初三數(shù)學(xué)暑假銜接班講義(合計(jì)18講-可修改編輯)

初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義第第12頁(yè)共53頁(yè)暑假班培訓(xùn)初三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料目錄本次培訓(xùn)具體計(jì)劃如下，以供參考：第一講第二講第三講第四講第五講第六講第七講第八講第九講第十講第十一講第十二講第十三講第十四講第十五講第十六講第十七講第十八講

如何做幾何證明題平行四邊形（包括矩形，菱形和正方形）的性質(zhì)和判定平行四邊形的提高篇（涉及中考的壓軸題）梯形的輔助線和中考解題思路三角形和梯形中位線及其在中考中的解題技巧一元二次方程的解法（直接開(kāi)平方法、配方法、公式法和因式分解法）一元二次方程的判別式及其在中考題中的專項(xiàng)訓(xùn)練一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（涵蓋壓軸題 5種關(guān)系一元二次方程的應(yīng)用題（必講章節(jié)）因式分解分式的運(yùn)算分式的化簡(jiǎn)求值分式方程及其應(yīng)用代數(shù)式的恒等變形相似三角形相似三角形（提高篇）第一講：如何解決中考圖形類證明題【知識(shí)梳理】1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。2、掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч瑥囊阎獥l件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的?！纠}精講】【專題一】證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類問(wèn)題來(lái)形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到?！纠?】已知：如圖所示， ABC中， C 90，AC BC，AD DB，AE CF。DE＝DFAE DC F BEC＝ED

ABC為等邊三角形，延長(zhǎng) BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE＝BD，連結(jié)CE、DE。EA【例2AB＝CD，AD＝BCAE＝CF

B C D求證：∠E＝∠FEA DB CF【專題二】證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于等腰三角形“三線合一”來(lái)證。

90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或【例3】如圖所示，設(shè)BP、CQ是ABC 的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線求證：KH∥BCAQ PK HB C【例4】已知：如圖所示，AB＝AC，∠A 90，AE BF，BD DC。求證：FD⊥ED AEFB D C【專題三】證明線段和的問(wèn)題（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。 （截長(zhǎng)法）【例5ABCD中，ADBCEAB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠B＝60AB＝BC，DEC＝60BC＝AD＋AEA DEB C【鞏固】已知：如圖，在 ABC中， B 60，∠BAC、∠BCA的角平分線AD、CE相交于O求證：AC＝AE＋CD BE DOAC（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。【例6】已知：如圖7所示，正方形ABCD 中，F(xiàn)在DC上，E在BC上， EAF 45。

（補(bǔ)短法）EF＝BEDF

DFE C第二講：平行四邊形（包括矩形，菱形和正方形）的性質(zhì)和判定【知識(shí)梳理】1、平行四邊形：平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：（1）平行四邊形對(duì)角相等；（2）平行四邊形對(duì)邊相等；（3）平行四邊形對(duì)角線互相平分。除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：（1）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（4）2、特殊平行四邊形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四邊形是矩形（2）矩形的四個(gè)角都是直角；（3）矩形的對(duì)角線相等。（4）矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（5）矩形判定定理2二、菱形（1）把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 .（2）定理（3）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 .（4）菱形的面積等于菱形的對(duì)角線相乘除以 2（5）菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（6）菱形判定定理2三、正方形（1）有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（2）性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角，四條邊相等②對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角（3）判定：①一組鄰邊相等的矩形是正方形②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形【例題精講】【例1】填空題：在下列特征中，（1）四條邊都相等 平行四邊形具有的是：（2）對(duì)角線互相平分（3）對(duì)角線相等 矩形具有的是：（4）對(duì)角線互相垂直（5）四個(gè)角都是直角 菱形具有的是：（6）每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（7）對(duì)邊相等且平行 正方形具有的是：（8）鄰角互補(bǔ)【鞏固】1、下列說(shuō)法中錯(cuò)的是（ ）A.四個(gè)角相等的四邊形是矩形 四條邊相等的四邊形是正方形C.對(duì)角線相等的菱形是正方形 D對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形2、如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個(gè)四邊形是 ( )矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形3、下面結(jié)論中，正確的是（ A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形C.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形4、如圖，在△ABC中，點(diǎn)DEF分別在邊ABBCCA上，且DECADFBA．下列四種說(shuō)法：①四邊形AEDF是平行四邊形；②如果 BAC 90o，那么四邊形AEDF是矩形；③如果AD平分 BAC，那么四邊形AEDF是菱形；④如果AD BC且AB AC，那么四邊形AEDF是菱形其中，正確的有 只填寫序號(hào)）ＡＦＥＢ Ｄ Ｃ【例2】如圖，在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)求證：四邊形BFDE是平行四邊形.A E DB F C【鞏固】已知，如圖9，E、F是四邊形ABCD 的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．D CE FA B【例3】如圖，梯形ABCD 中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．求證：四邊形 AECD是菱形．D CA BE【例4】如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE．（1）CAE的度數(shù)；（2）取AB邊的中點(diǎn)FCF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形．AF EB D C【鞏固】如圖，O為矩形ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)，DE∥AC，CE∥BD．（1）試判斷四邊形OCED 的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AB＝6，BC＝8，求四邊形OCED 的面積．DO EC【例5】如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD、等邊△ACE、等邊△BCF.（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；FEDAB C（2）（只填滿足的條件，不需證明）ABC滿足ABC滿足ABC滿足

