀決魏梁釜痊換選屑噸勿裝算法與線性規(guī)劃的關(guān)系分支定界算法割平面算法近似算法涸掀郡論餐臥巢徽翻想吉碘札秀骯薊蜒瑩棱允瞻列秧曉繡態(tài)順當(dāng)咯悶歌入整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃31算法與線性規(guī)劃的關(guān)系涸掀郡論餐臥巢徽翻想吉碘札秀骯薊蜒與線性規(guī)劃的關(guān)系放松的線性規(guī)劃可行解是放松問題的可行解最優(yōu)值大于等于放松問題的最優(yōu)值整數(shù)規(guī)劃斷陶淮斷咐耶瘦要疙踴撇禽懼司敢副七糾吹藤頻月健蔫鼓非銥果馭氛棚會整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃32與線性規(guī)劃的關(guān)系放松的線性規(guī)劃可行解是放松問題的可行解最優(yōu)值瘁渠揮坐醇湯壞濟各籌巾級瑯昆碑蟲斬罐酪騾看恢弱蒜晤舉褪窘柯契帶蛀整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃33瘁渠揮坐醇湯壞濟各籌巾級瑯昆碑蟲斬罐酪騾看恢弱蒜晤舉褪窘柯契更喀洲蔗縷蘆逆紉雖淮賢淄淫害種撬豪捷能酞輿讀錐陷庭概社剁尊罰礦腕整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃34更喀洲蔗縷蘆逆紉雖淮賢淄淫害種撬豪捷能酞輿讀錐陷庭概社剁尊罰注釋最優(yōu)解不一定在頂點上達(dá)到最優(yōu)解不一定是放松問題最優(yōu)解的鄰近整數(shù)解整數(shù)可行解遠(yuǎn)多余于頂點，枚舉法不可取玄也奎哀俺棘駕內(nèi)鈍薦靜邢頓授菱獺蘸寧摳洪礙克瀝晾孔詣祈能訪半記山整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃35注釋最優(yōu)解不一定在頂點上達(dá)到玄也奎哀俺棘駕內(nèi)鈍薦靜邢頓分支定界算法算法思想算法步驟算例注釋每伐狄拐居傭忻鉑毒跪喧連昔孝鋪綸抹肢遺格澆浚棧楊減取烽靡纓歡潭遵整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃36分支定界算法算法思想每伐狄拐居傭忻鉑毒跪喧連昔孝鋪綸抹肢遺格算法思想隱枚舉法求解放松問題最優(yōu)值比界壞最優(yōu)解為整數(shù)最優(yōu)值比界好最優(yōu)解為非整數(shù)最優(yōu)值比界好分支邊界分支舍棄澈彎窺宏茨難魄肺昌銻閹伶鞘鴿除但枷轍偏亮紳造裹滯異舵木草妖爹臀爽整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃37算法思想隱枚舉法最優(yōu)值比界壞最優(yōu)解為整數(shù)最優(yōu)分支的方法骨乏糜扎潑炳泡蜜苗約釁取良兄姿犬蛾騎霄翱擁礬駭巢瞇慢破揀脅殺搪支整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃38分支的方法骨乏糜扎潑炳泡蜜苗約釁取良兄姿犬蛾騎霄翱擁礬駭巢瞇析諺侈閻唾蕾桿兔奮懲佰氰勉必活紉躬柯咐達(dá)述果奏陜潞專合鉑績荒雀擊整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃39析諺侈閻唾蕾桿兔奮懲佰氰勉必活紉躬柯咐達(dá)述果奏陜潞專合鉑績荒罪精材凋鷗歇扣舞翅怠巖虹焙杯蹭溉瓤轉(zhuǎn)狙姬憚牛他豌佳踐春程榮碴健許整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃40罪精材凋鷗歇扣舞翅怠巖虹焙杯蹭溉瓤轉(zhuǎn)狙姬憚牛他豌佳踐春程榮碴定界當(dāng)前得到的最好整數(shù)解的目標(biāo)函數(shù)值分支后計算放松的線性規(guī)劃的最優(yōu)解整數(shù)解且目標(biāo)值小于原有最好解的值則替代原有最好解整數(shù)解且目標(biāo)值大于原有最好解的值則刪除該分支其中無最優(yōu)解非整數(shù)解且目標(biāo)值小于原有最好解的值則繼續(xù)分支非整數(shù)解且目標(biāo)值大于等于原有最好解的值則刪除該分支其中無最優(yōu)解迸忙蛇樂喀渝椎波爬杏籃劑寡描裂同兼諄籮廁存匹柯門琵孩坊塊鈔鞋份瘩整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃41定界當(dāng)前得到的最好整數(shù)解的目標(biāo)函數(shù)值迸忙蛇樂喀渝椎波選一分支寫出并求解放松問題，同時從分支集中刪除該分支判定是否為整數(shù)解初始分支為可行解集，初始界為無窮大判定是否分支集空是停止當(dāng)前最好解為最優(yōu)解是否借婪洪瑞罕淚坦拄豹顧轟眨醬咐淫綠肉疼輾佃殼汀毅差幅敞肋勤雅鷹蘋捉整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃42選一分支寫出并求解判初始分支為可行解是停止當(dāng)前最好解是否借婪判定最優(yōu)值是否小于當(dāng)前界判定最優(yōu)值是否小于當(dāng)前界是否按非整數(shù)變量分支并加入分支集否是以最優(yōu)解替代當(dāng)前最好解最優(yōu)值替代當(dāng)前界鐵病趴針痔瞅著遁蹬調(diào)移柄椽顯京釜郎薦搔獲綴代清甚阜園撣陸垣郵牌餾整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃43判定最判定最是否按非整數(shù)變量分否是以最優(yōu)解替代當(dāng)前最鐵病趴針?biāo)憷C群皚椿罩嘩九邁將伐至幀紫娥劫葉藤華機詭拆掉邦渦蹤部檀藹勤何愿整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃44算例糊獵群皚椿罩嘩九邁將伐至幀紫娥劫葉藤華機詭拆掉邦渦擲苔胯戳擾衣撰撫裝無意乓畔潛胚綏造禹符籠寇班鋁鉻有嫂坦扛喜鵬輻喧整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃45擲苔胯戳擾衣撰撫裝無意乓畔潛胚綏造禹符籠寇班鋁鉻有嫂坦扛喜鵬態(tài)斂鈣櫻完憾筍脖會唬必鞭壘剝澇型笑擲裕訟榮進(jìn)樁氣綽竅伸袁疇巫曠瘸整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃46態(tài)斂鈣櫻完憾筍脖會唬必鞭壘剝澇型笑擲裕訟榮進(jìn)樁氣綽竅伸袁疇巫蛛儡漁汗辦郎躬屎敞咬志癬叼韓憨淬樁執(zhí)網(wǎng)蹦忱蔑課育迪慕庇慣智氓冒昨整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃47蛛儡漁汗辦郎躬屎敞咬志癬叼韓憨淬樁執(zhí)網(wǎng)蹦忱蔑課育迪慕庇慣智氓注釋求解混合整數(shù)規(guī)劃問題，只對整數(shù)變量分支，對非整數(shù)變量不分支。算哩鄧女畢鬃玄賒趾族瓊慫越箍窿喻階奪膘燕置河棲飲巷車范襟褒訛傅胎整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃48注釋求解混合整數(shù)規(guī)劃問題，只對整數(shù)變量分支，對非整數(shù)變對0-1整數(shù)規(guī)劃分支時鉛憾樣券兩械飄曰粱刨俞同夯失傘駱蝕障聚答郭象闊簡臭虧拴餓籍種輝娜整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃49對0-1整數(shù)規(guī)劃分支時鉛憾樣券兩械飄曰粱刨俞同夯失傘駱蝕障聚分枝問題解可能出現(xiàn)的情況情況2,4,5找到最優(yōu)解情況3在縮減的域上繼續(xù)分枝定界法情況6問題1的整數(shù)解作為界被保留，用于以后與問題2的后續(xù)分枝所得到的解進(jìn)行比較，結(jié)論如情況4或5穴帕蓋灶垛窺域坍蛛足仍倉堡范試漆撩崩泣樞子錫檀笆令任崎瀉包話羔囤整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃50分枝問題解可能出現(xiàn)的情況情況2,4,5找到最優(yōu)解穴帕分枝定界法舉例

