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文檔簡(jiǎn)介
小學(xué)試題——可以編輯數(shù)學(xué)建模習(xí)題題目11.在超市購(gòu)物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品廉價(jià)這種現(xiàn)象了嗎。比方潔銀牙膏50g裝的每支1.5元,120g裝的每支3.00元,二者單位重量的價(jià)格比是1.2:1.試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個(gè)現(xiàn)象。分析商品價(jià)格C與商品重量w的關(guān)系。價(jià)格由生產(chǎn)本錢、包裝本錢和其他本錢等決定,這些本錢中有的與重量w成正比,有的與外表積成正比,還有與w無(wú)關(guān)的因素。給出單位重量?jī)r(jià)格c與w的關(guān)系,畫出它的簡(jiǎn)圖,說(shuō)明w越大c越小,但是隨著w的增加c減小的程度變小,解釋實(shí)際意義是什么。解答:分析:生產(chǎn)本錢主要與重量w成正比,包裝本錢主要與外表積s成正比,其他本錢也包含與w和s成正比的局部,上述三種本錢中都包含有與w,s均無(wú)關(guān)的本錢。又因?yàn)樾螤钜欢〞r(shí)一般有s∝w2/3,故商品的價(jià)格可表示為C=αω+βω2/3+γ〔α,β,γ單位重量?jī)r(jià)格c=Cw=α+βω-1/3+γω-1,顯然c是w的減函數(shù)。說(shuō)明大包裝比小包裝的商品更廉價(jià),函數(shù)圖像如以下列圖所示:題目22.在考慮最優(yōu)定價(jià)問題時(shí)設(shè)銷售期為T,由于商品的損耗,本錢q隨時(shí)間增長(zhǎng),設(shè)q=q0+βt,β為增長(zhǎng)率。又設(shè)單位時(shí)間的銷售量為x=a-bp(p為價(jià)格)。今將銷售期分為0<t<T/2和T/2<t<T兩段,每段的價(jià)格固定,記為p1,p2.求p1,p2的最優(yōu)值,使銷售期內(nèi)的總利潤(rùn)最大。如果要求銷售期T內(nèi)的總銷售量為解答:由題意得:總利潤(rùn)為U(p1,p2=T/2由?U?P1=0,p1=設(shè)總銷量為Q0Q在此約束條件下U(pp1=題目33.某商店要訂購(gòu)一批商品零售,設(shè)購(gòu)進(jìn)價(jià)c1,售出c2,訂購(gòu)費(fèi)c0(與數(shù)量無(wú)關(guān)),隨機(jī)需求量r的概率密度為p(r),每件商品的貯存費(fèi)為c3(與時(shí)間無(wú)關(guān))。問如何確定訂購(gòu)量才能使商店的平均利潤(rùn)最大,這個(gè)平均利潤(rùn)是多少。為使這個(gè)平均利潤(rùn)為正值,需要對(duì)訂購(gòu)費(fèi)c解答:設(shè)訂購(gòu)量為u,那么平均利潤(rùn)為J=u的最優(yōu)值u*滿足最大利潤(rùn)為Ju*c0題目44.雨滴勻速下降,空氣阻力與雨滴外表積和速度平方的乘積成正比,試確定雨速與雨滴質(zhì)量的關(guān)系。解答:雨滴質(zhì)量m,體積V,外表積S與某特征尺寸l之間的關(guān)系為m∝V∝l3,S∝l2,可得S∝m2/3。雨滴在重力f1和空氣阻力f2的作用下以勻速v降落,所以f1題目55.某銀行經(jīng)理方案啊用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資,可供購(gòu)進(jìn)的證券以及其信用等級(jí)、到期年限、收益如表1所示。按照規(guī)定,市政證券的收益可以免稅,其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有以下限制:政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購(gòu)進(jìn)400萬(wàn)元;所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)不超過(guò)1.4〔信用等級(jí)數(shù)字越小,信用程度越高〕;所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)5年。