條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形；條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；條件時(shí)，以D、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形不存在 .第三講：平行四邊形的提高篇（涉及中考的壓軸題）【知識(shí)梳理】由平行四邊形的結(jié)構(gòu)知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，并且包含著平行線的有關(guān)性質(zhì)，因此，平行四邊形是全等三角形知識(shí)和平行線性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，平行四邊形包括矩形、菱形、正方形。另一方面，平行四邊形有許多很好的性質(zhì)，使得構(gòu)造平行四邊形成為解幾何題的有力工具。【例題精講】【例1】四邊形四條邊的長(zhǎng)分別為 m、、、q，且滿足m2 n2 p2 q2 2mn 2pq，則這個(gè)四邊形是（ 平行四邊形 對(duì)角線互相垂直的四邊形平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形 D.對(duì)角線相等的四邊形【例2】如圖①，四邊形 ABCD是正方形， 點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F.DE－BF＝EF當(dāng)點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)， 試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系， 并說(shuō)明理由．若點(diǎn)G為CB明

DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證【鞏固】如圖1，在邊長(zhǎng)為5的正方形（1）求ECCF的值；

ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、DC邊上的點(diǎn)，且AE EF，BE 2.（2）延長(zhǎng)EF交正方形外角平分線 CP于點(diǎn)P（如圖13－2，試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在圖2AB由．

M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理A D A DFB E C圖1

F PB E C圖2【例3ABCD中，已知AD＝12AB＝5PAD邊上任意一點(diǎn)，PEBD于EPFAC于FPEPF的值?！纠?】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90ADBCBE、AF分別是∠ABCDAC的平分線，BE和AD交于GAC?！纠?Rt△ABC中，∠BAC＝90ADBC于D，BG平分∠ABCEFBC且交AC于F。求證：AE＝CFAGE FB D C第四講：梯形的輔助線和中考解題思路【知識(shí)梳理】與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位，本講就來(lái)研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形， 等腰梯形是一類特殊的梯形， 其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判和性質(zhì)類似。通過(guò)作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問(wèn)題的基本思路，常用的輔助線的作法是：1、平移腰：過(guò)一頂點(diǎn)作一腰的平行線；2、平移對(duì)角線：過(guò)一頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線；3、過(guò)底的頂點(diǎn)作另一底的垂線。熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：【例題精講】中位線概念：三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半?！纠}精講】【例1】如圖所示，在梯形 ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的長(zhǎng).A DB C【例2】如圖所示，在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長(zhǎng).D CB【例3】如圖所示，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，BD＝6cm.求梯形ABCD 的面積.A DC【例4】如圖所示，四邊形 ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形ABCD 的形狀，并證明你的結(jié)論 .D CA B【鞏固】1、如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于 60°，它的兩底分別為 15cm和49cm，求它的腰長(zhǎng).A DB C初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義2、如圖所示，已知等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的長(zhǎng).A DB CE3、如圖所示，梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的長(zhǎng).D CA B【例5】已知：如圖，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E是CD的中點(diǎn)，且AE⊥BE.求證：AD＋BC＝ABA DEB C【鞏固】如圖所示，梯形求證：DE⊥AE。

ABCD ADBCECD的中點(diǎn)，且ADBC＝ABA DEB C【例6】如圖，在梯形ABCD 中，AD∥BC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，若∠B＋∠C＝90°.AD＝7，BC＝15，求EF．

A E D

第12頁(yè)共53頁(yè)B F C初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義【例7】如圖，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形MENF是菱形；（2）若四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪?ABCD 的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。A MDE FB CN【鞏固】如圖，在等腰梯形 ABCD 中，已知AD∥BC，AB＝DC，AD＝2，BC＝4，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝AD．（1）寫出圖中所有與△DCE全等的三角形，并選擇其中一對(duì)說(shuō)明全等的理由；（2）探究當(dāng)?shù)妊菪?ABCD的高DF是多少時(shí)，對(duì)角線 AC與BD互相垂直？請(qǐng)回答并說(shuō)明理由．A DB F C E【例8】已知：如圖，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC求證：AB

2CD. D CA B第五講：三角形和梯形中位線及其在中考中的解題技巧【知識(shí)梳理】1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。2、中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計(jì)算線段的長(zhǎng)度，確定線段的和、差、倍關(guān)系。3、運(yùn)用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點(diǎn)，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。4、中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來(lái)用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，第13頁(yè)共53頁(yè)初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等②經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線，必平分第三邊③經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)而平行于兩底的直線，必平分另一腰5、有關(guān)線段中點(diǎn)的其他定理還有：①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形④線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必須全面考慮?！纠}精講】【例1】已知△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC，AE⊥CD于E，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明 BD=2EF。CE FA D B【鞏固】已知在△ABC中，∠B=2CADBC于DM為BC1求證：DM 2ABAB D M C【例2】已知E、F、G、H是四邊形ABCD 各邊的中則①四邊形EFGH 是 形②當(dāng)AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH 是 形③當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形EFGH 是 形④當(dāng)AC和BD 時(shí)，四邊形EFGH 是正方形。【鞏固】如圖，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)。（1）求證：四邊形MENF 是菱形；（2）若四邊形MENF 是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪?ABCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。A MDE FB【例3】梯形ABCD 中，AB∥CD，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)。求證：MN＝

