2023年高考復(fù)習(xí)數(shù)列求通項(xiàng)題型解析

一、數(shù)列求通項(xiàng)（法、法）必備秘籍1對(duì)于數(shù)列，前項(xiàng)和記為；①；②②：使用法注意兩步：①②法歸類角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系用，得到例子：已知，求角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系替換題目中的例子：已知，，求；已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；角度3：已知等式中左側(cè)含有：作差法（類似）例子：已知求記得檢驗(yàn)n=1時(shí)數(shù)列滿足．求2對(duì)于數(shù)列，前項(xiàng)積記為；①；②①②：法歸類角度1：已知和的關(guān)系角度1：用，得到例子：的前項(xiàng)之積.角度2：已知和的關(guān)系角度1：用替換題目中例子：已知數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且.法：角度2：將題意中的用替換例題1．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；由由思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，已知與的關(guān)系，用替換題目中的由約分，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以解答過(guò)程化簡(jiǎn)再用作差法感悟升華（核心秘籍）1、已知與，使用法時(shí)，用替換作為核心秘籍記憶；2、當(dāng)遇到，使用法時(shí)，用替換作為核心秘籍記憶；【答案】依題意，，故，因?yàn)?，所以，又，所以是首?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，．當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足上式，所以．法：角度2：已知和的關(guān)系例題2．已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；①①當(dāng)時(shí)，思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，已知和的關(guān)系，用替換題目中②當(dāng)時(shí)，∴代入已知條件，得即解答過(guò)程下結(jié)論∴∴，∴是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴，【答案】，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴由得即∴∴是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴，練習(xí)1、（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴2、（2022·全國(guó)·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【解析】（1）因?yàn)椋储?，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)．3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：為等比數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析(1)解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；(2)證明：，，當(dāng)時(shí)，，則，由于，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列.二、數(shù)列求通項(xiàng)（累加法、累乘法）必備秘籍一、累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。具體步驟：將上述個(gè)式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=整理得：=二、累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。具體步驟：將上述個(gè)式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：整理得：例題：在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】依題意，，即，所以當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)也滿足上式，所以三、數(shù)列求通項(xiàng)（隔項(xiàng)等差（等比）數(shù)列）必備秘籍1、隔項(xiàng)等差數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等差數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；2、隔項(xiàng)等比數(shù)列已知數(shù)列，滿足，則；（其中為常數(shù)）；或則稱數(shù)列為隔項(xiàng)等比數(shù)列，其中：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；例題1．，，求的通項(xiàng)公式；思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作差，判斷為隔項(xiàng)等差數(shù)列解答過(guò)程：由，可推出，兩式作差（）所以是隔項(xiàng)等差數(shù)列：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；下結(jié)論求通項(xiàng)當(dāng)為奇數(shù)：為第項(xiàng)：求通項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)：為第項(xiàng)：綜上：無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù)：.核心秘籍核心秘籍對(duì)于本例中作為一個(gè)模型直接記憶，考試遇到判斷為隔項(xiàng)等差數(shù)列.便于快速求解特別注意分奇偶時(shí)，判斷是第幾項(xiàng)【答案】(1)因?yàn)樗裕瑑墒较鄿p得，所以是隔項(xiàng)等差數(shù)列，且，所以為奇數(shù)，為偶數(shù)，所以.