表1證券信息證券名稱證券種類信用等級(jí)到期年限到期稅前收益/%A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145D政府134.4E市政524.5問:〔1〕假設(shè)該經(jīng)理有1000萬(wàn)元資金,應(yīng)如何投資?〔2〕如果能夠以2.75%的利率借到不超過(guò)100萬(wàn)元資金,該經(jīng)理如何操作?在1000萬(wàn)元資金情況下,假設(shè)證券A的稅前收益增加為4.5%,投資應(yīng)否改變?假設(shè)證券C的稅前收益減少為4.8%,投資應(yīng)否改變?解答:設(shè)投資證券A,B,C,D,E的金額分別為x1,x2,xmaxs.t.xx2x1+2x9x1+15x2x用LINGO求解得到:證券A,C,E分別投資2.182百萬(wàn)元,7.364百萬(wàn)元,0.454百萬(wàn)元,最大稅后收益為0.298百萬(wàn)元。由〔1〕的結(jié)果中影子價(jià)格可知,假設(shè)資金增加100萬(wàn)元,收益可增加0.0298百萬(wàn)元。大于以2.75%的利率借到100萬(wàn)元資金的利息,所以應(yīng)借貸。投資方案需將上面模型第二個(gè)約束右端改為11,求解得到:證券A,C,E分別投資2.40百萬(wàn)元,8.10百萬(wàn)元,0.50百萬(wàn)元,最大稅后收益為0.3007百萬(wàn)元。由〔1〕結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許范圍〔最優(yōu)解不變〕可知,證券A的稅前收益可增加0.35%,故假設(shè)證券A的稅前收益增加為4.5%,投資不應(yīng)改變;證券C的稅前收益可減少0.112%〔按50%的稅率納稅〕,故假設(shè)證券C的稅前收益減少為4.8%,投資應(yīng)該改變。題目66.某公司將4種不同含硫量的液體原料〔分別記為甲、乙、丙、丁〕混合生產(chǎn)兩種產(chǎn)品〔分別記為A,B〕。按照生產(chǎn)工藝的要求,原料甲、乙、丁必須首先倒入混合池中混合,混合后的液體再分別為原料丙混合生產(chǎn)A,B。原料甲、乙、丙、丁的含硫量分別為3%,1%,2%,1%,進(jìn)貨價(jià)格分別為6,16,10,15〔千元/t〕;產(chǎn)品A,B的含硫量分別不能超過(guò)2.5,1.5〔%〕,售價(jià)分別為9,15〔千元/t〕。根據(jù)市場(chǎng)信息,原料甲、乙、丙的供應(yīng)沒有限制,原料丁的供應(yīng)量最多為50t;產(chǎn)品A,B的市場(chǎng)需求量分別為100t,200t。問應(yīng)如何安排生產(chǎn)?解答:設(shè)y1,z1分別是產(chǎn)品A中是來(lái)自混合池和原料丙的噸數(shù),y2,max約束條件為:原料最大供應(yīng)量限制:x產(chǎn)品最大需求量限制:(產(chǎn)品最大含硫量限制:對(duì)產(chǎn)品A,3x1對(duì)產(chǎn)品B,類似可得34)其他限制:x用LINGO求解得到結(jié)果為:x2=x4=0.5題目77.建立耐用消費(fèi)品市場(chǎng)銷售量的模型。如果知道了過(guò)去假設(shè)干時(shí)期銷售量的情況,如何確定模型的參數(shù)?解答:設(shè)耐用品銷售量為x(t),可用logistic模型描述x(t)的變化規(guī)律,即dxdt=kx(N-x),其中N是市場(chǎng)飽和量,k是比例系數(shù),N,k,可由過(guò)去假設(shè)干時(shí)期的銷售量xiti,i=1,2,?????確定,不妨設(shè)ti+1-ti=?t=1,那么方程可題目88.在魚塘中投放n0尾設(shè)尾數(shù)n(t)的〔相對(duì)〕減少率為常數(shù);由于喂養(yǎng)引起的每尾魚質(zhì)量的增加率與魚的外表積成正比,由于消耗引起的每尾魚質(zhì)量的減少率與質(zhì)量本身成正比。分別建立尾數(shù)與每尾魚質(zhì)量的微分方程,并求解。用控制網(wǎng)眼的方法不捕小魚,到時(shí)刻T才開始捕撈,捕撈能力用尾數(shù)的相對(duì)減少量n/n表示,記作E,即單位時(shí)間捕獲量是En(t).