流體力學(xué)08章課件

第8章氣體一維定常流動(dòng)

8.1一維定常流動(dòng)方程

8.1.1連續(xù)方程

8.1.2動(dòng)量方程

8.1.3狀態(tài)方程

8.1.4能量方程

8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)

8.4激波和膨脹波

8.5氣體在噴管和等截面管內(nèi)的加速流動(dòng)流體力學(xué)8.1一維定常流動(dòng)方程

氣體高速流動(dòng)時(shí)，密度、溫度等參數(shù)將發(fā)生變化，氣體流動(dòng)問題的完整描述包括連續(xù)方程、動(dòng)量方程、狀態(tài)方程和能量方程。在下面的討論中，下標(biāo)“1”和“2”分別代表氣流入口和氣流出口截面上的參數(shù)。8.1.1連續(xù)方程根據(jù)質(zhì)量守恒定律，一維定常流動(dòng)在任何過流斷面上的質(zhì)量流量為一常數(shù)，即氣體一維定常流動(dòng)8.1一維定常流動(dòng)方程8.1.2動(dòng)量方程對于一維定常流動(dòng)，一般形式的動(dòng)量積分方程簡化為而不計(jì)質(zhì)量力時(shí)定常流動(dòng)歐拉方程則簡化為8.1.3狀態(tài)方程理想氣體的狀態(tài)方程及其微分式分別氣體一維定常流動(dòng)8.1一維定常流動(dòng)方程圖8-1氣體一維定常流動(dòng)能量平衡能量方程根據(jù)能量守恒定律，前面列出的熱量、功量和能量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)式表達(dá)就是8.1一維定常流動(dòng)方程用控制體氣體總質(zhì)量m除以上式并整理，得

能量方程對上式微分(視出口截面為任意截面、入口截面為參考截面)，有以上就是一維定常流動(dòng)的比焓形式能量方程。對于浮力影響微弱的氣體流動(dòng)，宏觀位能項(xiàng)與其他項(xiàng)相比可忽略不計(jì)，比焓形式能量方程可以簡化，特別是對以下一些特殊的流動(dòng)——

絕能流動(dòng)(q=0,w=0)，能量方程簡化為8.1一維定常流動(dòng)方程h0=h+u2/2稱為總焓或滯止焓。上式表示絕能流動(dòng)時(shí)氣體的總焓保持不變。絕熱流動(dòng)(q=0)，能量方程簡化為能量方程表示氣體總焓的增加或減小就等于外界對氣體或氣體對外界做的機(jī)械功。無機(jī)械功的流動(dòng)(w=0)，能量方程簡化為表示氣體總焓的增加或減小是外界對氣體加熱或氣體對外界放熱的結(jié)果。8.1一維定常流動(dòng)方程

機(jī)械功形式對比焓的定義式微分，有dh=de+pdv+vdp又由熱力學(xué)第一定律，有dq+dwf=de+pdv合并以上兩式，得能量方程再將它代入比焓形式能量方程并整理，最后得第8章氣體一維定常流動(dòng)

8.1一維定常流動(dòng)方程

8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

8.2.1聲速和馬赫數(shù)

8.2.2亞超聲速流場中小擾動(dòng)傳播特性

8.2.3通流面積對氣體流動(dòng)的影響

8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)

8.4激波和膨脹波

8.5氣體在噴管和等截面管內(nèi)的加速流動(dòng)流體力學(xué)8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

在第7章討論水擊中已得到小擾動(dòng)傳播速度的數(shù)學(xué)式，即聲速和馬赫數(shù)將上式寫成熱力學(xué)等熵過程，就是而對于比熱容為常數(shù)的理想氣體，則有

馬赫數(shù)被定義為氣體流動(dòng)的當(dāng)?shù)厮俣萿與同地聲速c0之比，并用符號Ma表示，即Ma=u/c0。8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

聲速和馬赫數(shù)令則上式按泰勒級數(shù)在Ma2=0的鄰域展開、并忽略Ma2的二次方以上項(xiàng)，易得類似分析，可得Ma=0.1:Dr/r0=0.005,Dp/p0=0.007,DT/T0=0.005。8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

可見，氣體流動(dòng)在Ma<0.1時(shí)，按不可壓流動(dòng)計(jì)算所得流動(dòng)參數(shù)值的相對誤差不超過1％。實(shí)際中一般根據(jù)典型流速(如外流的來流速度或物體在氣體中的運(yùn)動(dòng)速度)所對應(yīng)的馬赫數(shù)大小將流動(dòng)分為——

