高三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(經(jīng)典版)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)梳理總匯及復(fù)習(xí)第一部分 集合與函數(shù)1、在集合運(yùn)算中一定要分清代表元的含義 .［舉例1］已知集P={y|y=x2,xwR},Q={y|y=2x,xwR},求PPlQ.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 ^［舉例］若人=口|*2<a},B={x|x>2}且APlB=0,求a的取值范圍.3、充要條件的判定可利用集合包含思想判定：若A2B,則x^A是xwB的充分條件；若A3B,則x^a是xwb的必要條件；若人18且人38即人=8,則*Wa是xwb的充要條件.有時(shí)利用“原命題”與“逆否命題”等價(jià)， “逆命題”與“否命題”等價(jià)轉(zhuǎn)換去判定也很方便.充要條件的問(wèn)題要十分細(xì)心地去辨析： “哪個(gè)命題”是“哪個(gè)命題”的充分(必要)條件；注意區(qū)分：“甲是乙的充分條件(甲=乙)”與“甲的充分條件是乙(乙二甲)”,是兩種不同形式的問(wèn)題.［舉例］設(shè)有集合M={(x,y)|x2+y2>2},N={(x,y)|y—xa2},則點(diǎn)PwM的條件是點(diǎn)PwN;點(diǎn)PwM是點(diǎn)PwN的條件.4、掌握命題的四種不同表達(dá)形式，會(huì)進(jìn)行命題之間的轉(zhuǎn)化，會(huì)正確找出命題的條件與結(jié)論 .能根據(jù)條件與結(jié)論判斷出命題的真假 .［舉例］命題：“若兩個(gè)實(shí)數(shù)的積是有理數(shù)， 則此兩實(shí)數(shù)都是有理數(shù)” 的否命題是,它是(填真或假)命題.5、若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則有f(a—x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)等，反之亦然.注意：兩個(gè)不同函數(shù)圖像之間的對(duì)稱問(wèn)題不同于函數(shù)自身的對(duì)稱問(wèn)題.函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a的對(duì)稱曲線是函數(shù)y=f(2a-x)的圖像，函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線是函數(shù)y=2b—f(2a—x)的圖像.［舉例1］若函數(shù)y=f(x—1)是偶函數(shù)，則y=f(x)的圖像關(guān)于對(duì)稱.［舉例2］若函數(shù)y=f(x)滿足對(duì)于任意的xwR有f(2+x)=f(2—x),且當(dāng)x之2時(shí)2f(x)=x+x,則當(dāng)x<2時(shí)f(x)=.6、若函數(shù)y=f(x)滿足：f(x+a)=f(x—a)(a￥0)則f(x)是以2a為周期的函數(shù).注意：不要和對(duì)稱性相混淆.若函數(shù)y=f(x)滿足：f(x+a)=—f(x)(a#0)則f(x)是以2a為周1期的函數(shù).(注意：若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=土 ，則f(x)也是周期函數(shù))f(x)［舉例］已知函數(shù)y=f(x)滿足：對(duì)于任意的xwR有f(x+1)=—f(x)成立，且當(dāng)xw［0,2)時(shí),f(x)=2x—1,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)=.7、奇函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意 x滿足f(-x)+f(x)=0；偶函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意 x滿足f(-x)-f(x)=0.注意：使用函數(shù)奇偶性的定義解題時(shí)，得到的是關(guān)于變量 x的恒等式而不是方程.奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則此函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；反之，若一函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù) .若y=f(x)是奇函數(shù)且f(0)存在，則f(0)=0;反之不然.1［舉例1］右函數(shù)f(x)———a是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=；2 12［舉仞2］若函數(shù)f(x)=ax+(b—2)x+3是定義在區(qū)間［2a—1,2—a］上的偶函數(shù)，則此函數(shù)的值域是.8、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)增減性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)增減性相反 ，若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則它在對(duì)稱軸的兩側(cè)的增減性相反； 此時(shí)函數(shù)值的大小取決于變量離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近 .解“抽象不等式(即函數(shù)不等式)”多用函數(shù)的單調(diào)性，但必須注意定義域.［舉例1若函數(shù)y=f(x)是定義在區(qū)間［-3,3］上的偶函數(shù)，且在［-3,0］上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足：f(2a—1)<f(a2),求a的取值范圍.9、要掌握函數(shù)圖像幾種變換：對(duì)稱變換、翻折變換、平移變換 .會(huì)根據(jù)函數(shù)y=f(x)的圖像，作出函數(shù)y=f(-x),y=f(|x|),y冒f(x)|,y=f(x+a),y=f(x)+a的圖像.(注意：圖像變換的本質(zhì)在于變量對(duì)應(yīng)關(guān)系的變換) ；要特別關(guān)注y=f(|x|),y=|f(x)|的圖像.［舉例1函數(shù)f(x)=|log2|2x—1|-1|的單調(diào)遞增區(qū)間為.10、研究方程根的個(gè)數(shù)、超越方程(不等式)的解(特別是含有參量的)、二次方程根的分布、二次函數(shù)的值域、三角函數(shù)的性質(zhì)(包括值域)、含有絕對(duì)值的函數(shù)及分段函數(shù)的性質(zhì)(包括值域)等問(wèn)題常利用函數(shù)圖像來(lái)解決 .但必須注意的是作出的圖形要盡可能準(zhǔn)確： 即找準(zhǔn)特殊的點(diǎn)(函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、拐點(diǎn)、極值點(diǎn)等)、遞增遞減的區(qū)間、最值等.［舉例1］已知函數(shù)f(x)=12x—1,g(x)=ax+1,若不等式f(x)>g(x)的解集不為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 2 ，.一 一....一. ［舉例2］若曲線y=|x|+1與直線y=kx+b沒(méi)有公共點(diǎn)，則k,b應(yīng)當(dāng)滿足的條件是.11、曲線可以作為函數(shù)圖像的充要條件是：曲線與任何平行于 y軸的直線至多只有一個(gè)交點(diǎn).一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是：定義域與值域中元素須 一一對(duì)應(yīng)，反應(yīng)在圖像上平行于x軸的直線與圖像至多有一個(gè)交點(diǎn) .單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)嗎？(是的 ，并且任何函數(shù)在它的每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)總有反函數(shù)) .還應(yīng)注意的是：有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)函數(shù)， 你能舉例嗎？［舉例1函數(shù)f(x)=x2—2ax+1,(xW［0,1］U［3,4］),若此函數(shù)存在反函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.12、求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)必須標(biāo)明反函數(shù)的定義域，反函數(shù)的定義域不能單從反函數(shù)的表達(dá)式上求解，而是求原函數(shù)的值域 .求反函數(shù)的表達(dá)式的過(guò)程就是解(關(guān)于x的)方程的過(guò)程注意：函數(shù)的反函數(shù)是唯一的，尤其在開(kāi)平方過(guò)程中一定要注意正負(fù)號(hào)的確定 ^［舉例1函數(shù)f(x)=log2(x2+2x+2),(xW(-00,—2］)的反函數(shù)為13、原函數(shù)的定義域是反函數(shù)的值域，原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域；原函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱；若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,a^AbwC,則有f(f,(b))=b,f,(f(a))=a.b=f(a)=a=f,(b).需要特別注意一些復(fù)合函數(shù)的反函數(shù)問(wèn)題.如y=f(2x)反函數(shù)不是y=f,(2x).［舉例1］已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=f,(x),則函數(shù)y=2f,(3x+4)的反函數(shù)的表達(dá)式是.2x. x>0 4i-［舉例2］已知f(x)=/, ，右f,(a)=3,則a=.log2(-x),-2<x<014、判斷函數(shù)的單調(diào)性可用有關(guān)單調(diào)性的性質(zhì)(如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性) ，但證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義，不能用關(guān)于單調(diào)性的任何性質(zhì)，用定義證明函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵步驟往往是因式b分解.記住并會(huì)證明：函數(shù)y=ax+—，(a,ba0)的單調(diào)性.x 1 , ，,，… ，…―［舉例］函數(shù)f(x)=ax+—(aA0)在xW［1,+望)上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x15、一元二次函數(shù)是最基本的初等函數(shù)， 要熟練掌握一元二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值與最小值，應(yīng)會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖像求最值 ^2［舉例1求函數(shù)f(x)=x—2ax+1在區(qū)間［—1,3］的最值..16、一元二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三個(gè)知識(shí)點(diǎn) .解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、結(jié)合一元二次函數(shù)的圖像、寫出一元二次不等式的解集”可以將一元二次不等式的問(wèn)題化歸為一元二次方程來(lái)求解 .特別對(duì)于含參一元二次不等式的討論比較方便.還應(yīng)當(dāng)注意的是；不等式解集區(qū)間的端點(diǎn)值是對(duì)應(yīng)方程的根(或增根) .［舉例1］已知關(guān)于x的不等式|ax+3|W5的解集是［—1,4］,則實(shí)數(shù)a的值為.［舉例2］解關(guān)于x的不等式：ax2+2ax+1a0(awR).第二部分不等式17、基本不等式a+b>2Vab,ab<Ca^b)2要記住等號(hào)成立的條件與a,b的取值范圍.“一正、2二定、三相等”，“積定和有最小值、和定積有最大值” ，利用基本不等式求最值時(shí)要考慮到等號(hào)是否成立.與函數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題多有基本不等式的應(yīng)用 ^1 1［舉例］已知正數(shù)a,b滿足a+2b=3,則一+一的最小值為.ab18、學(xué)會(huì)運(yùn)用基本不等式：||a|—|b陰a±b|3a|+|b|.［舉例1］若關(guān)于x的不等式|x-1|-1x-2|<a的解集是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—［舉例2］若關(guān)于x的不等式|x-1|+|x-2|<a的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是19、解分式不等式不能輕易去分母，通常采用：移項(xiàng)(化一邊為零)一通分一轉(zhuǎn)化為整式不等式一化所有因式中的變量系數(shù)為正， (即不等式兩邊同除以變量系數(shù)，若它的符號(hào)不能確定即需要討論)一“序軸標(biāo)根”(注意比較各個(gè)根的大小，不能比較時(shí)即需要討論) ；解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是“去絕對(duì)值”，通常有①利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)②平方③討論.特別注意：求一個(gè)變量的范圍時(shí)，若分段討論的也是這個(gè)變量，結(jié)果要“歸并” ^［舉例］解關(guān)于x的不等式：a（x-1）>1（a>0）.x-220、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意條件：一正、二定、三相等） ；②方程有解法③單調(diào)性；④換元法；一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻時(shí)，常用函a數(shù)y=x+—,（a>0）的單調(diào)性；求二次函數(shù)（自變量受限制）的值域，先配方、再利用圖x像、單調(diào)性等；求分式函數(shù)的值域（自變量沒(méi)有限制）常用“逆求” （即判別式法）；求分TOC\o"1-5"\h\z式函數(shù)的值域（自變量受限制）通常分子、分母同除一個(gè)式子，變分子（分母）為常數(shù) .3c 1.11 1［舉例1］已知函數(shù)f（x）=ax-—x的最大值不大于一，又當(dāng)xw［_,_］時(shí)，f（x）之一，2 6 42 8求實(shí)數(shù)a的值. x3 ,、 ，，，———，一［舉例2］求函數(shù)f（x） 在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值.x26x1321、遇到含參不等式（或含參方程）求其中某個(gè)參數(shù)的取值范圍通常采用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求某函數(shù)的最大值（或最小值）;但是若該參數(shù)分離不出來(lái)（或很難分離） ，那么也可以整體研究函數(shù)y=f（a,x）的最值.特別注意：雙變量問(wèn)題在求解過(guò)程中應(yīng)把已知范圍的變量作為主變量，另一個(gè)作為參數(shù).［舉例1已知不等式4x-a，2x+2>0對(duì)于xw［一1,+望）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.第三部分三角函數(shù)耳22、若aw（0,—）,則since<a<tga；角的終邊越“靠近”y軸時(shí)，角的正弦、正切的絕2對(duì)值就較大，角的終邊“靠近” x軸時(shí)，角的余弦、余切的絕對(duì)值就較大 .［舉例1］已知otw［0,n］,若sina-|cosa|>0,則a的取值范圍是.［舉例2］方程sinx=x的解的個(gè)數(shù)為個(gè).23、求某個(gè)角或比較兩角的大?。和ǔＪ乔笤摻堑哪硞€(gè)三角函數(shù)值（或比較兩個(gè)角的三角函數(shù)值的大?。缓笤俣▍^(qū)間、求角（或根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較出兩個(gè)角的大小） .比如：由tg口AtgP未必有口AP;由口AP同樣未必有tgaAtgP;兩個(gè)角的三角函數(shù)值相等，這兩個(gè)角未必相等，如sin支=sinP;則支=2kn+P;或口=2kn+n—P,kWZ;若cos?=cosP,則口=2內(nèi)±P,kwZ；若tg?=tgP,則口=kn+P,kWZ.［舉例1］已知a,P都是第一象限的角，則“口<P”是“sinn<sinP”的一一（ ）A、充分不必要條件；B、必要不充分條件； C、充要條件；D、既不充分又不必要條件.［舉例2］已知a>0,P>0,a+P<冗，則“ct<P”是“since<sinP”的 （ ）A、充分不必要條件；B、必要不充分條件； C、充要條件；D、既不充分又不必要條件.24、已知一個(gè)角的某一三角函數(shù)值求其它三角函數(shù)值或角的大小， 一定要根據(jù)角的范圍來(lái)確定；能熟練掌握由tga的值求sina,cosa的值的操作程序；給（一個(gè)角的三角函數(shù)）值求（另一個(gè)三角函數(shù)）值的問(wèn)題，一般要用“給值”的角表示“求值”的角，再用兩角和（差）的三角公式求得.［舉例1］已知1a是第二象限的角，且cosa=a,利用a表示tg口=;TOC\o"1-5"\h\z2 2［舉例21已知6sin?+sinacosa_2cosa=0,a（（—,n）,求sin（2a+—）的值.2 325、欲求三角函數(shù)的周期、最值、單調(diào)區(qū)間等，應(yīng)注意運(yùn)用二倍角正（余）弦公式，半角公式2 1..一.2 1 -、 -：…降次即：sinx=—（1—cos2x）,cosx=—（1+cos2x）；引入輔助角（特別注意一，一2 2 3 6經(jīng)常弄錯(cuò)）使用兩角和、差的正弦、余弦公式（合二為一） ，將所給的三角函數(shù)式化為y=Asin（cox+平）+B的形式.函數(shù)y=|Asin（ccx+甲）|的周期是函數(shù)y=Asin（ox+邛）周期的一半.［舉例1函數(shù)f（x）=2cos2x—2Y3sinxcosx—1的最小正周期為； 最大值為—_;單調(diào)遞增區(qū)間為;在區(qū)間 ［0,2冗］上，方程f（x）=1的解集為—26、當(dāng)自變量x的取值受限制時(shí)，求函數(shù)y=Asin（8x+邛）的值域，應(yīng)先確定cox+邛的取值范圍，再利用三角函數(shù)的圖像或單調(diào)性來(lái)確定 sin（ox+邛）的取值范圍，并注意A的正負(fù)；千萬(wàn)不能把x取值范圍的兩端點(diǎn)代入表達(dá)式求得 .［舉例］已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）,xw［0,n］,求f（x）的最大值與最小值.27、三角形中邊角運(yùn)算時(shí)通常利用正弦定理、余弦定理轉(zhuǎn)化為角（或邊）處理 .有關(guān)a,b,c的齊次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理轉(zhuǎn)化為三角式；當(dāng)知道△ABC三邊a,b,c平方的和差關(guān)系，常聯(lián)想到余弦定理解題； 正弦定理應(yīng)記為一一=△—=—^=2R（其sinAsinBsinC中R是^ABC外接圓半徑.［舉例］在△ABC中，a,b,c分別是/A/B/C對(duì)邊白^長(zhǎng).已知a,b,c成等比數(shù)列，且a2-c2=ac—bc,求/A的大小及bsinB的值.c28、在^ABC中：a〉buAaBusinA>sinB；sin（B+C）=sinA,cos（B+C）=BCABCATOC\o"1-5"\h\z—cosA,cosB—C=sinA,sinE—C=cosC等常用的結(jié)論須記住.三角形三內(nèi)角A、2 2 2 2國(guó)B、C成等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)B=一.3［舉例1］在^ABC中，若2cosBsinA=sinC,則4ABC的形狀一定是 （ ）A、等腰直角三角形； B、直角三角形； C、等腰三角形；D、等邊三角形.29、sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx這三者之間的關(guān)系雖然沒(méi)有列入同角三角比的基本關(guān)系式，但是它們?cè)谇笾颠^(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到，要能熟練地掌握它們之間的關(guān)系式：（sinx二cosx）2=1-2sinxcosx.求值時(shí)能根據(jù)角的范圍進(jìn)行正確的取舍 .［舉例1］關(guān)于x的方程sin2x+a（sinx+cosx）+2=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1［舉例2］已知“匚（0,"）,且sin口+cosa=--,則tga=.30、正（余）弦函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是平行于 y軸且過(guò)函數(shù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期；正（余）弦函數(shù)圖像的對(duì)稱中心是圖像與“平衡軸”的交點(diǎn)，兩相鄰對(duì)稱中心之間的距離也是半個(gè)周期 .k二函數(shù)y=tgx,y=ctgx的圖像沒(méi)有對(duì)稱軸，匕們的對(duì)稱中心為 （——,0）,kwZ.兩相鄰對(duì)稱2軸之間的距離也是半個(gè)周期.TOC\o"1-5"\h\z［舉例1］已知函數(shù)f（x）=sin2x,且f（x+t）是偶函數(shù)，則滿足條件的最小正數(shù) t=—；［舉例2］若函數(shù)f（x）=asinx十cosx的圖像關(guān)于點(diǎn)（—二,0）成中心對(duì)稱，則a= .3第四部分復(fù)數(shù)31、復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化時(shí)，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,不要忘記條件a,bwR.兩復(fù)數(shù)zi=a+bi,Z2=c+di,（a,b,c,dwR）,zi=Z2的條件是a=c,b=d.這是復(fù)數(shù)求值的主要依據(jù).根據(jù)條件，求復(fù)數(shù)的值經(jīng)常作實(shí)數(shù)化處理 ^3-i［舉例1右星數(shù)z滿足：zz+（z+z）i= ，則z= .2i32、實(shí)系數(shù)一元二次方程若存在虛根， 則此兩虛根互為共軻.若虛系數(shù)一元二次方程存在實(shí)根不能用判別式判斷.［舉例1若方程x2+bx+2=0（bwR）的兩根a,P滿足|a一P|=2,求實(shí)數(shù)b的值.33、|4-z2|的幾何意義是復(fù)平面上zi,z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，|z-z0|=r的幾何意義是復(fù)平面上以Zo對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓.［舉例1若|z—2i|+|z—Zo|=4表示的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，則 |zo|的取值范圍是.34、對(duì)于復(fù)數(shù)z,有下列常見(jiàn)性質(zhì)：（1）z為實(shí)數(shù)的充要條件是z=z；（2）z為純虛數(shù)的充要條彳^是z+z=0且z*0;（3）Z'Z=|z|2;（4）|z1z2|=|z1||z21.4［舉例1設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：（1）z+—WR,（2）|z—2|=2,求復(fù)數(shù)z.z第五部分 數(shù)列與極限d235、等差數(shù)列｛an｝中，通項(xiàng)an=dn+b,前n項(xiàng)和Sn=—n+cn（d為公差，n=N）.證2明某數(shù)列是等差（比）數(shù)列，通常利用等差（比）數(shù)列的定義加以證明，即證： an由-an是常數(shù)（nwN）（包土=常數(shù)，nwN）,也可以證明連續(xù)三項(xiàng)成等差（比）數(shù)列 .即對(duì)于任an意的自然數(shù)n有：an七—an+=an+—an（亙^2=亙^土）.an1 an

