一階常系數(shù)線性差分方程(同名77)課件

第七節(jié)一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解思考題小結(jié)內(nèi)容回顧第十章微分方程與差分方程第七節(jié)一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)齊次線性差分方程的

1.差分的定義

2.差分方程與差分方程的階

3.差分方程的解、初始條件和通解、特解

4.常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)內(nèi)容回顧2內(nèi)容回顧2一階常系數(shù)線性差分方程的求解3一階常系數(shù)線性差分方程的求解3一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解這是等比數(shù)列所滿足的關(guān)系式,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式4一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解這是等比數(shù)列所滿足的關(guān)

例1求的通解.解:故原方程的通解為其中C為任意常數(shù).5

2.特征根法設(shè)代入方程得：得故是齊次方程的一個(gè)解，從而是齊次方程的通解,C為任意常數(shù).(是齊次方程的特征方程)(特征根)62.特征根法設(shè)代入方程得：得故是齊次方程的一個(gè)解，從而是齊

例2求滿足初始條件的解.解:故原方程的通解為由初始條件得C=2.所以即為所求特解.特征方程是7

練習(xí)解:特征方程是8

二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解由上節(jié)定理3知道,差分方程(2)的通解應(yīng)由對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解(前面已學(xué)過)和非齊次差分方程的特解兩部分組成.我們只學(xué)習(xí)后部分.

求解方程非齊次方程的特解,常用的方法是待定系數(shù)法,以下對(duì)常見的類型,分別介紹特解的求解方法．9二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解由上節(jié)定理3知1.型101.型10

設(shè)非齊次方程的特解為(3)非齊次方程的通解為

13＋=+=*xxxxCyYy例3求的通解.(1)先求相應(yīng)的齊次方程解:的通解：代入原方程得：特征方程是通解：11

解對(duì)應(yīng)齊次方程通解(1)特征方程特征根代入方程,得（3）原方程通解為例412解對(duì)應(yīng)齊次方程通解(1)特征方程特征根代入方程,得（3）原

例5

求差分方程滿足的特解.解:(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程設(shè)非齊次方程的特解為

(3)非齊次方程的通解為所以原方程滿足初始條件的特解為通解為所以代入方程得所以（4）由13

解:14解:14解:15解:15(1)當(dāng)μ＝0、1時(shí),即類型1.(2)當(dāng)μ≠0、1時(shí),設(shè)型2.可化為類型1.16(1)當(dāng)μ＝0、1時(shí),即類型1.(2)當(dāng)μ≠0、1時(shí)

例7

求差分方程的通解.解:(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程

(2)令可求得特解(3)原方程的通解為通解為,得原方程的特解為,原方程化為化為類型1了17

例8

求差分方程的通解.解:

(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程

(2)令求得特解(3)原方程的通解為通解為,原方程化為,得原方程的特解為特征方程特征根18

解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例819解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例81920202121(1)※3.

22(1)※3.22(2)23(2)2324242525解26解26

例8解:C為任意常數(shù).27

求解非齊次線性方程的通解,除了利用線性方程解的結(jié)構(gòu)定理,通過分別求出對(duì)應(yīng)齊次方程通解和非齊次方程一個(gè)特解的方法實(shí)現(xiàn)外,還可以直接用迭代法計(jì)算,將方程改寫成迭代方程形式來(lái)求解.有遞推形式為：28求解非齊次線性方程的通解,除了利用線性方程解的結(jié)構(gòu)定由數(shù)學(xué)歸納法可證：29由數(shù)學(xué)歸納法可證：29

例9解:30

思考題

解:31思考題解:一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解小結(jié)二、非齊次方程的求解關(guān)鍵是求非齊次特解,本節(jié)求特解要求掌握待定系數(shù)法：1.型32一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解小結(jié)二、非齊次方程的求(1)當(dāng)μ＝0、1時(shí),即類型1.(2)當(dāng)μ≠0、1時(shí),設(shè)型2.可化為類型1.33(1)當(dāng)μ＝0、1時(shí),即類型1.(2)當(dāng)μ≠0、1時(shí)作業(yè)P419ex1,2,3(偶),4(奇)預(yù)習(xí)：第八節(jié)第十章微分方程與差分方程作業(yè)P419ex1,2,3(偶),4(奇)預(yù)

