數(shù)列的極限-滬教版課件

第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)則一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)列的極限第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)則一、數(shù)學(xué)語言描述:一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.當(dāng)n無限增大時(shí),無限逼近S

(劉徽割圓術(shù))

,當(dāng)n

>

N時(shí),用其內(nèi)接正n

邊形的面積總有劉徽目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)學(xué)語言描述:一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑為r的圓定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當(dāng)n>

N

時(shí),總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂,否則稱數(shù)列發(fā)散.幾何解釋:即或則稱該數(shù)列的極限為a,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng))例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.已知證明數(shù)列的極限為1.證:欲使即只要因此,例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時(shí),就有故的極限為

0.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:用反證法.及且取因故存在N1,例4.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長(zhǎng)度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.證明數(shù)列是發(fā)散的.證:用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,2.收斂數(shù)列一定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說明:此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.收斂數(shù)列一定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有3.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取*********************4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*********************4.收斂數(shù)列的任三、極限存在準(zhǔn)則由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西審斂準(zhǔn)則.則原數(shù)列一定發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:三、極限存在準(zhǔn)則由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同1.夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1)

(P49)證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1)(P49)證:由條件(例5.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由機(jī)動(dòng)目錄上2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限

(準(zhǔn)則2

)

(P52)

(證明略)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限(準(zhǔn)則2)(P52例6.設(shè)證明數(shù)列極限存在.(P52～P54)證:利用二項(xiàng)式公式,有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.設(shè)證明數(shù)列極限存在.(P52～P54)證:大大正又比較可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束大大正又比較可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無理數(shù),其值為即有極限.原題目錄上頁下頁返回結(jié)束又根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無理數(shù),*3.柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理)

(P55)數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),證:“必要性”.設(shè)則時(shí),有使當(dāng)因此“充分性”證明從略.有柯西目錄上頁下頁返回結(jié)束*3.柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理)(P55)數(shù)列極內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N

”定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3.極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N”定義及應(yīng)用2.思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.找一個(gè)趨于∞的子數(shù)列;方法2.找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.2.已知,求時(shí),下述作法是否正確?說明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對(duì)!此處機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.找一個(gè)趨于∞的作業(yè)P303(2),(3),4,6P564(1),(3)4(3)提示:可用數(shù)學(xué)歸納法證第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P303(2),(3),4,6故極限存在，備用題

1.設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束故極限存在，備用題1.設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.設(shè)證:顯然證明下述數(shù)列有極限.即單調(diào)增,又存在“拆項(xiàng)相消”法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2劉徽(約225–295年)我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對(duì)《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評(píng)注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.的方法:劉徽(約225–295年)我國(guó)古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)

校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)則一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)列的極限第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、極限存在準(zhǔn)則一、數(shù)學(xué)語言描述:一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑為

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的圓,逼近圓面積S.當(dāng)n無限增大時(shí),無限逼近S

(劉徽割圓術(shù))

,當(dāng)n

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N時(shí),用其內(nèi)接正n

邊形的面積總有劉徽目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)學(xué)語言描述:一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑為r的圓定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當(dāng)n>

N

時(shí),總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂,否則稱數(shù)列發(fā)散.幾何解釋:即或則稱該數(shù)列的極限為a,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為數(shù)列,記作或稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng))例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,趨勢(shì)不定收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.已知證明數(shù)列的極限為1.證:欲使即只要因此,例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時(shí),就有故的極限為

0.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:用反證法.及且取因故存在N1,例4.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長(zhǎng)度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.證明數(shù)列是發(fā)散的.證:用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,2.收斂數(shù)列一定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說明:此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.收斂數(shù)列一定有界.證:設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有3.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.收斂數(shù)列的保號(hào)性.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取*********************4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*********************4.收斂數(shù)列的任三、極限存在準(zhǔn)則由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,例如，

發(fā)散!夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西審斂準(zhǔn)則.則原數(shù)列一定發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:三、極限存在準(zhǔn)則由此性質(zhì)可知,若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同1.夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1)

(P49)證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1)(P49)證:由條件(例5.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由機(jī)動(dòng)目錄上2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限

(準(zhǔn)則2

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(P52)

(證明略)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限(準(zhǔn)則2)(P52例6.設(shè)證明數(shù)列極限存在.(P52～P54)證:利用二項(xiàng)式公式,有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.設(shè)證明數(shù)列極限存在.(P52～P54)證:大大正又比較可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束大大正又比較可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無理數(shù),其值為即有極限.原題目錄上頁下頁返回結(jié)束又根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無理數(shù),*3.柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理)

(P55)數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),證:“必要性”.設(shè)則時(shí),有使當(dāng)因此“充分性”證明從略.有柯西目錄上頁下頁返回結(jié)束*3.柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理)(P55)數(shù)列極內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N

”定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限3.極限存在準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;柯西準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N”定義及應(yīng)用2.思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.找一個(gè)趨于∞的子數(shù)列;方法2.找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.2.已知,求時(shí),下述作法是否正確?說明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對(duì)!此處機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.找一個(gè)趨于∞的作業(yè)P303(2),(3),4,6P564(1),(3