一 2a.［舉例1數(shù)列｛an｝滿足：a1=1,an^= （nwN）.an2，一 1.（1）求證：數(shù)列｛—｝是等差數(shù)列；（2）求｛an｝的通項(xiàng)公式.an36、等差數(shù)列前n項(xiàng)和、次n項(xiàng)和、再后n項(xiàng)和（即連續(xù)相等項(xiàng)的和）仍成等差數(shù)列；等比數(shù)列前n項(xiàng)和（和不為0）、次n項(xiàng)和、再后n項(xiàng)和仍成等比數(shù)列.類比還可以得出：等比數(shù)列的前n項(xiàng)的積、次n項(xiàng)的積、再后n項(xiàng)的積仍成等比數(shù)列.37、在等差數(shù)列｛an｝中，若m+n=p+q（m,n,p,qwN）,則am+an=ap+aq；在等比數(shù)歹U｛an｝中，若m+n=p+q（m,n,p,qwN）,則am'an=ap'aq等差（等比）數(shù)列中簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧多源于這條性質(zhì).38、等差數(shù)列當(dāng)首項(xiàng)ai>0且公差d<0,前n項(xiàng)和存在最大值.當(dāng)首項(xiàng)ai<0且公差d>0,'an0（0）前n項(xiàng)和存在最小值.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值可以利用不等式組 」 ' 7來(lái)確定an4l<0（>0）n的值；也可以利用等差數(shù)列的前 n項(xiàng)的和是n的二次函數(shù)（常數(shù)項(xiàng)為0）轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解.［舉例1］右｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)ai>0,a2006aa2007A0,a2006,a2007<0,則（1）使前n項(xiàng)和Sn最大的自然數(shù)n是—；（2）使前n項(xiàng)和Sn>0的最大自然數(shù)n=；na1 q=139、數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)的和Sn是關(guān)于q的分段函數(shù)Sn=｛a1（1_qn）： ，q#1l1-q在求和過(guò)程中若公比不是具體數(shù)值時(shí)，則要進(jìn)行討論^1 ［舉例1］數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn,且limSn=一，求a1的取值范圍.n a1［舉例2］［舉例2］數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)1，.求lim——的值.…二Sn40、等差數(shù)列、等比數(shù)列的“基本元”是首項(xiàng)、公差（比） ，當(dāng)覺(jué)得不知如何用性質(zhì)求解時(shí)，可以把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“基本元”解決 .學(xué)會(huì)用任意兩項(xiàng)關(guān)系：若｛an｝是等差數(shù)列，則對(duì)于任意自然數(shù)m,n有an=am+（n-m）d；若｛an｝是等比數(shù)列，則對(duì)于任意的自然數(shù)m,n,有an=amqnw.在這兩關(guān)系式中若取m=1,這就是等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式 .［舉例1］已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1A0,且3a5+5a7=0.若此數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,問(wèn)Sn是否存在最值？若存在， n為何值？若不存在，說(shuō)明理由.3 5［舉例2］已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝中，首項(xiàng)a1>1,且a5a7=1.若此數(shù)列的前n項(xiàng)積為Tn,問(wèn)Tn是否存在最值？說(shuō)明理由.

