公開(kāi)課、競(jìng)賽課課件-等邊三角形

等邊三角形等邊三角形教學(xué)目標(biāo)探索等邊三角形的性質(zhì)和判定．能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明．探索含30°角的直角三角形的性質(zhì)．理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用它進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算．教學(xué)目標(biāo)探索等邊三角形的性質(zhì)和判定．能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和教學(xué)重點(diǎn)探索等邊三角形的性質(zhì)與判定．探索并理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明及其應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)探索等邊三角形的性質(zhì)與判定．探索并理解含30°角的直知識(shí)回顧三線合一等角對(duì)等邊圖形判定性質(zhì)等邊對(duì)等角知識(shí)回顧三線合一等角對(duì)等邊圖形判定性質(zhì)等邊對(duì)等角知識(shí)回顧滿足什么條件的三角形是等邊三角形？三邊都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形也叫

正三角形知識(shí)回顧滿足什么條件的三角形是等邊三角形？三邊都相等的三角形探究等腰三角形有哪些特殊的性質(zhì)呢？

從邊的角度：從角的角度：從對(duì)稱的角度：兩腰相等等邊對(duì)等角三線合一將等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，你能得到什么結(jié)論？

探究等腰三角形有哪些特殊的性質(zhì)呢？

從邊的角度：從角的角度：猜想結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng)的結(jié)論嗎？圖形軸對(duì)稱圖形邊角兩邊相等兩底角相等底邊上的三線合一三邊相等三角相等都等于60°三邊的三線合一猜想結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng)的結(jié)論嗎？證明等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°已知：△ABC是等邊三角形．求證：∠A=∠B=∠C=60°．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，BC=AB．∴∠A=∠B，∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=60°．∴∠A=∠B=∠C=60°．證明等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°已結(jié)論等邊三角形的性質(zhì)1等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°怎么寫過(guò)程呢？

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°．

結(jié)論等邊三角形的性質(zhì)1等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一猜想等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形等邊三角形有三條對(duì)稱軸每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線所在的所有直線都是它的對(duì)稱軸等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都分別重合．猜想等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．等邊證明等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都分別重合．∵AB=AC，BD=DC∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC∵BA=BC，EA=EC∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC∵CA=CB，AF=BF∴∠ACF=∠BCF，CF⊥AB證明等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都結(jié)論等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都分別重合．簡(jiǎn)而言之，等邊三角形

每一邊上的三線都合一結(jié)論等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都?xì)w納等邊三角形有都有哪些性質(zhì)呢？三角相等都等于60°三邊上都有三線合一邊角對(duì)稱性三邊相等歸納等邊三角形有都有哪些性質(zhì)呢？三角相等都等于60°三邊上練習(xí)如圖，等邊三角形ABC中，BD是AC邊上的中線，AD=AE，則∠EDC的度數(shù)是________．答案：15°．

練習(xí)如圖，等邊三角形ABC中，BD是AC邊上的中線，A練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC于C．求證：△DAC是等腰三角形．提示：證明∠DAC=∠DCA．

練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC練習(xí)如圖，已知，△ABC是等邊三角形，BD是中線，BD=6，延長(zhǎng)BC到E．使CE=CD，求DE長(zhǎng)．提示：證明BD=DE．練習(xí)如圖，已知，△ABC是等邊三角形，BD是中線，BD=6思考你知道怎么判定一個(gè)三角形是等邊三角形嗎？可以利用定義，證明它的三邊相等除此之外，還有沒(méi)有其他辦法呢？證明它三角相等行不行呢？猜想：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形思考你知道怎么判定一個(gè)三角形是等邊三角形嗎？可以利用定義，證證明三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=∠B=∠C，∴BC=AC=AB（等角對(duì)等邊），∴△ABC是等邊三角形．證明三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形已知：△ABC中，∠A思考三邊相等或三角相等都能直接判定一個(gè)三角形是等邊三角形除此之外還有沒(méi)有其他判定方法呢？我們知道，等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形加個(gè)什么條件，能變成等邊三角形呢？有一個(gè)角是60°？思考三邊相等或三角相等都能直接判定一個(gè)三角形是等邊三角形除此猜想有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形這個(gè)60°角的位置有哪幾種情況呢？60°角是等腰三角形的頂角60°角是等腰三角形的底角猜想有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形這個(gè)60°角的位證明先證60°角是等腰三角形的頂角的情況已知：△ABC，AB=AC，∠A=60°．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=60°，∴∠B+∠C=120°．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形．證明先證60°角是等腰三角形的頂角的情況已知：△ABC，AB證明再證60°角是等腰三角形的底角的情況已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=60°∴∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形．證明再證60°角是等腰三角形的底角的情況已知：△ABC，AB歸納要判定一個(gè)三角形是等邊三角形有哪幾種方法？方法二方法三有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形三角相等的三角形是等邊三角形三邊相等的三角形是等邊三角形方法一歸納要判定一個(gè)三角形是等邊三角形有哪幾種方法？方法二方法三有例題如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．想一想，還有其他證法嗎？例題如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC的方向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，練習(xí)已知：D，E分別是等邊△ABC中AB，AC邊上的點(diǎn)，且BD=CE．求證：△ADE是等邊三角形.提示：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．練習(xí)已知：D，E分別是等邊△ABC中AB，AC邊上的練習(xí)已知△ABC中，∠A=60°,（