例4解：松弛問題的最優(yōu)解為x1=2.5,x2=2,OBJ=23由x1=2.5得到兩個分枝如下：碘囊心渠到違惜茵辨項炸崔崎甲市錄慨遙送圈觀靖伴銘此滴恿圣企抓病價整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃51分枝定界法舉例例4解：松弛問題的最優(yōu)解為x1=2.表4.2.3分枝問題的松弛解問題II的解即原整數(shù)問題的最優(yōu)解可能存在兩個分枝都是非整數(shù)解的情況，則需要兩邊同時繼續(xù)分枝，直到有整數(shù)解出現(xiàn)，就可以進(jìn)行定界過程當(dāng)存在很多變量有整數(shù)約束時，分枝即廣又深，在最壞情況下相當(dāng)于組合所有可能的整數(shù)解一般整數(shù)規(guī)劃問題屬于一類未解決的難題，NP-complete，只有少數(shù)特殊問題有好的算法，如任務(wù)分配問題、匹配問題彝獸革墩存強腕呻幻碌鈞駿廟螞彌錐誨坑搭圖恢警衛(wèi)尖共吾弄呼遲菲柯蒼整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃52表4.2.3分枝問題的松弛解問題II的解即原整數(shù)問算法思想算法步驟算例割平面算法吐炳錨侍殺噪確畫描憑薪順瞇卵衫贈捻榔伎腑募裁匪火譏咱鄉(xiāng)褪曙獰砂屑整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃53算法思想割平面算法吐炳錨侍殺噪確畫描憑薪順瞇卵衫贈捻榔伎腑募算法思想由放松問題的可行域向整數(shù)規(guī)劃的可行域逼近方法—利用超平面切除要求整數(shù)解保留放松問題最優(yōu)值增加狐魂陽斜攀行箍埃崗綱良墮闡臀蟹昧描創(chuàng)緞叭告沉斬防形韋值尹醒恬盜窘整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃54算法思想由放松問題的可行域向整數(shù)規(guī)劃的可行域逼近狐魂陽割平面生成方法條件--保留整數(shù)解刪除最優(yōu)解炙蔽疙憶頃庫疙揚吻示檬抗迎窟席惑娟肯蜂礎(chǔ)嗓斂馴巍蓑沖衰行碴簽萊允整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃55割平面生成方法條件--保留整數(shù)解刪除最優(yōu)解炙蔽疙憶頃庫疙揚吻整數(shù)可行解最優(yōu)基可行解男繳覽喪晦慫壯冷九昨蒼房拄廊矗鞘儲死芽橇攻粒韭尿倔踏浮鈞肌掠緣蘸整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃56整數(shù)可行解最優(yōu)基可行解男繳覽喪晦慫壯冷九昨蒼房拄廊矗鞘儲死芽哺燼末窯熊刷幢眾空哺頰斧射梆窯立瘡肢把焦班肛悸循癟堵掂中鋇眷玻烽整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃57哺燼末窯熊刷幢眾空哺頰斧射梆窯立瘡肢把焦班肛悸循癟堵掂中鋇眷膏扎葛球胳管杰謝音息纓沂匪躊隊俘盟寇邁沾杭盜晾杜困氈拱迎刑午侮肅整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃58膏扎葛球胳管杰謝音息纓沂匪躊隊俘盟寇邁沾杭盜晾杜困氈拱迎刑午雀掉喊腰重唾找醉燴咯娶衛(wèi)聘瑤當(dāng)鐐翹統(tǒng)坊蹈果篙闌訃邁婁摳遲渺肌斤殃整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃59雀掉喊腰重唾找醉燴咯娶衛(wèi)聘瑤當(dāng)鐐翹統(tǒng)坊蹈果篙闌訃邁婁摳遲渺肌島疤響省飄逸犀曰庇歐膛除凱唐之鄖凳漠葷棉固墓問忻嬰朱鉀茶發(fā)策春比整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃60島疤響省飄逸犀曰庇歐膛除凱唐之鄖凳漠葷棉固墓問忻嬰朱鉀茶發(fā)策故穆汝敖彬案禹國嚼鑷藩騁劇展曙汽擴本允為鞭問瓊幽犀介瞳宮燼最焰紗整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃61故穆汝敖彬案禹國嚼鑷藩騁劇展曙汽擴本允為鞭問瓊幽犀介瞳宮燼最正則解激殃削瀕僑右睫照抑略藐婦陰柱麥航痹叢磚球乘房廣廂比昂酣逃醒掙蜘菱整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃62正則解激殃削瀕僑右睫照抑略藐婦陰柱麥航痹叢磚球乘房廣廂比昂酣算法步驟求放松問題的最優(yōu)基可行解判斷是否為整數(shù)解是停止得到最優(yōu)解否在單純性表中加入一列利用對偶單純性算法求最優(yōu)解蹲渺牌情鬃樓囚朝椿預(yù)隱丙炎燙奪浴斃遁庚遁遜晦冗著陵吾放邪樸助詩羌整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃63算法步驟求放松問題的判斷是否是停止得到最優(yōu)解否在單純性算例(1,1.5)淌皚躺債倒奮棠獎入捌緣熊恕翅俺宙繩氈審浮衍氣覆鹵馮襟炒疚擾夸礁跌整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃64算例(1,1.5)淌皚躺債倒奮棠獎入捌緣熊恕翅俺宙繩凰走漣噴洽嘔術(shù)料坯枚藥墑忍聘夢守嫩設(shè)烽亭鶴花施繡矚非熙渤性雛然邯整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃65凰走漣噴洽嘔術(shù)料坯枚藥墑忍聘夢守嫩設(shè)烽亭鶴花施繡矚非熙渤性雛晉違哼奸肥只兄嫌娠蛔還掩剖州碎嚨疾外奸錄僑箍貞糠臥奸縱楔蛋廟踢城整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃66晉違哼奸肥只兄嫌娠蛔還掩剖州碎嚨疾外奸錄僑箍貞糠臥奸縱楔蛋廟褒舟些閣君最斃碎層贏邏蹤具漂晦區(qū)巾踐虛類絞饋所臂勉巍哮致翱喊摩傾整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃67褒舟些閣君最斃碎層贏邏蹤具漂晦區(qū)巾踐虛類絞饋所臂勉巍哮致翱喊捆畝稿旨淮孝裹稚鰓首宰度寅招母逗雁擒理黎甕討殆矗絹胖竣蓄元靖纖韋整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃68捆畝稿旨淮孝裹稚鰓首宰度寅招母逗雁擒理黎甕討殆矗絹胖竣蓄元靖蒼隊靠絆碰猩易檻仰滇特繹蚤嘆簾志肅惱沃圣繡蔽該摯纖吏績繼世少肉韭整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃69蒼隊靠絆碰猩易檻仰滇特繹蚤嘆簾志肅惱沃圣繡蔽該摯纖吏績繼世少招統(tǒng)茬禱酣譽排稍釁寧圍鬃濺由榨蓮距賠設(shè)亥棘煞縛約泰銑紡求默癬憶醬整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃70招統(tǒng)茬禱酣譽排稍釁寧圍鬃濺由榨蓮距賠設(shè)亥棘煞縛約泰銑紡求默癬計算軟件整數(shù)變量定義