N C1（AB－CD）2D CM N第14頁(yè)共53頁(yè)初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義A B初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義【鞏固】如圖，在四邊形ABCD 中，AB＞CD，E、F分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)。EF2

CD)ADE FB C解答第2題圖【拓展】E、F為四邊形ABCD 的一組對(duì)邊AD、BC的中點(diǎn)，若EF＝1(2明理由。

CD

，問(wèn)：四邊形

ABCD 為什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)CDFEA B【例4ABCD中，H分別是ADBCAB=CD.BACD的延長(zhǎng)線交HG的延長(zhǎng)線于

EFBEH=∠CFH.【例5ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB＝14BC＝16AC＝26，PA的平分線AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)，求PM的長(zhǎng)。APB D M C

BP⊥AD，M為BC的中第15頁(yè)共53頁(yè)初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義第第51頁(yè)共53頁(yè)【鞏固】已知：△ABC中，分別以ABAC為斜邊作等腰直角三角形求證：PM＝PN

ABM和CAN，P是BC的中點(diǎn)。AMNB P C第六講：一元二次方程的解法（直接開(kāi)平方法、配方法、公式法和因式分解法）【知識(shí)梳理】形如ax2 bxc 0a 0的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式x

b b2 2a

內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過(guò)的全部代數(shù)運(yùn)算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問(wèn)題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美?！纠}精講】【例1】選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋ɑA(chǔ)題）：（）22x=0（2）29=0（3）(1－3x)2＝1；（（－2（＋1）＝0 （5）x＋8＝2

（6）

7x60（7）x2 4x210 （8）2x150 （9）4x2 12x90（10）a24a 210 （11）x2 11x180 （12）2x2 x30（13）（－6）＝2 （14（2＋1）2＝（2＋1） （15）2b（16）3a2 4a40 （17）3b2 14b 5 （18）23x2（19）x4 x2 200 （20）(3x5(3x5)60；

7b15 0x 30【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于 x的方程（提高題）：1（1）3x24x3 5； （2） x3

2x3327 0；（3）5x32 12 45x3； （4）3x1x1 4x1x1；（5）2 3x2 231x6 0?！眷柟獭坑眠m當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于 x的方程：（1）x22 9x12 0；

（2）x2

6axb2 9a2；（3）2x2 22 3x 6 0?！就卣埂拷夥匠蹋?6x723x 4【例3】解方程：x2 3x40?！眷柟獭拷夥匠蹋海?）x2 x110；

1 6

（4）（2）

2x1xxx

3 40。

13x?！纠?】解關(guān)于x的方程： m 1x

2m 1x

3 0?！眷柟獭拷怅P(guān)于x的方程：x2 4px4p2 5x10p6 0。第七講：一元二次方程的判別式及其在中考題中的專項(xiàng)訓(xùn)練【知識(shí)梳理】2一、一元二次方程ax

bxc 0a 0根的情況：令 b

4ac。1、若 0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

b b2 4ac b ，x

4ac；12、若 0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根： x

2a 2 2ab；13、若 0，則方程無(wú)實(shí)根（不代表沒(méi)有解） 。二、1、利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性

2 2a2、運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；3、通過(guò)判別式，證明與方程有關(guān)的代數(shù)問(wèn)題；4、借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題?！纠}精講】【例1】已知方程ax2 4x10；則①當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？②當(dāng)a取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？③當(dāng) a取什么值時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根？【鞏固】1、已知關(guān)于x的方程x2 22mx36m 0求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；2、已知關(guān)于x的一元二次方程 12k2k1x10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求 k的取值范圍。【拓展】關(guān)于x【拓展】關(guān)于x的方程kx2k1x10有有理根，求整數(shù)k的值?！纠?】已知關(guān)于x的方程x2k2x2k0。（1）求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a1，另兩邊長(zhǎng)、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求ABC的周長(zhǎng)?！眷柟獭?ABC中，BC=8AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x210xm0的兩根，則m。2、在等腰三角形ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別為、、a3，bc是關(guān)于x的方程x2mx21m0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求三角形 ABC的周長(zhǎng)?！就卣埂恳阎獙?duì)于正數(shù)一個(gè)三角形。

a、b、c，方程c2x2 a2 b2

xb2 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求證：以長(zhǎng) a、b、c的線段為邊能組成【鞏固】已知關(guān)于x的方程x3 1ax2 2axa2 0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 。第八講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（涵蓋壓軸題 5種關(guān)系）【知識(shí)梳理】一元二次方程ax2 bxc0a 0的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）設(shè)方程的兩個(gè)根x