）

請(qǐng)你在括號(hào)內(nèi)補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC能成為等邊三角形．答案：∠B=60°或∠C=60°

或AB=BC或AC=BC．練習(xí)已知△ABC中，∠A=60°,（

）練習(xí)已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)______．答案：9cm．練習(xí)已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△A練習(xí)△ABC是等腰三角形，周長(zhǎng)為15cm，且∠A=60°，則BC=_______．答案：5cm．練習(xí)△ABC是等腰三角形，周長(zhǎng)為15cm，且∠A=60°，練習(xí)如圖，D、E、F分別是等邊三角形ABC三邊上三點(diǎn)，且AD=BE=CF．試問(wèn)：△DEF是什么三角形？提示：證明△ADF≌△BED≌△CFE．練習(xí)如圖，D、E、F分別是等邊三角形ABC三邊上三點(diǎn)，且A練習(xí)１．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．練習(xí)１．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．練習(xí)2．如圖，等邊三角形△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，圖中與BD相等的線段有哪些？練習(xí)2．如圖，等邊三角形△ABC中，AD是BC邊上的高，探究將兩個(gè)含有30°的三角尺擺放在一起你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC

的直角邊BC

與斜邊AB

之間的數(shù)量關(guān)系嗎?你能用學(xué)過(guò)的方法證明嗎?探究將兩個(gè)含有30°的三角尺擺放在一起你能借助這個(gè)圖形，找證明如圖，已知△ABC≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC=∠DAC=30°．求證：證明：∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD，BC=CD，又∵∠BAC=∠DAC=30°∴∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形．∴BD=AB，∴BC＝DC＝還有別的證法嗎？證明如圖，已知△ABC≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90證明如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°．求證：證明：在BA上截取BD=BC，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°∴△ABD是等邊三角形，∴BC=CD=BD，∠DCB=60°，∴∠DCA＝30°，∴∠DCA=∠A，∴AD=DC，∴AD=BD=BC．證明如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°結(jié)論在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．這個(gè)定理該怎么寫過(guò)程呢？∵在Rt△ABC中，

∠C=90°，∠A=30°，∴結(jié)論在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角例題下圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE

垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC、DE

要多長(zhǎng)?答案：3.7m，1.85m．例題下圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱練習(xí)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度，邊AB和BC之間有什么關(guān)系？答案：60°，30°；AB=2BC．練習(xí)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠練習(xí)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案：5．練習(xí)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，A練習(xí)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=______.