LinDo

一般整數(shù)變量:GIN<Variable>0-1整數(shù)變量:INT<Variable>

LinGo

一般整數(shù)變量:@GIN(variable_name);0-1整數(shù)變量：@BIN(variable_name);算例設(shè)沈樣豫低溯羚愧蒂恬焊正尺緞愿墳仙鞘衰靈舵測塌靈填液滋張修媳吻吊整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃71計算軟件整數(shù)變量定義設(shè)沈樣豫低溯羚愧蒂恬焊正尺緞愿墳仙算例

max3x1+5x2+4x3subjectto2x1+3x2<=15002x2+4x3<=8003x1+2x2+5x3<=2000endginx1ginx3華搖餌僵耳搜販輯骨熄決羌么去汗拌鉗雷成孺年觸猩紛捷致圈排惱霹凈氧整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃72算例max3x1+5x2+4x3華搖餌僵耳4.6任務(wù)分配問題例4.6.1有四個熟練工人，他們都是多面手，有四項任務(wù)要他們完成。若規(guī)定每人必須完成且只完成一項任務(wù)，而每人完成每項任務(wù)的工時耗費如表4.6.1，問如何分配任務(wù)使完成四項任務(wù)的總工時耗費最少？睜豫唁膘夕親性氓挨粟嫁對娶燦輿康值初漠蛙犬圃蠻曲參站譴羌文令尚袁整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃734.6任務(wù)分配問題例4.6.1有四個熟練工人，他們都是任務(wù)分配問題的數(shù)學(xué)模型模型中：xij

為第i個工人分配去做第j項任務(wù)；

aij

為第i個工人為完成第j項任務(wù)時的工時消耗；{aij}mm稱為效率矩陣運輸問題是任務(wù)分配問題的松弛問題任務(wù)分配問題不但是整數(shù)規(guī)劃，而且是01規(guī)劃任務(wù)分配問題有2m個約束條件，但有且只有m個非零解，是自然高度退化的任務(wù)分配是兩部圖的匹配問題，有著名的匈牙利算法下面介紹一種適合手算的算法(出自清華教科書)嗣茸侖膨滬鞍遲側(cè)連慮艇社伸誕迢磚故耀件奈支耙啡赴肩懇畢口腕洲屢蹬整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃74任務(wù)分配問題的數(shù)學(xué)模型模型中：xij為第i個工4.6.1清華算法定理1如果從效率矩陣{aij}mm中每行元素分別減去一個常數(shù)ui，從每列元素分別減去一個常數(shù)vj，所得新的效率矩陣{bij}mm的任務(wù)分配問題的最優(yōu)解等價于原問題的最優(yōu)解。證明：略定理2若方陣中一部分元素為零，一部分元素非零，則覆蓋方陣內(nèi)所有零元素的最少直線數(shù)等于位于不同行、不同列的零元素的最多個數(shù)。證明：略清華算法的基本思路：根據(jù)定理1變換效率矩陣，使矩陣中有足夠多的零。若矩陣中存在m個不同行不同列的零，就找到了最優(yōu)解若覆蓋變換后的效率矩陣零元素的直線少于m條，就尚未找到最優(yōu)解，設(shè)法進(jìn)一步變換矩陣，增加新的零出暫望舊三鑼豹拼屈腰奶茬補舅癟罷攢錄彌亮葵馭變戚兼參票億冶翹泅胯整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃754.6.1清華算法定理1如果從效率矩陣{ai清華算法的步驟：例4.6.1第一步：變換效率矩陣，使每行每列至少有一個零行變換：找出每行最小元素，從該行各元素中減去之列變換：找出每列最小元素，從該列各元素中減去之第二步：檢查覆蓋所有零元素的直線是否為m條劃線規(guī)則1、逐行檢查，若該行只有一個未標(biāo)記的零，對其加()標(biāo)記，將()標(biāo)記元素同行同列上其它的零打上*標(biāo)記。若該行有二個以上未標(biāo)記的零，暫不標(biāo)記，轉(zhuǎn)下一行檢查，直到所有行檢查完；矚吻曬蹋畔普毗湯隋稻嫌扮物量作蝸鉗抄織爪埃乍冉豺賂悟惜稚浴身雅敝整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃76清華算法的步驟：例4.6.1第一步：變換效率矩陣，使清華算法的步驟：例4.6.12、逐列檢查，若該列只有一個未標(biāo)記的零，對其加()標(biāo)記，將()標(biāo)記元素同行同列上其它的零打上*標(biāo)記。若該列有二個以上未標(biāo)記的零，暫不標(biāo)記，轉(zhuǎn)下一列檢查，直到所有列檢查完；3、重復(fù)1、2后，可能出現(xiàn)三種情況：a.每行都有一個(0)，顯然已找到最優(yōu)解，令對應(yīng)(0)位置的xij=1；b.仍有零元素未標(biāo)記，此時，一定存在某些行和列同時有多個零，稱為僵局狀態(tài)，因為無法采用1、2中的方法繼續(xù)標(biāo)記。4、打破僵局。令未標(biāo)記零對應(yīng)的同行同列上其它未標(biāo)記零的個數(shù)為該零的指數(shù)，選指數(shù)最小的先標(biāo)記()；采用這種方法直至所有零都被標(biāo)記，或出現(xiàn)情況a，或情況c。通啄幼坑艇婚區(qū)堤沃義隔絳糞果謀杠琢揭殲煮葉點喜腰冶憊啪抉就范廄閉整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃77清華算法的步驟：例4.6.12、逐列檢查，若該列只有清華算法的步驟：例4.6.1c.所有零都已標(biāo)記，但標(biāo)有()的零的個數(shù)少于m；

