河北2023屆高三學生全過程縱向評價數(shù)學試題（一） （含答案解析）

試卷第=page44頁，共=sectionpages55頁試卷第=page55頁，共=sectionpages55頁河北2023屆高三學生全過程縱向評價數(shù)學試題（一）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．已知經過第一?二?四象限的直線經過點，則的最小值為（

）A．4 B． C．8 D．94．若，則（

）A． B． C． D．5．現(xiàn)有6家商戶預租賃某夜市的6個相鄰的推位，其中3家商戶開特色小吃店，2家商戶開文創(chuàng)產品店，一家商戶開新奇玩具店，夜市管理部門要求特色小吃店必須都相鄰，且文創(chuàng)產品店不相鄰，則不同的排法總數(shù)為（

）A．48 B．72 C．144 D．966．設?分別是橢圓的左?右焦點，為橢圓上的一點，若的最大值為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知中，，則的充要條件是（

）A．是等腰三角形 B．C． D．8．已知函數(shù)的定義域為，且，，則（

）A．0 B．1 C． D．二、多選題9．如圖，棱長為4的正方體中，點，分別為?的中點，下列結論正確的是（

）A．B．直線與平面所成角的正切值為3C．平面D．平面截正方體的截面周長為10．已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，且對任意均有在上單調遞減，則下列說法正確的有（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的最小正周期為C．若的根為，2，，，則D．若在上恒成立，則的最大值為12．已知函數(shù)有兩個零點，且，則下列結論正確的是（