問如何選擇T和E,使從T開始的捕獲量最大。解答:〔1〕尾數(shù)n(t)滿足n=-λnλ>0,n0=n0得nt=n0e-λt.每尾魚重w(t〔2〕設(shè)t=T時(shí)開始捕撈,且單位時(shí)間捕撈率為E,那么t≥T時(shí)有n=-(λ+E)n,因此得nt=n0e-λTe-(λ+E)(t-T),單位時(shí)間捕撈魚的尾數(shù)為En(t),每尾魚重w(t),題目99.速度為v的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為s的風(fēng)車上,空氣密度是ρ。用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率P與v,s,ρ的關(guān)系。解答:設(shè)fp,v,s,ρ=0,量綱表達(dá)式:p=L2MT-3,v=L題目1010.大陸上物種數(shù)目可以看做常數(shù),各物種獨(dú)立地從大陸向附近一島嶼遷移。島上物種數(shù)量的增加與尚未遷移的物種數(shù)量有關(guān),而隨著遷移物種的增加又導(dǎo)致島上物種的減少。在適當(dāng)假設(shè)下建立島上物種數(shù)的模型,并討論穩(wěn)定狀況。解答:植物、哺乳動(dòng)物、爬行動(dòng)物的數(shù)量分別記作x1tx平衡點(diǎn)為P1〔0,0,0〕,P2題目1111.下表列出了某城市18位35-44歲經(jīng)理的年平均收入x1〔千元〕,風(fēng)險(xiǎn)偏好度x2和人壽保險(xiǎn)額y〔千元〕的數(shù)據(jù),其中風(fēng)險(xiǎn)偏好度是根據(jù)發(fā)給每個(gè)經(jīng)理的問卷調(diào)查表綜合評(píng)估得到的,它的數(shù)值越大就越偏愛高風(fēng)險(xiǎn)。研究人員想研究此年齡段中的經(jīng)理所投保的人壽保險(xiǎn)額與年均收入及風(fēng)險(xiǎn)偏好度之間的關(guān)系。研究者預(yù)計(jì),經(jīng)理的年均收入和人壽保險(xiǎn)額之間存在著二次關(guān)系,并有把握的認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額有線性效應(yīng),但對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好度對(duì)人壽保險(xiǎn)額是否有二次效應(yīng)以及兩個(gè)自變量是否對(duì)人壽保險(xiǎn)額有交互效應(yīng),請(qǐng)你通過(guò)表2中的數(shù)據(jù)建立一個(gè)適宜的回歸模型,驗(yàn)證上面的看法,并給出進(jìn)一步的分析。表2序號(hào)123456789y1966325284126144949266x166.2940.9672.99645.0157.20426.85238.12235.8475.796x27510645469序號(hào)101112131415161718y4910598771456245133133x137.4154.3846.18646.1330.36639.0679.3852.76655.916x2527435186解答:,最終的回歸方程為y=-62.3489+0.8396x1+5.6846x2+0.0371x12,且R題目1212.表3給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位本錢〔單位:元〕的數(shù)據(jù),從散點(diǎn)圖可以明顯的發(fā)現(xiàn),生產(chǎn)批量在500以內(nèi)時(shí),單位本錢對(duì)生產(chǎn)批量服從一種線性關(guān)系,生產(chǎn)批量超過(guò)500時(shí)服從另一種線性關(guān)系,此時(shí)單位本錢明顯下降。希望你構(gòu)造一個(gè)適宜的回歸模型全面的描述生產(chǎn)批量與單位本錢的關(guān)系。