答案：1．練習(xí)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠練習(xí)如圖：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=_____cm．答案：8．練習(xí)如圖：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm練習(xí)如圖：△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，BD=_______，BE=_______．答案：4cm，2cm．練習(xí)如圖：△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若A練習(xí)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的中垂線，BE=5，則AE=______，AC=_____．答案：5，2.5．練習(xí)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE練習(xí)如圖：已知在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，AD平分∠BAC．求證：AD=2DC．提示：證明∠DAC=30°．練習(xí)如圖：已知在△ABC中，∠B=30°，∠C=90等邊共頂點(diǎn)已知：如圖，B，O，C三點(diǎn)在一條直線上，△AOB和△COD都是等邊三角形，AC，BD交于點(diǎn)E.求證：（1）AC=BD；（2）∠AEB=60°．提示：證明△AOC≌△BOD．等邊共頂點(diǎn)已知：如圖，B，O，C三點(diǎn)在一條直線上，△AOB公開(kāi)課、競(jìng)賽課課件-等邊三角形等邊共頂點(diǎn)如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，連接FH．

（1）求證：BD＝AE；提示：證明△BCD≌△ACE．總結(jié)：等邊共頂點(diǎn)就會(huì)有邊角邊全等．等邊共頂點(diǎn)如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接B等邊共頂點(diǎn)如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，連接FH．

（2）求證：CF＝CH；（3）判斷△CFH是什么特殊三角形并說(shuō)明理由．提示：證明△BCF≌△ACH．等邊共頂點(diǎn)如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接B等邊內(nèi)的點(diǎn)到三邊的距離之和如圖，已知等邊三角形ABC，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，求證：PD+PE+PF是等于等邊三角形的高．提示：連接PA，PB，PC，利用面積相等．等邊內(nèi)的點(diǎn)到三邊的距離之和如圖，已知等邊三角形ABC，P是三含30°直角三角形的剖分要把一塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三家農(nóng)戶去種植,如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使這三家農(nóng)戶所得土地的大小和形狀都相同，請(qǐng)你試著分一分，在圖上畫出來(lái)．含30°直角三角形的剖分要把一塊三角形的土地均勻分給甲、構(gòu)造含30°的直角三角形如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線MN交BC于M，交AB于N．求證：CM=2BM．提示：連接AM．構(gòu)造含30°的直角三角形如圖，在△ABC中，AB=AC，∠構(gòu)造含30°的直角三角形如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AC且交BC于F．求證：BF＝2CF．提示：連接AF．構(gòu)造含30°的直角三角形如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠構(gòu)造含30°的直角三角形如圖在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，求△ABC的面積．提示：作出AB邊上的高．構(gòu)造含30°的直角三角形如圖在△ABC中，AB=AC構(gòu)造含30°的直角三角形腰長(zhǎng)為2，底角為15°的等腰三角形的面積為_(kāi)______．提示：作出底邊上的高．答案：1．構(gòu)造含30°的直角三角形腰長(zhǎng)為2，底角為15°的等腰三角形等邊與全等綜合如圖，△ABC為等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別在BC，AC邊上，AE=DC，AD，BE相交點(diǎn)于P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，若PQ=3，PE=1，求AD的長(zhǎng)．提示1：證明△ACD≌△BAE．提示2：∠BPQ=∠BAP+∠ABP．等邊與全等綜合如圖，△ABC為等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別等邊與全等綜合已知：如圖，在等邊△ABC中，D、E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且AE=CD，連結(jié)AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于Q，求證：（1）∠APE=60°；（2）BP=2PQ．提示1：證明△ABD≌△BCE．提示2：∠APE=∠BAP+∠ABP．等邊與全等綜合已知：如圖，在等邊△ABC中，D、E分別為B等邊與全等綜合如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AB上，且BO=3，點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD．要使點(diǎn)D恰好落在AC上，則BP的長(zhǎng)是_____．提示：先畫出示意圖，然后證明△BOP≌△ADO．答案：6．等邊與全等綜合如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在直角邊是斜邊的一半已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=

AB．求證：∠A=30°．提示：延長(zhǎng)BC至D，使得CD=BC，連接AD．總結(jié)：若直角邊是斜邊的一半，則直角邊所對(duì)的角是30°．直角邊是斜邊的一半已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°與代數(shù)綜合的問(wèn)題若三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a-b）（b-c）（c-a）=0，則三角形的形狀為_(kāi)___________．答案：等腰三角形．與代數(shù)綜合的問(wèn)題若三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a-b）（b-c與代數(shù)綜合的問(wèn)題若三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a-b）

+（b-c）

+（c-a）

=0，則三角形的形狀為_(kāi)___________．答案：等邊三角形．222與代數(shù)綜合的問(wèn)題若三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a-b）