，則x

b，xx c1 2 1

a 12 a。韋達(dá)定理用途比較廣泛，運(yùn)用時(shí)，常需要作下列變形：。（1）x2 x1 2

x x1 2

2xx；12x x（2）2 x x

x2 x1 2xx

x x21 2xx

2xx12；1 2 12 12（3）x3 x3 x x

x23xx；1 2

2 1 2 12（4）x x

x x

4xx；1 2（5）x x

1 x x2

12x x

4xx。1 2 1

1 2 12【例題精講】【例1】求下列方程的兩根之和，兩根之積。（1）x2－2x＋1＝0； （2）x2－9x＋10＝0；解：x x

，xx

解：x x

，xx1 2 12 1 2 12（3）2x2－9x＋5＝0； （4）4x2－7x＋1＝0；解：x x1 2

，xx12

解：x x1 2

，xx12 （5）2x2－5x＝0； （6）x2－1＝0解：x x1 2

，xx12

解：x x1 2

，xx121 【例2xx是方程2x2+41 （1）（

+1）（

+1）= ；（2）

x2+x

x x211x22= ； （3）x x=211 2+x（4）（x+x1

2）2= ； （5）（

－

）2= ； （6）

3+x

23= ．【例3】解答下列問(wèn)題：（1）設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2 4x2k1 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x、

，問(wèn)是否存在1 22x x x21 2

x的情況？（2）已知：xx1 2

是關(guān)于x的方程x2 2a1xa2 0的；兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 x 2x1 2

2 11，求a的值?！眷柟獭?、已知關(guān)于x的方程x2 4xa 0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且2x x1 2

7，則a 。2、已知 、是方程x

x1

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式

2 2 2的值為 。m2m【例4】已知關(guān)于x的方程：x2 m 2x 0。4（1）求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根 x、x1 2

滿足x2

x 2m的值及相應(yīng)的xx。1 1 2【鞏固】已知關(guān)于x的方程x2 2k3xk2 10。（1）k為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；（2）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2滿足x1 x2 3，求k的值?！纠?】CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程x2 6x4 0的兩根，則△ABC的面積是多少？【鞏固】已知△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x二次方程x2 2k3xk2 3k2 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊 BC的為5。（1）k為何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形；（2）k為何值時(shí)，△ABC是等腰三角形，并求△ ABC的周長(zhǎng)。第九講：一元二次方程的應(yīng)用題【知識(shí)梳理】方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有效模型之一， 一元二次方程是方程模型的重要代表， 許多實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、 究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟基本相同， 解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、 分?jǐn)?shù)量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立二次方程模型解決問(wèn)題。【例題精講】【例1】要建一個(gè)面積為 150m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)省材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有的一條墻，墻長(zhǎng) am，另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長(zhǎng)為 35m。（1）求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？（2）題中墻的長(zhǎng)度am對(duì)題目的解起著怎樣的作用？【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過(guò)多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)產(chǎn)生不利影響；但同時(shí)考慮文物的修繕和保存費(fèi)用問(wèn)題，還要保證一定的門票收入，因此博物館采用了漲浮門票的價(jià)格來(lái)控制參觀人數(shù)，在該方法實(shí)施過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價(jià)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬(wàn)元的門票收入，那么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多少？門票價(jià)格應(yīng)是多少元？人數(shù)（人）7000600050004000300020001000【例3】將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出 500個(gè)0知這（1）求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？（2）題中墻的長(zhǎng)度am對(duì)題目的解起著怎樣的作用？【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過(guò)多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)產(chǎn)生不利影響；但同時(shí)考慮文物的修繕和保存費(fèi)用問(wèn)題，還要保證一定的門票收入，因此博物館采用了漲浮門票的價(jià)格來(lái)控制參觀人數(shù)，在該方法實(shí)施過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀人數(shù)與票價(jià)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬(wàn)元的門票收入，那么每周應(yīng)限定參觀人數(shù)是多少？門票價(jià)格應(yīng)是多少元？人數(shù)（人）7000600050004000300020001000問(wèn)為了賺得8000元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？【例4】甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)相背而行， 1小時(shí)后分別到達(dá)各自的終點(diǎn) A與B，若讓他們?nèi)詮脑爻霭l(fā)，互換彼此到達(dá)的目的地，則甲將在乙到達(dá) A之后35分鐘到達(dá)B，求甲與乙的速度之比?！纠?】一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng) 1200米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍的排頭兵，并在到達(dá)排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已經(jīng)前進(jìn)了 1200米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共走了多少路程？【例6】象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記 2分，輸者記0分，如果平局，兩個(gè)選手各記 1分，今有4個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手的得分總數(shù)，分別是 1980、1981、1993、1994，經(jīng)核實(shí)確實(shí)有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無(wú)誤，試算這次比賽中共有多少名選手參加?！眷柟獭?、在青島市開(kāi)展的創(chuàng)城活動(dòng)中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長(zhǎng) 15m）的空地上修建一個(gè)矩形花園 ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成（如圖所示），若設(shè)花園的BC邊長(zhǎng)為xm，花園的面積為 ym2。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值范圍；（2）滿足條件的花園面積能達(dá)到 200m2嗎？若能，求出此時(shí) x的值；若不能，說(shuō)明理由；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積為多大？DC2、某水果批發(fā)商場(chǎng)有一種高檔水果， 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少 20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈價(jià)多少元？