不可壓流動(dòng)：

M<0.3

亞聲速流動(dòng)：

0.3≤M≤0.7跨聲速流動(dòng)：0.7<M<1.3超聲速流動(dòng)：1.3<M≤5高超聲速流動(dòng)：M>5當(dāng)然，實(shí)際中還需根據(jù)具體流動(dòng)情況決定如何考慮壓縮性以及激波和膨脹波問題。聲速和馬赫數(shù)8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

8.2.2亞、超聲速流場中小擾動(dòng)的傳播特性

流動(dòng)氣體中或運(yùn)動(dòng)物體在靜止氣體中產(chǎn)生的擾動(dòng)，其傳播特性在Ma<1和Ma>1時(shí)有著本質(zhì)的不同。圖8-2表示氣流在不同馬赫數(shù)下經(jīng)過固定點(diǎn)擾動(dòng)源后3個(gè)時(shí)間單位內(nèi)(小)擾動(dòng)傳播的情況，氣流方向從左至右，不考慮能量損失。

Ma=0(圖8-2a)。小擾動(dòng)產(chǎn)生的球面波以聲速向四面八方傳播。擾動(dòng)達(dá)整個(gè)流體空間。

Ma<1(圖8-2b)。擾動(dòng)源產(chǎn)生的球面波在向周圍傳播的同時(shí)還被氣流帶往下游，波面在順流方向上傳播速度要快一些，在逆流方向上則慢一些。擾動(dòng)達(dá)整個(gè)流場。氣體一維定常流動(dòng)8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

圖8-2小擾動(dòng)傳播特性亞超聲速流場中擾動(dòng)傳播8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

亞超聲速流場中擾動(dòng)傳播

Ma=1(圖8-2c)。擾動(dòng)源產(chǎn)生的球面波在順流方向上以2倍聲速傳播，在逆流方向上傳播速度為零。垂直于來流方向且包含擾動(dòng)點(diǎn)的平面成為分界面，擾動(dòng)只在其下游流場傳播、不能向上游流場傳播。

Ma>1(圖8-2d)。擾動(dòng)區(qū)和寂靜區(qū)的分界面是以擾動(dòng)源為頂點(diǎn)的圓錐面。分界面包絡(luò)的圓錐體稱為馬赫錐，在馬赫錐內(nèi)傳播的擾動(dòng)波稱為馬赫波，氣流速度與馬赫錐母線之間的夾角稱為馬赫角m：sinm=c0/u=1/Ma，Ma越大則m越小。擾動(dòng)在亞、超聲速流場中傳播的差異在于：亞聲速流場中任何擾動(dòng)都將傳遍整個(gè)流場，超聲速流場中擾動(dòng)則被限于擾動(dòng)源下游的流場中。8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

合并上面兩式、并應(yīng)用聲速關(guān)系式dp/dr=c02，易得通流面積對氣體流動(dòng)的影響由上面兩式及歐拉方程可見：

Ma<1時(shí)，dA與du異號，表示通流面積減小則流速增大、壓強(qiáng)和密度減小。反之亦反。

Ma>1時(shí)，dA與du同號，表示通流面積減小則流速減小、壓強(qiáng)增大、密度增大；反之亦反。即氣體作超聲速流動(dòng)并加速時(shí)，密度的減小要快于流速的增大，因此只有增大通流面積才能保證通過的質(zhì)量流量保持不變。8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

Ma=1時(shí)，dA=0，對應(yīng)于極值截面且在實(shí)際中只能是最小截面，也就是說，聲速只發(fā)生在最小通流截面上。在M≈1的情況下，通流面積的微小變化就有可能引起流速發(fā)生大的變化，因此在最小通流截面附近面積的變化要緩慢，否則易導(dǎo)致流動(dòng)的不穩(wěn)定。根據(jù)上述流速與通流面積之間的關(guān)系還可推知，如果氣流在管段入口為亞聲速、而要求在出口成為超聲速，則需要采用縮擴(kuò)噴管(即拉伐爾噴管)。通流面積對氣體流動(dòng)的影響8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)氣體在透平機(jī)械中、空氣繞過物體的流動(dòng)等，如果忽略氣體的粘性及其與外界的熱交換，則在不發(fā)生強(qiáng)壓縮波的情況下都可視為等熵流動(dòng)。8.3.1滯止參數(shù)流動(dòng)的氣體等熵絕熱地減速到速度為零時(shí)對應(yīng)的溫度、壓強(qiáng)和密度稱為滯止參數(shù)。