41、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和S41、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要注意分段 an=［.當(dāng)aiSn-Snj,n>2X.滿足an=Sn—Sn」,(n22)時(shí)，才能用一個(gè)公式表示.［舉例1已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=(a—2)n2+n+a.若｛an｝是等差數(shù)列，求｛an｝的通項(xiàng)公式.42、形如：an書=an+f(n)的遞推數(shù)列，求通項(xiàng)用疊加(消項(xiàng))法；形如： "a空=g(n)的遞an推數(shù)列，求通項(xiàng)用連乘(約項(xiàng))法.［舉例1數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an=3n」+an」(n之2),求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.43、一次線性遞推關(guān)系：數(shù)列｛an｝滿足：a1=a,an41=bwn+c,(a,b,c是常數(shù))是最重要的遞推關(guān)系式，可以看出當(dāng)b=1時(shí)，此數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)c=0(b=0)時(shí)，此數(shù)列是等比數(shù)列.解決此遞推的方法是通過(guò)代換(令 bn=an+k)化成等比數(shù)列求解.［舉例1已知數(shù)列｛an｝滿足：ai=1,an書=2an+1,(nwN),求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.44、在解以數(shù)列為模型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，要選擇好研究對(duì)象，即選擇好以“哪一個(gè)量”作為數(shù)列的“項(xiàng)”，并確定好以哪一時(shí)刻的量為第一項(xiàng)；對(duì)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題可直接尋找“項(xiàng)”與“項(xiàng)數(shù)”的關(guān)系，對(duì)較復(fù)雜的問(wèn)題可先研究前后項(xiàng)之間的關(guān)系(即數(shù)列的遞推公式) ，然后再求通項(xiàng).［舉例］某企業(yè)去年底有資金積累a萬(wàn)元，根據(jù)預(yù)測(cè)，從今年開(kāi)始以后每年的資金積累會(huì)在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)20%,但每年底要留出b萬(wàn)元作為獎(jiǎng)勵(lì)金獎(jiǎng)給職工.企業(yè)計(jì)劃用5年時(shí)間使資金積累翻一番，求b的最大值.i,q=i45、常見(jiàn)的極限要記牢:limqn=10,Iql<1 ，注意limqn存在與limqn=045、常見(jiàn)的極限要記牢:n—joc n—JfX： n—joe不存在，|q>1或q=-1f(n),g(n)是關(guān)于nf(n),g(n)是關(guān)于n的多項(xiàng)是不相同的;lim(1+—)n=e,特別注意此式的結(jié)構(gòu)形式；若是不相同的;―二n式函數(shù)，要會(huì)求lim上西n-:g(n)［舉例1］求下列各式的值：(1)..ani”［舉例1］求下列各式的值：(1)..ani”(a2#4)；(2)n-1、2nlim( )n-.：：n12 ,八anbn2［舉例2］右lim n—' 3n446、理解極限是“無(wú)限運(yùn)動(dòng)的歸宿” ^2_ 2一2一，［舉例1已知△ABC的頂點(diǎn)分別是A（0,f）,B（0,—f）,C（4+2,0）（nwN）,記△ABC的外接nnn圓面積為Sn,則limSn=.n_第六部分排列、組合與概率47、解排列組合應(yīng)用題是首先要明確需要完成的事件是什么，其次要分清完成該事件是分類還是分步，另外要有逐一列舉思想、先選后排思想、正難則反（即淘汰法）思想 .簡(jiǎn)單地說(shuō)：解排列、組合問(wèn)題要搞清“做什么？怎么做！”分步做時(shí)要考慮到每一步的可行性與“步”與“步”之間的連續(xù)性.尤其是排列問(wèn)題，更要注意“特殊元素、特殊位置”之間的關(guān)系，一般地講，從正面入手解決時(shí)， “特殊元素特殊照顧，特殊位置特殊考慮 .”相鄰問(wèn)題則用“捆綁”，不鄰問(wèn)題則用“插空”.特別提醒：解排列、組合問(wèn)題時(shí)防止記數(shù)重復(fù)與遺漏 .［舉例1對(duì)于問(wèn)題：從3位男同學(xué)，5位女同學(xué)這8位同學(xué)中選出3人參加學(xué)校一項(xiàng)活動(dòng)，求至少有2位女同學(xué)的選法種數(shù).一位同學(xué)是這樣解的：先從5位女同學(xué)中選出2名有C52種選法，再在剩下的6位同學(xué)中任選一位有c6種選法，所以共有C52C6種不同的選法.請(qǐng)分析這位同學(xué)的錯(cuò)誤原因，并給出正確的解法^48、簡(jiǎn)單地說(shuō)：事件A的概率是含有事件A的“個(gè)體數(shù)”與滿足條件的事件的“總體數(shù)”的比值.現(xiàn)行高考中的概率問(wèn)題實(shí)際上是排列、組合問(wèn)題的簡(jiǎn)單應(yīng)用 ^［舉例1定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，集合A={1,3,5,7,9}的真子集可以作為A的“孫集”的概率是.第七部分 向量49、向量加法的幾何意義：起點(diǎn)相同時(shí)適用平行四邊形法則（對(duì)角線） ，首尾相接適用“蛇形1,法則，一（AB+AC）表示△ABC的邊BC的中線向量.向量減法的幾何意義：起點(diǎn)相同適2用三角形法則，（終點(diǎn)連結(jié)而成的向量，指向被減向量） ，|AB|表示A、B兩點(diǎn)間的距離;以a、b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別表示向量 a+b、a-b（或b-Z）.TOC\o"1-5"\h\z［舉例1已知非零向量a,b滿足：值+6|二值—b|,則向量a,b的關(guān)系是—（ ）A、平行； B、垂直； C、同向； D、反向.一' a50、理解單位向量、平行向量、垂直向量的意義 .與非手向量a同向的單位向量a0 ,反|a|-F向的單位向量a0=--a-.|a|ABAC、，［舉例］已知△ABC，點(diǎn)P滿足AP=K（^=^+—>）,（九=R）則點(diǎn)P的軌跡是（ ）|AB||AC|A、BC邊上的高所在直線； B、BC邊上的中線所在直線；C、/A平分線所在直線； D、BC邊上中垂線所在直線.51、兩向量所成的角指的是兩向量方向所成的角 .兩向量數(shù)量積ab=|a||b|cos<a,b>；其中|b|cos<a,ba可視為向量b在向量a上的射影.［舉例1］已知△ABC是等腰直角三角形，CC=90°,AC=BC=2,則AB.BC=TOC\o"1-5"\h\z-2 _c52、向量運(yùn)算中特別注意a=|a|2的應(yīng)用.研究向量的模常常先轉(zhuǎn)化為*II平方再進(jìn)行向量運(yùn)算 .-te［舉例1已知|a|=四,|b|=1,且a,b的夾角為一，又OC=—a+3b,OD=2a—b,求|CD|.453、向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，要熟練掌握 .已知a={x1,y1},b={x2,y2}則—F —? -1> —* .a-b={%_X2,yi 一y2}, a b =x1X2 yi.若A(xi,yi),B(x2,y2),則AB={X2一xi,y2-yi},其坐標(biāo)形式中是向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo) .請(qǐng)注意：向量的坐標(biāo)形式實(shí)質(zhì)上是其分解形式x；+yJ的“簡(jiǎn)記”.其中i,j分別表示與x軸、y軸正方向同向的單位向量.與向量坐標(biāo)運(yùn)算最重要的兩個(gè)結(jié)論：若向量 a={x1，yj,b={x2,y2}是非零向量則有：a_Lbuxix2+y1y2=0;a〃b=xiy2-x2yi=0.［舉例］設(shè)。是直角坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=2i+3j,OB=4i-j,在x軸上求一點(diǎn)p,使AP，"BP最小，并求此時(shí)NAPB的大小.54、利用向量求角時(shí)，要注意范圍.兩向量所成角的范圍是［0,n］.特別注意ab>0不能等同于a,b所成角是銳角.當(dāng)a,b同向時(shí)也滿足ab>0.TOC\o"1-5"\h\z［舉例1］已知△ABC,則“ABAC<0”是“△ABC為鈍角三角形”的 ( )A、充分不必要條件； B、必要不充分條件；C、充分必要條件； D、既不充分又不必要條件.［舉例2］l是過(guò)拋物線y2=2px(pA0)焦點(diǎn)的直線，它與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則^ABO是 ( )A、銳角三角形； B、直角三角形； C、鈍角三角形； D、不確定與P值有關(guān).55、關(guān)注向量運(yùn)算與其它知識(shí)的聯(lián)系，與三角函數(shù)綜合是高考中的常見(jiàn)題型 ^［舉例］已知向量a={2cosx,1},b={cosx,*；3sin2x},xwR.設(shè)f(x)=ab.(1)若f(x)=1-v3且x七［一一,一］,求x的值；33- n(2)若函數(shù)y=2sin2x的圖像按向量c={m,n}(|m|<一)平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖像,2求實(shí)數(shù)m,n的值.

