高中數(shù)學(xué)選修4-5-不等式選講絕對值不等式課件

絕對值不等式高中數(shù)學(xué)選修4-5絕對值不等式絕對值不等式高中數(shù)學(xué)選修4-5絕對值不等式1.(2015山東,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是

()A.(-∞,4)

B.(-∞,1)

C.(1,4)

D.(1,5)答案

A①當(dāng)x<1時,原不等式等價于1-x-(5-x)<2,即-4<2,其恒成立,∴x

<1.②當(dāng)1≤x≤5時,原不等式等價于x-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③當(dāng)x>5時,原不等式等價于x-1-(x-5)<2,即4<2,無解.綜合①②③知原不等式的解為(-∞,4).1.(2015山東,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<22.不等式|2x-a|<b的解集為{x|-1<x<4},則a+b的值為

()A.-2

B.2

C.8

D.-8答案

C∵|2x-a|<b的解集為{x|-1<x<4},∴b>0,由|2x-a|<b,得-b<2x-a<b,即

<x<

.∴

=4,∴a+b=8,故選C.2.不等式|2x-a|<b的解集為{x|-1<x<4},則a33.不等式|x-1|+|x+2|<5的解集為

.答案{x|-3<x<2}解析原不等式等價于

或

或

即

或

或

亦即-3<x<-2或-2≤x≤1或1<x<2.∴原不等式的解集為(-3,-2)∪[-2,1]∪(1,2)=(-3,2).3.不等式|x-1|+|x+2|<5的解集為

44.不等式x+|2x+3|≥2的解集為

.答案(-∞,-5]∪

解析原不等式可化為

或

解得x≤-5或x≥-

.所以原不等式的解集是

.4.不等式x+|2x+3|≥2的解集為

5考點一絕對值不等式的解法典例1已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)當(dāng)a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=-3時,f(x)=

當(dāng)x≤2時,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;當(dāng)2<x<3時,f(x)≥3無解;當(dāng)x≥3時,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集為{x|x≤1或x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.考點突破考點一絕對值不等式的解法考點突破6當(dāng)x∈[1,2]時,|x-4|-|x-2|≥|x+a|?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a.由條件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故滿足條件的a的取值范圍為[-3,0].方法技巧解絕對值不等式的基本方法:(1)利用絕對值的定義,通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通

不等式;(2)當(dāng)不等式兩端均非負(fù)時,可通過兩邊平方的方法,轉(zhuǎn)化為解不含絕對

值符號的普通不等式;(3)利用絕對值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合求解.當(dāng)x∈[1,2]時,|x-4|-|x-2|≥|x+a|?4-71-1

(2016課標(biāo)全國Ⅰ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)畫出y=f(x)的圖象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

1-1

(2016課標(biāo)全國Ⅰ,24,10分)已知函數(shù)f8解析(1)f(x)=

y=f(x)的圖象如圖所示.

解析(1)f(x)=?9(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象,當(dāng)f(x)=1時,可得x=1或x=3;當(dāng)f(x)=-1時,可得x=

或x=5,故f(x)>1的解集為{x|1<x<3};f(x)<-1的解集為

.所以|f(x)|>1的解集為

.(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象,當(dāng)f(x)=1時,可得x=1101-2已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)證明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.解析(1)證明:f(x)=|x-2|-|x-5|=

當(dāng)2<x<5時,-3<2x-7<3,所以-3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知,當(dāng)x≤2時,f(x)≥x2-8x+15的解集為空集;當(dāng)2<x<5時,f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-

≤x<5};當(dāng)x≥5時,f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5≤x≤6}.綜上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-

≤x≤6}.1-2已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.(2)求不11考點二絕對值不等式的證明典例2

已知f(x)=

,a≠b,求證:|f(a)-f(b)|<|a-b|.證明因為|f(a)-f(b)|=|

-

|=

=

,又|a+b|≤|a|+|b|=

+

<

+

,所以

<1.因為a≠b,所以|a-b|>0.所以|f(a)-f(b)|<|a-b|.考點二絕對值不等式的證明12方法技巧含絕對值不等式的證明題主要分兩類:一類是比較簡單的不等式,往往可通過平方法、換元法去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題,或

利用絕對值三角不等式定理;另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對值的

不等式,往往可利用一般情況成立則特殊情況也成立的思想,或利用一

元二次方程根的分布等方法來證明.方法技巧132-1已知x,y∈R,且|x+y|≤

,|x-y|≤

,求證:|x+5y|≤1.證明因為|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|,所以|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|≤3×

+2×

=1,即|x+5y|≤1.2-1已知x,y∈R,且|x+y|≤?,|x-y|≤?,求142-2

(2016課標(biāo)全國Ⅱ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=

+

,M為不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)證明:當(dāng)a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|.解析(1)f(x)=