表3生產(chǎn)批量650340400800300600720480440540750單位本錢2.484.454.521.384.652.962.184.044.23.11.5生產(chǎn)批量與單位本錢分別記作x和y,為表示x在500以下和以上時(shí),y與x的不同關(guān)系,引入一個(gè)虛擬變量D,令D=1,x>5000,參數(shù)參數(shù)估計(jì)值參考置信區(qū)間β06.1621[5.0368,7.2874]β1-0.0047[-0.0074,-0.0020]β2-0.0036[-0.0076,0.0003]當(dāng)生產(chǎn)批量小于500時(shí),每增加一個(gè)單位批量,單位本錢降低0.0047元;當(dāng)生產(chǎn)批量超過(guò)500時(shí),每增加一個(gè)單位批量,單位本錢降低0.0047+0.0036=0.0083元。從散點(diǎn)圖看,也可以擬合x的二次回歸模型y=β題目1313.在一項(xiàng)調(diào)查降價(jià)折扣券對(duì)顧客的消費(fèi)行為影響的研究中,商家對(duì)1000個(gè)顧客發(fā)放了商品折扣券和宣傳資料,折扣券的折扣比例分別為5%,10%,15%,20%,30%,每種比例的折扣券均發(fā)放了200人,現(xiàn)記錄他們?cè)谝粋€(gè)月內(nèi)使用折扣券購(gòu)物的人數(shù)和比例數(shù)據(jù)如表4.表4折扣比例/%持折扣券人數(shù)使用折扣券人數(shù)使用折扣券人數(shù)比例5200320.1610200510.25515200700.35202001030.515302001480.74對(duì)使用折扣券人數(shù)比例先做logit變換,再對(duì)使用折扣券人數(shù)比例與折扣比例,建立普通的一元線性回歸模型。直接利用MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱中的glmfit命令,建立使用折扣券人數(shù)比例與折扣比例的logit模型。與〔1〕作比較,并估計(jì)假設(shè)想要使用折扣券人數(shù)比例為25%,那么折扣券的折扣比例應(yīng)該為多大?解答:記x為折扣比例,π(x)為使用折扣券人數(shù)比例,做logit變換πi*=ln(πi1-πi利用glmfit命令可以得到logitπx=lnπx1-π又由ln0.251-0.25=-2.1855+0.1087x,解得x=10,故想要使用折扣券人數(shù)比例為25題目1414."田忌賽馬〞是一個(gè)家喻戶曉的故事:戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,齊國(guó)將軍田忌經(jīng)常與齊王賽馬,設(shè)重金賭注。孫臏發(fā)現(xiàn)田忌與齊王的馬腳力都差不多,可分為上、中、下三等。于是孫臏對(duì)田忌說(shuō):"您只管下大賭注,我能讓您取勝。〞田忌相信并容許了他,與齊王用千金來(lái)賭勝。比賽即將開始,孫臏對(duì)田忌說(shuō):"現(xiàn)在用您的下等馬對(duì)付他的上等馬,拿您的上等馬對(duì)付他的中等馬,拿您的中等馬對(duì)付他的下等馬。〞三場(chǎng)比賽完后,田忌只有一場(chǎng)不勝而另兩場(chǎng)勝,最終贏得齊王的千金賭注?!?〕分析這個(gè)故事中還隱含了哪些信息,并思考適宜可以建模為一個(gè)博弈問題。何時(shí)只是一個(gè)簡(jiǎn)單的單人決策問題?!?〕如果齊王和田忌約定比賽開始前雙方同時(shí)決定馬的出場(chǎng)順序,并且以后不可改變,這個(gè)博弈是否存在純戰(zhàn)略納什均衡?如果不存在,求出該博弈模型的混合戰(zhàn)略納什均衡。解答:這個(gè)故事中還隱含了以下信息:田忌的每一等級(jí)的馬都不如齊王的同等級(jí)的馬,但田忌的上等馬勝過(guò)齊王的中等馬,田忌的中等馬勝過(guò)齊王的下等馬。每人每一等級(jí)的馬只允許出場(chǎng)一次(例如每人每一等級(jí)的馬只有一匹,且每匹馬只允許出場(chǎng)一次)。此外,如果齊王的馬的出場(chǎng)順序總是固定的〔或者出場(chǎng)順序在比賽開始前就已經(jīng)決定了且不可改變〕,而田忌知道這一點(diǎn),那么齊王的行動(dòng)就已經(jīng)是完全給定了,這時(shí)只有田忌需要決策,是一個(gè)簡(jiǎn)單的單決策者的決策問題,可以用一般的優(yōu)化方法進(jìn)行建模和求解。