56、關(guān)注點(diǎn)、函數(shù)圖像（曲線）按某向量平移導(dǎo)致的坐標(biāo)、 解析式（方程）的變化；點(diǎn)M（x,y）按向量a={m,n}平移得到點(diǎn)的坐標(biāo)是M/（x+m,y+n）；曲線C：f（x,y）=0按向量/a={m,n}平移得到曲線C的萬(wàn)程為f（x-m,y-n）=0.在頭際應(yīng)用過(guò)程中不必要死記公式，可結(jié)合圖形將函數(shù)圖像（曲線）按某向量平移的問(wèn)題可以先“翻譯”成向左（右）向上（下）平移，再用函數(shù)圖像變換的規(guī)律操作 ^［舉例1］將橢圓（x-2）［舉例1］將橢圓（x-2）4準(zhǔn)方程，則a=+（y3）=1對(duì)應(yīng)的曲線按向量a平移后得到的曲線的方程為標(biāo)3第八部分 空間圖形57、平面的基本性質(zhì)是高考中立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容 .要掌握平面的基本性質(zhì)， 特別注意：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.考察點(diǎn)和平面的位置關(guān)系時(shí)，要注意討論點(diǎn)在平面的同側(cè)還是兩側(cè)，會(huì)根據(jù)不同的情況作出相應(yīng)的圖形 .［舉例1］已知線段AB長(zhǎng)為3,A、B兩點(diǎn)到平面a的距離分別為1與2,則AB所在直線與平面:所成角的大小為;［舉例2］判斷命題：“平面a上有不共線的三點(diǎn)到平面P的距離相等，則平面a與平面P是平行平面”的真假.58、線面關(guān)系中三類平行的共同點(diǎn)是“無(wú)公共點(diǎn)”；三類垂直的共同點(diǎn)是“成角90?！?線面平行、面面平行，最終化歸為線線平行 .線面垂直、面面垂直，最終化歸為線線垂直 ^〃：-1_：［舉例］已知平面a,F,直線a,b.有下列命題：（1）卜二a〃P;⑵口卜二a//?a二匕 a_：a〃b' a//b'（3）a_Lu口//P;（4）au汽:二口//P.其中正確的命題序號(hào)是.b_LPJ b=%59、直線與平面所成角的范圍是［。,金］；兩異面直線所成角的范圍是 （。，鼻］.一般情況下，求二面角往往是指定的二面角，若是求兩平面所成二面角只要求它們的銳角 （直角）情況即可.［舉例］設(shè)A、B、C、D分別表示下列角的取值范圍： （1）A是直線傾斜角的取值范圍；（2）B是銳角；（3）C是直線與平面所成角的取值范圍； （4）D是兩異面直線所成角的取值范圍.用“把集合A、B、C、D連接起來(lái)得到.60、立體幾何中的計(jì)算主要是角、距離、體積、面積的計(jì)算 .兩異面直線所成角、直線與平面所成角的計(jì)算是重點(diǎn)（二面角的計(jì)算文科不要求）.求兩異面直線所成角可以利用平移的方法將角轉(zhuǎn)化到三角形中去求解，也可以利用空間向量的方法（要在方便建立坐標(biāo)系時(shí)用）特別要注意的是兩異面直線所成角的范圍 .當(dāng)求出的余弦值為a時(shí)，其所成角的大小應(yīng)為arccos|a|.［舉例］正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是AB中點(diǎn)，則異面直線DE與BD1所成角的大小61、直線與平面所成角的求解過(guò)程中，要抓住直線在平面上的射影，轉(zhuǎn)化到直角三角形中去求解.點(diǎn)到平面的距離的求解可以利用垂線法，也可以利用三棱錐的體積轉(zhuǎn)化 ^［舉例］正三棱柱ABC—AiBiCi的底面邊長(zhǎng)是2,BCi與平面ACC1A〔所成角為30°.試求:（1）三棱柱ABC—A1B1C1的體積；（2）點(diǎn)C到平面BACi的距離.62、長(zhǎng)方體、正方體是最基本的幾何體，要熟練掌握它們中的線面關(guān)系 .長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分2 2 2 2別為a,b,c,對(duì)角線長(zhǎng)為1,則l=a+b+c.利用這一關(guān)系可以得到下面兩個(gè)結(jié)論：（1）若長(zhǎng)方體的對(duì)角線與三棱所成角分別為 “消,則cos2a+cos2P+cos27=1；（2）若長(zhǎng)方體的對(duì)角線與三面所成角分別為 a,PJ,則cos2a+cos2P+cos27=2.［舉例］長(zhǎng)方體ABCD—AiBiCiDi的對(duì)角線ACi與過(guò)A點(diǎn)的三條棱所成的角分別為a,P,Y,TOC\o"1-5"\h\z右o（=，P=—,貝U；= （ ）\o"CurrentDocument"4 3A、—; B、—； C、—、 D、不確te.63、正方體中線面關(guān)系可以說(shuō)是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容，相當(dāng)一部分的高考題是以正方體作為載體進(jìn)行命題，或是截取正方體的一部分進(jìn)行命題 .請(qǐng)?zhí)貏e關(guān)注正方體表面按不同形式的展開(kāi)圖，會(huì)由展開(kāi)的平面圖形想象立體圖形 ^［舉例1］如圖是一正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中：（DAF與CN所在的直線平行；（2）CN與DE所在的直線異面；（3）CN與BM成60°角；（4）DE與BM所在的直線垂直.以上四個(gè)命題中正確的命題序號(hào)是;TOC\o"1-5"\h\z64、三棱錐頂點(diǎn)在底面三角形內(nèi)射影為三角形的外心、內(nèi)心、垂心的條件要分清楚 ^外心：三側(cè)棱相等或三側(cè)棱與底面所成的角相等（充要條件） ；內(nèi)心：三側(cè)面與底面所成的二面角相等（充要條件）；垂心：相對(duì)的棱垂直（充要條件）或三側(cè)棱兩兩垂直（充分條件） .［舉例］“三側(cè)棱與底面所成的角相等且底面是正三角形” 是“三棱錐為正三棱錐”的（ ）A、充分不必要條件；B、必要不充分條件；C、充要條件；D、既不充分又不必要條件.65、關(guān)注正棱錐中的幾個(gè)直角三角形.（1）高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形； （2）側(cè)棱、斜高、底面棱長(zhǎng)的一半組成的直角三角形；（3）底面上的邊心距、底面外接圓半徑、底面棱長(zhǎng)的一半組成的直角三角形（4）高、側(cè)棱、底面外接圓半徑組成的直角三角形 ^進(jìn)一步關(guān)注的是：側(cè)棱與底面所成角、側(cè)面與底面所成二面角的平面角都體現(xiàn)在這些直角三角形中.66、直線與直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角在計(jì)算過(guò)程中都有射影定理.兩直線所成角余弦值的大小是一直線上的線段在另一直線上的射影長(zhǎng) （過(guò)此線段兩端點(diǎn)向另一直線作垂線，兩垂足之間的線段長(zhǎng)，若兩直線垂直，則兩垂足重合，射影長(zhǎng)為 0）與原線段長(zhǎng)S/的比；二面角的平面角（或其補(bǔ)角）的余弦值等于—,其中S是一個(gè)半平面上的圖形面S積，S/是此圖形在另一平面上的射影圖形面積 .