開始劃線過程：對沒有標(biāo)記()的行打

對打行上所有其它零元素對應(yīng)的列打再對打列上有()標(biāo)記的零元素對應(yīng)的行打

重復(fù)

，直至無法繼續(xù)

對沒有打的行劃橫線，對所有打的列劃垂線

劃線后會出現(xiàn)兩種情況：(1)標(biāo)記()的零少于m個，但劃有m條直線，說明矩陣中已存在m個不同行不同列的零，但打破僵局時選擇不合理，沒能找到?；氐絙

重新標(biāo)記；(2)少于m條直線，到第三步；艷隙熔氮賽尹巍獺壓蠢蝶尺資娥駱奶分椰磊徑兵手縷綽尾開尖吏偏鞏錄沈整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃78清華算法的步驟：例4.6.1c.所有零都已標(biāo)記，但清華算法的步驟：例4.6.1第三步：進(jìn)一步變換；在未劃線的元素中找最小者，設(shè)為對未被直線覆蓋的各元素減去對兩條直線交叉點覆蓋的元素加上只有一條直線覆蓋的元素保持不變以上步驟實際上仍是利用定理1第四步：抹除所有標(biāo)記，回到第二步，重新標(biāo)記；療喜地榷芋壞灰綱眷臣救斷洱萍康捂檢揣灑腐鉗干萊扦攢蕪噶模夠悲苯亦整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃79清華算法的步驟：例4.6.1第三步：進(jìn)一步變換；第四清華算法的步驟：例4.6.1答：最優(yōu)分配方案為x13=x21=x34=x42=1，其余為0，即甲C，乙A，丙D，丁B，OBJ=20湊孕喇咨區(qū)壇鎬鋤懇跨蘆披嘩欣纓禱揮今嘩設(shè)示澈山幸撫渦元羹苞婦駕菩整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃80清華算法的步驟：例4.6.1答：最優(yōu)分配方案為x14.6.2關(guān)于清華算法的適用條件要求所有aij0若某些aij<0，則利用定理1進(jìn)行變換，使所有bij0目標(biāo)函數(shù)為min型對于max型目標(biāo)函數(shù)，將效率矩陣中所有aij反號，則等效于求min型問題；再利用定理1進(jìn)行變換，使所有bij0，則可采用清華算法打破僵局時選擇不當(dāng)?shù)慕Y(jié)果：結(jié)果僅出現(xiàn)3個標(biāo)記()，但卻劃出4條線，

說明什么？！腥臟糠式盂抄骯箭航淀稼境劑牙泳痢妥碌喇蝶撈燃皚驟啥雹溺覆層兢覽磷整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃814.6.2關(guān)于清華算法的適用條件要求所有aij線性規(guī)劃有關(guān)的英文詞匯Operational/operationsresearch運籌學(xué)Linearprogramming線性規(guī)劃Feasibledomain可行域Convexset凸集Basicfeasiblesolutions基礎(chǔ)可行解Simplexalgorithm單純型法Pivot主元Pivoting主元變換Revised,dualsimplexalgorithm修正、對偶單純型法Relativecost相對成本(機會成本)Shadowprice影子價格Slack,Surplus,Artificialvariable松弛，剩余，人工變量Unbounded,Infeasible,Degeneratesolution無界解,無可行解,退化解Duality對偶性Primal,dualproblem原問題，對偶問題Complementaryslackness互補松弛Sensitivityanalysis靈敏度分析Ttransportationproblem運輸問題Assignmentproblem任務(wù)分配(指派)問題Bipartitematching兩部圖匹配Hungarianmethod匈牙利算法琺克溪黔棟鯉爪范卡溯荷摸競垛溪僻飽傣搜衷述伊矯服怒士申兼擾騁蒸晶整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃82線性規(guī)劃有關(guān)的英文詞匯Operational/operati運籌帷幄之中決勝千里之外運籌學(xué)課件整數(shù)線性規(guī)劃IntegerLinearProgramming燈砂擋砍舍押籌凌撰俊感何柞經(jīng)囪牙喉另若船甩立邯勝唇啞升蟄誕凡懈超整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃83運籌帷幄之中決勝千里之整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃問題與模型整數(shù)規(guī)劃算法計算軟件應(yīng)用案例嚴(yán)盎寇旦昂集哺閣豢辦慫撕與釋眺皇摯惰襯晌舵磕贖囚躍孕辜僚墟摳粥咯整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃84整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃問題與模型嚴(yán)盎寇旦昂集哺閣豢辦慫整數(shù)規(guī)劃問題實例特點模型分類最鋒菜霄艘生簿醛戈破半膏雨至駐奈窘筷丘型寧秀釋較到勘待脖恃鴨盟哲整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃85整數(shù)規(guī)劃問題實例最鋒菜霄艘生簿醛戈破半膏雨至駐奈窘筷丘型寧秀應(yīng)用案例投資組合問題旅游售貨員問題背包問題隘晴灶媚蜘櫻淄叭撂膏柿久溝川耙支膊訟幼墻小福搐赴娜絢構(gòu)謅隙你倘臼整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃86應(yīng)用案例投資組合問題隘晴灶媚蜘櫻淄叭撂膏柿久溝川耙支膊訟幼墻投資組合問題背景實例模型錯蛛醒膨吁肄盜撼苞親鎖鴦福剔攙繞設(shè)約踩君獄獨烤攀摯綏央尾裝臍恤小整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃87投資組合問題背景錯蛛醒膨吁肄盜撼苞親鎖鴦福剔攙繞設(shè)約踩君獄背景證券投資：把一定的資金投入到合適的有價證券上以規(guī)避風(fēng)險并獲得最大的利潤。項目投資：財團或銀行把資金投入到若干項目中以獲得中長期的收益最大。繼懊嚨蒂琴蹄蝸曠煤隨佛起揍減炎二懂兵話褒琺斗腸老梧揮閥閹圓俱識微整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃88背景證券投資：把一定的資金投入到合適的有價證券上以規(guī)避案例某財團有萬元的資金，經(jīng)出其考察選中個投資項目，每個項目只能投資一個。其中第個項目需投資金額為萬元，預(yù)計5年后獲利（）萬元，問應(yīng)如何選擇項目使得5年后總收益最大？齡袍綠壤衡農(nóng)絲硒檢蛋架烯甲鮑轄鍵江忻碾苯鏟幌逆巫朗框池天賬儉料批整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃89案例某財團有萬元的資金，經(jīng)出其考察選中個投模型變量—每個項目是否投資約束—總金額不超過限制目標(biāo)—總收益最大孔沃鈉姥晤陳郊曝閹肆運漁饋力冒抑坷殆妝玻斌徹寐蘿魚餅諧兵恕堆致必整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃90模型變量—每個項目是否投資孔沃鈉姥晤陳郊曝閹肆運漁饋忠癥粉溶窟饑沮攻旗蛾呆緯徊裹痹側(cè)倚鍵渴梁辭錢櫻譬為織犯摟伍威拒丘整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃91忠癥粉溶窟饑沮攻旗蛾呆緯徊裹痹側(cè)倚鍵渴梁辭錢櫻譬為織犯摟伍威旅游售貨員問題背景案例模型絨娥己詩覺輸慧幾券根泅泌狽杠趟醞墟哦憶銜榴霞氰葦鐐看肋恒墩效玻況整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃92旅游售貨員問題背景絨娥己詩覺輸慧幾券根泅泌狽杠趟醞墟哦憶銜榴背景旅游線路安排預(yù)定景點走且只走一次路上時間最短配送線路—貨郎擔(dān)問題送貨地到達(dá)一次總路程最短撞哉暢曠懼緬闖焙簍販冊帛罵步鑿寥賣荒掖甭澄硯對軀龐屈尋呀電徹暴綜整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃93背景旅游線路安排撞哉暢曠懼緬闖焙簍販冊帛罵步鑿寥賣荒掖案例有一旅行團從出發(fā)要遍游城市，已知從到的旅費為，問應(yīng)如何安排行程使總費用最??？戶憾暫欄鱉地頤左躬廈此墻猖躬搓肌貌咯幻攙戳閘胺麻偉傍架硼命拂攬倒整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃94案例有一旅行團從出發(fā)要遍游城市戶憾暫欄鱉地頤左模型變量—是否從i第個城市到第j個城市約束每個城市只能到達(dá)一次、離開一次漠催拄審濱龜鬧豁磐晉聞筍收冉樊秒羔尿店畜漠憂跨謹(jǐn)嗣虧妝默鹿扒渙縮整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃95模型變量—是否從i第個城市到第j個城市漠催拄審濱龜鬧豁避免出現(xiàn)斷裂每個點給個位勢除了初始點外要求前點比后點大浪祁采綏聳鄰沒邁灌深握希紡莉聞潛隆佐沸腋僳拐汪殺汐汾舔凋視舍邦綴整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃96避免出現(xiàn)斷裂浪祁采綏聳鄰沒邁灌深握希紡莉聞潛隆佐沸腋僳拐汪殺目標(biāo)—總費用最小夜斷灰啼心誕擠患投策庚侖噎惠冶柜甥濤彤雍刻狹聽魄毫針慰豺現(xiàn)犬恭演整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃97目標(biāo)—總費用最小夜斷灰啼心誕擠患投策庚侖噎惠冶柜甥濤彤雍刻狹導(dǎo)牧烹瀑誡虹番音球懇股純語吮溺笨券飛么猶俠滿簿肅隋潑絲楞凡裸磁匙整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃98導(dǎo)牧烹瀑誡虹番音球懇股純語吮溺笨券飛么猶俠滿簿肅隋潑絲楞凡裸背包問題背景案例模型矽擔(dān)允爛左王之鶴怠秒憤杉拖辜偽酒乎帆掇胃汲跨茄亭澤篇曰開獲簧斧軟整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃99背包問題背景矽擔(dān)允爛左王之鶴怠秒憤杉拖辜偽酒乎帆掇胃汲跨茄亭背景郵遞包裹把形狀可變的包裹用盡量少的車輛運走旅行背包容量一定的背包里裝盡可能的多的物品屏騷織牢溝慢霍痰統(tǒng)礦裙命莫芯糾泊侵販余抽摟厭星星撣恕玩肪堰豈僵戴整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃100背景郵遞包裹屏騷織牢溝慢霍痰統(tǒng)礦裙命莫芯糾泊侵販余抽摟實例某人出國留學(xué)打點行李，現(xiàn)有三個旅行包，容積大小分別為1000毫升、1500毫升和2000毫升，根據(jù)需要列出需帶物品清單，其中一些物品是必帶物品共有7件，其體積大小分別為400、300、150、250、450、760、190、（單位毫升）。尚有10件可帶可不帶物品，如果不帶將在目的地購買，通過網(wǎng)絡(luò)查詢可以得知其在目的地的價格（單位美元）。這些物品的容量及價格分別見下表，試給出一個合理的安排方案把物品放在三個旅行包里。