+（總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)到了什么？等邊三角形的性質(zhì)三角相等都等于60°三邊上都有三線合一三邊相等對(duì)稱性邊角總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)到了什么？等邊三角形的性質(zhì)三角相等都等于6總結(jié)這節(jié)課我們還學(xué)到了什么？等邊三角形的判定方法一方法二方法三三角相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形三邊相等的三角形是等邊三角形總結(jié)這節(jié)課我們還學(xué)到了什么？等邊三角形的判定方法一方法二方法總結(jié)在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．這節(jié)課我們還學(xué)到了什么？總結(jié)在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角等邊三角形有什么性質(zhì)？等邊三角形有什么判定？等邊三角形等邊三角形有什么性質(zhì)？等邊三角形有什么判定？等邊三角形含30°角的直角三角形有什么性質(zhì)？如何證明？含30°角的直角三角形含30°角的直角三角形有什么性質(zhì)？如何證明？含30°角的直角復(fù)習(xí)鞏固1.（1）等腰三角形的一個(gè)角是110°，它的另外兩個(gè)角是多少度？

（2）等腰三角形的一個(gè)角是80°，它的另外兩個(gè)角是多少度？

復(fù)習(xí)鞏固1.（1）等腰三角形的一個(gè)角是110°，它的另外兩個(gè)復(fù)習(xí)鞏固2.如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證AB=AD.復(fù)習(xí)鞏固2.如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證AB復(fù)習(xí)鞏固3.如圖，五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，為了畫出五角星，還需要知道∠AMB的度數(shù).算一算∠AMB等于多少度.

復(fù)習(xí)鞏固3.如圖，五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形復(fù)習(xí)鞏固4.如圖，廠房屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且頂角∠BAC=120°.∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度？復(fù)習(xí)鞏固4.如圖，廠房屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=A復(fù)習(xí)鞏固5.如圖，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于點(diǎn)E.求證：△CEB是等腰三角形.復(fù)習(xí)鞏固5.如圖，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于點(diǎn)復(fù)習(xí)鞏固6.如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE.求證BD=CE.

復(fù)習(xí)鞏固6.如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC復(fù)習(xí)鞏固7.如圖，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D.求∠DBC的度數(shù).

復(fù)習(xí)鞏固7.如圖，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分綜合運(yùn)用8.尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線.

綜合運(yùn)用8.尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線綜合運(yùn)用9.某地地震過(guò)后，河沿村中學(xué)的同學(xué)用下面的方法檢測(cè)教室的房梁是否水平：

在等腰直角三角尺斜邊中點(diǎn)拴一條線繩，線繩的另一端掛一個(gè)鉛錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結(jié)果線繩經(jīng)過(guò)三角尺的直角頂點(diǎn).同學(xué)們由此確信房梁是水平的.他們的判斷對(duì)嗎？為什么？

綜合運(yùn)用9.某地地震過(guò)后，河沿村中學(xué)的同學(xué)用下面的方法檢測(cè)教綜合運(yùn)用10.如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，與AB，AC相交于點(diǎn)M，N，且MN∥BC.求證：△AMN的周長(zhǎng)等于AB+AC.

綜合運(yùn)用10.如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO綜合運(yùn)用11.上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15nmile/h（海里/時(shí)，1nmile=1852m）的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)海島B處.從A，B望燈塔C，測(cè)得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求從海島B到燈塔C的距離.

綜合運(yùn)用11.上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15nmi綜合運(yùn)用12.如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形.求證BE=DC.

綜合運(yùn)用12.如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形.求綜合運(yùn)用11.等腰三角形兩底角的平分線相等嗎？?jī)裳系闹芯€呢？?jī)裳系母吣兀孔C明其中的一個(gè)結(jié)論.

綜合運(yùn)用11.等腰三角形兩底角的平分線相等嗎？?jī)裳系闹芯€呢拓廣探索14.如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數(shù).

拓廣探索14.如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，并且拓廣探索15.如圖，要把一塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三家農(nóng)戶，如果∠C=90°，∠B=30°，要使這三家農(nóng)戶所得土地的大小、形狀都相同，請(qǐng)你試著分一分，并在圖上畫出來(lái).