67、特別注意有一側(cè)棱與底面垂直且底面為正方形、直角梯形、菱形等四棱錐，關(guān)注四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.它們之間的線面關(guān)系也是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容 .［舉例1］如圖三棱錐S—ABC中，SA1平面ABC,/ACB=90°,則此三棱錐的四個(gè)面中的直角三角形的個(gè)數(shù)有個(gè).68、圖形的分解、組合是立幾命題的新思路，學(xué)會(huì)平面到空間、空間到平面的轉(zhuǎn)化［舉例］下面圖形為A a.［舉例］下面圖形為A a.Da aB a C四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面(1)請(qǐng)畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側(cè)棱垂直于底面？如果存在的話，指出是示意圖中的哪一條，說(shuō)明理由.(2)求出此四棱錐的體積；(3)設(shè)E是最長(zhǎng)側(cè)棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是底面正方形ABCD的邊中與最長(zhǎng)側(cè)棱異面的邊的中點(diǎn)，求EF與最短側(cè)棱所成角的大小.第九部分 直線與圓錐曲線70、直線的傾斜角是直線向上方向與 X軸正方向所成的角，當(dāng)直線是 X軸或與X軸平行時(shí)，直線的傾斜角是0,直線傾斜角的范圍是［0,兀).當(dāng)直線與X軸不垂直時(shí)，傾斜角的正切值稱為直線的斜率.3［舉例1已知直線li的斜率是——，直線12過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且傾斜角是li傾斜角的兩倍，則直線123的方程為.I-3分析：由li的斜率是——，知直線li的傾斜角為一，所以直線12的傾斜角為一，則12的斜TOC\o"1-5"\h\z3 6 3率為J3,所以直線12的議程為y=J3x.71、若直線的傾斜角為3,直線的斜率為k,則口與k的關(guān)系是：tgota=［0—)J(—n) c 、tg, ［0,2)(2,) arctgk,k之0k=4 ；a=3 .不存在a=± F+arCtgk,k<01的傾斜角)L1的傾斜角)［舉例］已知直線l的方程為ax+by+c=0,(ab￥0)且l不經(jīng)過(guò)第二象限，則直線aDaD、冗-arctg—.\o"CurrentDocument"a a . a\o"CurrentDocument"A、arctg—；B、arctg(——)；C、n+arctg—；b b ba 一 分析：注意到直線1的斜率k=—-，又直線不過(guò)第二象限，則k>0，所以此直線的傾斜b角為arctgk,選B.72、常見(jiàn)直線方程的幾種形式及適用范圍要熟悉： (1)點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-X0),過(guò)定點(diǎn)(x0,y0)與x軸不垂直；(2)斜截式y(tǒng)=kx+b,在y軸上的截距為b與x軸不垂直；(3)截距式：x+U=i,在x軸y軸上的截距分別為a,b與坐標(biāo)軸不平行且不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).特別注ab意的是當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)(不是坐標(biāo)軸)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距也相等，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的斜率為- 1,或此直線過(guò)原點(diǎn).［舉例1與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有一一( )A、2條； B、3條； C、4條； D、5條.分析：注意到截距與距離之間的區(qū)別，截距指的是曲線(直線)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)，它有正負(fù)(也可以是0)之分.選B.73、求直線的方程時(shí)要特別注意直線的斜率是否存在的情況，不確定時(shí)要注意分類討論，漏解肯定是斜率不存在的情況.要明確解析幾何是“用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題”的道理，所以做解析幾何問(wèn)題不要“忘形”.［舉例］過(guò)點(diǎn)P(2,3)與坐標(biāo)原點(diǎn)距離為2的直線方程是.分析：若僅用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，再用點(diǎn)到直線的距離來(lái)求解，則會(huì)漏解，這是因?yàn)樵谠O(shè)立方程的時(shí)候就排除了斜率存在的情況 .考慮到直線x=2滿足題義，故所求直線有兩條，其方程為：5x-12y+26=0與x=2.74、兩直線位置關(guān)系討論的主要依據(jù)是兩直線的斜率， 要注意斜率不存在時(shí)的情況.掌握點(diǎn)到直線的距離公式、兩平行直線之間的距離公式、 兩直線的夾角公式.由一般式方程判斷兩直線之間的關(guān)系：直線l1：A1x+B1y+C1=0,(A1,B1不全為0)、12：A2x+B2y+C2=0,(A2,B2不全為0).則l"/l2的充要條件是A1B2-A2B1=0且A1C2—A2C1與B1C2—B2C1至少有一個(gè)不為零；l1,Ll2的充要條件是A1A2+B1B2=0；。與l2相交的充要條件是A1B2-A2B1-0.［舉例1］直線l112斜率相等是l"/l2的 ( )A、充分不必要條件； B、必要不充分條件；C、充要條件；D、既不充分又不必要條件.分析：直線l1,l2斜率相等，兩直線可能重合，不一定有 l1//l2；又兩直線l1//l2,考慮到特殊情況，若l1,l2都與x軸垂直，則它們的斜率不存在，就談不上斜率相等了 .選D.［舉例2］直線l過(guò)點(diǎn)P(2,3)與以A(3,2),B(—1,—3)為端點(diǎn)的線段AB有公共點(diǎn)，則直線l傾斜角的取值范圍是.分析：直線與線段之間的關(guān)系可借助于數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決， 先確定出“極限”位置時(shí)直線的傾斜角(斜率)，再?gòu)男D(zhuǎn)的角度進(jìn)行變化研究.kPA=-1,kPB=2.若直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則其斜率k存在時(shí)的取值范圍是： k￡-1或k至2,或其斜率不存在.因此直線l傾斜角—1 3二r的取值氾圍是［arctg2,——］.475、點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對(duì)稱即l是線段AB的垂直平分線，垂直是斜率關(guān)系，平分說(shuō)明AB的中點(diǎn)在l上.特別注意：當(dāng)對(duì)稱軸所在直線的斜率為 1或一1時(shí)，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)可用代入的方法求得.即點(diǎn)(Xo,丫0)關(guān)于直線x+y+c=0的對(duì)稱點(diǎn)是(—y0—c,—Xo—c)；點(diǎn)(Xo,y°)關(guān)于直線x—y+c=0的對(duì)稱點(diǎn)是(y0—c,x0+c).［舉例1］將一張畫有直角坐標(biāo)系的圖紙折疊使點(diǎn) A(2,0)與點(diǎn)B(0,6)重合，若點(diǎn)C(3,0)與點(diǎn)D重合，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為；分析：實(shí)際上這是一個(gè)對(duì)稱的問(wèn)題， 對(duì)稱軸是AB的垂直平分線l：x-2y+5=0,D點(diǎn)是C