當(dāng)x≤-

時,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,∴-1<x≤-

;當(dāng)-

<x<

時,f(x)<2恒成立;2-2

(2016課標(biāo)全國Ⅱ,24,10分)已知函數(shù)f15當(dāng)x≥

時,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,∴

≤x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)證明:由(1)知,當(dāng)a,b∈M時,-1<a<1,-1<b<1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2

b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,因此|a+b|<|1+ab|.當(dāng)x≥?時,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,∴?≤x<16考點三絕對值不等式的綜合問題典例3已知函數(shù)f(x)=x+|x-a|.(1)當(dāng)a=2016時,求函數(shù)f(x)的值域;(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立時a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=2016時,f(x)=

因為f(x)在[2016,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在[2016,+∞)上的值域為[2016,+∞),f(x)在(-∞,2016)上的值域為{2016},所以f(x)的值域為[2016,+∞).(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,考點三絕對值不等式的綜合問題17即(|x+1|+|x-a|)min>2.而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3.故a的取值范圍為(-∞,-3)∪(1,+∞).方法技巧絕對值不等式的恒成立問題(1)研究含有絕對值的函數(shù)問題時,根據(jù)絕對值的定義,分類討論去掉絕

對值符號,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題,這是

常用的思想方法.(2)f(x)<a恒成立?f(x)max<a.f(x)>a恒成立?f(x)min>a.即(|x+1|+|x-a|)min>2.183-1

(2016河北保定模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-a|(a∈R).(1)當(dāng)a=4時,求不等式f(x)≥5的解集;(2)若f(x)≥4對x∈R恒成立,求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=4時,不等式即為|x-1|+|x-4|≥5,等價于

或

或

解得x≤0或x≥5,故不等式f(x)≥5的解集為{x|x≤0或x≥5}.(2)因為f(x)=|x-1|+|x-a|≥|(x-1)-(x-a)|=|a-1|,所以f(x)min=|a-1|,故|a-1|≥4,解得a≤-3或a≥5.3-1

(2016河北保定模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-193-2

(2016河南開封模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0.(1)證明:f(x)+f

≥2;(2)若不等式f(x)+f(2x)<

的解集非空,求a的取值范圍.解析(1)證明:f(x)=|x-a|,a<0,則f(x)+f

=|x-a|+

=|x-a|+

≥

=

=|x|+

≥2

=2(當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1時取等號).(2)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,a<0.當(dāng)x≤a時,f(x)+f(2x)=a-x+a-2x=2a-3x,則f(x)+f(2x)≥-a;3-2

(2016河南開封模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-20當(dāng)a<x<

時,f(x)+f(2x)=x-a+a-2x=-x,則-

<f(x)+f(2x)<-a;當(dāng)x≥

時,f(x)+f(2x)=x-a+2x-a=3x-2a,則f(x)+f(2x)≥-

,則f(x)的值域為

,∵不等式f(x)+f(2x)<

的解集非空,∴

>-

,解得a>-1,由于a<0,則a的取值范圍是(-1,0).當(dāng)a<x<?時,f(x)+f(2x)=x-a+a-2x=-21絕對值不等式高中數(shù)學(xué)選修4-5絕對值不等式絕對值不等式高中數(shù)學(xué)選修4-5絕對值不等式1.(2015山東,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是

()A.(-∞,4)

B.(-∞,1)

C.(1,4)

D.(1,5)答案

A①當(dāng)x<1時,原不等式等價于1-x-(5-x)<2,即-4<2,其恒成立,∴x

<1.②當(dāng)1≤x≤5時,原不等式等價于x-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.③當(dāng)x>5時,原不等式等價于x-1-(x-5)<2,即4<2,無解.綜合①②③知原不等式的解為(-∞,4).1.(2015山東,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|<232.不等式|2x-a|<b的解集為{x|-1<x<4},則a+b的值為

()A.-2

B.2

C.8

D.-8答案

C∵|2x-a|<b的解集為{x|-1<x<4},∴b>0,由|2x-a|<b,得-b<2x-a<b,即

<x<

.∴

=4,∴a+b=8,故選C.2.不等式|2x-a|<b的解集為{x|-1<x<4},則a243.不等式|x-1|+|x+2|<5的解集為

.答案{x|-3<x<2}解析原不等式等價于

或

或

即

或

或

亦即-3<x<-2或-2≤x≤1或1<x<2.∴原不等式的解集為(-3,-2)∪[-2,1]∪(1,2)=(-3,2).3.不等式|x-1|+|x+2|<5的解集為