6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時(shí)出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸 700米處，然后繼續(xù)前進(jìn)，都到達(dá)對(duì)岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸 400米處，如果認(rèn)為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)方向時(shí)不耽誤時(shí)間，問(wèn)河有多寬？4、一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng) 100米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍排頭，并在到達(dá)排頭后立即回到隊(duì)伍的末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已前進(jìn)了 100米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么位士兵共走了多少路程？第十講：因式分解【知識(shí)梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：a

b2 abab；完全平方公式：a2 2abb2 ab2；a2 b2 c2

2ab2bc2ca abc2；a2 b2

c2 2ab2bc

abc2；a2 b2

c2 2ab 2bc

abc2；立方和（差）公式： a3 b3 aba2 abb2；a3 b3

aba2

abb2；2、許多多項(xiàng)式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果：（1）abba1a1b1；（2）abab1a1b1；（3）a4

a2 2a2a

2a2；（4）4a4

2a2 2a12a

2a1；（5）a2 b2

2ab 2bc

abc2；（6）a3 b3 c3 3abc abca2 b2 c2 abbcac。二、分式：A1、分式的意義：形如B

（AB為整式），其中B當(dāng)分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零，而當(dāng)分母為零時(shí)，分式?jīng)]有意義。2、分式的性質(zhì)（1）

AB

M（其中M是不為零的整式）。M（2）分式的符號(hào)法則：分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變。1（3）倒數(shù)的性質(zhì)：aa

1a0，a 1a

11a 0aa

1，則an

1n1（a0，n是整數(shù)）；a1a 2a0。a3、分式的運(yùn)算a 分式的運(yùn)算法則有：c

aba ，c b d

ad bc ac；bd bd

aca，bdbd

ad a，bcb

an（n是正整數(shù)）。bn4、分式的變形分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設(shè)參法（主要用于連比式或連等式） ，拆項(xiàng)法（分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等。三、二次根式：1、當(dāng)a0時(shí)，稱 a為二次根式，顯然 a 0。2、二次根式具有如下性質(zhì)：；（1） a2 aa0；（3）ab a ba b

（2）a2a； （4）b

a，當(dāng)a0時(shí)，aa，當(dāng)a 時(shí)；aa0。b3、二次根式的運(yùn)算法則如下：n（1）acbc abcc0； （2） a ann4、設(shè)a，b，d，m Q，且m不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)

a0。ac，b d時(shí)，abm cdm?！纠}精講】【例1】分解因式：x2

xy6y

x13y6【鞏固】分解因式：1、x2 xy2y2 x5y2； 2、3x2 5xy2y2 x9y4；【例2】已知a、b、c是一個(gè)三角形的三邊，則 a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2的值是（ A.恒正 B.恒負(fù) C.可正可負(fù) D非負(fù)【例3】已知a、b是實(shí)數(shù)，且 1a2 a1b2 b 1，問(wèn)a、b之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)推導(dǎo)?！緦ｎ}訓(xùn)練】1、已知abab113，求ab的值為 ；2、多項(xiàng)式x2 axyby2 5xy6的一個(gè)因式是xy2，試確定ab的值為 3、設(shè)3ba2c，求a2 9b2 4c2 4ac的值。4、若

abc 0，且設(shè)ab bc ca

abbccac a b abc5、已知1

xy yz，2x y y

zx，則，3 ，則x ；，則zx6、已知a x2 1991，bx2 1992，cx2 1993，且abc24，則abc111bccaababc3x2 6x57、當(dāng)x

1 的最小值為x2 x12x8、設(shè)

x31，則 ；x2 mx

x6 m3x3 1 9、已知實(shí)數(shù)a滿足1992a a1993 a，則a19922 ；

26；2 3 51、已知 xa

a，則 4xx2

39 432的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b

11 11；ab a4b、設(shè)等式 axa aya xa ay在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立，其中a，y兩兩不同，則3x2x2

xyy2；xyy2、使等式 x y 99成立的整數(shù)對(duì) y的個(gè)數(shù)為 ；15、設(shè)正整數(shù)a，m，n滿足 a2 42 m n，則這樣的a，m，n的取值有 組；16

1 2 22 2n1x1

1

1x2n111b2c2a2c111b2c2a2c2a2b2a2b2c2、若abcabc0，計(jì)算1b21c2 1a21c2 1a21b2 的值。bc ac ab第11講：分式的運(yùn)算【知識(shí)梳理】A形如 （A、B為整式），其中B中含有字母的式子叫分式。B當(dāng)分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零，而當(dāng)分母為零時(shí)，分式?jīng)]有意義。二、分式的性質(zhì)（1）分式的基本性質(zhì)：AM ABM B（2）分式的符號(hào)法則：