點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn).求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)要緊緊抓住垂直 （斜率關(guān)系）平分（中點(diǎn)坐標(biāo)）這兩個(gè)方面列方程組求解.設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,b）,則b=_2,且a-3a3cb 128、 -2—+5=0,求得：D（一,——）.2 2 552C2,則C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)［舉例2］拋物線Ci：y=2x關(guān)于直線C2,則C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)分析：兩拋物線關(guān)于一直線對(duì)稱，則它們的焦點(diǎn)也關(guān)于此直線對(duì)稱，只要求焦點(diǎn)關(guān)于此直線 1 5的對(duì)稱點(diǎn)即可.拋物線Ci的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（》0）,所以C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-2［）.76、直線與圓的位置關(guān)系的判斷主要是利用點(diǎn)（圓心）到直線的距離來(lái)判斷.設(shè)圓C的半徑是r,圓心到直線L的距離是d,當(dāng)d>r時(shí)，直線L與圓C相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線L與圓C相切；當(dāng)d<r時(shí)，直線L與圓C相交.求直線被圓所截的弦長(zhǎng)可用圓半徑、弦心距、弦長(zhǎng)一半組成直角三角形來(lái)求解.2 2 2 2［舉例1］已知點(diǎn)（a,b）是圓x+y=r外的一點(diǎn)，則直線ax+by=r2與圓的位置關(guān)系是 （ ）A、相離； B、相切； C、相交且不過(guò)圓心； D、相交且過(guò)圓心.分析：點(diǎn)（a,b）在圓x2+y2=r2外，則a2+b2ar2,圓心到直線ax+by=r2的距離2rd= :：r,又d:0.選C.a2b2關(guān)注：若點(diǎn)（a,b）是圓x2+y2=r2上的一點(diǎn)，則直線ax+by=r2是圓過(guò)此點(diǎn)的切線方程；若點(diǎn)（a,b）是圓x2+y2=r2外的一點(diǎn)，則直線ax+by=r2是此圓過(guò)該點(diǎn)有兩切線的切點(diǎn)弦的方程.2 2 2［舉例2］若圓O：x+y=r上有且只有兩點(diǎn)到直線l:3x+4y—15=0的距離為2,則圓的半徑r的取值范圍是.分析：如圖：圓心O到直線l的距離為3,與直線l距離為2的點(diǎn)的軌跡是與l平行且與l距離為2的兩平行直線（圖中虛線l'l2）.由題義知直線l1與圓O有兩不同交點(diǎn)，而l2與圓。沒(méi)有公共點(diǎn).因此圓。半徑r的取值范圍是1:二r：二5.TOC\o"1-5"\h\z.2 .277、確定圓的方程可以利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （x—a）十（y-b）也可以利用圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,即確定系數(shù)D、E、F.要注意的是方2 2 2 2程x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D+E-4F>0.確定一個(gè)圓的方程需要三個(gè)互相獨(dú)立的條件（因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)方程與一般方程中都三個(gè)待定的系數(shù)） ^2 _ _2［舉例1］二次萬(wàn)程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是；分析：注意到圓的一般方程中沒(méi)有 xy這樣的項(xiàng)，且二次項(xiàng)系數(shù)都為 1.則必有B=0,且- 2 2DE FA=C#0,此時(shí)方程可以化成： x2 +y2+—x+—y +—= 0.與圓的一般方程比較可以得\o"CurrentDocument"AA A出：（DA）2+（宗）2一4：>0.其充要條件為：A=C=0,B=0,D2+E2—4AF>0.［舉例2］已知圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)是2,被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為1:3,求圓心C

的軌跡方程.分析：如圖，設(shè)圓心C（x,y）,圓半徑為r.因圓被y軸截得的線段長(zhǎng)為2,圓心到y(tǒng)軸的距離為|x|,則根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，知 r2=x2+1,又圓被x軸所分成的兩段弧長(zhǎng)之比為1:3,則x軸被所截得的弦所對(duì)的中心角為直角，圓心到 x軸距離為|y|,則r=J2|y|.則x2+1=2y2.即所求的軌跡方程為2 2 ,2y-x=1.78、掌握?qǐng)A的基本特征：圓上任意兩點(diǎn)的垂直平分線是圓的直徑所在的直線；直線平分圓的充要條件是此直線一定過(guò)該圓的圓心；與兩定點(diǎn)連線所成角為直角的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以定線段為直徑的圓（或圓弧）等.［舉例1］直線l過(guò)定點(diǎn)M（4,0）與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn)，則弦AB中點(diǎn)N的軌跡分析：解決與圓有關(guān)的的問(wèn)題要“對(duì)得起”圓 .即要抓住圓的幾何特征.如圖：ON_LAB,所以N在以線段OM為直徑的圓上，=4.注意到點(diǎn)N在圓x2+y分析：解決與圓有關(guān)的的問(wèn)題要“對(duì)得起”圓 .即要抓住圓的幾何特征.如圖：ON_LAB,所以N在以線段OM為直徑的圓上，=4.注意到點(diǎn)N在圓x2+y2=4內(nèi),

［舉例2］直線l過(guò)定點(diǎn)M（4,0）與圓M、O都是定點(diǎn)，其方程為（x-2）2--則弦N的軌跡方程為x2y2=4AO(x-22/y2=4(0<x<1).交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則4AOB面積的最大值為分析：由圓的性質(zhì)知，△AOB是等腰三角形,|OA|=|OB|=2,所以當(dāng)/AOB為直角時(shí)，其面積最大，最大值A(chǔ)O2.Mx［舉例3］已知A是圓x2+y2—2ax+4y—6=0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線x+2y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上，那么實(shí)數(shù)a的值為.分析：圓上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍然在圓上， 則此直線必過(guò)圓心（a,-2）,代入知：a=3.79、兩圓之間的位置關(guān)系的判斷主要是利用兩圓的半徑的差或和與兩圓的圓心距之間的大小關(guān)系.設(shè)圓A的半徑為h，圓B的半徑為r2（不妨設(shè)r1Ar2K則有：（1）|AB?q+r2,兩圓外離；（2） |ab尸r1 +陛，則兩圓外切；（3） r1 -r2 <|AB |<r1+r2，則兩圓相交；（4）|AB|=n—「2,則兩圓內(nèi)切；（5）|AB|<r1—「2,則兩圓內(nèi)含.關(guān)注：兩圓的位置關(guān)系也可以由兩圓的公切線的條數(shù)上來(lái)分.［舉例1］已知?jiǎng)訄AC與定圓M:（x—2）2+y2=1相切，且與y軸相切，則圓心C的軌跡方程是;分析：如圖：（1）當(dāng)兩圓外切時(shí)，設(shè)動(dòng)圓的半徑為 r,則|CM|=r+1,C至ijy軸的距離為r,則C到直線x=—1的距離|CN|=r+1,那么C到直線x=—1的距離與C到M的距離相等，所以點(diǎn)C的軌跡是以M為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.其方程為：2. 1、y=6（x--）.2（2）當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，可得C到M的距離與C到直線x=1的距離相等，所以此時(shí)點(diǎn)C的軌跡是以M為焦點(diǎn)，3直線x=1為準(zhǔn)線的拋物線.其方程為：y2=2（x-3）.21c 3所以圓心C的軌跡方程為：y2=6(x—」)與y2=2(x—3).