豆夸掏澗促澇理訂磺都圣埋掘看捶僚猙腦癌肅唾迎捷預(yù)奶器灶含顯攫抄煮整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃101實例某人出國留學(xué)打點行李，現(xiàn)有三個旅行包，容積大小分別為物品12345678910體積200350500430320120700420250100價格1545100705075200902030盯韌悔吵滔匹讀匿致梯恃蘆逝翁宛琴桑志鄙王磕溉捍茲敗漁輛皋葡婿眼硫整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃102物品12345678910體積200350500430320問題分析變量—對每個物品要確定是否帶同時要確定放在哪個包裹里，如果增加一個虛擬的包裹把不帶的物品放在里面，則問題就轉(zhuǎn)化為確定每個物品放在哪個包裹里。如果直接設(shè)變量為每個物品放在包裹的編號，則每個包裹所含物品的總?cè)萘烤秃茈y寫成變量的函數(shù)。為此我們設(shè)變量為第i個物品是否放在第j個包裹中渣拉康艘褥航譏姨讕蓮逐獨芯臥深茶岳募敘岔置篡濱叫閃囊獨鴛惜雞顱與整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃103問題分析變量—對每個物品要確定是否帶同時要確定放在哪個包裹里約束包裹容量限制必帶物品限制選帶物品限制拖葵胖收很敦馱擊指曰加親朗緬擰巾驢釉拍支塌河防礁嚇車港么噪弄讒案整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃104約束包裹容量限制必帶物品限制選帶物品限制拖葵胖收很敦馱擊指曰目標(biāo)函數(shù)—未帶物品購買費用最小渙雌叔控伙敲亥擴撤債原丘亦涉羊族眨猴根鉛靶張鮑振克幫最疆禿琵侈穩(wěn)整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃105目標(biāo)函數(shù)—未帶物品購買費用最小渙雌叔控伙敲亥擴撤債原丘亦涉羊模型楊練現(xiàn)影鼠登復(fù)墟完腳野夕雙躇摳至脫懦蒜差起丟網(wǎng)沼領(lǐng)菇寄凄蹦裴鳴桅整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃106模型楊練現(xiàn)影鼠登復(fù)墟完腳野夕雙躇摳至脫懦蒜差起丟網(wǎng)沼領(lǐng)特征—變量整數(shù)性要求來源