滯止溫度T0

絕能流動(dòng)的能量方程為對于理想氣體，h0=cpT0，h=cpT；所以氣體一維定常流動(dòng)8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)

滯止壓力p0

應(yīng)用理想氣體絕熱等熵過程的熱力學(xué)方程，有

極限流速umax

在滯止焓定義式中令T=0,就得理想氣體絕能流動(dòng)的極限流速，即

滯止密度r0應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程，有式中，(k

R

T0)1/2稱為滯止聲速。滯止參數(shù)8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)臨界截面圖8-4縮擴(kuò)噴管中氣體加速流動(dòng)

臨界聲速是指臨界截面上的聲速，用符號c*表示。由臨界溫比和極限流速，易得8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)臨界截面總溫在流動(dòng)中保持不變時(shí)，臨界聲速為一常數(shù)。因此，除馬赫數(shù)外，氣體動(dòng)力學(xué)還將當(dāng)?shù)亓魉倥c臨界聲速之比作為一個(gè)重要參數(shù)。

速度系數(shù)l被定義為當(dāng)?shù)亓魉倥c臨界聲速之比：l=u/c*，即易得l和Ma一一對應(yīng)的關(guān)系為8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)8.3.3氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)

氣體流動(dòng)的一些量可表達(dá)為速度系數(shù)l或馬赫數(shù)Ma的函數(shù)，這些函數(shù)統(tǒng)稱為氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)。根據(jù)l或Ma將這些函數(shù)值列成表，稱為氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)表或一維定常等熵流動(dòng)函數(shù)表。

狀態(tài)參數(shù)比函數(shù)包括溫比、壓比和密度比三個(gè)函數(shù)。由滯止溫度和速度系數(shù)的定義式以及理想氣體絕熱等熵流動(dòng)的過程方程，易得氣體一維定常流動(dòng)溫比函數(shù)：壓比函數(shù)：密度比函數(shù)：8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)

流量函數(shù)理想氣體一維定常流動(dòng)，有氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)q(l)稱為q流量函數(shù)。見圖8-6，q(l)在0<l

<1區(qū)間遞增，在1<l

<l

max區(qū)間遞減，在l

=1達(dá)到最大值：q(1)=1。上面的質(zhì)量流量式還可寫成即8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)圖8-6流量函數(shù)隨l的變化，k=1.48.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)

沖量函數(shù)流場中任一截面的動(dòng)量通量(單位時(shí)間內(nèi)作用的動(dòng)量)以及作用于該截面的總壓力之和(qmu+pA)稱為沖量。對于理想氣體，有氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)應(yīng)用溫比函數(shù)和速度系數(shù)關(guān)系并整理，得再應(yīng)用質(zhì)量流量式并整理，最后得或8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)f(l)和r(l)都稱為沖量函數(shù)。如圖8-7所示，r(l)為遞減函數(shù)；而f(l)在0<l<1區(qū)間遞增，在1<l<lmax區(qū)間遞減，在l=1達(dá)到最大值。氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)圖8-7沖量函數(shù)隨l的變化，k=1.4第8章氣體一維定常流動(dòng)

8.1一維定常流動(dòng)方程

8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)

8.4激波和膨脹波

8.4.1正激波

8.4.2斜激波

8.4.3膨脹波

8.5氣體在噴管和等截面管內(nèi)的加速流動(dòng)流體力學(xué)8.4激波和膨脹波

流動(dòng)氣體經(jīng)過波陣面時(shí)壓強(qiáng)和密度躍升、流速突降的波動(dòng)稱為激波；流動(dòng)氣體經(jīng)過波陣面時(shí)壓強(qiáng)和密度下降、流速增大的波動(dòng)稱為膨脹波。8.4.1正激波

波陣面與流速方向垂直的激波稱為正激波。

基本方程

將坐標(biāo)系取在激波面上，并使控制體包含激波面，如圖8-9中虛線所示。根據(jù)質(zhì)量、動(dòng)量和能量平衡關(guān)系，有氣體一維定常流動(dòng)8.4激波和膨脹波

以上3個(gè)方程——即連續(xù)方程、動(dòng)量方程和能量方程——包含波前和波后參數(shù)各3個(gè)，若已知波前參數(shù)，則可求解波后參數(shù)；反之亦然。由于激波發(fā)生的時(shí)間極短，波面又可看成為沒有厚度和質(zhì)量，所以這些方程對于非慣性坐標(biāo)系和非定常流動(dòng)也適用。正激波圖8-9正激波8.4激波和膨脹波