不妨假設(shè)齊王的馬的出場(chǎng)順序?yàn)椤采?、中、下〕,那么田忌最?yōu)的應(yīng)對(duì)行動(dòng)就是〔下、上、中〕,這與孫臏給出的戰(zhàn)略是一致的。如果齊王的馬的出場(chǎng)順序并不總是固定的,每場(chǎng)比賽時(shí)齊王首先決定自己派哪個(gè)等級(jí)的馬出場(chǎng),然后田忌才決定派自己的哪個(gè)等級(jí)的馬與之對(duì)抗,是一個(gè)完全信息動(dòng)態(tài)博弈。田忌必須見機(jī)行事,根據(jù)齊王出哪種馬,決定自己出哪種馬〔孫臏給出的戰(zhàn)略仍是田忌的最優(yōu)戰(zhàn)略〕比賽開始前雙方同時(shí)決定馬的出場(chǎng)順序并且以后不可改變。假設(shè)齊王和田忌在決策時(shí)所擁有的信息是一樣的,這時(shí)就構(gòu)成一個(gè)完全信息靜態(tài)博弈。雙方的行動(dòng)空間為{〔上、中、下〕,〔上、下、中〕,〔中、上、下〕,〔中、下、上〕,〔下、上、中〕,〔下、中、上〕}。不存在純戰(zhàn)略納什均衡?;旌蠎?zhàn)略納什均衡為:雙方各以1/6概率選擇6個(gè)行動(dòng)之一。題目1515.我們經(jīng)常見到報(bào)道:一些不文明現(xiàn)象或違法行為發(fā)生在眾目睽睽之下,卻無(wú)人出面阻止或干預(yù)。如果不考慮這類事件的復(fù)雜社會(huì)、道德等因素,你能否完全從數(shù)學(xué)的角度通過(guò)建立博弈模型來(lái)定量分析一下這種"人多未必勢(shì)眾〞的現(xiàn)象?具體來(lái)說(shuō),希望你的模型答復(fù)下面的問題:假設(shè)有多個(gè)人正在目睹某個(gè)不文明現(xiàn)象或違法行為,那么當(dāng)目睹人數(shù)增加時(shí),有人出面阻止或干預(yù)的可能性是增加了還是減少了?解答:博弈參與人集合N={1,2,…,n},每人的行動(dòng)集合為A={0,1},其中1為干預(yù),0為不干預(yù)。假設(shè)有人出面干預(yù)〔這是參與人都希望的〕,設(shè)對(duì)每個(gè)參與人的價(jià)值為v〔如由于不文明行為或違法行為得到阻止的心理?yè)嵛康取?;假設(shè)自己出面干預(yù)〔這是參與人不希望的〕,設(shè)對(duì)每個(gè)參與人的本錢為c〔如遭到報(bào)復(fù)等〕??稍O(shè)v>c>0.假設(shè)所有參與人完全相同,每個(gè)參與人都希望最大化自己的效用v-c。如果沒有人干預(yù),每個(gè)人的效用均為0.對(duì)每個(gè)參與人來(lái)說(shuō),如果其他人不出面干預(yù),自己應(yīng)該出面干預(yù);如果有人出面干預(yù),自己就不用出面干預(yù)了。因此,這個(gè)博弈存在純戰(zhàn)略納什均衡:有且只有一個(gè)參與人出面干預(yù),其他人不出面干預(yù),從所有參與人整體上看這也是最優(yōu)的方案。但是,如果參與人之間沒有信息的交流與行動(dòng)上的合作,這一均衡是很難發(fā)生的,很可能要么沒有人出面干預(yù),要么有多人出面干預(yù),這都不是納什均衡。對(duì)這個(gè)問題,在不存在合作的情況下,假設(shè)所有參與人采用相同的戰(zhàn)略是比較合理的,這樣的戰(zhàn)略組合如果構(gòu)成納什均衡,那么稱為對(duì)稱納什均衡。顯然,這個(gè)博弈不存在純戰(zhàn)略對(duì)稱納什均衡,所以考慮混合戰(zhàn)略對(duì)稱納什均衡:每個(gè)人的戰(zhàn)略為以概率p采取行動(dòng)1〔以概率1-p采取行動(dòng)0〕。對(duì)一個(gè)參與者來(lái)說(shuō):如果他出面干預(yù)〔采取行動(dòng)1〕,其效用為v-c。如果他不出面干預(yù)〔采取行動(dòng)0〕,有兩種可能:其他人也都不出面干預(yù)〔可能性為(1-p)n-1〕,其效用為0;其他人至少有一人出面干預(yù)〔可能性為1-(1-p)n-1〕,當(dāng)出面干預(yù)與不出面干預(yù)的效用相等時(shí),他就沒有動(dòng)機(jī)改變他的戰(zhàn)略了。所以,納什均衡滿足的條件可以很簡(jiǎn)單的從等式v-c=v(1-(1-p題目1616.