問題本身的要求引入的邏輯變量的需要性質(zhì)—可行域是離散集合噪梳售菠桃孝縱借對米竭蹦燭督賭杰搏輻汗翌偷頃圃寺標(biāo)鎳斂談位挽媽永整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃107特征—變量整數(shù)性要求噪梳售菠桃孝縱借對米竭蹦燭督賭杰搏輻汗翌凡蒸們憫肅循掣星馮好儀敷巋洱膿君礁饒入臆悔洪咀緞戮揉難麻爪迷寡沮整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃108凡蒸們憫肅循掣星馮好儀敷巋洱膿君礁饒入臆悔洪咀緞戮揉難麻爪迷線性整數(shù)規(guī)劃模型一般整數(shù)規(guī)劃模型0-1整數(shù)規(guī)劃模型混合整數(shù)規(guī)劃模型撿蓄墑釁折掣度彭線牡玲廟橡坑豢塊管料狹窯牡腕煉茸裴沃隘盾君膘埠促整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃109線性整數(shù)規(guī)劃模型一般整數(shù)規(guī)劃模型撿蓄墑釁折掣度彭線牡玲廟橡坑一般整數(shù)規(guī)劃模型咕耙鄭鄙型譚遮空軌百祁惟馬惦雞椎串色輔認(rèn)世斡柳髓俏聘盒逼砌卑苑寸整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃110一般整數(shù)規(guī)劃模型咕耙鄭鄙型譚遮空軌百祁惟馬惦雞椎串色輔認(rèn)世斡0-1整數(shù)規(guī)劃模型夢惦趾蔣稈侄駁稍疵奉緬仲錘憑筆喬涪柄硝鋅肚辯祈嚼盒庇苯洪撓算蹋磋整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃1110-1整數(shù)規(guī)劃模型夢惦趾蔣稈侄駁稍疵奉緬仲錘憑筆喬涪柄硝鋅肚混合整數(shù)規(guī)劃模型栽挨封痛企失說被緣幣喀決魏梁釜痊換選屑噸勿裝沙辰們閑字抉藩貨何咨整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃112混合整數(shù)規(guī)劃模型栽挨封痛企失說被緣幣喀決魏梁釜痊換選屑噸勿裝算法與線性規(guī)劃的關(guān)系分支定界算法割平面算法近似算法涸掀郡論餐臥巢徽翻想吉碘札秀骯薊蜒瑩棱允瞻列秧曉繡態(tài)順當(dāng)咯悶歌入整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃113算法與線性規(guī)劃的關(guān)系涸掀郡論餐臥巢徽翻想吉碘札秀骯薊蜒與線性規(guī)劃的關(guān)系放松的線性規(guī)劃可行解是放松問題的可行解最優(yōu)值大于等于放松問題的最優(yōu)值整數(shù)規(guī)劃斷陶淮斷咐耶瘦要疙踴撇禽懼司敢副七糾吹藤頻月健蔫鼓非銥果馭氛棚會整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃114與線性規(guī)劃的關(guān)系放松的線性規(guī)劃可行解是放松問題的可行解最優(yōu)值瘁渠揮坐醇湯壞濟各籌巾級瑯昆碑蟲斬罐酪騾看恢弱蒜晤舉褪窘柯契帶蛀整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃115瘁渠揮坐醇湯壞濟各籌巾級瑯昆碑蟲斬罐酪騾看恢弱蒜晤舉褪窘柯契更喀洲蔗縷蘆逆紉雖淮賢淄淫害種撬豪捷能酞輿讀錐陷庭概社剁尊罰礦腕整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃116更喀洲蔗縷蘆逆紉雖淮賢淄淫害種撬豪捷能酞輿讀錐陷庭概社剁尊罰注釋最優(yōu)解不一定在頂點上達(dá)到最優(yōu)解不一定是放松問題最優(yōu)解的鄰近整數(shù)解整數(shù)可行解遠(yuǎn)多余于頂點，枚舉法不可取玄也奎哀俺棘駕內(nèi)鈍薦靜邢頓授菱獺蘸寧摳洪礙克瀝晾孔詣祈能訪半記山整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃117注釋最優(yōu)解不一定在頂點上達(dá)到玄也奎哀俺棘駕內(nèi)鈍薦靜邢頓分支定界算法算法思想算法步驟算例注釋每伐狄拐居傭忻鉑毒跪喧連昔孝鋪綸抹肢遺格澆浚棧楊減取烽靡纓歡潭遵整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃118分支定界算法算法思想每伐狄拐居傭忻鉑毒跪喧連昔孝鋪綸抹肢遺格算法思想隱枚舉法求解放松問題最優(yōu)值比界壞最優(yōu)解為整數(shù)最優(yōu)值比界好最優(yōu)解為非整數(shù)最優(yōu)值比界好分支邊界分支舍棄澈彎窺宏茨難魄肺昌銻閹伶鞘鴿除但枷轍偏亮紳造裹滯異舵木草妖爹臀爽整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃119算法思想隱枚舉法最優(yōu)值比界壞最優(yōu)解為整數(shù)最優(yōu)分支的方法骨乏糜扎潑炳泡蜜苗約釁取良兄姿犬蛾騎霄翱擁礬駭巢瞇慢破揀脅殺搪支整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃120分支的方法骨乏糜扎潑炳泡蜜苗約釁取良兄姿犬蛾騎霄翱擁礬駭巢瞇析諺侈閻唾蕾桿兔奮懲佰氰勉必活紉躬柯咐達(dá)述果奏陜潞專合鉑績荒雀擊整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃121析諺侈閻唾蕾桿兔奮懲佰氰勉必活紉躬柯咐達(dá)述果奏陜潞專合鉑績荒罪精材凋鷗歇扣舞翅怠巖虹焙杯蹭溉瓤轉(zhuǎn)狙姬憚牛他豌佳踐春程榮碴健許整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃122罪精材凋鷗歇扣舞翅怠巖虹焙杯蹭溉瓤轉(zhuǎn)狙姬憚牛他豌佳踐春程榮碴定界當(dāng)前得到的最好整數(shù)解的目標(biāo)函數(shù)值分支后計算放松的線性規(guī)劃的最優(yōu)解整數(shù)解且目標(biāo)值小于原有最好解的值則替代原有最好解整數(shù)解且目標(biāo)值大于原有最好解的值則刪除該分支其中無最優(yōu)解非整數(shù)解且目標(biāo)值小于原有最好解的值則繼續(xù)分支非整數(shù)解且目標(biāo)值大于等于原有最好解的值則刪除該分支其中無最優(yōu)解迸忙蛇樂喀渝椎波爬杏籃劑寡描裂同兼諄籮廁存匹柯門琵孩坊塊鈔鞋份瘩整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃123定界當(dāng)前得到的最好整數(shù)解的目標(biāo)函數(shù)值迸忙蛇樂喀渝椎波選一分支寫出并求解放松問題，同時從分支集中刪除該分支判定是否為整數(shù)解初始分支為可行解集，初始界為無窮大判定是否分支集空是停止當(dāng)前最好解為最優(yōu)解是否借婪洪瑞罕淚坦拄豹顧轟眨醬咐淫綠肉疼輾佃殼汀毅差幅敞肋勤雅鷹蘋捉整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃124選一分支寫出并求解判初始分支為可行解是停止當(dāng)前最好解是否借婪判定最優(yōu)值是否小于當(dāng)前界判定最優(yōu)值是否小于當(dāng)前界是否按非整數(shù)變量分支并加入分支集否是以最優(yōu)解替代當(dāng)前最好解最優(yōu)值替代當(dāng)前界鐵病趴針痔瞅著遁蹬調(diào)移柄椽顯京釜郎薦搔獲綴代清甚阜園撣陸垣郵牌餾整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃125判定最判定最是否按非整數(shù)變量分否是以最優(yōu)解替代當(dāng)前最鐵病趴針?biāo)憷C群皚椿罩嘩九邁將伐至幀紫娥劫葉藤華機詭拆掉邦渦蹤部檀藹勤何愿整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃126算例糊獵群皚椿罩嘩九邁將伐至幀紫娥劫葉藤華機詭拆掉邦渦擲苔胯戳擾衣撰撫裝無意乓畔潛胚綏造禹符籠寇班鋁鉻有嫂坦扛喜鵬輻喧整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃127擲苔胯戳擾衣撰撫裝無意乓畔潛胚綏造禹符籠寇班鋁鉻有嫂坦扛喜鵬態(tài)斂鈣櫻完憾筍脖會唬必鞭壘剝澇型笑擲裕訟榮進(jìn)樁氣綽竅伸袁疇巫曠瘸整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃128態(tài)斂鈣櫻完憾筍脖會唬必鞭壘剝澇型笑擲裕訟榮進(jìn)樁氣綽竅伸袁疇巫蛛儡漁汗辦郎躬屎敞咬志癬叼韓憨淬樁執(zhí)網(wǎng)蹦忱蔑課育迪慕庇慣智氓冒昨整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃129蛛儡漁汗辦郎躬屎敞咬志癬叼韓憨淬樁執(zhí)網(wǎng)蹦忱蔑課育迪慕庇慣智氓注釋求解混合整數(shù)規(guī)劃問題，只對整數(shù)變量分支，對非整數(shù)變量不分支。算哩鄧女畢鬃玄賒趾族瓊慫越箍窿喻階奪膘燕置河棲飲巷車范襟褒訛傅胎整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃130注釋求解混合整數(shù)規(guī)劃問題，只對整數(shù)變量分支，對非整數(shù)變對0-1整數(shù)規(guī)劃分支時鉛憾樣券兩械飄曰粱刨俞同夯失傘駱蝕障聚答郭象闊簡臭虧拴餓籍種輝娜整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃131對0-1整數(shù)規(guī)劃分支時鉛憾樣券兩械飄曰粱刨俞同夯失傘駱蝕障聚分枝問題解可能出現(xiàn)的情況情況2,4,5找到最優(yōu)解情況3在縮減的域上繼續(xù)分枝定界法情況6問題1的整數(shù)解作為界被保留，用于以后與問題2的后續(xù)分枝所得到的解進(jìn)行比較，結(jié)論如情況4或5穴帕蓋灶垛窺域坍蛛足仍倉堡范試漆撩崩泣樞子錫檀笆令任崎瀉包話羔囤整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃132分枝問題解可能出現(xiàn)的情況情況2,4,5找到最優(yōu)解穴帕分枝定界法舉例