正激波前后流動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系

1)流速關(guān)系由理想氣體的狀態(tài)方程、比定壓熱容以及絕能流動(dòng)能量方程，有正激波能量方程兩端分別除以連續(xù)方程兩端，有

將前式代入上式并整理，得這就是正激波前后流速或速度系數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系式中流速都是指相對于波陣面的速度。8.4激波和膨脹波

2)密度關(guān)系

由連續(xù)方程和速度關(guān)系式，得

正激波

3)靜壓關(guān)系

應(yīng)用動(dòng)量方程和連續(xù)方程，有顯然p2/p1>1，即正激波后氣體靜壓大于激波前靜壓。將Ma-l關(guān)系代入上式簡化，得8.4激波和膨脹波

4)總壓關(guān)系

由壓比函數(shù)、速度系數(shù)關(guān)系和靜壓關(guān)系，可得正激波易證p02<p01，即發(fā)生正激波將引起總壓即能量損失，正激波的熱力過程是非等熵的。

5)溫度關(guān)系

由理想氣體狀態(tài)方程、靜壓關(guān)系和密度關(guān)系，得8.4激波和膨脹波

6)熵增關(guān)系

流動(dòng)的理想氣體的熱力過程熵增關(guān)系為正激波由p02<p01、k>1可知，正激波的熱力過程伴隨有熵增；但是，在波前馬赫數(shù)Ma1<1.3的條件下熵增還很小，在初步計(jì)算中可忽略不計(jì)。實(shí)際中常用皮托管測量超聲速氣流的總壓，由于在馬赫數(shù)Ma1>1.3條件下熵增即損失較大，測量結(jié)果需作修正——即測量前或測量后皮托管須校準(zhǔn)。用皮托管測量亞聲速氣流總壓的結(jié)果往往可直接應(yīng)用。8.4激波和膨脹波

8.4.2斜激波

波陣面與流速不垂直的激波稱為斜激波。圖8-11表示超聲速氣流繞過平面凹角的流動(dòng)產(chǎn)生斜激波。

基本方程和波前波后氣體參數(shù)間關(guān)系如圖8-11所示，將坐標(biāo)取在斜激波的波面上，并用t和n代表波面的切線和法線方向，來流與t方向間夾角b稱為激波角，波后流速與來流間夾角d稱為氣流轉(zhuǎn)折角。根據(jù)質(zhì)量、動(dòng)量和能量關(guān)系，有氣體一維定常流動(dòng)8.4激波和膨脹波

斜激波圖8-11超聲速氣流繞過凹角產(chǎn)生斜激波8.4激波和膨脹波

比較正激波和斜激波的方程容易看出，只要用u1n、u2n替換u1、u2，用Ma1sinb、Ma2sin(b-d)替換Ma1、Ma2，則關(guān)于正激波的全部關(guān)系式(涉及總壓的除外)都可應(yīng)用于斜激波。下面僅討論氣流轉(zhuǎn)折角d與斜激波位置角b之間的關(guān)系。由圖8-11中幾何關(guān)系以及密度關(guān)系式，有斜激波合并以上兩式，經(jīng)整理得8.4激波和膨脹波

關(guān)于斜激波的幾點(diǎn)說明

a)由Ma1和d求激波斜角b時(shí)一般會(huì)得到兩個(gè)解，較大的b值稱為強(qiáng)激波解，較小的b值稱為弱激波解，具體取哪個(gè)解由邊界條件確定，但弱激波解更普遍。

b)由上面氣流轉(zhuǎn)折角公式對Ma1進(jìn)行偏微分求極值并令Ma1∞，就得極限轉(zhuǎn)折角dmax。在任何Ma1下實(shí)際氣流轉(zhuǎn)折角都在0與dmax之間。對于k

=1.4，d

max=45.6o。

c)以上斜激波關(guān)系式適用于任何形狀波面的激波，不管是附體激波還是離體激波，也無論是平面激波還是彎曲激波。斜激波8.4激波和膨脹波

8.4.3膨脹波

超聲速氣流繞平面凸角流動(dòng)時(shí)將產(chǎn)生膨脹波，這是一系列源于凸角的小擾動(dòng)馬赫波，覆蓋一個(gè)傘形區(qū)，氣流在繞過凸角膨脹的過程中方向也轉(zhuǎn)折了一個(gè)角度d，如圖8-12所示。這種膨脹流動(dòng)也稱為普朗特-邁耶爾流動(dòng)。普朗特-邁耶爾流動(dòng)為等熵過程，系列馬赫波的波面角為m