254.不等式x+|2x+3|≥2的解集為

.答案(-∞,-5]∪

解析原不等式可化為

或

解得x≤-5或x≥-

.所以原不等式的解集是

.4.不等式x+|2x+3|≥2的解集為

26考點一絕對值不等式的解法典例1已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)當(dāng)a=-3時,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=-3時,f(x)=

當(dāng)x≤2時,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;當(dāng)2<x<3時,f(x)≥3無解;當(dāng)x≥3時,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.所以f(x)≥3的解集為{x|x≤1或x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.考點突破考點一絕對值不等式的解法考點突破27當(dāng)x∈[1,2]時,|x-4|-|x-2|≥|x+a|?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a.由條件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故滿足條件的a的取值范圍為[-3,0].方法技巧解絕對值不等式的基本方法:(1)利用絕對值的定義,通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通

不等式;(2)當(dāng)不等式兩端均非負(fù)時,可通過兩邊平方的方法,轉(zhuǎn)化為解不含絕對

值符號的普通不等式;(3)利用絕對值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合求解.當(dāng)x∈[1,2]時,|x-4|-|x-2|≥|x+a|?4-281-1

(2016課標(biāo)全國Ⅰ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)畫出y=f(x)的圖象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

1-1

(2016課標(biāo)全國Ⅰ,24,10分)已知函數(shù)f29解析(1)f(x)=

y=f(x)的圖象如圖所示.

解析(1)f(x)=?30(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象,當(dāng)f(x)=1時,可得x=1或x=3;當(dāng)f(x)=-1時,可得x=

或x=5,故f(x)>1的解集為{x|1<x<3};f(x)<-1的解集為

.所以|f(x)|>1的解集為

.(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象,當(dāng)f(x)=1時,可得x=1311-2已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)證明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.解析(1)證明:f(x)=|x-2|-|x-5|=

當(dāng)2<x<5時,-3<2x-7<3,所以-3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知,當(dāng)x≤2時,f(x)≥x2-8x+15的解集為空集;當(dāng)2<x<5時,f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-

≤x<5};當(dāng)x≥5時,f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5≤x≤6}.綜上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集為{x|5-

≤x≤6}.1-2已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.(2)求不32考點二絕對值不等式的證明典例2

已知f(x)=

,a≠b,求證:|f(a)-f(b)|<|a-b|.證明因為|f(a)-f(b)|=|

-

|=

=

,又|a+b|≤|a|+|b|=

+

<

+

,所以

<1.因為a≠b,所以|a-b|>0.所以|f(a)-f(b)|<|a-b|.考點二絕對值不等式的證明33方法技巧含絕對值不等式的證明題主要分兩類:一類是比較簡單的不等式,往往可通過平方法、換元法去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題,或

利用絕對值三角不等式定理;另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對值的

不等式,往往可利用一般情況成立則特殊情況也成立的思想,或利用一

元二次方程根的分布等方法來證明.方法技巧342-1已知x,y∈R,且|x+y|≤

,|x-y|≤

,求證:|x+5y|≤1.證明因為|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|,所以|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|≤3×

+2×

=1,即|x+5y|≤1.2-1已知x,y∈R,且|x+y|≤?,|x-y|≤?,求352-2

(2016課標(biāo)全國Ⅱ,24,10分)已知函數(shù)f(x)=

+

,M為不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)證明:當(dāng)a,b∈M時,|a+b|<|1+ab|.解析(1)f(x)=

當(dāng)x≤-

時,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,∴-1<x≤-

;當(dāng)-

<x<

時,f(x)<2恒成立;2-2

(2016課標(biāo)全國Ⅱ,24,10分)已知函數(shù)f36當(dāng)x≥

時,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,∴

≤x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)證明:由(1)知,當(dāng)a,b∈M時,-1<a<1,-1<b<1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2

b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,因此|a+b|<|1+ab|.當(dāng)x≥?時,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,∴?≤x<37考點三絕對值不等式的綜合問題典例3已知函數(shù)f(x)=x+|x-a|.(1)當(dāng)a=2016時,求函數(shù)f(x)的值域;(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立時a的取值范圍.解析(1)當(dāng)a=2016時,f(x)=

因為f(x)在[2016,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在[2016,+∞)上的值域為[2016,+∞),f(x)在(-∞,2016)上的值域為{2016},所以f(x)的值域為[2016,+∞).(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,考點三絕對值不等式的綜合問題38即(|x+1|+|x-a|)min>2.而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3.故a的取值范圍為(-∞,-3)∪(1,+∞).方法技巧絕對值不等式的恒成立問題(1)研究含有絕對值的函數(shù)問題時,根據(jù)絕對值的定義,分類討論去掉絕

對值符號,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題,這是

常用的思想方法.(2)f(x)<a恒成立?f(x)max<a.f(x)>a恒成立?f(x)min>a.即(|x+1|+|x-a|)min>2.393-1