同類型的商家經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)"扎堆〞現(xiàn)象,形成各式各樣的商品城,如"書城〞、"燈具城〞等。人們有時(shí)不得不跑很遠(yuǎn)的路去這類商品城,于是會(huì)抱怨:如果他們大致均勻的分布到城市的不同地點(diǎn),難道不是對(duì)商家更為有利可圖,也更方便顧客?請(qǐng)你以下面的問題為例,作出適當(dāng)?shù)募僭O(shè),進(jìn)行建模分析:某海濱浴場(chǎng)準(zhǔn)備設(shè)立兩個(gè)售貨亭,以供海灘上游泳和休閑的人購(gòu)置飲用水和小食品等。那么,這兩個(gè)售貨亭的店主將會(huì)分別將售貨亭設(shè)立在哪里?解答:將海濱浴場(chǎng)的海灘近似看成一條線段,售貨亭位置的選擇空間記為[0,1]區(qū)間。設(shè)兩售貨亭的位置分別位于x1,x2(0≤x1≤x2≤1),其中點(diǎn)為m=(x1+x2U1容易證明唯一的純戰(zhàn)略納什均衡為x1*,x2*題目1717.奇數(shù)個(gè)席位的理事會(huì)由三派組成,議案表決實(shí)行過(guò)半數(shù)通過(guò)方案。證明在任一派都不能操縱表決的條件下,三派占有的席位不管多少,他們?cè)诒頉Q中的權(quán)重都是一樣的。解答:設(shè)三派的席位分別為n1,n2,n3,記n1+n2+n3=n〔奇數(shù)〕題目1818.在基因遺傳過(guò)程中,考慮三種基因類型:優(yōu)種D〔dd〕,混種H〔dr〕和劣種R〔rr〕。對(duì)于任意的個(gè)體,每次用一混種與之交配,所得后代仍用混種交配,如此繼續(xù)下去。構(gòu)造馬氏鏈模型,說(shuō)明它是正那么鏈,求穩(wěn)態(tài)概率及由優(yōu)種和混種出發(fā)的首次返回平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。如果改為每次用優(yōu)種交配,再構(gòu)造馬氏鏈模型,說(shuō)明它是吸收鏈,求由混種和劣種出發(fā)變?yōu)閮?yōu)種的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。解答:狀態(tài)定義為i=1D,2P=由P2>0知,馬氏鏈?zhǔn)钦敲存?,穩(wěn)定狀態(tài)向量為w=(1/4,1/2,1/4).優(yōu)種〔D〕和混種〔R〕出發(fā)的首次平均轉(zhuǎn)移次數(shù)分別為4和2.用優(yōu)種交配時(shí),轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=1001/21/200由M=(I-Q)-1=2021,y=Me=(2,3)T.知由題目1919.一家集生產(chǎn)、銷售于一體的公司,希望生產(chǎn)率和貯存量都盡量穩(wěn)定在預(yù)先設(shè)定的水平上,如果銷售量可以預(yù)測(cè),公司需要制訂一個(gè)根據(jù)貯存量控制生產(chǎn)率的策略?!?〕以在一定時(shí)間T內(nèi)生產(chǎn)率和貯存量與設(shè)定值誤差的〔加權(quán)〕平方和最小為目標(biāo),給出泛函極值問題。〔2〕設(shè)銷售量為常數(shù),求出最優(yōu)解,并在T很大的情況下給出生產(chǎn)率和貯存量之間的關(guān)系。解答:記時(shí)刻t的貯存量x(t),單位時(shí)間產(chǎn)量〔即生產(chǎn)率〕和銷售量分別為u(t)和v(t),那么x設(shè)預(yù)先給定的生產(chǎn)率和貯存量分別為u0和v0,那么在時(shí)間T內(nèi)u(t)和x(t)與u0和x0誤差的〔加權(quán)J假設(shè)設(shè)t=0和T=0的貯存量為0,那么x化簡(jiǎn)得J(2)當(dāng)銷售量vt=v0x解得x化簡(jiǎn)得u在T很大的情況下,最后一項(xiàng)可忽略,于是u=即生產(chǎn)率u可以由貯存量x直接確定。題目2020.遭受巨大損失:考慮由于預(yù)計(jì)全球溫度會(huì)上升而導(dǎo)致的北極冰蓋的融化對(duì)陸地的影響。特別要對(duì)由于冰蓋融化在今后50年中每10年對(duì)佛羅里達(dá)州沿岸,尤其是大城市地區(qū)的影響進(jìn)行建模。