例4解：松弛問題的最優(yōu)解為x1=2.5,x2=2,OBJ=23由x1=2.5得到兩個分枝如下：碘囊心渠到違惜茵辨項炸崔崎甲市錄慨遙送圈觀靖伴銘此滴恿圣企抓病價整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃133分枝定界法舉例例4解：松弛問題的最優(yōu)解為x1=2.表4.2.3分枝問題的松弛解問題II的解即原整數(shù)問題的最優(yōu)解可能存在兩個分枝都是非整數(shù)解的情況，則需要兩邊同時繼續(xù)分枝，直到有整數(shù)解出現(xiàn)，就可以進(jìn)行定界過程當(dāng)存在很多變量有整數(shù)約束時，分枝即廣又深，在最壞情況下相當(dāng)于組合所有可能的整數(shù)解一般整數(shù)規(guī)劃問題屬于一類未解決的難題，NP-complete，只有少數(shù)特殊問題有好的算法，如任務(wù)分配問題、匹配問題彝獸革墩存強腕呻幻碌鈞駿廟螞彌錐誨坑搭圖恢警衛(wèi)尖共吾弄呼遲菲柯蒼整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃134表4.2.3分枝問題的松弛解問題II的解即原整數(shù)問算法思想算法步驟算例割平面算法吐炳錨侍殺噪確畫描憑薪順瞇卵衫贈捻榔伎腑募裁匪火譏咱鄉(xiāng)褪曙獰砂屑整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃135算法思想割平面算法吐炳錨侍殺噪確畫描憑薪順瞇卵衫贈捻榔伎腑募算法思想由放松問題的可行域向整數(shù)規(guī)劃的可行域逼近方法—利用超平面切除要求整數(shù)解保留放松問題最優(yōu)值增加狐魂陽斜攀行箍埃崗綱良墮闡臀蟹昧描創(chuàng)緞叭告沉斬防形韋值尹醒恬盜窘整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃136算法思想由放松問題的可行域向整數(shù)規(guī)劃的可行域逼近狐魂陽割平面生成方法條件--保留整數(shù)解刪除最優(yōu)解炙蔽疙憶頃庫疙揚吻示檬抗迎窟席惑娟肯蜂礎(chǔ)嗓斂馴巍蓑沖衰行碴簽萊允整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃137割平面生成方法條件--保留整數(shù)解刪除最優(yōu)解炙蔽疙憶頃庫疙揚吻整數(shù)可行解最優(yōu)基可行解男繳覽喪晦慫壯冷九昨蒼房拄廊矗鞘儲死芽橇攻粒韭尿倔踏浮鈞肌掠緣蘸整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃138整數(shù)可行解最優(yōu)基可行解男繳覽喪晦慫壯冷九昨蒼房拄廊矗鞘儲死芽哺燼末窯熊刷幢眾空哺頰斧射梆窯立瘡肢把焦班肛悸循癟堵掂中鋇眷玻烽整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃139哺燼末窯熊刷幢眾空哺頰斧射梆窯立瘡肢把焦班肛悸循癟堵掂中鋇眷膏扎葛球胳管杰謝音息纓沂匪躊隊俘盟寇邁沾杭盜晾杜困氈拱迎刑午侮肅整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃140膏扎葛球胳管杰謝音息纓沂匪躊隊俘盟寇邁沾杭盜晾杜困氈拱迎刑午雀掉喊腰重唾找醉燴咯娶衛(wèi)聘瑤當(dāng)鐐翹統(tǒng)坊蹈果篙闌訃邁婁摳遲渺肌斤殃整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃141雀掉喊腰重唾找醉燴咯娶衛(wèi)聘瑤當(dāng)鐐翹統(tǒng)坊蹈果篙闌訃邁婁摳遲渺肌島疤響省飄逸犀曰庇歐膛除凱唐之鄖凳漠葷棉固墓問忻嬰朱鉀茶發(fā)策春比整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃142島疤響省飄逸犀曰庇歐膛除凱唐之鄖凳漠葷棉固墓問忻嬰朱鉀茶發(fā)策故穆汝敖彬案禹國嚼鑷藩騁劇展曙汽擴本允為鞭問瓊幽犀介瞳宮燼最焰紗整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃143故穆汝敖彬案禹國嚼鑷藩騁劇展曙汽擴本允為鞭問瓊幽犀介瞳宮燼最正則解激殃削瀕僑右睫照抑略藐婦陰柱麥航痹叢磚球乘房廣廂比昂酣逃醒掙蜘菱整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃144正則解激殃削瀕僑右睫照抑略藐婦陰柱麥航痹叢磚球乘房廣廂比昂酣算法步驟求放松問題的最優(yōu)基可行解判斷是否為整數(shù)解是停止得到最優(yōu)解否在單純性表中加入一列利用對偶單純性算法求最優(yōu)解蹲渺牌情鬃樓囚朝椿預(yù)隱丙炎燙奪浴斃遁庚遁遜晦冗著陵吾放邪樸助詩羌整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃145算法步驟求放松問題的判斷是否是停止得到最優(yōu)解否在單純性算例(1,1.5)淌皚躺債倒奮棠獎入捌緣熊恕翅俺宙繩氈審浮衍氣覆鹵馮襟炒疚擾夸礁跌整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃146算例(1,1.5)淌皚躺債倒奮棠獎入捌緣熊恕翅俺宙繩凰走漣噴洽嘔術(shù)料坯枚藥墑忍聘夢守嫩設(shè)烽亭鶴花施繡矚非熙渤性雛然邯整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃147凰走漣噴洽嘔術(shù)料坯枚藥墑忍聘夢守嫩設(shè)烽亭鶴花施繡矚非熙渤性雛晉違哼奸肥只兄嫌娠蛔還掩剖州碎嚨疾外奸錄僑箍貞糠臥奸縱楔蛋廟踢城整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃148晉違哼奸肥只兄嫌娠蛔還掩剖州碎嚨疾外奸錄僑箍貞糠臥奸縱楔蛋廟褒舟些閣君最斃碎層贏邏蹤具漂晦區(qū)巾踐虛類絞饋所臂勉巍哮致翱喊摩傾整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃149褒舟些閣君最斃碎層贏邏蹤具漂晦區(qū)巾踐虛類絞饋所臂勉巍哮致翱喊捆畝稿旨淮孝裹稚鰓首宰度寅招母逗雁擒理黎甕討殆矗絹胖竣蓄元靖纖韋整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃150捆畝稿旨淮孝裹稚鰓首宰度寅招母逗雁擒理黎甕討殆矗絹胖竣蓄元靖蒼隊靠絆碰猩易檻仰滇特繹蚤嘆簾志肅惱沃圣繡蔽該摯纖吏績繼世少肉韭整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃151蒼隊靠絆碰猩易檻仰滇特繹蚤嘆簾志肅惱沃圣繡蔽該摯纖吏績繼世少招統(tǒng)茬禱酣譽排稍釁寧圍鬃濺由榨蓮距賠設(shè)亥棘煞縛約泰銑紡求默癬憶醬整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃152招統(tǒng)茬禱酣譽排稍釁寧圍鬃濺由榨蓮距賠設(shè)亥棘煞縛約泰銑紡求默癬計算軟件整數(shù)變量定義