2 2［舉例2］已知M［舉例2］已知M(073),一動(dòng)圓I過(guò)點(diǎn)M與圓N:x2(1)求動(dòng)圓圓心I的軌跡C的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(2,0)作直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，設(shè)面積最大時(shí)，求直線l的方程.分析：(1)如圖，動(dòng)圓I與定圓N內(nèi)切，設(shè)動(dòng)圓半徑為2+(y+寸3)=16內(nèi)切.OP=OA+OB,當(dāng)四邊形oapb的r,則|IN|=4—r,|IM|=r.那么有:|IN|+|IM|=4,|MN|=2、/3,所以I點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.其2方程為x2?2=1.4(2)由OP=OA+OB知，四邊形OAPB是平行四邊形.要使得四邊形OAPB面積最大，則4OAB2方程為x2?2=1.4(2)由OP=OA+OB知，四邊形OAPB是平行四邊形.要使得四邊形OAPB面積最大，則4OAB的面積最大，注意變化中的定值條件.△OAB的面積是^AOQ的面積與^BOQ的面積之差設(shè)A3,yjB(x2，y2),則S&ob=匹IT丫2H可在聯(lián)立方程組時(shí)，消去變量 x,保留y.設(shè)直線l的方程為2由X2幺=1由4 =x=my+2,2 2(4m+1)y+16my+12=0.由MOVAx=my2△=(16m)2-4x12x(4m2+1)>0,得4m2-3>0.由韋達(dá)定理得：16m12Q'XOE，y1y知y1y2,0.則S「AOB=||y1|Ty2||=|yi—y2| f 4m2-3 9二&")一"丫而可令4m—3=t(t>0)，那么:S=8S4L11即所求的直線方程為子二/8-2，,7xS=8S4L11即所求的直線方程為子二/8-2，,7x=—y4.2當(dāng)t=竺時(shí)等號(hào)成立.此日m2=‘，t 480、橢圓的定義中要注意隱含的條件： 定值大于兩定點(diǎn)之間的距離.掌握橢圓基本量之間的關(guān)系，分清長(zhǎng)軸、短軸、焦距、半長(zhǎng)軸、半短軸、半焦距 .橢圓最基本的幾何性質(zhì)是定義的逆用：TOC\o"1-5"\h\z“橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸的長(zhǎng)” ^［舉例1］已知復(fù)數(shù)z滿足|z—2i|十|z十2i|=4,則z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是；分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù) z對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2i與-2i對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和為4,看似橢圓，但注意到兩定點(diǎn)之間的距離為 4.所以z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以2i與-2i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.2 2［舉例2］設(shè)P是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓32+%=1(a>b>0)上的一點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足：ab——■■ 1 PF1PF2=0,tg/PF〔F2=一，則橢圓的焦距與長(zhǎng)軸的比值為 ( )2

B、C、D、、51分析：由題知PF1_lB、C、D、、51分析：由題知PF1_lPF2,又tg/PF〔F2=-則|PFi|=2|PF2|.由|PF1|?|PF2卜2a得|PFi|=4a2a3,尸21，.則2cHF1F2|=2.5a皿2c5、小 .則一二一.選D.2a381、橢圓中一些常見(jiàn)的結(jié)論要記住，這對(duì)解決選擇填空等客觀性問(wèn)題時(shí)比較方便，如：橢圓的基本量a,b,c蘊(yùn)含在焦點(diǎn)、中心、短軸端點(diǎn)所構(gòu)成的直角三角形中； 橢圓的短軸的端點(diǎn)對(duì)兩焦點(diǎn)的張角是橢圓上點(diǎn)與兩焦點(diǎn)張角（與兩焦點(diǎn)連線夾角）的最大值；短半軸、長(zhǎng)半軸的幾何意義是橢圓上點(diǎn)與中心距離的最小值與最大值；焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值與最小值分別是a+c與a-c；過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)最大值是長(zhǎng)軸長(zhǎng)，最小值是垂直于長(zhǎng)軸所在直線的弦（有時(shí)稱為通徑，其長(zhǎng)為空）.a［舉例1］直線的弦（有時(shí)稱為通徑，其長(zhǎng)為空）.a［舉例1］一直線l過(guò)橢圓=1的左焦點(diǎn)，被橢圓截得的弦長(zhǎng)為2,則直線l的方程;［舉例分析:時(shí)0：二［舉例分析:時(shí)0：二d_ .若數(shù)列是遞減數(shù)列則100310031 1<d父0.所以dw[———,0)U(0,——].1003 1003=1上有2007個(gè)不同的點(diǎn)PnP2,…，P2007,橢圓的右焦點(diǎn)為F,數(shù)列｛|FPn|｝（n=1,2,3，…，2007）是公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍是.注意到|PFn|的取值范圍是［1,3］,若數(shù)列是遞增數(shù)列，有|PFi戶1,|PF2007￡3,此2,一2,一x82、橢圓—a+彳=1（a>b>0）上任意一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)Fi,F2構(gòu)成的三角形可稱為橢圓的焦b點(diǎn)三角形.焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為定值 （2a十2c）,利用解三角形的方法可以得出： 當(dāng)/F1PF2TOC\o"1-5"\h\z2口 ..=8時(shí)，此二角形的面積為btg—（引起注意的是此結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程要掌握） ^2［舉例］已知點(diǎn)A（—2,0）,B（2,0），點(diǎn)C在直線y=1上滿足AC_LBC,則以A、B為焦點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C的橢圓方程為.分析：注意到△分析：注意到△ABC\o"CurrentDocument"的面積為2,且ZACB=—，即btg—=2,則b=2.所以所求的橢

2 42匕2匕=12圓方程為—6另解：由圖，因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，|AB|=4AC2+BC2=AB2=16,|AC||BC|=2S&BC=4,可求得|AC|十|BC|=2j6（=2a）.所以所求的橢圓方程為

83、雙曲線的定義中的隱含條件是“兩焦點(diǎn)之間的距離大于定值（實(shí)軸長(zhǎng)）"，雙曲線基本量之間的關(guān)系要與橢圓基本量的關(guān)系區(qū)分開(kāi)來(lái)，從定義上來(lái)說(shuō)橢圓與雙曲線的定義是一字之差，TOC\o"1-5"\h\z方程是一符號(hào)之差，但兩者之間的幾何性質(zhì)完全不同 ^2 2［舉例］一雙曲線C以橢圓x—+?—=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，則此雙曲線的\o"CurrentDocument"4 2方程為.2 2分析：由題知雙曲線的實(shí)軸在x軸上，可設(shè)其方程為x2—4=1.注意到雙曲線的其本量ab2 2、一一2 2 . xy關(guān)系可得：a=2,c=4,所以所求雙曲線方程為――匚=1.2 284、漸近線是雙曲線特有的幾何性質(zhì)，要特別注意雙曲線的漸近線方程，理解“漸近”的意義2 2 2 2 2 2雙曲線與-4=1的漸近線的方程為與-丫2=0,與雙曲線個(gè)方-4=1共漸近線的ab ab ab2 2雙曲線可以設(shè)成W=h（其中九#0是待定的系數(shù)），雙曲線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸ab近線的距離是虛半軸長(zhǎng)b.2［舉例1］一雙曲線與J-y2=1有共同漸近線且與橢圓二十y2=1有共同焦點(diǎn)，則此雙\o"CurrentDocument"3曲線的方程為;2分析：由題可設(shè)所求雙曲線的方程為3-y2=＞一因其焦點(diǎn)在x軸上，則九＞0.則標(biāo)準(zhǔn)式32