（其中M是不為零的整式）。分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變。（3）倒數(shù)的性質(zhì)：11、aa

11a0，aa

1a0；2、若a

11an

1（a0，n是整數(shù)）；3、a

a a12a0。a三、分式的運(yùn)算分式的運(yùn)算法則有：a b ab

a c ad bc， ；c c c b d bdc aca，

ad a，

an（n是正整數(shù)）。d bd

d

b bn四、分式的變形分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設(shè)參法（主要用于連比式或連等式） ，拆項(xiàng)法（分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等?！纠}精講】【例1（1）m

時(shí)，分式

m1m3的值為零；m2 3m 2（2）

1有意義，則x的取值范圍是 。1xx思路點(diǎn)撥：當(dāng)分式的分母不為零時(shí)，分式有意義；當(dāng)分子為零，分母不為零時(shí)，分式的值為零。【鞏固】1、若分式

3x2 2

的值為0，則x的值為 ；x 4x4a2 42、若使分式113a沒(méi)有意義，則a的值為 ；2ax2【拓展】當(dāng)x取何值時(shí)，分式 有意義？x2 5x6【例2】化簡(jiǎn)下列分式：（1）

2x 1 x2x2 4 x2 x1

（2）

1 1 2x1x1x21

4x4

81（3）

1 1 1 1。x1 x1x2 x2x3 x99x100【鞏固】化簡(jiǎn)：nm

m2 n2（1）

m 2n m2 4mn 4n2（2）

1 1 1；a2 3a2 a25a6 a2 7a12【例3

x y

x，A ，y

x1y ，試比較AB的大??；2【鞏固】比較兩數(shù)

5678901234

5678901235與

的大小。6789012345 6789012347【例4】化簡(jiǎn)：

yz2 zx2 xy2。xyxz yxyz zxzy【鞏固】化簡(jiǎn)：

yxzx zyxy xzyzx2yzxy2z xy2zyz2x yz2xx2yz第12講：分式的化簡(jiǎn)求值【知識(shí)梳理】1、先化簡(jiǎn)后求值是解代數(shù)式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題的基本策略，分式的化簡(jiǎn)求值通常分為有條件和無(wú)條件兩類。給出一定的條件并在此條件下求分式的值的問(wèn)題稱為有條件的分式化簡(jiǎn)求值，解這類問(wèn)題，既要瞄準(zhǔn)目標(biāo)，又要抓住條件，既要依據(jù)條件逼近目標(biāo)，又要能根據(jù)目標(biāo)變換條件。常常用到如下策略：（1）適當(dāng)引入?yún)?shù)；（2）拆項(xiàng)變形或拆分變形；（3）整體代入；（4）2、基本思路（1）由繁到簡(jiǎn)，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另一邊；（2）兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；左邊（3）證明：左邊右邊 0，或右邊

1

右邊 0。3、基本方法在恒等變形的過(guò)程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比較法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法?！纠}精講】【例1（1）已知x2y0

x2 3xy y2；2x2 xy3y2；（2）已知1 1 5，則2x5xy2x y x2xyy；（3）

a b c

3a2bc；3 4 5 a2b3c【例2】若x

ab bc cc a b

，求x的值？【例3】已知

abc0，且a b c

3a2bc的值？b c a a2b3c【鞏固】若

b c d，則c d a

abcdabc

的值是 ；，求【例4】已知：x2 x10，求x，求

1的值。x4【鞏固】（1）已知a23a10

a3a6

的值為 ；x4 2x1（2）若x2 x10，則 ；x5【例5】已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且 ab 1，bc 1，caab 3 bc 4 ca【例6】已知abc1，求證： a b cab a1bcb1 acc思路點(diǎn)撥：由繁到簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)左邊，使左邊等于右邊。

1 abc，那么 的值是多少？5 abbcca1。11【鞏固】已知：abc0，abc 0，求a(

11)b(

11)c(

)3的值。bc c a ab【例7】已知a

11，b

11，求cc

1的值。a【例8】已知x

ab bc c，y ，z

，求證：1x1y1z

1x1 y1z。ab bc ca思路點(diǎn)撥：左邊和右邊，變形為同一個(gè)代數(shù)式。a【鞏固】已知b

a2 c2 b2 d2 ab2 cd23，求證： 。ac bd abcd第13講：分式方程及其應(yīng)用【知識(shí)梳理】解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解分式方程的一般步驟：（1）在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程；（2）解這個(gè)整式方程；（3）驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根，必須舍去，但對(duì)于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗(yàn)。合題意。下面我們來(lái)學(xué)習(xí)可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用。較為復(fù)雜的分式方程可以采用換元法、約分來(lái)簡(jiǎn)化?！纠}精講】x【例1】解方程：（1） 1x 1

32)

（

x 21x1 x 1【例2】解方程：

6y12 y2 4 y222022y 4y4 y 4y4 y 4【例3】解方程：

1 1 1 12x10 (x1)(x2)3) (x9)(x10)x1x1x6x2x5x2x7x3x600323x4242x316x1943x89x874x【例5】解方程：

x2 4x72x72x1 x2 4x

180【拓展】解方程： 1 1 1 0x2 11x8 x2 2x8 x2 13x 82 mx【例6】m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程x2 x