第七節(jié)一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解思考題小結(jié)內(nèi)容回顧第十章微分方程與差分方程第七節(jié)一階常系數(shù)線性差分方程一階常系數(shù)齊次線性差分方程的

1.差分的定義

2.差分方程與差分方程的階

3.差分方程的解、初始條件和通解、特解

4.常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu)內(nèi)容回顧36內(nèi)容回顧2一階常系數(shù)線性差分方程的求解37一階常系數(shù)線性差分方程的求解3一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解這是等比數(shù)列所滿足的關(guān)系式,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式38一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解這是等比數(shù)列所滿足的關(guān)

例1求的通解.解:故原方程的通解為其中C為任意常數(shù).39

2.特征根法設(shè)代入方程得：得故是齊次方程的一個(gè)解，從而是齊次方程的通解,C為任意常數(shù).(是齊次方程的特征方程)(特征根)402.特征根法設(shè)代入方程得：得故是齊次方程的一個(gè)解，從而是齊

例2求滿足初始條件的解.解:故原方程的通解為由初始條件得C=2.所以即為所求特解.特征方程是41

練習(xí)解:特征方程是42

二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解由上節(jié)定理3知道,差分方程(2)的通解應(yīng)由對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解(前面已學(xué)過)和非齊次差分方程的特解兩部分組成.我們只學(xué)習(xí)后部分.

求解方程非齊次方程的特解,常用的方法是待定系數(shù)法,以下對(duì)常見的類型,分別介紹特解的求解方法．43二、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解由上節(jié)定理3知1.型441.型10

設(shè)非齊次方程的特解為(3)非齊次方程的通解為

13＋=+=*xxxxCyYy例3求的通解.(1)先求相應(yīng)的齊次方程解:的通解：代入原方程得：特征方程是通解：45

解對(duì)應(yīng)齊次方程通解(1)特征方程特征根代入方程,得（3）原方程通解為例446解對(duì)應(yīng)齊次方程通解(1)特征方程特征根代入方程,得（3）原

例5

求差分方程滿足的特解.解:(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程設(shè)非齊次方程的特解為

(3)非齊次方程的通解為所以原方程滿足初始條件的特解為通解為所以代入方程得所以（4）由47

解:48解:14解:49解:15(1)當(dāng)μ＝0、1時(shí),即類型1.(2)當(dāng)μ≠0、1時(shí),設(shè)型2.可化為類型1.50(1)當(dāng)μ＝0、1時(shí),即類型1.(2)當(dāng)μ≠0、1時(shí)

例7

求差分方程的通解.解:(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程

(2)令可求得特解(3)原方程的通解為通解為,得原方程的特解為,原方程化為化為類型1了51

例8

求差分方程的通解.解:

(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程

(2)令求得特解(3)原方程的通解為通解為,原方程化為,得原方程的特解為特征方程特征根52

解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例853解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根例81954205521(1)※3.

56(1)※3.22(2)57(2)2358245925解60解26

例8解:C為任意常數(shù).61

求解非齊次線性方程的通解,除了利用線性方程解的結(jié)構(gòu)定理,通過分別求出對(duì)應(yīng)齊次方程通解和非齊次方程一個(gè)特解的方法實(shí)現(xiàn)外,還可以直接用迭代法計(jì)算,將方程改寫成迭代方程形式來(lái)求解.有遞推形式為：62求解非齊次線性方程的通解,除了利用線性方程解的結(jié)構(gòu)定由數(shù)學(xué)歸納法可證：63由數(shù)學(xué)歸納法可證：29

例9解:64

思考題

解:65思考題解:一、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解小結(jié)二、非