為二2

為二3,y-=1,那么3九十八=2.得所求雙曲線為--y23［舉例21若關(guān)于x的方程Vx2-1=k（x+2）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是y*/TOC\o"1-5"\h\z分析：若從代數(shù)角度入手討論比較麻煩.從數(shù)形結(jié)合入手， J借助于雙曲線的漸近線，則很容易得解 .在同一坐標(biāo)系中 \次/'作出y=Jx2_1（雙曲線x2-y2=1的上半部分）與 ■y=k（x+2）（過(guò)定點(diǎn)（一2,0）的直線）的圖像.如圖：可5r-2/O\ 工得0Ek＜1.85、記住雙曲線中常見(jiàn)的結(jié)論： （1）過(guò)雙曲線焦點(diǎn)的直線被雙曲線同支截得的弦長(zhǎng)的最小值是通徑（垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)），被兩支截得的弦長(zhǎng)的最小值是實(shí)軸的長(zhǎng)； （2）雙曲線焦點(diǎn)到同側(cè)一支上的點(diǎn)的距離最小值是 c-a,到異側(cè)一支上點(diǎn)的距離最小值是 c+a；（3）雙曲線2 2xy二―3=1的焦點(diǎn)為F1,F2,P是雙曲線上的一點(diǎn)，若/F1PF2=8,則4F1PF2的面積ab、， 2 ［ .、，，一八， 一_，八一TOC\o"1-5"\h\z為bctg一（仿橢圓焦點(diǎn)三角形面積推導(dǎo)） .2\o"CurrentDocument"2 2［舉例1］已知雙曲線的方程為--、一=1,P是雙曲線上的一點(diǎn)，F(xiàn)「F2分別是它的兩個(gè)9 16焦點(diǎn)，若|PF1|=7,則|PF2尸;分析：由雙曲線的定義||PR|-1PF?||=6,知|PF2|=1或13.注意P點(diǎn)存在的隱含條件

|PFi|+|PF2以F1F2|=10,所以|PF21=13.2 2 2［舉例2］橢圓+_y—=1和雙曲線二_y2=1的公共焦點(diǎn)為F1,F2,P是它們的一個(gè)公6 2 a共點(diǎn)，貝UcosZF1PF2=；分析：由橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可得 6-2=a+1,所以a=3由.又由橢圓的焦點(diǎn)三角1 一一形的面積知△PF1F2的面積為2tg—/F1PF2，由雙曲線的焦點(diǎn)三角形的面積知△ PF1F2的面2TOC\o"1-5"\h\z… 1 一. 1 1 .一1 2 ....積為ctg-ZF1PF2,則2tg-ZF1PF2=ctg32F1PF2.解得tg-ZF1PF2=—,由萬(wàn)能1公式得cos.F1PF2 .3f|PF1|十|PF2|=2V6 l廠另解：也可以由? (不妨設(shè)|PF1|>|PF2|),求得|PF1|=J6+J3,|PF1「|PF2|=2、3 . .一 1|PF2|=76—百，又由尸尸2|=4,利用余弦定理可得cos/F1PF2=—.3X2 2［舉例3］雙曲線———y2=1(n>1)的兩焦點(diǎn)為F1,F2,P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足n|PF1|+1PF2|=2、；n+2,貝1!△PF1F2的面積為.2分析：由題可以得點(diǎn)P在橢圓——十y2=1上，設(shè)NF1PF2=日，由焦點(diǎn)三角形的面積公n2e e k式可知對(duì)于橢圓S=tg一,對(duì)于雙曲線S=ctg一,則必有日=一,所以△PF1F2的面積2 2 2等于1.86、拋物線是高考命題中出現(xiàn)頻率最高的圓錐曲線 .僅從標(biāo)準(zhǔn)方程上，拋物線就有四種不同的形式，要注意開(kāi)口方向與標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系 .不要將拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與二次函數(shù)的表達(dá)式相混淆.［舉例1拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是；準(zhǔn)線方程是.TOC\o"1-5"\h\z2 2 1分析：注意到萬(wàn)程y=4x不是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式為x2=-y.所以此拋物線的41、 1焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,一)，準(zhǔn)線方程為y=——.16 1687、記住拋物線的常見(jiàn)性質(zhì)： (1)拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于它到準(zhǔn)線的距離； (2)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的直線是拋物線的對(duì)稱軸； (3)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線之間的關(guān)系； (4)過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑， 拋物線y2=2px(pA0)的通徑長(zhǎng)為2p;(5)通徑是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦中長(zhǎng)度最小的一條 .［舉例1］已知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,1),對(duì)稱軸為y=x,且過(guò)M(3,2),則此拋物線的準(zhǔn)線方程為;分析：若僅局限于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，此題無(wú)法解決 .考慮到拋物線的性質(zhì)，準(zhǔn)線是與對(duì)稱軸垂直，則其方程可設(shè)為x+y+b=0.由拋物線的定義可知拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，因此M(3,2)到準(zhǔn)線距離等號(hào)|到準(zhǔn)線的距離相等，因此M(3,2)到準(zhǔn)線距離等號(hào)|MF|=<5,則|5b|、2b=-5±v10.所以拋物線的準(zhǔn)線為x+y—5±J10=0.［舉例2］直線l過(guò)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B兩點(diǎn)到x軸的距離之和等于3,則這樣的直線l有 ( )A、1條； B、2條； C、3條； D、不存在.分析：A、B兩點(diǎn)到X軸的距離之和為3,則A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線y=—1的距離之和為5.根據(jù)拋物線的定義可得弦長(zhǎng)|AB|=5,此拋物線的通徑為4,故滿足題義的直線有2條.選B.288、過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線被拋物線截得的弦稱為拋物線的焦點(diǎn)弦 .以拋物線y=2px(p>0)2為例，焦點(diǎn)弦有下列吊用性質(zhì)：設(shè)拋物線y=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A(xi,yi),B(x2,y2)2是拋物線上的兩點(diǎn).(1)A、B、F三點(diǎn)共線的充分必要條件是 yiy2=-p2(xix2="p—);4(2)|AB|=x〔+x2+p；(3)若AB過(guò)焦點(diǎn)，則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；TOC\o"1-5"\h\z, 1 1 2(4)AB過(guò)焦點(diǎn)，則OAOB為定值；(5)AB過(guò)焦點(diǎn)，則 十 =—.|AF||BF|p［舉例1］直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O是拋物線的頂點(diǎn)，則4ABO的形狀是 ( )A、直角三角形；B、銳角三角形；C、鈍角三角形；D、不確定與拋物線的開(kāi)口大小有關(guān).分析：不妨設(shè)此拋物線的方程為y2=2px,過(guò)焦點(diǎn)的直線l:x=my+衛(wèi)，代入拋物線方2\o"CurrentDocument"2 2程得：y2一2pmy一p2=0設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2)，貝Uyiy2=—p2,Xx?="y-y-2p2pp2— — 3 2 …一…八兒=—.OAOB=x1x2+y1y2=--p<0,所以NAOB為鈍角.選C.4 42［舉例2］求證：過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)的所有弦長(zhǎng)的最小值是2p.分析：本例的證明方法很多.設(shè)其焦點(diǎn)弦為AB,AJiyJB(x2,y2),則由拋物線的定義知|AB|=xI+x2+p>27x1x2"+p=2/4+p=2p.當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)直線AB與對(duì)稱軸垂直.TOC\o"1-5"\h\z89、“增量法”是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系中與弦的中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的常用方法 ^\o"CurrentDocument"2 2［舉例］已知點(diǎn)M是橢圓三十4=1的一條不垂直于對(duì)稱軸的弦 AB的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)a2b2原點(diǎn)，設(shè)OM、AB的斜率分別為k1,k2,則k1k2= ( >A、B、C、bA、B、C、b2-2-；aD、2

a

b2.90、當(dāng)直線過(guò)x軸上的定點(diǎn)A(a,0)時(shí)，若直線不是x軸，則此直線方程可以設(shè)成 x=my+a.這樣可以避免討論直線斜率是否存在 .2［舉例］設(shè)直線l過(guò)橢圓—+y2=1的右焦點(diǎn)，與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，4當(dāng)^OAB的面積最大時(shí)，求直線l的方程.91、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程要能充分地將“動(dòng)”與“定”有機(jī)的聯(lián)系起來(lái)，以“定”制“動(dòng)” .也可以先由動(dòng)點(diǎn)定軌跡后方程.常見(jiàn)動(dòng)點(diǎn)的軌跡要熟記.2［舉例1］設(shè)點(diǎn)P為雙曲線--y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是它的左焦點(diǎn)，M是線段PF的中點(diǎn)，4則點(diǎn)M的軌跡方程是;分析：設(shè)P(x0,yo),M(x,y)又F(N5Q).由題義得：X0=2x-75,丫0=2y，代入TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 .x 2 5、2 .2 .--y0=1得：(x-——)-4y=1即為所求的軌跡方程.像這種求軌跡的方法稱為代入\o"CurrentDocument"4 2.具體步驟是用要轉(zhuǎn)移法，它適用于由定曲線上的動(dòng)