）A．B．在區(qū)間上單調遞減C．D．若，則三、填空題13．已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前n項和為，前三項和為13，前三項積為27，則___________．14．已知為的外心，，，則___________．15．已知雙曲線，過雙曲線的右焦點作一條漸近線的平行線與雙曲線交于點，與另一條漸近線交于點，是坐標原點，則___________．16．若存在，，滿足，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________．四、解答題17．近期，孩子刷短視頻上癮成為了家長們頭疼的新問題．某市多所中學針對此展開的一項調查發(fā)現(xiàn)，近九成學生有使用短視頻平臺的習慣，近一半家長表示孩子或多或少存在沉迷短視頻的現(xiàn)象，超半數(shù)家長認為短視頻成癮對青少年成長存在嚴重影響．某校為調查學生成績下降與“短視頻成癮”之間是否有關隨機調查了200名學生的開學考試成績，其中“短視頻成癮”的學生中成績未下降的有35名學生，（將總排名下降視為成績下降，將刷短視頻一天超過兩小時規(guī)定為“短視頻成癮”(1)若樣本中“短視頻成癮”且成績未下降的女生有15名，并在被認為“短視頻成癮”且成績未下降的對象中按性別采用分層抽樣抽取7人，再從中隨機抽取2人，求抽到的兩人均為女生的概率．(2)填寫下面的列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為成績下降與“短視頻成癮”有關？“短視頻成癮”沒有“短視頻成癮”合計學習成績下降100學習成績未下降合計96參考公式與數(shù)據(jù)：．0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82818．已知的內角，，的對邊分別為，，，滿足，且．(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍．19．如圖，三棱錐中，，平面，點在線段上，且滿足．(1)證明：；(2)若二面角的正弦值為，求三棱錐的體積．20．已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，（），數(shù)列的前n項和為，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．已知拋物線，點，為拋物線上的動點，直線為拋物線的準線，點到直線的距離為，的最小值為5．(1)求拋物線的方程；(2)直線與拋物線相交于，兩點，與軸相交于點，當直線，的斜率存在，設直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出；若不存在，說明理由．22．已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)令，當時，討論零點的個數(shù)．答案第=page1414頁，共=sectionpages1515頁答案第=page1515頁，共=sectionpages1515頁參考答案：1．A【分析】計算，再計算交集得到答案.【詳解】，，.故選：A．2．A【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則以及共軛復數(shù)的定義即可求解.【詳解】由得，所以故選：A．3．D【分析】直線過點及象限得，，結合基本不等式“1”的妙用求最小值即可【詳解】經過一?二?四象限，，又經過點，代入得，，當且僅當，即時等式成立故選：D4．A【分析】利用倍角公式和弦切互化法可求三角函數(shù)式的值.【詳解】,故選：A．5．B【分析】把小吃店捆綁，然后把文創(chuàng)店插空即可求解．【詳解】先把3家小吃店捆綁全排共有種排法，再把小吃店與玩具店全排共有種排法，然后把2家文創(chuàng)店插空全排共有種排法，所以共有6×2×6＝72種故選：B.6．A【分析】結合橢圓的定義和均值不等式得到當且僅當時等號成立，進而根據(jù)可得，從而結合離心率的范圍即可求出結果.【詳解】根據(jù)題意可知，當且僅當時等號成立，所以，即，所以，即，故選：A．7．D【分析】根據(jù)正余弦定理即可結合選項逐一求解.【詳解】由于，故當是等腰三角形時，或或；當時，是等腰三角形，所以是等腰三角形是的必要不充分條件，所以選項A不正確；當時，，即，所以或，則或；當時，，根據(jù)正弦定理可得，所以是的必要不充分條件，所以選項B不正確；當時，，即，解得，所以不是的充分條件，所以選項C不正確；當時，；當時，即，根據(jù)余弦定理，解得，則，所以是的充要條件，故選：D．8．A【分析】依題意令得到，再以代換，即可得到，從而得到，即可得到，從而求出函數(shù)的周期，再求出、、、、的值，根據(jù)周期性計算可得.【詳解】解：由，令得①，以代換得②，由①②可得，，即，所以，故是的一個周期，令，得，，令，得，，，，，，，，.故選：A．9．AB【分析】證明平面，得到A正確，確定即為與平面所成角，計算得到B正確，平面，得到C錯誤，計算截面周長為，所以D錯誤，得到答案.【詳解】取的中點，連接，則，，故，平面，，故，，故，，平面，平面，，所以A正確；設與，分別交于點，平面，即為與平面所成角，，其中，，，所以B正確；平面即為平面，，平面，所以C錯誤；取靠近點的四等分點，易證，四點共面，即為平面截正方體的截面，，，，平面截正方體的截面周長為，所以D錯誤.故選：10．AC【分析】由遞推公式可得，令，即可判斷AB選項，累加法可求得，從而可以判斷CD選項.【詳解】由得；當時，可得,但不一定為A正確，B錯誤；．時，，所以C正確，D錯誤；故選:AC．11．ACD【分析】由題可得函數(shù)的最小正周期，進而可得函數(shù)的解析式可判斷AB，利用數(shù)形結合可判斷C，根據(jù)條件可得，然后利用三角函數(shù)的圖象及性質即得.【詳解】由題可知有對稱中心，對稱軸，又在上單調遞減，∴函數(shù)的最小正周期為，故B錯誤；，又，，∴，所以為偶函數(shù)，故A正確；作出函數(shù)的大致圖象，由圖可知，在上有4個根，且，故C正確；由，可得，所以，所以，所以，即，的最大值為，故D正確.故選：ACD．12．