3會(huì)產(chǎn)生增根？x2【鞏固】若解分式方程 2x m

x1產(chǎn)生增根，則m的值是（ ）或

x1B.

x x1或2C.或2 D.或2【例7】甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲，商定：用球拍托著乒乓球從起跑線 l起跑，繞過(guò)點(diǎn)P跑回到起跑線(如圖所示)；途中乒乓球掉下時(shí)須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑，用時(shí)少者勝，結(jié)果：甲同學(xué)由于心急，掉了球，浪費(fèi)了 6秒鐘，乙同學(xué)則順利跑完，事后，乙同學(xué)說(shuō)：“我倆所用的全部時(shí)間的和為息，請(qǐng)問(wèn)哪位同學(xué)獲勝？

50秒，撿球過(guò)程不算在內(nèi)時(shí)，甲的速度是我的P

1.2倍”，根據(jù)圖文信30米l【鞏固】輪船在一次航行中順流航行 80千米，逆流航行42千米，共用了7小時(shí)；在另一次航行中，用相同的時(shí)間，順流航行40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度點(diǎn)撥：在航行問(wèn)題中的等量關(guān)系是“船實(shí)際速度＝水速＋靜水速度”第14講二次根式的運(yùn)算【知識(shí)梳理】1、當(dāng)a0時(shí)，稱 a為二次根式，顯然 a 0。2、二次根式具有如下性質(zhì)：2（1） a2

aa0；（2）a2

a，當(dāng)aa0時(shí)，當(dāng)a 0時(shí)（3）ab a ba b 0；aa0，b0。（4）b3、二次根式的運(yùn)算法則如下：（1）acbc abcc0；（2） a

ana0。4、設(shè)a，b，d，m Q，且m不是完全平方數(shù)，則當(dāng)且僅abm cdm。

ac，b d時(shí)，5、二次根式是代數(shù)式中應(yīng)掌握的非常復(fù)雜的內(nèi)容，其運(yùn)算常用到換元、拆項(xiàng)相消、分解相約等方法，還應(yīng)注意運(yùn)用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的結(jié)果一定要化成最簡(jiǎn)二次根式的形式。6、最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式（1）被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；被開(kāi)方數(shù)的每一個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)；被開(kāi)方數(shù)不含分母。適合上述這些條件的根式叫做最簡(jiǎn)根式。（2）幾個(gè)根式化成最簡(jiǎn)根式后，如果被開(kāi)方數(shù)都相同，根指數(shù)也都相同，那么這幾個(gè)根式叫做同類根式?！纠}精講】【例1】已知y

x2 2 x2 25x4 45x

2，則x2 y2 ?！眷柟桃弧咳魓，y為有理數(shù)，且 2x1 12x y 4，則xy的值為 ?！眷柟潭恳阎獃 1x x12009，則xy ?！就卣埂咳鬽適合關(guān)系式 3x5y2m 2x3ym x199y 199xy，

m的值?！纠?】當(dāng)a2b

a a2 4ab4b2。a2b a【鞏固】1、化簡(jiǎn) 4x2 4x1 2x32的結(jié)果是 。2、已知a 0，則 2a a2等于（ ）A.a B.a C.3a D.3a3、已知b

a0c，化簡(jiǎn) a

ca2 ab2 bc2?！纠?】多重二次根式的化簡(jiǎn)：（1）423 423； （2）108322?！眷柟獭炕?jiǎn)：（1）27102 ；（2）25 4625 ；（3） x4x15 x6x110 ；【鞏固】計(jì)算：（1）

15 35 21

； （2）

115746。325 7 7 77 66 42第15講二次根式的化簡(jiǎn)求值【知識(shí)梳理】有條件的二次根式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題是代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值的重點(diǎn)與難點(diǎn)， 這類問(wèn)題包容了有理式的眾多知識(shí)， 又涉及最簡(jiǎn)根式同類根式、有理化等二次根式的重要概念，同時(shí)聯(lián)系著整體代入、分解變形、構(gòu)造關(guān)系式或圖形等重要的技巧與方法，解題的關(guān)鍵是，有時(shí)需把已知條件化簡(jiǎn)，或把已知條件變形；有時(shí)需把待求式化簡(jiǎn)或變形；有時(shí)需把已知條件和待求式同時(shí)變形?！纠}精講】【例1】設(shè)x 5 5，y 5 5，求x6 y6的值?！眷柟獭?11、設(shè)x

21，求x2 xy y2的值。21 2112、已知x ，

1 1 ，求

的值。2 3 2 3 x12 y12【拓展】已知x2 3，求x4 5x3 6x25x的值?！纠?