拓廣探索15.如圖，要把一塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三等邊三角形等邊三角形教學(xué)目標(biāo)探索等邊三角形的性質(zhì)和判定．能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明．探索含30°角的直角三角形的性質(zhì)．理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用它進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算．教學(xué)目標(biāo)探索等邊三角形的性質(zhì)和判定．能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和教學(xué)重點(diǎn)探索等邊三角形的性質(zhì)與判定．探索并理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明及其應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)探索等邊三角形的性質(zhì)與判定．探索并理解含30°角的直知識(shí)回顧三線合一等角對(duì)等邊圖形判定性質(zhì)等邊對(duì)等角知識(shí)回顧三線合一等角對(duì)等邊圖形判定性質(zhì)等邊對(duì)等角知識(shí)回顧滿足什么條件的三角形是等邊三角形？三邊都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形也叫

正三角形知識(shí)回顧滿足什么條件的三角形是等邊三角形？三邊都相等的三角形探究等腰三角形有哪些特殊的性質(zhì)呢？

從邊的角度：從角的角度：從對(duì)稱的角度：兩腰相等等邊對(duì)等角三線合一將等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，你能得到什么結(jié)論？

探究等腰三角形有哪些特殊的性質(zhì)呢？

從邊的角度：從角的角度：猜想結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng)的結(jié)論嗎？圖形軸對(duì)稱圖形邊角兩邊相等兩底角相等底邊上的三線合一三邊相等三角相等都等于60°三邊的三線合一猜想結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng)的結(jié)論嗎？證明等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°已知：△ABC是等邊三角形．求證：∠A=∠B=∠C=60°．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，BC=AB．∴∠A=∠B，∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=60°．∴∠A=∠B=∠C=60°．證明等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°已結(jié)論等邊三角形的性質(zhì)1等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°怎么寫過(guò)程呢？

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°．

結(jié)論等邊三角形的性質(zhì)1等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一猜想等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形等邊三角形有三條對(duì)稱軸每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線所在的所有直線都是它的對(duì)稱軸等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都分別重合．猜想等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．等邊證明等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都分別重合．∵AB=AC，BD=DC∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC∵BA=BC，EA=EC∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC∵CA=CB，AF=BF∴∠ACF=∠BCF，CF⊥AB證明等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都結(jié)論等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都分別重合．簡(jiǎn)而言之，等邊三角形

每一邊上的三線都合一結(jié)論等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都?xì)w納等邊三角形有都有哪些性質(zhì)呢？三角相等都等于60°三邊上都有三線合一邊角對(duì)稱性三邊相等歸納等邊三角形有都有哪些性質(zhì)呢？三角相等都等于60°三邊上練習(xí)如圖，等邊三角形ABC中，BD是AC邊上的中線，AD=AE，則∠EDC的度數(shù)是________．答案：15°．

練習(xí)如圖，等邊三角形ABC中，BD是AC邊上的中線，A練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC于C．求證：△DAC是等腰三角形．提示：證明∠DAC=∠DCA．

練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC練習(xí)如圖，已知，△ABC是等邊三角形，BD是中線，BD=6，延長(zhǎng)BC到E．使CE=CD，求DE長(zhǎng)．提示：證明BD=DE．練習(xí)如圖，已知，△ABC是等邊三角形，BD是中線，BD=6思考你知道怎么判定一個(gè)三角形是等邊三角形嗎？可以利用定義，證明它的三邊相等除此之外，還有沒(méi)有其他辦法呢？證明它三角相等行不行呢？猜想：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形思考你知道怎么判定一個(gè)三角形是等邊三角形嗎？可以利用定義，證證明三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=∠B=∠C，∴BC=AC=AB（等角對(duì)等邊），∴△ABC是等邊三角形．證明三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形已知：△ABC中，∠A思考三邊相等或三角相等都能直接判定一個(gè)三角形是等邊三角形除此之外還有沒(méi)有其他判定方法呢？我們知道，等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形加個(gè)什么條件，能變成等邊三角形呢？有一個(gè)角是60°？思考三邊相等或三角相等都能直接判定一個(gè)三角形是等邊三角形除此猜想有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形這個(gè)60°角的位置有哪幾種情況呢？60°角是等腰三角形的頂角60°角是等腰三角形的底角猜想有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形這個(gè)60°角的位證明先證60°角是等腰三角形的頂角的情況已知：△ABC，AB=AC，∠A=60°．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=60°，∴∠B+∠C=120°．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形．證明先證60°角是等腰三角形的頂角的情況已知：△ABC，AB證明再證60°角是等腰三角形的底角的情況已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=60°∴∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形．證明再證60°角是等腰三角形的底角的情況已知：△ABC，AB歸納要判定一個(gè)三角形是等邊三角形有哪幾種方法？方法二方法三有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形三角相等的三角形是等邊三角形三邊相等的三角形是等邊三角形方法一歸納要判定一個(gè)三角形是等邊三角形有哪幾種方法？方法二方法三有例題如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．想一想，還有其他證法嗎？例題如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC的方向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，練習(xí)已知：D，E分別是等邊△ABC中AB，AC邊上的點(diǎn)，且BD=CE．求證：△ADE是等邊三角形.提示：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．練習(xí)已知：D，E分別是等邊△ABC中AB，AC邊上的練習(xí)已知△ABC中，∠A=60°,（