ACD【分析】根據(jù)參變分離構造函數(shù)，求導確定的單調性，即可判斷A,求導得，即可結合判斷B,構造函數(shù)，求導即可判斷C,根據(jù)的單調性即可判斷D.【詳解】由等價于，令，令，得,令，得，所以在單調遞增，在單調遞減；，當當時，,因為,故A對．，令，得；令，得；由選項可知，在先增后減，B錯．對于C選項，由選項可知，當時，顯然成立；當時，等價于．由上可知在上單調遞增，要讓，只需證又只需證，令，在上單調遞增，故C對；對于D選項在單調遞增，在上單調遞減，且，,故D對；故選：ACD．【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，構造新的函數(shù)，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，利用導數(shù)研究其單調性，進而可判斷原函數(shù)的單調性.對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結合思想的應用.13．121或【分析】根據(jù)等比數(shù)列的基本量運算可得或，然后利用求和公式即得.【詳解】設數(shù)列的公比為q，∵前三項積為27，∴，解得，∵前三項和為13，∴，解得或，∴或．故答案為：121或.14．##-3.5【分析】由題意畫圖，然后結合數(shù)量積的性質及運算求解即可.【詳解】如圖：分別為的中點，則故答案為：.15．【分析】聯(lián)立直線與雙曲線的方程可得，聯(lián)立兩直線的方程即可得進而根據(jù)三角形的高之比得面積之比，即可求解.【詳解】根據(jù)題意知，漸近線方程為：，不妨設直線的方程為：，代入雙曲線方程，得，解得，即，雙曲線的另一條漸近線方程為，聯(lián)立兩條直線方程，解得，即．故答案為：16．,【分析】根據(jù)題意可得，當時不合題意，當時，原式為，令，則，，只需與有交點，即可得出答案．【詳解】解：因為，所以，當時，上式變?yōu)?，與矛盾，當時，上式為，令，則，，，令，，，所以在上單調遞增，又，所以在上，，，單調遞減，在上，，，單調遞增，所以，趨向于0或時，均趨向于，所以，即，所以或，故的取值范圍為,．故答案為：,．【點睛】關鍵點點睛：將雙變量的方程轉化為單變量方程，還需結合參變分離即得到，這樣就能整體代換令，從函數(shù)的單調性出發(fā)轉化為函數(shù)與有交點即可解決問題.17．(1)(2)填表見解析；可以認為成績下降與“短視頻成癮”有關【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式，代入計算即可得到結果.（2）根據(jù)列聯(lián)表，結合的計算公式，代入計算，即可判斷.【詳解】（1）由題意，“短視頻成癮”且成績未下降的女生有15名，所以“短視頻成癮”且成績未下降的男生有20名，若按性別采用分層抽樣的方法從該樣本中抽取7人，則其中男生4人，女生3人，記“從7人中抽取2人，抽到的均為女生”為事件，則（2）零假設為：成績下降與“短視頻成癮”無關．“短視頻成癮”的學生中成績未下降的有35名學生，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表：“短視頻成癮”沒有“短視頻成癮”合計學習成績下降6139100學習成績未下降3565100合計96104200所以，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，因此可以認為成績下降與“短視頻成癮”有關．18．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、兩角和的正弦展開式化簡可得答案；（2）由正弦定理得，再利用兩角和的正弦展開式和的范圍計算可得答案.【詳解】（1）由、正弦定理可得，，因為，所以，而，所以，即，；（2）由正弦定理得，即，，，.19．(1)證明見解析；(2)或.【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質可得，從而可得，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求得，再利用勾股定理可得，易證明平面平面，再根據(jù)面面垂直的性質可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質即可得證；（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法結合二面角的正弦值求得，再根據(jù)棱錐的體積公式即可得解.【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為，所以，所以，所以，由余弦定理得，，則，因為，所以，因為平面平面，所以面面，又面面，，面，所以平面，又平面，所以；（2）解：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，設，則，故，設平面，平面的法向量分別為，則，可取，同理得，設二面角的大小為，則，，解得或當時，，當時，，故三棱錐的體積為或．20．(1)，；(2)【分析】（1）由，運用倒序相加求和，可得所求通項公式；（2）由（1）可得的通項公式，由數(shù)列的裂項相消求和可得，再由參數(shù)分離和配方法求得最值，即可得到所求的取值范圍.【詳解】（1）因為,由①,則②,所以可得：，故，.（2）由（1）知，，則時，，所以

.又由對一切恒成立,可得恒成立,即有對一切恒成立.當時,取得最大值，所以；故實數(shù)的取值范圍是.21．(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義以及共線時距離最小即可求解.（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，進而根據(jù)兩點斜率公式表達，即可求解.【詳解】（1）設拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義得，，由于，解得，則拋物線的方程為（2）設，將代入拋物線的方程，整理得所以，同理，則,所以，22．(1)當時，無極值；當時，有極小值，無極大值(2)2個零點【分析】(1)根據(jù)題意，求出函數(shù)的導函數(shù)，對導函數(shù)的正負進行分類討論即可求解；(2)先對函數(shù)求導，