例題2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作差，判斷為隔項(xiàng)等差數(shù)列解答過(guò)程：由，可推出，及兩式作差∵，∴.所以是隔項(xiàng)等差數(shù)列：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為；下結(jié)論求通項(xiàng)當(dāng)為奇數(shù)：為第項(xiàng)：求通項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)：為第項(xiàng)：綜上：無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù)：.【答案】由題意得，，則，兩式相減得，∵，∴.∵，∴當(dāng)，，又，∴，∴當(dāng)時(shí)，.綜上，.角度2：隔項(xiàng)等比數(shù)列例題3．已知數(shù)列滿足，，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，可推出，兩式作商，判斷為隔項(xiàng)等比數(shù)列解答過(guò)程：由，可推出，兩式作商所以是隔項(xiàng)等比數(shù)列：①構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；②構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；下結(jié)論求通項(xiàng)當(dāng)為奇數(shù)：為第項(xiàng)：求通項(xiàng)當(dāng)為偶數(shù)：為第項(xiàng)：綜上：.核心秘籍核心秘籍對(duì)于本例中作為一個(gè)模型直接記憶，考試遇到判斷為隔項(xiàng)等比數(shù)列.便于快速求解特別注意分奇偶時(shí)，判斷是第幾項(xiàng)【答案】(1)解：由題意，當(dāng)時(shí)，，可得，因?yàn)?，可得，所以，，所以?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是公比為的等比數(shù)列.所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則.因此，.練習(xí)：1．已知數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】；依題意，，由得：，則當(dāng)n為奇數(shù)，時(shí)，，滿足上式，當(dāng)n為偶數(shù)，時(shí)，，滿足上式，即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，所以．2.若數(shù)列，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案當(dāng)是奇數(shù)時(shí)：，整理得；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)：，整理得解：因?yàn)?，所以，兩式相除：，所以是隔?xiàng)等比數(shù)列；構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；構(gòu)成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，公比為；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)：，整理得當(dāng)是偶數(shù)時(shí)：，整理得四、數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）必備秘籍1.構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）例：在數(shù)列中，，且.證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過(guò)兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.例：設(shè)數(shù)列滿足：.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）形如，可通過(guò)兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項(xiàng)公式.例：已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）形如的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.例：已知數(shù)列中，，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.例：已知數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，可通過(guò)換元：，化簡(jiǎn)為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.）例：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.二、典型例題例題1．在數(shù)列中，，且.證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合構(gòu)造法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型2），左右兩邊同時(shí)加：“”解答過(guò)程：兩邊同時(shí)加“”：所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.感悟升華（核心秘籍）1、使用構(gòu)造法模型的標(biāo)準(zhǔn)（類型1）：標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）其中“待定系數(shù)”，作為核心模型直接記憶【答案】(1)證明見解析，解：因?yàn)?，所以，又，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.例題2．設(shè)數(shù)列滿足：.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合構(gòu)造法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型2）左右兩邊同時(shí)除：“”解答過(guò)程：左右兩邊同時(shí)除：“”：由數(shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，即感悟升華（核心秘籍）1、使用構(gòu)造法模型的標(biāo)準(zhǔn)（類型2）：①②③注意對(duì)比例題2,3,4的技巧【答案】.由知：，而，∴數(shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，即，∴.例題3．已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合構(gòu)造法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型2）左右兩邊同時(shí)除：“”解答過(guò)程：左右兩邊同時(shí)除：“”：由令，則原式變?yōu)椋簽榉奖闱蠼膺^(guò)程，換元判斷模型，使用待定系數(shù)法兩邊同時(shí)加“”，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為所以，即，所以，【答案】.在遞推公式的兩邊同時(shí)除以，得＝×＋，①令，則①式變?yōu)椋?，所以?shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，所以，即所以，例題4．已知數(shù)列中，，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合構(gòu)造法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型2）左右兩邊同時(shí)除：“”解答過(guò)程：左右兩邊同時(shí)除：“”：由所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故；【答案】；因?yàn)?，令，則，又，所以.對(duì)兩邊同時(shí)除以，得，又因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故；例題5．已知數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式.思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合倒數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型1），兩邊同時(shí)取倒數(shù)解答過(guò)程：兩邊同時(shí)取倒數(shù)：，即所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故；感悟升華（核心秘籍）1、使用倒數(shù)法模型的標(biāo)準(zhǔn)：（類型1），此類型取倒數(shù)化簡(jiǎn)后，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列【答案】.，兩邊取倒數(shù)得，即，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故；例題6．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.為方便解答，可換元為方便解答，可換元思路點(diǎn)撥：根據(jù)題意：，符合倒數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)模型（類型2），兩邊同時(shí)取倒數(shù)解答過(guò)程：兩邊同時(shí)取倒數(shù)：，即令，原式化簡(jiǎn)為：判斷模型，可用構(gòu)造法兩邊同時(shí)加“”所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)；感悟升華（核心秘籍）1、使用倒數(shù)法模型的標(biāo)準(zhǔn)：（類型2）形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形