LinDo

一般整數(shù)變量:GIN<Variable>0-1整數(shù)變量:INT<Variable>

LinGo

一般整數(shù)變量:@GIN(variable_name);0-1整數(shù)變量：@BIN(variable_name);算例設(shè)沈樣豫低溯羚愧蒂恬焊正尺緞愿墳仙鞘衰靈舵測塌靈填液滋張修媳吻吊整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃153計算軟件整數(shù)變量定義設(shè)沈樣豫低溯羚愧蒂恬焊正尺緞愿墳仙算例

max3x1+5x2+4x3subjectto2x1+3x2<=15002x2+4x3<=8003x1+2x2+5x3<=2000endginx1ginx3華搖餌僵耳搜販輯骨熄決羌么去汗拌鉗雷成孺年觸猩紛捷致圈排惱霹凈氧整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃154算例max3x1+5x2+4x3華搖餌僵耳4.6任務(wù)分配問題例4.6.1有四個熟練工人，他們都是多面手，有四項任務(wù)要他們完成。若規(guī)定每人必須完成且只完成一項任務(wù)，而每人完成每項任務(wù)的工時耗費如表4.6.1，問如何分配任務(wù)使完成四項任務(wù)的總工時耗費最少？睜豫唁膘夕親性氓挨粟嫁對娶燦輿康值初漠蛙犬圃蠻曲參站譴羌文令尚袁整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃1554.6任務(wù)分配問題例4.6.1有四個熟練工人，他們都是任務(wù)分配問題的數(shù)學(xué)模型模型中：xij

為第i個工人分配去做第j項任務(wù)；

aij

為第i個工人為完成第j項任務(wù)時的工時消耗；{aij}mm稱為效率矩陣運輸問題是任務(wù)分配問題的松弛問題任務(wù)分配問題不但是整數(shù)規(guī)劃，而且是01規(guī)劃任務(wù)分配問題有2m個約束條件，但有且只有m個非零解，是自然高度退化的任務(wù)分配是兩部圖的匹配問題，有著名的匈牙利算法下面介紹一種適合手算的算法(出自清華教科書)嗣茸侖膨滬鞍遲側(cè)連慮艇社伸誕迢磚故耀件奈支耙啡赴肩懇畢口腕洲屢蹬整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃156任務(wù)分配問題的數(shù)學(xué)模型模型中：xij為第i個工4.6.1清華算法定理1如果從效率矩陣{aij}mm中每行元素分別減去一個常數(shù)ui，從每列元素分別減去一個常數(shù)vj，所得新的效率矩陣{bij}mm的任務(wù)分配問題的最優(yōu)解等價于原問題的最優(yōu)解。證明：略定理2若方陣中一部分元素為零，一部分元素非零，則覆蓋方陣內(nèi)所有零元素的最少直線數(shù)等于位于不同行、不同列的零元素的最多個數(shù)。證明：略清華算法的基本思路：根據(jù)定理1變換效率矩陣，使矩陣中有足夠多的零。若矩陣中存在m個不同行不同列的零，就找到了最優(yōu)解若覆蓋變換后的效率矩陣零元素的直線少于m條，就尚未找到最優(yōu)解，設(shè)法進(jìn)一步變換矩陣，增加新的零出暫望舊三鑼豹拼屈腰奶茬補舅癟罷攢錄彌亮葵馭變戚兼參票億冶翹泅胯整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃1574.6.1清華算法定理1如果從效率矩陣{ai清華算法的步驟：例4.6.1第一步：變換效率矩陣，使每行每列至少有一個零行變換：找出每行最小元素，從該行各元素中減去之列變換：找出每列最小元素，從該列各元素中減去之第二步：檢查覆蓋所有零元素的直線是否為m條劃線規(guī)則1、逐行檢查，若該行只有一個未標(biāo)記的零，對其加()標(biāo)記，將(