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5.2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式在例2中,當(dāng)p0=5時(shí),p(t)=5×1.05t.這時(shí),求p關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)可以看成求函數(shù)f(t)=5與g(t)=1.05t乘積的導(dǎo)數(shù).一般地,如何求兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)呢?探究!設(shè)f(x)=x2,g(x)=x,計(jì)算[f(x)+g(x)]′與[f(x)?g(x)]′,它們與f′(x)和g'(x)有什么關(guān)系?再取幾組函數(shù)試試,由此你能想到什么?設(shè)y=f(x)+g(x)=x2+x,因?yàn)樘骄?!設(shè)f(x)=x2,g(x)=x,計(jì)算[f(x)+g(x)]'與[f(x)?g(x)]',它們f'(x)與g'(x)有什么關(guān)系?再取幾組函數(shù)試試,由此你能想到什么?設(shè)y=f(x)+g(x)=x2+x,因?yàn)樗訹f(x)+g(x)]′=f'(x)+g'(x).而f'(x)=(x2)'=2x,g'(x)=(x)'=1同樣地,對(duì)于上述函數(shù),[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和(或差)的導(dǎo)數(shù),我們有如下法則:[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=x3-x+3(2)y=2x+cosx解:(1)y'=(x3-x+3)'=(x3)'-(x)'+(3)'=3x2-1(2)y'=(2x+cosx)'=(2x)'+(cosx)'=2xln2-sinx思考?設(shè)f(x)=x2,g(x)=x,計(jì)算[f(x)

g(x)]′與f′(x)g′(x),它們是否相等?f(x)與g(x)商的導(dǎo)數(shù)是否等于它們導(dǎo)數(shù)的商?通過(guò)計(jì)算可知[f(x)

g(x)]′=(x3)′=3x2,f′(x)g′(x)=2x?1=2x,因此[f(x)

g(x)]′≠f′(x)g′(x).事實(shí)上,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的乘積(或商)的導(dǎo)數(shù),我們有如下的法則:[f(x)

g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);事實(shí)上,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的乘積(或商)的導(dǎo)數(shù),我們有如下的法則:[f(x)

g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);由兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的乘積的導(dǎo)數(shù)法則:[Cf(x)]′=C′(x)f(x)+Cf′(x)=

Cf′(x);也就是說(shuō),常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積,即[Cf(x)]′=Cf′(x).解:(1)y'=(x3ex)'=(x3)′ex+x3(ex)'=3x2ex+x3ex解:凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解:凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢.由上述計(jì)算可知,c′(98)=25c′(90).它表示進(jìn)化到純凈度為98%左右時(shí)凈化費(fèi)用的變化率,大約是凈化到純凈度為90%左右時(shí)凈化費(fèi)用變化率的25倍.這說(shuō)明水的純凈度越高,需要的凈化費(fèi)用就越多,而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快.

例6若函數(shù)

f(x)=lnx+2x2+ax的圖像上存在與直線x-y=0平行的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.[-3,+∞) B.[2,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,-3]

解:函數(shù)f(x)=lnx+2x2+ax的圖像上存在與直線x-y=0平行的切線,則f'(x)=1在(0,+∞)上有解,

∴a≤1-4=-3,∴a的取值范圍是(-∞,-3].故選D.歸納小結(jié)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則:

[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x);[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g′(x);[f(x)

g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);

特別的[Cf(x)]′=Cf′(x).

所以f'(1)=2f'(1)?1,解得f'(1)=1,

整理得(a-1)2=0,所以a=1.2.設(shè)函數(shù)f(x)=axex+x3-3,若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為2e+3,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為(

)A.y=(2e+3)x-2e-5 B.y=(2e+3)x-e-5C.y=(2e+3)x+e+5 D.y=(2e+3)x+2e+5解:∵f(x)=axex+x3-3的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=a(x+1)ex+3x2,由y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為2e+3,可得2ae+3=2e+3,解得a=1,則f(1)=e-2,∴切線的方程為y-(e-2)=(2e+3)(x-1),即y=(2e+3)x-e-5.故選B.3.函數(shù)f(x)=x3-x+3的圖像在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=2x-1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

)A.(1,3) B.(-1,3)或(1,3)C.(-1,-3)或(1,1) D.(-1,3)

解:設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),由f(x)=x3-x+3,可得f'(x)=3x2-1,則點(diǎn)P處切線的斜率k=f'(x0)=3x02-1,

因?yàn)閒(x)=

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