）

請(qǐng)你在括號(hào)內(nèi)補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC能成為等邊三角形．答案：∠B=60°或∠C=60°

或AB=BC或AC=BC．練習(xí)已知△ABC中，∠A=60°,（

）練習(xí)已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)______．答案：9cm．練習(xí)已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△A練習(xí)△ABC是等腰三角形，周長(zhǎng)為15cm，且∠A=60°，則BC=_______．答案：5cm．練習(xí)△ABC是等腰三角形，周長(zhǎng)為15cm，且∠A=60°，練習(xí)如圖，D、E、F分別是等邊三角形ABC三邊上三點(diǎn)，且AD=BE=CF．試問(wèn)：△DEF是什么三角形？提示：證明△ADF≌△BED≌△CFE．練習(xí)如圖，D、E、F分別是等邊三角形ABC三邊上三點(diǎn)，且A練習(xí)１．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．練習(xí)１．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．練習(xí)2．如圖，等邊三角形△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，圖中與BD相等的線段有哪些？練習(xí)2．如圖，等邊三角形△ABC中，AD是BC邊上的高，探究將兩個(gè)含有30°的三角尺擺放在一起你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC

的直角邊BC

與斜邊AB

之間的數(shù)量關(guān)系嗎?你能用學(xué)過(guò)的方法證明嗎?探究將兩個(gè)含有30°的三角尺擺放在一起你能借助這個(gè)圖形，找證明如圖，已知△ABC≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC=∠DAC=30°．求證：證明：∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD，BC=CD，又∵∠BAC=∠DAC=30°∴∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形．∴BD=AB，∴BC＝DC＝還有別的證法嗎？證明如圖，已知△ABC≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90證明如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°．求證：證明：在BA上截取BD=BC，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°∴△ABD是等邊三角形，∴BC=CD=BD，∠DCB=60°，∴∠DCA＝30°，∴∠DCA=∠A，∴AD=DC，∴AD=BD=BC．證明如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°結(jié)論在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．這個(gè)定理該怎么寫過(guò)程呢？∵在Rt△ABC中，

∠C=90°，∠A=30°，∴結(jié)論在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角例題下圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE

垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC、DE

要多長(zhǎng)?答案：3.7m，1.85m．例題下圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱練習(xí)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度，邊AB和BC之間有什么關(guān)系？答案：60°，30°；AB=2BC．練習(xí)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠練習(xí)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案：5．練習(xí)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，A練習(xí)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=______.

答案：1．練習(xí)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠練習(xí)如圖：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=_____cm．答案：8．練習(xí)如圖：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm練習(xí)如圖：△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，BD=_______，BE=_______．答案：4cm，2cm．練習(xí)如圖：△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若A練習(xí)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的中垂線，BE=5，則AE=______，AC=_____．答案：5，2.5．練習(xí)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE練習(xí)如圖：已知在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，AD平分∠BAC．求證：AD=2DC．提示：證明∠DAC=30°．練習(xí)如圖：已知在△ABC中，∠B=30°，∠C=90等邊共頂點(diǎn)已知：如圖，B，O，C三點(diǎn)在一條直線上，△AOB和△COD都是等邊三角形，AC，BD交于點(diǎn)E.求證：（1）AC=BD；（2）∠AEB=60°．提示：證明△AOC≌△BOD．等邊共頂點(diǎn)已知：如圖，B，O，C三點(diǎn)在一條直線上，△AOB公開(kāi)課、競(jìng)賽課課件-等邊三角形等邊共頂點(diǎn)如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，連接FH．