=arcsin(1/Ma)，波前波后氣體流速在垂直于波面方向的分量就等于當(dāng)?shù)芈曀伲簎q

=usinm=c0。等熵過程表示流動(dòng)是無旋的，采用原點(diǎn)位于凸角的極坐標(biāo)系(沿波面為r方向、沿垂直于波面為q方向)，則可設(shè)普朗特-邁耶爾流動(dòng)的速度勢函數(shù)為Φ=r

f(θ)氣體一維定常流動(dòng)8.4激波和膨脹波

即沿波面和垂直于波面的流速分量分別為膨脹波ur和uq都只是q的函數(shù)即與r無關(guān)，因?yàn)槔@凸角的超聲速流動(dòng)在r方向無特征尺度。圖8-12繞凸角的膨脹波8.4激波和膨脹波

由uq

=usinm=c0=dur/dq和絕能流動(dòng)能量方程，有積分得膨脹波按圖8-13規(guī)定馬赫線角q、馬赫角m和氣流轉(zhuǎn)折角d(Ma)，則Ma=1：q=0、ur=0，得C=0。將C代入后上式可寫成顯函數(shù)形式，即8.4激波和膨脹波

所以另外膨脹波圖8-13凸角為原點(diǎn)的極坐標(biāo)合并上面二式得8.4激波和膨脹波

將前面馬赫線角q公式代入，最后得氣流從聲速M(fèi)a1=1開始繞凸角膨脹到任意馬赫數(shù)Ma2=Ma>1所經(jīng)歷的轉(zhuǎn)折角d(Ma)為：膨脹波又由圖8-13寫出馬赫線角q、馬赫角m和氣流轉(zhuǎn)折角d(Ma)三者間關(guān)系，有上式稱為普朗特-邁耶爾函數(shù)。若氣流從Ma1>1開始繞凸角膨脹到Ma2>Ma1，則氣流的實(shí)際轉(zhuǎn)折角d為第8章氣體一維定常流動(dòng)

8.1一維定常流動(dòng)方程

8.2亞、超聲速氣體流動(dòng)的基本性質(zhì)

8.3一維定常等熵流動(dòng)氣體動(dòng)力學(xué)函數(shù)

8.4激波和膨脹波

8.5氣體在噴管和等截面管內(nèi)的加速流動(dòng)

8.5.1收縮噴管

8.5.2縮擴(kuò)噴管

8.5.3等截面管流體力學(xué)8.5氣體在噴管和等截面管內(nèi)的加速流動(dòng)噴管是依靠通道截面積的變化使氣流加速的幾何結(jié)構(gòu)。從本章前面的討論已知，將氣體在管內(nèi)加速到聲速或小于聲速的流動(dòng)，只需采用收縮噴管；而將氣體在管內(nèi)從亞聲速加速到超聲速流動(dòng)，則要采用縮擴(kuò)噴管。另外，氣體在等截面管內(nèi)流動(dòng)時(shí)，由于內(nèi)摩擦產(chǎn)生的熱量或氣體與外界的熱交換，也將引起氣體的加速或減速。8.5.1收縮噴管

圖8-14表示一收縮噴管相接于一個(gè)大體積氣體壓力容器的流動(dòng)。容器內(nèi)氣體參數(shù)給定時(shí)，為獲得一定的流量只要選定噴管的出口面積和噴管壓比pe/p0，p0、pe分別為容器內(nèi)和噴管出口的設(shè)定壓強(qiáng)。噴管內(nèi)氣體流動(dòng)可認(rèn)為是等熵的。氣體一維定常流動(dòng)8.5氣體在噴管和等截面管內(nèi)的加速流動(dòng)采用收縮噴管流量系統(tǒng)時(shí)，需滿足壓比條件p*/p0≤pe/p0<1。在實(shí)際過程中，工況變化可能導(dǎo)致噴管出口壓強(qiáng)(背壓)pb偏離設(shè)計(jì)壓強(qiáng)pe，因此噴管系統(tǒng)的實(shí)際流量為收縮噴管圖8-14氣體在收縮噴管中的加速流動(dòng)8.5氣體在噴管和等截面管內(nèi)的加速流動(dòng)若pb/p0≤p*

/p0，則流量達(dá)到最大值：收縮噴管此后不管背壓如何減小，噴管出口處氣體參數(shù)都保持臨界狀態(tài)不變，流量也不變。收縮噴管在pb/p0<p*

/p0情況下流量達(dá)到極值的現(xiàn)象稱為幾何壅塞。收縮噴管出現(xiàn)壅塞后流量不再隨背壓減小而增大。8.5氣體