x 1 2，那么 x x 的值等于 。x x2 3x1 x2 9x1【鞏固】11、若 xa

a，則 4xx2的值為（ ）1aa

1aa1 x

1aax

不能確定2、已知 xx

5，求x2 x

x2 x

的值。【例3】已知a、b是實(shí)數(shù)，且 1a2 a1b2 b 1，問(wèn)a、b之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)推導(dǎo)?！眷柟獭恳阎?x x2 2008y y2 2008 2008，求x2 3xy4y2 6x6y58的值。【例4】已知a、b

ab2，求U a2 4 b2

1的最小值?！眷柟獭壳蟠鷶?shù)式 x2 4 12x2 9的最小值。第16講：代數(shù)式的恒等變形【知識(shí)梳理】1、恒等式的意義兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等。2、代數(shù)式的恒等變形把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證明，就是通過(guò)恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等。3、基本思路（1）由繁到簡(jiǎn)，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另一邊；（2）兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；左邊（3）證明：左邊右邊0，或右邊

1，此時(shí)右邊 0。4、基本方法在恒等變形的過(guò)程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比較法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法?！纠}精講】【例1abc1，求證： a b c 1【例1ab a1bcb1 acc1思路點(diǎn)撥：由繁到簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)左邊，使左邊等于右邊?！眷柟獭恳阎?、z為三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且 x 1y

1 z

1，求證：x2x

y2z2 1。zx y a b c【拓展】若xyz0，a ，b ，c ，求證： 1。yz xz

xy a1b1c1【例2】證明：

xax a

yaya2

zaza2

1 1xa y

1 3。a a思路點(diǎn)撥：本題可采用比差法以及拆分法兩種方法進(jìn)行證明。【鞏固】

211、求證a1

b 2 ab 12 4

a1b1ab 1。1a b ab a b ab12、求證：

b caab abab

d bcd。abcabcd aabcd【拓展】

2 4 6求證：14x2

20 11 11 11x2 100 x1x10 x2x9 x10x1ab bc ca【例3】已知x ，y ，zab bc 思路點(diǎn)撥：左邊和右邊，變形為同一個(gè)代數(shù)式。

，求證：1xa

y1z 1x1y1za【鞏固】已知

c a2 c3，求證：3

b2 d

ab2

cd2。b d ac bd abcd【拓展】

已知實(shí)數(shù)

a、、c滿足1 1 1 1

，求證：a b c abc1 1 1 1a2n1 b2n1 c2n1 a2n1 b2n1 c2n

，其中n是正整數(shù)。1【例4】已知ax3 by3 cz3，且x

1 1 1，求證：3ax2 by2 cz2 3a3b3c。y z第17講：相似三角形【知識(shí)梳理】1、比例線段的有關(guān)概念：在比例式ab

cb d)a、d叫外項(xiàng)，b、cad

bddb＝c，那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。2、平行線分線段成比例定理：①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖： 1∥2∥。AB DE 則 ，BC EF AC

DE BC EF， ，DF AC DF②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。4、相似三角形的判定：①兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似③三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似④如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似5、相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例③相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方3、常見(jiàn)三角形相似的基本圖形、基本條件和基本結(jié)論：（1）如圖1，當(dāng) 時(shí)，ABC∽ADE（2）如圖2，當(dāng)（3）如圖3，當(dāng)

時(shí)，ABC∽AED。時(shí)，ABC∽ACD。A AADD E DEB C 圖1

C B C圖2 圖3 A B B'（4）如圖4，如圖1，當(dāng)ABED時(shí)，則△（5）如圖5，當(dāng) 時(shí)，則△（6）如右圖，特殊圖形（雙垂直模型）

∽△ 。 A'∽△ 。 C C'∵∠BAC＝90°

AD BC

E'E D D'∴ ADC∽BDA∽BAC

圖4 圖5D C【例題精講】【例1】如圖所示，給出下列條件：① B ACD；② ADC ACB；③CD

AB；④AC2BC

ADAB．其中單獨(dú)能夠判定

△ABC∽△ACD的個(gè)數(shù)為（ ）A．1

B．2

C．3 D．4【鞏固】1、如圖，DE∥BC，DH∥EC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)試找出圖中的相似三角形 ?若AE:AC＝則AC:DH＝ 。若△ABC的周長(zhǎng)為4，則△BDH的周長(zhǎng)為 若△ABC的面積為4，則△BDH的面積為

E DAB C H2、如圖，在△ABCAB＝24AC＝18DAC上一點(diǎn)，AD＝12AB上取一點(diǎn)EADE三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似，則AE的長(zhǎng)是A.16 B.14 C.16或14 D.16或93、如圖，□ABCD 中，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié) DE，交AC于G，交BC于F，那么圖中相似三角形共有 對(duì)。EA DGB CF初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義第47頁(yè)共53頁(yè)初三數(shù)學(xué)暑假班講義初三數(shù)學(xué)暑假班講義第第50頁(yè)共53頁(yè)【例2（1）如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn) D在AC上，連結(jié)BD并延長(zhǎng)與CE交于點(diǎn)E．求證：△ABD∽△CEDAD EB C F（2）

AB ADAC

，∠BAD＝∠CAE，求證：△ADE ∽△ABC【鞏固】如圖，已知ADAB A