試提出適當(dāng)?shù)膽?yīng)對(duì)措施來(lái)處理這個(gè)問題。對(duì)所用數(shù)據(jù)的仔細(xì)討論是答復(fù)本問題的重要組成局部。解答:僅僅北極冰蓋融化對(duì)海平面的直接影響可能較小,而引起其他冰塊融化的間接影響會(huì)是決定性的??梢苑謩e對(duì)各個(gè)冰塊提升海平面的影響建模,用常微分方程預(yù)測(cè)發(fā)生改變的速度。對(duì)于小的冰蓋和冰川用全球平均溫度對(duì)海平面改變影響的模型,參數(shù)為融化對(duì)溫度的敏感度等,對(duì)參數(shù)的不同取值計(jì)算50年后海平面的升高。對(duì)于大冰原考慮受熱體積膨脹引起海平面的升高。一種計(jì)算結(jié)果是50年后升高20-30cm。對(duì)佛羅里達(dá)州沿岸海平面升高1個(gè)單位等價(jià)于海沿岸水平損失100個(gè)單位。在最壞的情況下,到2058年幾乎將損失27m陸地,會(huì)失去大多數(shù)較小的島嶼及沙灘,許多城市的港口都會(huì)遭到損失。討論對(duì)物種和生物多樣性、氣候、旅游業(yè)、食品業(yè)及全球變暖的影響。題目2121.動(dòng)物園里的成年熱血?jiǎng)游锟匡曫B(yǎng)的食物維持體溫根本不變,在一些合理、簡(jiǎn)化的假設(shè)下建立動(dòng)物的飼養(yǎng)食物量與動(dòng)物的某個(gè)尺寸之間的關(guān)系。解答:假設(shè)處于靜止?fàn)顟B(tài)的動(dòng)物的飼養(yǎng)食物量主要用于維持體溫不變,且動(dòng)物體內(nèi)熱量主要通過(guò)它的外表積散失,對(duì)于一種動(dòng)物其外表積S與某特征尺寸l之間的關(guān)系是S∝l2,所以飼養(yǎng)食物量題目2222.一家保姆效勞公司專門向雇主提供保姆效勞。根據(jù)估計(jì),下一年的需求是:春季6000人日,夏季7500人日,秋季5500人日,冬季9000人日。公司新招聘的保姆必須經(jīng)過(guò)5天的培訓(xùn)才能上崗,每個(gè)保姆每季度工作〔新保姆包括培訓(xùn)〕65天。保姆從該公司而不是從雇主那里得到報(bào)酬,每人每月工資800元。春季開始時(shí)公司擁有120名保姆,在每個(gè)季度結(jié)束后。將有15%的保姆自動(dòng)離職?!?〕如果公司不允許解聘保姆,請(qǐng)你為公司制定下一年的招聘方案。哪些季度需求的增加不影響招聘方案?可以增加多少?〔2〕如果公司在每個(gè)季度結(jié)束后允許解聘保姆,請(qǐng)為公司制定下一年的招聘方案。解答:設(shè)4個(gè)季度開始時(shí)公司新招聘的保姆數(shù)量分別為x1,x2,x3,x4人,4個(gè)mins.t.65656565SSSSx用LINGO求解并對(duì)結(jié)果取整。4個(gè)季度開始時(shí)公司新招聘的保姆數(shù)量分別為0,15,0,59人。上面的模型中沒有要求x1,x2,x3,x4,S1由以上結(jié)果中約束的松弛〔或剩余〕的數(shù)據(jù)知道,春季和秋季需求的增加不影響招聘方案,可以分別增加1800人日和936人日。設(shè)4個(gè)季度開始時(shí)公司招聘的保姆數(shù)量分別為x1,x2,x3,x4人,4個(gè)季度結(jié)束時(shí)解雇的保姆數(shù)量分別為y1,y2,
mins.t.65656565SSSSx用LINGO求解并對(duì)結(jié)果取整得到,第二個(gè)季度開始時(shí)公司新招聘15人,第二個(gè)季度結(jié)束時(shí)解聘15人;第4個(gè)季度開始時(shí)新招聘72人。目標(biāo)函數(shù)值為465.1218,比不允許解聘時(shí)數(shù)量略有減少。題目2323.對(duì)于技術(shù)革新的推廣,在以下幾種情況下分別建立模型:〔1〕推廣工作通過(guò)已經(jīng)采用新技術(shù)的人進(jìn)行,推廣速度與采用新技術(shù)的人數(shù)成正比,推廣是無(wú)限的。〔2〕總?cè)藬?shù)有限,因而推廣速度還會(huì)
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