（1）求證：BD＝AE；提示：證明△BCD≌△ACE．總結(jié)：等邊共頂點(diǎn)就會(huì)有邊角邊全等．等邊共頂點(diǎn)如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接B等邊共頂點(diǎn)如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，連接FH．

（2）求證：CF＝CH；（3）判斷△CFH是什么特殊三角形并說(shuō)明理由．提示：證明△BCF≌△ACH．等邊共頂點(diǎn)如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接B等邊內(nèi)的點(diǎn)到三邊的距離之和如圖，已知等邊三角形ABC，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，求證：PD+PE+PF是等于等邊三角形的高．提示：連接PA，PB，PC，利用面積相等．等邊內(nèi)的點(diǎn)到三邊的距離之和如圖，已知等邊三角形ABC，P是三含30°直角三角形的剖分要把一塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三家農(nóng)戶去種植,如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使這三家農(nóng)戶所得土地的大小和形狀都相同，請(qǐng)你試著分一分，在圖上畫出來(lái)．含30°直角三角形的剖分要把一塊三角形的土地均勻分給甲、構(gòu)造含30°的直角三角形如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線MN交BC于M，交AB于N．求證：CM=2BM．提示：連接AM．構(gòu)造含30°的直角三角形如圖，在△ABC中，AB=AC，∠構(gòu)造含30°的直角三角形如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AC且交BC于F．求證：BF＝2CF．提示：連接AF．構(gòu)造含30°的直角三角形如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠構(gòu)造含30°的直角三角形如圖在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，求△ABC的面積．提示：作出AB邊上的高．構(gòu)造含30°的直角三角形如圖在△ABC中，AB=AC構(gòu)造含30°的直角三角形腰長(zhǎng)為2，底角為15°的等腰三角形的面積為_(kāi)______．提示：作出底邊上的高．答案：1．構(gòu)造含30°的直角三角形腰長(zhǎng)為2，底角為15°的等腰三角形等邊與全等綜合如圖，△ABC為等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別在BC，AC邊上，AE=DC，AD，BE相交點(diǎn)于P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，若PQ=3，PE=1，求AD的長(zhǎng)．提示1：證明△ACD≌△BAE．提示2：∠BPQ=∠BAP+∠ABP．等邊與全等綜合如圖，△ABC為等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別等邊與全等綜合已知：如圖，在等邊△ABC中，D、E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且AE=CD，連結(jié)AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于Q，求證：（1）∠APE=60°；（2）BP=2PQ．提示1：證明△ABD≌△BCE．提示2：∠APE=∠BAP+∠ABP．等邊與全等綜合已知：如圖，在等邊△ABC中，D、E分別為B等邊與全等綜合如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AB上，且BO=3，點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD．要使點(diǎn)D恰好落在AC上，則BP的長(zhǎng)是_____．提示：先畫出示意圖，然后證明△BOP≌△ADO．答案：6．等邊與全等綜合如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在直角邊是斜邊的一半已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=

AB．求證：∠A=30°．提示：延長(zhǎng)BC至D，使得CD=BC，連接AD．總結(jié)：若直角邊是斜邊的一半，則直角邊所對(duì)的角是30°．直角邊是斜邊的一半已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°與代數(shù)綜合的問(wèn)題若三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a-b）（b-c）（c-a）=0，則三角形的形狀為_(kāi)___________．答案：等腰三角形．與代數(shù)綜合的問(wèn)題若三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a-b）（b-c與代數(shù)綜合的問(wèn)題若三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a-b）

+（b-c）

+（c-a）

=0，則三角形的形狀為_(kāi)___________．答案：等邊三角形．222與代數(shù)綜合的問(wèn)題若三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a-b）

+（總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)到了什么？等邊三角形的性質(zhì)三角相等都等于60°三邊上都有三線合一三邊相等對(duì)稱性邊角總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)到了什么？等邊三角形的性質(zhì)三角相